Bab 3. Fungsi

Objektif

• Fungsi
• Fungsi Satu-ke-Satu dan Fungsi Pada
• Fungsi Invers
• Komposisi Fungsi
• Beberapa Fungsi Khusus

---

3.1. Fungsi

DEFINISI 3.1
Pandang

$A$ dan

$B$ sebagai dua himpunan tak kosong (non-empty). Relasi biner

$f$ dari

$A$ ke

$B$ merupakan sebuah fungsi jika setiap elemen dari

$A$ dikaitkan ke tepat satu elemen dari

$B$. Fungsi

$f$ dari

$A$ ke

$B$ dinotasikan dengan

$f:A\mapsto B$

Kita menuliskan

$f(a)=b$ jika elemen

$a$ dalam

$A$ dikaitkan oleh fungsi

$f$ ke elemen

$b$ dalam

$B$.

Catatan: Fungsi sering disebut juga dengan pemetaan atau transformasi.

Perlu diperhatikan bahwa sebuah relasi dari

$A$ ke

$B$ disebut sebuah fungsi

$f:A\mapsto B$ jika setiap elemen dalam

$A$ dipasangkan ke satu dan hanya satu elemen dari

$B$. Ini berarti, jika terdapat satu elemen dalam

$A$ dipasangkan ke lebih dari satu elemen dari

$B$, maka relasi tersebut bukanlah sebuah fungsi. Begitu juga, jika terdapat satu atau lebih elemen dalam

$A$ yang tidak dipasangkan ke salah satu elemen dari

$B$, maka relasi tersebut bukanlah sebuah fungsi.

Contoh 3.1.1
Tentukan apakah relasi-relasi berikut adalah sebuah fungsi atau bukan.

Solusi:

• Relasi
  $f_1$ adalah fungsi karena setiap elemen
  $A$ dikaitkan ke satu dan hanya satu elemen
  $B$.
• Relasi
  $f_2$ bukan fungsi karena elemen
  $a$ dalam
  $A$ dikaitkan ke dua elemen,
  $1$ dan
  $2$, dalam
  $B$.
• Relasi
  $f_3$ bukan fungsi karena terdapat elemen
  $b$ dalam
  $A$ yang tidak dikaitkan ke sebuah elemen dalam
  $B$.
• Relasi
  $f_4$ adalah fungsi karena setiap elemen
  $A$ dikaitkan ke satu dan hanya satu elemen
  $B$.

Fungsi dapat dinyatakan dalam berbagai cara, salah satunya adalah dengan menuliskan aturan pemetaan seperti contoh berikut:

$f:\{1,2,3\}\mapsto \{a,b,c,d,e\}$ sedemikian sehingga

$f(1)=b$,

$f(2)=d$, dan

$f(3)=e$.

Fungsi juga dapat dinyatakan dalam bentuk rumus, seperti contoh berikut:

$f:\mathbb{R}\mapsto \mathbb{R}$ sedemikian sehingga

$f(x)=x+1$.

Contoh 3.1.2
Misalkan sebuahfungsi

$f:\{a,b,c\}\mapsto \{1,3,5,9\}$ didefinisikan berdasarkan aturan berikut:

$$f(a)=1,f(b)=5,f(c)=9$$

Maka, fungsi

$f$ dapat disajikan dalam tabel seperti berikut:

$x$	$a$	$b$	$c$
$f(x)$	$1$	$5$	$9$

Fungsi

$f$ juga dapat disajikan dalam diagram panah seperti berikut:

Contoh 3.1.3
Fungsi

$f:\{1,2,3,4,5\}\mapsto \mathbb{N}$ mempunyai rumus:

$$f(x)=x^2$$

Sajikan

$f$ dalam tabel!

Solusi:

Fungsi

$f$ dapat disajikan dalam tabel seperti berikut:

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$f(x)$	$1$	$4$	$9$	$16$	$25$

Domain, Kodomain, dan Range

DEFINISI 3.2
Jika

$f$ adalah sebuah fungsi dari

$A$ ke

$B$, maka

• $A$ disebut sebagai sebagai domain (daerah asal) dari
  $f$;
• $B$ disebut sebagai kodomain (daerah kawan) dari
  $f$;
• Himpunan dari semua nilai pemetaan
  $f$ disebut sebagai jelajah (range);
• Jika
  $f(a)=b$ maka
  $b$ disebut sebagai bayangan (image) dari
  $a$ dan
  $a$ disebut sebagai pra-bayangan (pre-image) dari
  $b$.

Catatan: Perhatikan bahwa jelajah (range) adalah himpunan bagian dari kodomain.

Contoh 3.1.4
Misalkan fungsi

$f$ didefinisikan dalam diagram panah berikut:

Maka,

• Domain dari fungsi
  $f$ adalah
  $\{a,b,c\}$
• Kodomain dari fungsi
  $f$ adalah
  $\{1,3,5,9\}$
• Jelajah (range) dari fungsi
  $f$ adalah
  $\{1,5,9\}$
• Bayangan (image) dari
  $a$ adalah 1, bayangan dari
  $b$ adalah 5, dan bayangan dari
  $c$ adalah 9.

Contoh 3.1.5
Misalkan

$f:\mathbb{R}\mapsto \mathbb{R}$ didefinisikan oleh

$f(x)=x^2$. Tentukan domain, kodomain, dan jelajah dari

$f$.

Solusi:

• Domain dan kodomain dari
  $f$ adalah
  $\mathbb{R}$ yaitu himpunan bilangan riil.
• Jelajah (range) dari
  $f$ adalah himpunan bilangan riil tidak-negatif.

Grafik Fungsi

Fungsi dapat disajikan dalam grafik.

DEFINISI 3.3
Misalkan

$f$ adalah sebuah fungsi dari himpunan

$A$ ke himpunan

$B$. Grafik dari fungsi

$f$ adalah himpunan pasangan terurut

$(x,y)$ dalam

$A\times B$ dimana

$y=f(x)$.

Contoh 3.1.6
Gambar grafik fungsi

$f(n)=2n+1$ dari himpunan bilangan bulat ke himpunan bilangan bulat.

Solusi:
Grafik dari

$f$ adalah himpunan pasangan terurut dalam bentuk

$(n,2n+1)$, dimana

$n$ adalah sebuah bilangan bulat. Grafik

$f$ ditunjukkan oleh gambar berikut:

Contoh 3.1.7 Ganti dengan kontinyu!!!
Gambar grafik fungsi

$f(x)=x^2$ dari himpunan bilangan bulat ke himpunan bilangan bulat.

Solusi:
Grafik dari

$f$ adalah himpunan pasangan terurut dalam bentuk

$(x,x^2)$, dimana

$x$ adalah sebuah bilangan bulat. Grafik

$f$ ditunjukkan oleh gambar berikut:

3.2. Fungsi Satu-ke-Satu dan Fungsi Pada

Beberapa fungsi tidak pernah menugaskan nilai yang sama ke dua elemen domain berbeda. Fungsi-fungsi ini disebut sebagai fungsi satu-ke-satu. Beberapa fungsi mempunyai jelajah dan kodomain yang sama. Fungsi-fungsi ini disebut sebagai fungsi pada.

Fungsi Satu-ke-Satu (One-to-One)

DEFINISI 3.4
Suatu fungsi

$f$ dari himpunan

$A$ ke himpunan

$B$ atau

$f:A\mapsto B$ dikatakan satu-ke-satu (one-to-one) atau injektif jika setiap elemen yang berbeda dari

$A$ mempunyai bayangan yang berbeda pula di

$B$. Ini berarti

$f(a)=f(b)$ jika dan hanya jika

$a=b$.

Perhatikan bahwa dari definisi dapat disimpulkan bahwa fungsi

$f$ adalah fungsi satu-ke-satu jika tidak ada dua elemen himpunan

$A$ yang memiliki bayangan yang sama.

Contoh 3.2.1

Fungsi

$f$ yang didefinisikan oleh diagram panah berikut adalah fungsi satu-ke-satu.

Perhatikan pada gambar di atas, semua elemen

$B$ yang berada dalam range dari fungsi

$f$, masing-masing adalah bayangan hanya dari satu elemen

$A$.

Contoh 3.2.2
Fungsi

$f$ dan

$g$ dari

$A=\{1,2,3\}$ ke

$B=\{a,b,c,d\}$ didefinisikan oleh diagram-diagram panah berikut:

Tentukan apakah kedua fungsi tersebut adalah fungsi satu-ke-satu.

Solusi:

• Fungsi
  $f$ adalah fungsi satu-ke-satu, karena setiap elemen
  $A$ dikatikan ke tepat satu elemen
  $B$.
• Fungsi
  $g$ bukan fungsi satu-ke-satu, karena terdapat dua elemen
  $A$, yaitu 2 dan 3, yang dikatikan ke elemen
  $B$ yang sama, yaitu
  $b$.

Contoh 3.2.2
Misalkan

$f:\mathbb{Z}\mapsto \mathbb{Z}$. Tentukan apakah

$f(x)=x^2+1$ dan

$f(x)=x-1$ merupakan fungsi satu-ke-satu.

Solusi:

• $f(x)=x^2+1$ bukan fungsi satu-ke-satu, karena untuk dua
  $x$ yang bernilai mutlak sama tetapi tandanya berbeda akan mempunyai nilai fungsi yang sama. Sebagai contoh
  $f(2)=(-2)=5$ padahal
  $-2\ne 2$.
• $f(x)=x-1$ adalah fungsi satu-ke-satu, karena untuk
  $a\ne b$, maka
  $a-1\ne b-1$. Misalkan, untuk
  $x=2$, maka
  $f(2)=1$, sedangkan untuk
  $x=-2$, maka
  $f(-2)=-3$.

Fungsi Pada (Onto)

DEFINISI 3.5
Suatu fungsi

$f$ dari himpunan

$A$ ke himpunan

$B$ atau

$f:A\mapsto B$ dikatakan pada (onto) atau surjektif jika setiap elemen

$B$ merupakan bayangan dari satu atau lebih elemen

$A$.

Dengan kata lain, fungsi

$f:A\mapsto B$ adalah fungsi pada jika seluruh elemen

$B$ merupakan jelajah dari

$f$.

Contoh 3.2.3
Fungsi

$f$ yang didefinisikan oleh diagram panah berikut adalah fungsi pada.

Perhatikan pada diagram panah di atas semua elemen dari

$B$ adalah elemen dari jelajah fungsi

$f$. Ini berarti kodomain

$f$ = jelajah

$f$.

Contoh 3.2.4
Relasi

$f$ dan

$g$ dari

$A=\{1,2,3\}$ ke

$B=\{u,v,w\}$ didefinisikan oleh gambar berikut:

Tentukan apakah kedua relasi tersebut adalah fungsi pada.

Solusi:

• Fungsi
  $f$ bukan fungsi pada, karena untuk disebut fungsi pada, semua elemen
  $w$ tidak termasuk jelajah dari
  $f$.
• Fungsi
  $g$ adalah fungsi pada, karena semua anggota
  $B$ merupakan jelajah dari
  $g$.

Contoh 3.2.5
Misalkan

$f:\mathbb{Z}\mapsto \mathbb{Z}$. Tentukan apakah

$f(x)=x^2+1$ dan

$f(x)=x-1$ merupakan fungsi pada.

Solusi:

• $f(x)=x^2+1$ bukan fungsi pada, karena tidak semua bilangan bulat adalah jelajah dari
  $f$.
• $f(x)=x-1$ adalah fungsi pada, karena untuk setiap bilangan bulat
  $y$, selalu ada nilai
  $x$ yang memenuhi, yaitu
  $y=x-1$ akan dipenuhi untuk
  $x=y+1$.

Fungsi Korespondensi Satu-ke-Satu

DEFINISI 3.6
Suatu fungsi

$f$ adalah korespondensi satu-ke-satu atau bijekif, jika fungsi tersebut satu-ke-satu dan pada.

Contoh 3.2.6
Fungsi

$f$ yang didefinisikan oleh diagram panah berikut adalah fungsi korespondensi satu-ke-satu (bijeksi).

Fungsi

$f$ adalah satu-ke-satu karena tidak ada dua nilai dalam domain yang mempunyai bayangan yang sama. Fungsi

$f$ adalah pada karena keempat elemen dalam kodomain kesemuanya adalah bayangan-bayangan dari domain. Sehingga, fungsi

$f$ adalah fungsi bijektif.

Contoh 3.2.7
Fungsi

$f(x)=x-1$ merupakan fungsi korespondensi satu-ke-satu (bijektif), karena

$f$ adalah fungsi satu-satu dan fungsi pada.

Contoh 3.2.8
Perhatikan relasi-relasi berikut:

Tentukan relasi-relasi mana yang merupakan fungsi satu-ke-satu, fungsi pada, atau fungsi korespondensi satu-ke-satu.

Solusi:

• $f_1$ adalah fungsi satu-ke-satu dan bukan fungsi pada.
• $f_2$ adalah fungsi pada dan bukan fungsi satu-ke-satu.
• $f_3$ adalah bukan fungsi satu-ke-satu dan bukan fungsi pada.
• $f_4$ bukan fungsi.

3.3. Fungsi Invers

Invers berarti balikan. Fungsi invers dari suatu fungsi

$f$ adalah fungsi yang pemetaannya merupakan kebalikan dari pemetaan fungsi

$f$.

DEFINISI 3.7
Misalkan

$f$ adalah fungsi satu-ke-satu dan fungsi pada dari himpunan

$A$ ke himpunan

$B$. Fungsi invers dari

$f$ adalah fungsi yang memetakan elemen

$b\in B$ ke elemen unik

$a\in A$ sedemikian sehingga

$f(a)=b$. Fungsi invers dari

$f$ dinotasikan dengan

$f^{-1}$. Sehingga,

$f^{-1}(b)=a$ ketika

$f(a)=b$.

Catatan: Perhatikan bahwa syarat dari suatu fungsi mempunyai fungsi invers adalah fungsi tersebut haruslah fungsi bijektif (satu-ke-satu dan pada).

Gambar 3.3.1 berikut mengilustrasikan konsep dari sebuah fungsi invers.

Gambar 3.3.1. Fungsi f^-1 adalah Fungsi Invers dari Fungsi f.

Fungsi yang berkorespondensi satu-ke-satu sering disebut sebagai fungsi invertible (dapat dibalikkan), karena kita dapat mendefinisikan fungsi inversnya. Sedangkan fungsi dikatakan not invertible (tidak dapat dibalikan) jika fungsi tersebut bukannlah fungsi yang berkorespondensi satu-ke-satu, karena fungsi inversnya tidak ada.

Contoh 3.3.1
Relasi

$f=\{(1,u),(2,w),(3,v)\}$

dari

$A=\{1,2,3\}$ ke

$B=\{u,v,w\}$ adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, maka fungsi

$f$ invertible (dapat dibalikkan). Fungsi invers dari fungsi

$f$ adalah

$f^{-1}=\{(u,1),(w,2),(v,3)\}$

Gambar berikut adalah diagram panah dari

$f$ dan

$f^{-1}$.

Contoh 3.3.2
Tentukan fungsi invers dari fungsi

$f(x)=x-1$.

Solusi:
Fungsi

$f(x)=x-1$ adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu (bijektif), maka terdapat fungsi balikannya.
Misalkan

$f(x)=y$. Maka

$y=x-1$, sehingga

$x=y+1$. Jadi, fungsi invers dari

$f$ adalah

$f^{-1}(y)=y+1$.

Contoh 3.3.3
Tentukan fungsi invers dari fungsi

$f(x)=x^2+1$.

Solusi:
Dari Contoh 3.2.2 dan Contoh 3.2.4 kita sudah mengetahui bahwa

$f(x)=x^2+1$ bukanlah fungsi korespondensi satu-ke-satu, sehingga fungsi ini tidak invertible (tidak mempunyai fungsi invers.)

3.4. Komposisi Fungsi

DEFINISI 3.8
Pandang

$g$ sebagai fungsi dari himpunan

$A$ ke himpunan

$B$ dan pandang

$f$ sebagai fungsi dari himpunan

$B$ ke himpunan

$C$. Komposisi dari fungsi

$f$ dan

$g$, dinotasikan untuk semua

$a\in A$ dengan

$f\circ g$, didefinisikan dengan:

$$(f\circ g)(a)=f(g(a))$$

Catatan: Perhatikan bahwa

$f\circ g$ tidak dapat didefinisikan jika range dari

$g$ bukan subset dari domain

$g$.

Komposisi dari fungsi

$g:A\mapsto B$ dan

$f:B\mapsto C$ diilustrasikan pada Gambar 3.4.1 berikut.

Gambar 3.4.1. Kombinasi dari Fungsi f dan Fungsi g.

Contoh 3.4.1
Diberikan fungsi

$g=\{(1,u),(2,u),(3,v)\}$

yang memetakan

$A=\{1,2,3\}$ ke

$B=\{u,v,w\}$, dan fungsi

$f=\{(u,y),(v,x),(w,z)\}$

yang memetakan

$B=\{u,v,w\}$ ke

$C=\{x,y,z\}$. Cari fungsi komposisi

$f\circ g$.

Solusi:
Fungsi komposisi dari

$A$ ke

$C$ adalah

$f\circ g=\{(1,y),(2,y),(3,x)\}$

Contoh 3.4.2
Misalkan

$g$ adalah fungsi dari himpunan

$\{a,b,c\}$ ke himpunan itu juga sedemikian sehingga

$g(a)=b$,

$g(b)=c$, dan

$g(c)=a$. Lalu, misalkan

$f$ adalah fungsi dari himpunan

$\{a,b,c\}$ ke himpunan

$\{1,2,3\}$ sedemikian sehingga

$f(a)=3$,

$f(b)=2$, dan

$f(c)=1$.

• Apa komposisi dari
  $f$ dan
  $g$ ?
• Apa komposisi dari
  $g$ dan
  $f$ ?

Solusi:

• Komposisi

  $f$ dan
  $g$ didefinisikan dengan:
  $(f\circ g)(a)=f(g(a))=f(b)=2$
  
  $(f\circ g)(b)=f(g(b))=f(c)=1$
  
  $(f\circ g)(c)=f(g(c))=f(a)=3$

• Komposisi

  $g\circ f$ tidak dapat didefinisikan, karena range dari
  $f$ bukanlah subset dari domain
  $g$.

Contoh 3.4.3
Pandang

$f$ dan

$g$ sebagai fungsi dari himpunan bilangan bulat ke himpunan bilangan bulat yang didefinisikan dengan

$f(x)=2x+3$ dan

$g(x)=3x+2$.

• Cari komposisi dari
  $f$ dan
  $g$ !
• Cari juga komposisi dari
  $g$ dan
  $f$ !

Solusi:

• Komposisi dari

  $f$ dan
  $g$:
  $(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(3x+2)=2(3x+2)+3=6x+7$.

• Komposisi dari

  $g$ dan
  $f$:
  $(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(2x+3)=3(2x+3)+2=6x+11$.

Catatan: Perhatikan bahwa meskipun

$f\circ g$ dan

$g\circ f$ dapat didefinisikan,

$f\circ g$ dan

$g\circ f$ tidaklah sama (

$f\circ g\ne g\circ f$ ). Dengan kata lain, hukum komutatif tidak berlaku pada komposisi fungsi.

3.5. Beberapa Fungsi Khusus

Fungsi Floor dan Fungsi Ceiling

Fungsi floor dan fungsi ceiling didefinisikan sebagai berikut:

• Fungsi floor dinotasikan
  $f(x)=\lfloor x\rfloor$ memberikan nilai bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan
  $x$.
• Fungsi ceiling dinotasikan
  $f(x)=\lceil x\rceil$ memberikan nilai bilangan bulat terkecil yang lebih besar ata sama dengan
  $x$.

Dengan kata lain, fungsi floor membulatkan

$x$ ke bawah, sedangkan fungsi ceiling membulatkan

$x$ ke atas.

Gambar 3.5.1. Grafik dari (a) Fungsi Floor dan (b) Fungsi Ceiling.

Contoh 3.5.1
Beberapa contoh nilai floor dan ceiling:

$\lfloor 3.5\rfloor =3$	$\lfloor 0.5\rfloor =0$	$\lfloor 4.8\rfloor =4$	$\lfloor -0.5\rfloor =-1$	$\lfloor -3.5\rfloor =-4$
$\lceil 3.5\rceil =4$	$\lceil 0.5\rceil =1$	$\lceil 4.8\rceil =5$	$\lceil -0.5\rceil =-0$	$\lceil -3.5\rceil =-3$

Contoh 3.5.2
Di dalam komputer, data dikodekan dalam untaian byte, dimana satu byte terdiri atas 8 bit. Jika panjang data adalah 125 bit, maka jumlah byte yang diperlukan untuk merepresentasikan data tersebut adalah

$\lceil \frac{125}{8}\rceil$ = 16 byte.

Perhatikan bahwa 16 x 8 = 128 bit, sehingga untuk byte yang terakhir perlu ditambahkan 3 bit ekstra agar satu byte tetap 8 bit. (bit ekstra yang ditambahkan untuk menggenapi 8 bit disebut padding bit.)

Fungsi Modulo

Fungsi modulo adalah fungsi yang memetakan suatu nilai dengan nilai hasil operasi modulo dari nilai tersebut dengan sebuah bilangan bulat positif. Misalkan

$a$ adalah sembarang bilangan bulat dan

$m$ adalah bilangan bulat positif, maka operasi modulo dinotasikan dengan:

$a\text{mod}m$

memberikan sisa pembagian bilangan bulat dari operasi pembagian

$a$ dengan

$m$.

Contoh 3.5.3
Beberapa contoh operasi modulo:

$25\text{mod}7=4$

$15\text{mod}4=3$

$3612\text{mod}45=12$

$0\text{mod}5=0$

$-25\text{mod}7=3$ ( sebab

$-25=7.(-4)+3$ )

Contoh 3.5.4
Misal

$A=\{0,1,2,3,4\}$ dan didefinisikan fungsi

$f:A\mapsto A$ sebagai

$f(a)=(a+4{)}^2(\text{mod}5)$

Cari himpunan jelajah

$f$.

Solusi:

$f(0)=4^2(\text{mod}5)=16(\text{mod}5)=1$

$f(1)=5^2(\text{mod}5)=25(\text{mod}5)=0$

$f(2)=6^2(\text{mod}5)=36(\text{mod}5)=1$

$f(3)=7^2(\text{mod}5)=49(\text{mod}5)=4$

$f(4)=8^2(\text{mod}5)=64(\text{mod}5)=4$

Himpunan jelajah dari

$f$ =

$\{0,1,4\}$.

Fungsi Faktorial

Nilai faktorial dari suatu bilangan bulat positif

$n$, yang dinotasikan oleh

$n!$ adalah hasil kali semua bilangan bulat positif dari

$1$ sampai dengan

$n$, secara notasi matematika:

$$n!=\{\begin{array}{ll}1,& n=0\\ 1\times 2\times 3\times ...\times (n-1)\times n,& n>0\end{array}$$

Fungsi faktorial

$f:\mathbb{N}\mapsto {\mathbb{Z}}^{+}$ didefinisikan dengan

$f(n)=n!=1\times 2\times 3\times ...\times (n-1)\times n$ (dan

$f(0)=0!=1)$.

Contoh 3.5.5
Beberapa nilai-nilai fungsi faktorial:

$f(1)=1!=1$.

$f(2)=2!=1.2=2$.

$f(6)=6!=1.2.3.4.5.6=720$.

Daftar Pustaka

1. Rinaldi Munir. 2016. Matematika Diskrit. Bandung, Indonesia. Informatika Bandung.
2. Kenneth H. Rosen. 2012. Discrete Mathematics and Its Applications (Seventh Edition). Amerika Serikat. McGraw-Hill.
3. Susanna S. Epp. 2018. Discrete Mathematics with Applications (Fifth Edition). Amerika Serikat. Cengage.
4. D. Suryadi H.S. 1993. Aljabar Logika & Himpunan. Indonesia. Penerbit Gunadarma.