Try   HackMD

Bab 2P. Relasi dengan Python

2.1 Membuat Relasi pada Python

Untuk mendefinisikan sebuah relasi dalam Python adalah dengan menuliskannya dalam bentuk enumerasi. Misalkan, untuk mendefinisikan relasi

R={(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)}, kita menuliskan:

R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3)}

Kita juga dapat menuliskan relasi dalam Python dengan menuliskan syarat relasi menggunakan comprehension. Misalkan kita ingin membuat relasi pada himpunan

A={1,2,3,4} dimana relasi yang akan dibentuk
(a,b) jika
b habis dibagi
a, untuk
a,b∈A. Kita menuliskan dalam Python seperti berikut:

A = {1, 2, 3, 4}
R = {(a, b) for a in A for b in A if b%a == 0}

Contoh 1. Menuliskan Relasi
Misalkan

A={1,2,3,4}. Tuliskan relasi-relasi pada
A berikut dan cetak relasi tersebut:

  • R1={(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)}
  • R2={(a,b) | a habis membagi b}
A = {1, 2, 3, 4}
R1 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3)} 
R2 = {(a, b) for a in A for b in A if b%a == 0}
print('R1 =', R1)
print('R2 =', R2)

Output dari kode di atas:

R1 = {(2, 3), (1, 2), (3, 3), (2, 2), (1, 1), (1, 3)}
R2 = {(4, 4), (2, 4), (1, 2), (1, 1), (1, 4), (3, 3), (2, 2), (1, 3)}

2.2 Fungsi-fungsi yang Memeriksa Sifat-sifat Relasi

Refleksif

Fungsi yang memeriksa sifat refleksif dari sebuah relasi dapat dituliskan dalam kode Python seperti berikut:

def is_reflexive(R, A):
    """Mengembalikan True jika relasi R pada himpunan A adalah reflektif, 
    False sebaliknya."""
    for a in A:
        if (a, a) not in R:
            return False
    return True

Fungsi is_reflexive di atas menerima dua argumen: argumen pertama R adalah relasi yang ingin diperiksa sifat refleksifnya dan argumen kedua A adalah himpunan dimana relasi R didefinisikan. Fungsi is_reflexive mengembalikan True jika relasi R pada argumen pertamanya bersifat refleksif dan mengembalikan False jika sebaliknya.

Simetris

Fungsi yang memeriksa sifat simetris dari sebuah relasi dapat dituliskan dalam kode Python seperti berikut:

def is_symmetric(R, A):
    """Mengembalikan True jika relasi R pada himpunan A adalah simetris, 
    False sebaliknya."""
    for a, b in R:
        if (b, a) not in R:
            return False
    return True

Fungsi is_symmetric di atas menerima dua argumen: argumen pertama R adalah relasi yang ingin diperiksa sifat simetrisnya dan argumen kedua A adalah himpunan dimana relasi R didefinisikan. Fungsi is_symmetric mengembalikan True jika relasi R pada argumen pertamanya bersifat simetris dan mengembalikan False jika sebaliknya.

Antisimetris

Fungsi yang memeriksa sifat antisimetris dari sebuah relasi dapat dituliskan dalam kode Python seperti berikut:

def is_antisymmetric(R, A):
    """Mengembalikan True jika relasi R pada himpunan A adalah antisimetris,
    False sebaliknya."""
    for a, b in R:
        if (a, b) in R and (b, a) in R and a != b:
            return False
    return True

Fungsi is_antisymmetric di atas menerima dua argumen: argumen pertama R adalah relasi yang ingin diperiksa sifat antisimetrisnya dan argumen kedua A adalah himpunan dimana relasi R didefinisikan. Fungsi is_antisymmetric mengembalikan True jika relasi R pada argumen pertamanya bersifat antisimetris dan mengembalikan False jika sebaliknya.

Transitif

Fungsi yang memeriksa sifat transitif dari sebuah relasi dapat dituliskan dalam kode Python seperti berikut:

def is_transitive(R, A):
    """Mengembalikan True jika relasi R pada himpunan A adalah transitif, 
    False sebaliknya."""
    for a in A:
        for b in A:
            if (a, b) in R:
                for c in A:
                    if (b, c) in R and (a, c) not in R:
                        return False
    return True

Fungsi is_transitive di atas menerima dua argumen: argumen pertama R adalah relasi yang ingin diperiksa sifat transitifnya dan argumen kedua A adalah himpunan dimana relasi R didefinisikan. Fungsi is_transitive mengembalikan True jika relasi R pada argumen pertamanya bersifat transitif dan mengembalikan False jika sebaliknya.

2.3 Memeriksa Sifat-sifat Relasi

Kita dapat menyimpan fungsi-fungsi yang kita tuliskan pada bagian sebelumnya ke sebuah module sehingga kita dapat menggunakannya dalam kode-kode Python lain. Ikuti langkah-langkah berikut untuk menyimpan fungsi-fungsi sifat relasi pada sebuah module:

  1. Pertama buka jendela IDLE Python 3.10, lalu klik File > New File

    Image Not Showing Possible Reasons
    • The image file may be corrupted
    • The server hosting the image is unavailable
    • The image path is incorrect
    • The image format is not supported
    Learn More →

    Sebuah window Modus Script akan muncul.

    Image Not Showing Possible Reasons
    • The image file may be corrupted
    • The server hosting the image is unavailable
    • The image path is incorrect
    • The image format is not supported
    Learn More →

  2. Pada window Modus Script ketikan program di bawah ini dan simpan dengan nama sifat_relasi.py

"""
Sifat-sifat Relasi
"""

def is_reflexive(R, A):
    """Mengembalikan True jika relasi R pada himpunan A adalah reflektif, 
    False sebaliknya."""
    for a in A:
        if (a, a) not in R:
            return False
    return True

def is_symmetric(R, A):
    """Mengembalikan True jika relasi R pada himpunan A adalah simetris, 
    False sebaliknya."""
    for a, b in R:
        if (b, a) not in R:
            return False
    return True

def is_antisymmetric(R, A):
    """Mengembalikan True jika relasi R pada himpunan A adalah antisimetris,
    False sebaliknya."""
    for a, b in R:
        if (a, b) in R and (b, a) in R and a != b:
            return False
    return True
    
def is_transitive(R, A):
    """Mengembalikan True jika relasi R pada himpunan A adalah transitif, 
    False sebaliknya."""
    for a in A:
        for b in A:
            if (a, b) in R:
                for c in A:
                    if (b, c) in R and (a, c) not in R:
                        return False
    return True


Untuk menggunakan module sifat_relasi.py yang telah kita buat di atas, kita harus mengimpornya dalam kode kita. Kode yang menggunakan module sifat_relasi.py berada di dalam direktori/folder yang sama tempat kita menyimpan module tersebut.

Contoh 2. Memeriksa Sifat Relasi 1
Misalkan

A={1,2,3,4}. Tentukan apakah relasi-relasi berikut bersifat refleksif, simetris, antisimetris, dan transitif.

  • R1={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,4),(4,1),(4,4)}
  • R2={(1,1),(1,2),(2,1)}
  • R3={(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(3,3),(4,1),(4,4)}
  • R4={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3)}
  • R5={(3,4)}

Kode Python yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan di atas:

#import module sifat relasi
import sifat_relasi

# Buat himpunan A
A = set([1, 2, 3, 4])

# Buat relasi-relasi
R1 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 4)}
R2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1)}
R3 = {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 4)}
R4 = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}
R5 = {(3, 4)}

# Periksa sifat-sifat dari kelima relasi menggunakan loop for
for R in [R1, R2, R3, R4, R5]:
    print('R =', R)
    print("refleksif: ", sifat_relasi.is_reflexive(R, A))
    print("simetris: ", sifat_relasi.is_symmetric(R, A))
    print("antisimetris: ", sifat_relasi.is_antisymmetric(R, A))
    print("transitif:", sifat_relasi.is_transitive(R, A))
    print()

Output dari kode di atas:

R = {(4, 4), (1, 2), (2, 1), (3, 4), (2, 2), (1, 1), (4, 1)}
refleksif:  False
simetris:  False
antisimetris:  False
transitif: False

R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1)}
refleksif:  False
simetris:  True
antisimetris:  False
transitif: False

R = {(4, 4), (1, 2), (2, 1), (1, 1), (1, 4), (3, 3), (2, 2), (4, 1)}
refleksif:  True
simetris:  True
antisimetris:  False
transitif: False

R = {(2, 1), (4, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2)}
refleksif:  False
simetris:  False
antisimetris:  True
transitif: True

R = {(3, 4)}
refleksif:  False
simetris:  False
antisimetris:  True
transitif: True

2.4 Mengkombinasikan Relasi

Contoh 3. Mengkombinasikan Relasi

Misalkan

A={1,2,3} dan
B={1,2,3,4} dan relasi
R1={(1,1),(2,2),(3,3)} dan
R2={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4)} adalah relasi-relasi dari
A ke
B. Tentukan,

R1∪R2,
R1∩R2,
R1−R2,
R2−R1.

Kode Python untuk menyelesaikan persoalan di atas:

# Kombinasi Relasi
R1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}
R2 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4)}

R1_u_R2 = R1.union(R2)
R1_n_R2 = R1.intersection(R2)
R1_min_R2 = R1 - R2
R2_min_R1 = R2 - R1

print('R1 u R2 =', R1_u_R2)
print('R1 n R2 =', R1_n_R2)
print('R1 - R2 =', R1_min_R2)
print('R2 - R1 =', R2_min_R1)

Output dari kode di atas:

R1 u R2 = {(3, 3), (1, 2), (2, 2), (1, 1), (1, 3), (1, 4)}
R1 n R2 = {(1, 1)}
R1 - R2 = {(3, 3), (2, 2)}
R2 - R1 = {(1, 2), (1, 3), (1, 4)}

2.5 Relasi Invers

Relasi invers dari relasi

R dapat dicari dengan:

R_invers = {(b, a) for (a, b) in R}

Contoh 4. Relasi Invers

Misalkan

A={1,2,3},
B={a,b}, dan
R adalah relasi dari
A ke
B yang didefinisikan dengan
R={(1,a),(1,b),(3,a)}. Cari relasi invers dari
R.

Kode Python untuk menyelesaikan persoalan di atas:

R = {(1, 'a'), (1, 'b'), (3, 'a')}
R_invers = {(b, a) for (a, b) in R}
print(R_invers)

Output dari kode di atas:

{('a', 3), ('b', 1), ('a', 1)}
Last changed by 
 
Matematika Informatika
0
207

Read more

Bab 5P. Aljabar Boolean

Aljabar Boolean Python mempunyai tipe data Boolean pada Python yaitu tipe data bool yang hanya bernilai True dan False. Jika nilai-nilai Boolean ini dikonversi ke integer menggunakan fungsi built-in int(), nilai False bernilai 0 dan nilai True bernilai 1. >>> int(False) 0 >>> int(True) 1 Sebaliknya, jika kita mengonversi nilai integer ke nilai Boolean menggunakan fungsi built-in bool, nilai 0 akan dikonversi menjadi False dan nilai selain 0 akan dikonversi menjadi True. >>> bool(0)

Dec 21, 2022
Bab 5. Aljabar Boolean

5.1. Aljabar Boolean Sirkuit elektronik dalam kopmuter dan devais elektronik lainnya mempunyai input-input, yang masing-masing 0 atau 1, dan menghasilkan output yang juga 0 atau 1. Pada tahun 1938, Claude Shannon menunjukkan bagaimanan aturan-aturan dasar logika, yang pertama kali dikemukakan oleh George Boole di 1854 pada bukunya The Laws of Thoughts, dapat digunakan untuk mendesain sirkuit elektronik. Aturan-aturan ini membentuk dasar dari aljabar Boolean. Aljabar Boolean adalah aljabar yang digunakan untuk bekerja dengan variabel biner dan operasi logika. Aljabar Boolean didefinisikan sebagai struktur matematika yang terdiri dari himpunan $B = {0, 1}$, dua operator biner $+$ dan $\cdot$, dan satu operator uner $'$, yang memenuhi postulat-postulat Huntington berikut untuk $a, b, c \in B$ : Hukum Closure (Ketertutupan): $\text{(1a)} \quad a + b \in B \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \text{(1b)} \quad a \cdot b \in B$ Hukum Identitas: $\text{(2a)} \quad a + 0 = a \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \text{(2b)} \quad a \cdot 1 = a$ Hukum Komutatif:

Dec 20, 2022
Python

Sumber utama: https://ggc-discrete-math.github.io/functions.html#_injective_surjective_bijective_and_inverse_functions 1. Himpunan 1.1 Mendefinisikan Himpunan Untuk mendefinisikan himpunan dalam Python, kita menuliskan elemen-elemen himpunan dalam tanda kurung kurawal dan memisahkan setiap elemen dengan tanda koma. Sebagai contoh, untuk menuliskan himpunan: $$ A = {1, 2, 3, 4, 5} $$ pada kode Python, kita menuliskan: A = {1, 2, 3, 4, 5}

Dec 19, 2022
Soal Bab 5.

5.1 1. (Rosen 12.1 #1 p. 818) Cloze Question Cari nilai dari ekspresi Boolean berikut: a. 1.0' = {1:SA:=1} b.

Dec 11, 2022
Read more from Matematika Informatika
Published on HackMD