Bab 1P. Himpunan dengan Python

1. Menuliskan Himpunan

Cara pertama untuk mendefinisikan himpunan dalam Python adalah dengan menuliskan elemen-elemen himpunan dalam tanda kurung kurawal dan memisahkan setiap elemen dengan tanda koma. Sebagai contoh, untuk menuliskan himpunan:

$$A=\{1,2,3,4,5\}$$
pada kode Python, kita menuliskan:

A = {1, 2, 3, 4, 5}

Cara kedua untuk menuliskan himpunan dalam Python adalah dengan menggunakan fungsi set. Himpunan

$A$ di atas dalam kode Python dapat didefinisikan sebagai berikut:

A = set([1, 2, 3, 4, 5])

1.1 Keanggotaan Himpunan

Untuk mengetahui keanggotaan suatu himpunan kita dapat membentuk sebuah ekspresi menggunakan operator in. Sebagai contoh, misalkan kita ingin mengetahui apakah 8 adalah anggota himpunan

$A$, atau

$8\in A$ kita menuliskan:

8 in A

Ekspresi di atas akan menghasilkan nilai Boolean False, karena 8 bukanlah elemen dari himpunan

$A$.

Contoh 1. Mengetahui Keanggotaan Himpunan Menggunakan Python.
Kode Python berikut memeriksa apakah 5 dan 0 adalah elemen dari himpunan

$A=\{-2,0,1,4\}$.

A = {-2, 0, 1, 4}
print(5 in A)
print(0 in A)

Karena

$5\notin A$ dan

$0\in A$, maka kode di atas akan memberikan output:

False
True

Contoh 2. Menampilkan Semua Elemen-elemen dalam Sebuah Himpunan.

Kode berikut menampilkan semua elemen-elemen dalam himpunan

$A=\{-2,0,1,4\}$.

A = {-2, 0, 1, 4}
for x in A:
    print(x, "adalah elemen dari himpunan.")

Output dari kode di atas:

0 adalah elemen dari himpunan.
1 adalah elemen dari himpunan.
4 adalah elemen dari himpunan.
-2 adalah elemen dari himpunan.

1.2 Menuliskan Himpunan dengan Notasi Pembentuk Himpunan

Python juga mendukung pendefinisian himpunan menggunakan notasi set-builder.

Contoh 3. Menuliskan Notasi Set Builder dalam Python.
Kode berikut mendefinisikan himpunan

$B=\{x^2|x\in \{1,2,3,4,5\}\}$ menggunakan set-builder dan menampilkan semua elemen dari himpunan tersebut.

B = {x**2 for x in {1, 2, 3, 4, 5}}
for y in B:
    print(y, "adalah elemen dari himpunan.")

Output dari kode di atas;

1 adalah elemen dari himpunan.
4 adalah elemen dari himpunan.
9 adalah elemen dari himpunan.
16 adalah elemen dari himpunan.
25 adalah elemen dari himpunan.

1.3 Kardinalitas

Kardinalitas dari sebuah himpunan dapat dicari dengan menggunakan fungsi built-in len(). Misalkan, untuk mencari kardinalitas dari himpunan A, kita menuliskan len(A).

Contoh 4. Kardinalitas dari Himpunan
Kardinalitas dari himpunan

$A=\{1,2,3,4\}$ dan himpunan

$B=\{x^2|x\in \{1,2,3,4,5\}\}$ dapat dicari menggunakan kode Python berikut:

A = {1, 2, 3, 4}
B = {x**2 for x in {1, 2, 3, 4, 5}}
# Untuk mencari kardinalitas gunakan fungsi len()
print('|A|=', len(A))
print('|B|=', len(B))

Output dari kode di atas;

|A|= 4
|B|= 5

1.4 Subset

Untuk mengetahui apakah suatu himpunan adalah subset dari himpunan lain kita dapat menggunakan method issubset(). Misalkan untuk mengetahui apakah himpunan A adalah subset dari himpunan b, kita menuliskan A.issubset(B). Ekspresi ini akan mengembalikan true jika A adalah subset dari B dan mengembalikan false jika sebaliknya.

Contoh 5. Subset
Kode berikut memeriksa:

• $A=\{1,2,3,4,5\}$ dan
  $B=\{1,2,3\}$. Apakah
  $A\subseteq B$ ? Apakah
  $B\subseteq C$ ?
• $C=\{a,b,c,d,e,f,g\}$ dan
  $D=\{a,b,c\}$. Apakah
  $C\subseteq D$ ? Apakah
  $D\subseteq C$ ?

A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {1, 2, 3}
C = {'a', 'b', 'c', 'd', 'e'}
D = {'a', 'b', 'c'}

# Apakah A subset B?
print('A subset B:', A.issubset(B))
# Apakah B subset A?
print('B subset A:', B.issubset(A))
# Apakah C subset D?
print('C subset D:', C.issubset(D))
# Apakah D subset C?
print('D subset C:', D.issubset(C))

Output dari kode di atas;

A subset B: False
B subset A: True
C subset D: False
D subset C: True

1.5 Operasi Himpunan

Gabungan (Union)

Kita dapat menuliskan operasi union dalam Python dengan dua cara. Misalkan, operasi

$A\cup B$, dapat dituliskan dengan dua cara berikut:

A.union(B)

atau

A | B

Contoh 6. Operasi Union.
Kode berikut mencontohkan operasi union pada himpunan

$A$ dan

$B$:

A = {-3, -1, 2, 5}
B = {-1, 0, 2}

print(A.union(B))
print(A | B)

Kode di atas akan memberikan output:

{0, 2, 5, -3, -1}
{0, 2, 5, -3, -1}

Irisan (Intersection)

Intersection dari himpunan

$A$ dan

$B$ dinotasikan dengan

$A\cap B$ dalam Python dituliskan dengan dua cara:

A.intersection(B)

atau

A & B

Contoh 7. Operasi Irisan.
Kode berikut mencontohkan operasi irisan pada himpunan

$A$ dan

$B$:

A = {-3, -1, 2, 5}
B = {-1, 0, 2}

print(A.intersection(B))
print(A & B)

Kode di atas akan memberikan output:

{2, -1}
{2, -1}

Selisih

Selisih dari himpunan

$A$ dan

$B$, dinotasikan dengan

$A-B$ dalam Python dituliskan dengan dua cara:

A.difference(B)

atau

A - B

Contoh 8. Operasi Selisih.
Kode berikut mencontohkan operasi selisih pada himpunan

$A$ dan

$B$:

A = {-3, -1, 2, 5}
B = {-1, 0, 2}

print(A.difference(B))
print(B - A)

Kode di atas akan memberikan output:

{-3, 5}
{0}

Komplemen

Komplemen dari suatu himpunan dalam Python dapat dicari dengan mencari selisih himpunan semesta dengan himpunan tersebut.

Contoh 9. Operasi Komplemen.
Misalkan

$S=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ dan

$A=\{1,3,7,9\}$, kode berikut mencari

$A^c$:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
A = {1, 3, 7, 9}
print(S - A)

Output dari kode di atas:

{2, 4, 5, 6, 8}

Perkalian Kartesian

Tidak ada fungsi built-in dalam Python untuk perkalian kartesian. Untuk mencari perkalian kartesian dari dua himpunan kita dapat menulis fungsi Python berikut:

def kali_kartesian(A, B):
    # Inisialisasi himpunan kosong untuk menaruh hasil perkalian kartesian
    product = set()
    for a in A:
        for b in B:
            product.add((a, b))
    return product

Berikut adalah kode yang mencontohkan operasi perkalian kartesian.

Contoh 10. Operasi Komplemen.
Misal

$C=\{1,2,3\}$ dan

$D=\{a,b\}$. Cari

$C\times D$,

$D\times C$,

$C\times C$, dan

$D\times D$.

def kali_kartesian(A, B):
    # Inisialisasi himpunan kosong untuk menaruh hasil perkalian kartesian
    product = set()
    for a in A:
        for b in B:
            product.add((a, b))
    return product


def main():
    C = {1, 2, 3}
    D = {'a', 'b'}
    C_x_D = kali_kartesian(C, D)
    print('C x D =', C_x_D)
    D_x_C = kali_kartesian(D, C)
    print('D x C =', D_x_C)
    C_x_C = kali_kartesian(C, C)
    print('C x C =', C_x_C)
    D_x_D = kali_kartesian(D, D)
    print('D x D =', D_x_D)
main()
            

Output dari kode di atas:

C x D = {(2, 'a'), (3, 'a'), (1, 'a'), (2, 'b'), (3, 'b'), (1, 'b')}
D x C = {('a', 1), ('b', 1), ('a', 3), ('b', 3), ('a', 2), ('b', 2)}
C x C = {(1, 2), (2, 1), (3, 1), (1, 1), (2, 3), (3, 3), (2, 2), (3, 2), (1, 3)}
D x D = {('a', 'b'), ('b', 'b'), ('a', 'a'), ('b', 'a')}

1.6 Diagram Venn

Untuk menggambar diagram Venn dalam Python, kita membutuhkan dua module: matplotlib dan matplotlib-venn. Module matplotlib adalah module untuk menggambar grafik sedangkan module matplotlib-venn adalah module untuk menggambar diagram Venn.

Instalasi kedua module dengan menjalankan perintah berikut pada command prompt:

pip install matplotlib matplotlib-venn

Catatan.
Jika perintah tersebut gagal dieksekusi, periksa apakah pip terinstall di komputer Anda. Jika tidak, lakukan instalasi pip.

Pada module matplotlib kita membutuhkan fungsi pyplot yang digunakan untuk menggambar grafik dan pada module matplotlib-venn kita membutuhkan fungsi venn2 untuk menggambar diagram Venn dari dua himpunan dan fungsi venn3 untuk menggambar diagram Venn dari tiga himpunan.

Kode berikut mencontohkan menggambar diagram Venn dari dua himpunan.

from matplotlib import pyplot as plt
from matplotlib_venn import venn2

Basket = {'Andi', 'Eko', 'Anto', 'Zara'}
Voli = {'Julia','Kirana','Deby','Anto'}

plt.figure(1)
venn2([Basket,Voli],set_labels=('Basket','Voli'))
plt.show()

Penjelasan kode di atas;

• Baris 1 mengimport fungsi pyplot yang berada dalam module matplotlib dan menamakan ulang fungsi tersebut sebagai plt.
• Baris 2 mengimport fungsi venn2 dari module matplotlib_venn
• Baris 4 dan 5 berisi inisialisasi variabel berupa dua himpunan (tipe struktur data set)
• Baris 7 membuat diagram venn pada window gambar 1.
• Baris 8 berisi inisialisasi venn diagram dengan memasukkan variabel pada baris 4 dan 5 serta memberikan label pada tiap himpunan
• Baris 9 menampilkan window gambar yang telah berisi diagram Venn.

Kode di atas menghasilkan output sebuah window dengan gambar diagram Venn dari himpunan Basket dan Voli seperti terlihat pada gambar berikut:

Perhatikan angka di dalam lingkaran. Angka tersebut bukanlah anggota dari himpunan dalam wilayah namun banyaknya anggota yang berada dalam wilayah.

Contoh 11. Diagram Venn
Kode berikut:

from matplotlib_venn import venn3,venn2 
from matplotlib import pyplot as plt 

A = {2, 3, 5, 7, 9} 
B = {0, 1, 2, 4, 5, 6} 
C = {1, 14, 4} 

plt.figure(1) 
venn3([A,B,C],set_labels=('A','B','C')) 

plt.figure(2) 
venn2([A,B],set_labels=('A','B')) 

plt.figure(3) 
venn2([A,C],set_labels=('A','C')) 

plt.show() 

Output kode di atas adalah tiga window yang berisi gambar seperti berikut: