<style>
img[src*='#center'] {
display: block;
margin: auto;
}
</style>
$$\require{cancel}$$
# Bab 2. Relasi
**Daftar Isi**
- [ ] 2.1 Relasi
- [ ] 2.2 Representasi Relasi
- [ ] 2.3 Sifat-sifat Relasi
- [ ] 2.4 Relasi Invers
- [ ] 2.5 Mengkombinasikan Relasi
- [ ] 2.6 Komposisi Relasi
---
## 2.1 Relasi
Relasi biner antara dua himpunan adalah sebuah himpunan yang terdiri dari pasangan terurut yang dibentuk dari dua anggota himpunan terkait.
:::success
**DEFINISI 2.1**
Relasi biner $R$ dari himpunan hingga $A$ ke himpunan hingga $B$ adalah himpunan bagian (subset) dari $A \times B$ atau dalam notasi $R \subseteq A \times B$.
:::
Dengan kata lain relasi biner $R$ dari $A$ ke $B$ adalah sebuah himpunan yang anggota-anggotanya adalah pasangan terurut dimana elemen pertama dari setiap pasangan terurut tersebut didapatkan dari anggota $A$ dan elemen keduanya didapatkan dari anggota $B$.
Kita menggunakan notasi $a\ R \ b$ untuk menuliskan $(a, b) \in R$ yang artinya $a$ dihubungkan ke $b$ oleh $R$. Notasi $a\cancel{R} \ b$ digunakan untuk menuliskan $(a, b) \not\in R$ yang artinya $a$ tidak dihubungkan ke $b$ oleh $R$.
Relasi biner sering disebut hanya sebagai relasi saja. Selanjutnya kita akan menggunakan kata relasi untuk merujuk relasi biner.
:::info
***Contoh 2.1.1***
Misalkan $A$ adalah himpunan dari mahasiswa-mahasiswa dalam sebuah kelas jurusan Teknik Informatika yang terdiri dari Amir, Budi, dan Cecep. Lalu, misalkan $B$ adalah himpunan dari mata-mata kuliah yang terdiri dari IT101, IT201, IT221, dan IT231.
Maka, $A=\{\text{Amir}, \text{Budi}, \text{Cecep}\}$ dan $B=\{\text{CS101}, \text{IT201}, \text{IT221}, \text{IT231}\}$. Dan,
$$
\begin{aligned}
A \times B = &\ \{(\text{Amir}, \text{TI101}),(\text{Amir}, \text{TI101}),(\text{Amir}, \text{TI101}),(\text{Amir}, \text{TI101}),\\
\end{aligned}
$$
Misalkan π adalah relasi yang menyatakan mata kuliah yang diambil oleh mahasiswa, yaitu:
$R=\{(\text{Amir},\text{IT201}), (\text{Amir},\text{IT231}), (\text{Budi},\text{IT101}), (\text{Budi}, \text{IT201}), (\text{Cecep}, \text{IT231})\}$.
Dapat dilihat:
- $R \subseteq A \times B$ yang berarti $R$ adalah relasi dari $A$ ke $B$.
- $(\text{Amir}, \text{IT201}) \in R$ atau $\text{Amir } R \text{ IT201}$.
- $(\text{Amir}, \text{IT221})\not \in R$ atau $\text{Amir} \cancel{R} \text{ IT221}$.
:::
:::info
***Contoh 2.1.2***
Misalkan $A = \{0, 1, 2\}$ dan $B = \{a, b\}$, maka himpunan $\{(0, a), (0, b), (1, a), (2, b)\}$ adalah sebuah relasi dari $A$ ke $B$. Dan jika kita menamakan relasi tersebut dengan $R$, maka $0\ R \ a$ tetapi $1 \cancel{R} \ b$.
:::
:::info
***Contoh 2.1.3***
Misalkan $A = \{a, b, c\}$ dan $B = \{1, 2, 3\}$. Tentukan apakah himpunan-himpunan berikut adalah sebuah relasi dari $A$ ke $B$ :
- Apakah $R = \{(a, 1), (b, 2), (c, 2)\}$ adalah relasi dari $A$ ke $B$ ?
- Apakah $Q = \{(1,a), (2, b)\}$ adalah relasi dari $A$ ke $B$ ?
***Solusi:***
- **Ya**, karena elemen pertama dari semua pasangan terurut anggota $R$ adalah anggota $A$ dan elemen keduanya adalah anggota $B$.
- **Bukan**, karena elemen pertama dari semua pasangan terurut anggota $R$ adalah anggota $B$ dan elemen keduanya adalah anggota $A$. $Q$ adalah relasi dari $B$ ke $A$.
:::
:::info
***Contoh 2.1.4***
Misal $P=\{2, 3, 4\}$ dan $π=\{2, 4, 8, 9, 15\}$. Jika sebuah relasi $R$ dari $P$ ke $Q$ dengan $(p, q)$ jika $p$ habis membagi $q$. Tentukan anggota-anggota relasi $R$.
***Solusi:***
Karena,
- $2 \in P$ habis membagi $2 \in Q$, $4 \in Q$, dan $8 \in Q$, maka $(2, 2)$, $(2, 4)$, dan $(2, 8)$ adalah elemen $R$.
- $3 \in P$ habis membagi $9 \in Q$ dan $15 \in Q$, maka $(3, 9)$ dan $(3, 15)$ adalah elemen $R$.
- $4 \in P$ habis membagi $4 \in Q$ dan $8 \in Q$ maka $(4, 4)$ dan $(4, 8)$ adalah elemen $R$.
Maka, $R = \{(2, 2), (2, 4), (2, 8), (3, 9), (3, 15), (4, 4), (4, 8)\}$.
:::
Relasi dapat direpresentasikan dalam diagram panah.
:::info
***Contoh 2.1.5***
Relasi $R=\{(0, a), (0, b), (1, a), (2, b)\}$ dari $A = \{0, 1, 2\}$ ke $B = \{a, b\}$ dapat direpresentasikan dengan diagram panah berikut:
<br>
<br>
:::
Selain direpresentasikan dalam diagram panah, relasi juga dapat direpresentasikan dalam tabel.
:::info
***Contoh 2.1.6***
Relasi $R=\{(0, a), (0, b), (1, a), (2, b)\}$ dari $A = \{0, 1, 2\}$ ke $B = \{a, b\}$ dapat direpresentasikan dengan sebuah tabel berikut:
| $A$ | $B$ |
| --- | --- |
| $0$ | $a$ |
| $0$ | $b$ |
| $1$ | $a$ |
| $2$ | $b$ |
Kolom pertama pada tabel di atas adalah elemen pertama dari pasangan terurut relasi $R$ dan kolom kedua adalah elemen kedua dari pasangan terurut relasi $R$.
:::
### Relasi pada Sebuah Himpunan
Relasi juga dapat didefinisikan dari suatu himpunan ke himpunan itu sendiri juga.
:::success
**DEFINISI 2.2**
Relasi pada sebuah himpunan $A$ adalah relasi dari $A$ ke $A$.
:::
Dengan kata lain, sebuah relasi pada himpunan $A$ adalah subset dari $A \times A$.
:::info
***Contoh 2.1.7***
Misalkan $R$ adalah sebuah relasi pada $A = \{2, 3, 4, 8, 9\}$ yang didefinisikan dengan $R = \{(x, y)\ | \ x \text{ adalah faktor prima dari } y\}$. Jabarkan pasangan-pasangan anggota terurut dari $R$.
***Solusi:***
Karena,
- 2 adalah faktor prima dari 2, 4, dan 8, maka $(2, 2), (2, 4), (2, 8) \in R$.
- 3 adalah faktor prima dari 3 dan 9, maka $(3, 3), (3, 9) \in R$.
Sehingga, $R = \{(2, 2), (2, 4), (2, 8), (3, 3), (3, 9)\}$.
:::
:::info
***Contoh 2.1.8***
Misalkan $A = \{1, 2, 3, 4\}$ dan $R$ adalah sebuah relasi pada $A$ yang didefinisikan dengan $R = \{(a, b) \ | \ a \ \text{habis membagi} \ b\}$. Jabarkan pasangan-pasangan terurut anggota dari $R$.
***Solusi:***
Karena $(a, b)$ di dalam $R$ jika dan hanya jika $a$ membagi $b$, maka
$\qquad R =\{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 4)\}$.
Relasi $R$ direpresentasikan dalam diagram panah berikut:
<br>
<br>
:::
## 2.2 Representasi Relasi
Kita telah melihat bahwa relasi dapat direpresentasikan dalam diagram panah dan juga tabel.
:::info
***Contoh 2.2.1***
- Relasi pad Contoh 2.1.1 direpresentgasikan dalam diagram panah dan tabel seperti berikut:
- Relasi pada Contoh 2.1.5 digambarkan dalam diagram panah dan tabel seperti berikut:
- Relasi pada Contoh 2.1.8 digambarkan dalam diagram panah dan tabel seperti berikut:
:::
Terdapat dua cara lain untuk menrepresentasikan relasi yaitu dengan matriks dan graf berarah (*directed graph*).
### Representasi Relasi Menggunakan Matriks
Relasi antara dua himpunan hingga dapat disajikan menggunakan matriks yang elemen-elemennya bernilai 1 atau 0. Misalkan $R$ adalah relasi dari $A = \{a_1, a_2, ..., a_m\}$ ke $B = \{b_1, b_2, ..., b_n\}$, maka relasi $R$ dapat direpresentasikan oleh sebuah matriks $M_R = [m_{ij}]$, yaitu
dimana
$$
m_{ij} = \begin{cases}
0, & \text{jika $(a_i, b_j) \in R$} \\
1, & \text{jika $(a_i, b_j) \not\in R$}
\end{cases}
$$
:::info
***Contoh 2.2.2***
Misalkan $A = \{1, 2, 3\}$, $B = \{1, 2\}$, dan $R$ adalah relasi dari $A$ ke $B$ yang beranggotakan $(a, b)$ untuk $a \in A$, $b \in B$, dan $a > b$. Cari matriks representasi dari $R$ !
**Solusi:**
Karena $R = \{(2, 1), (3, 1), (3, 2)\}$, maka matriks untuk $R$ adalah
$$
M_R =
\begin{bmatrix}
0 & 0 \\
1 & 0 \\
1 & 1 \\
\end{bmatrix}
$$
Elemen bernilai 1 pada matriks menunjukkan bahwa pasangan $(2, 1)$, $(3, 1)$, dan $(3, 2)$ terdapat di dalam $R$. Elemen nilai 0 menujukkan tidak ada pasangan lain yang merupakan anggota $R$.
:::
:::info
***Contoh 2.2.3***
Sebut $A = \{2, 3, 4\}$ dan $B = \{2, 4, 8, 9, 15\}$. Misalkan $R$ adalah relasi dari $A$ ke $B$ yang beranggotakan $(a, b)$ untuk $a \in A$, $b \in B$, dimana $a$ adalah faktor prima dari $b$. Cari matriks representasi dari $R$ !
*Solusi:*
Karena untuk setiap $(a, b)$, $a$ adalah faktor prima dari $b$ maka kita dapatkan $R = \{(2, 2), (2, 4), (2, 8), (3, 9), (3, 15)\}$. Sehingga matriks untuk $R$ adalah
$$
M_R =
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}
$$
:::
### Representasi Relasi Menggunakan Graf Berarah
Graf berarah (*directed graph* atau *digraph*) dapat digunakan untuk merepresentasikan sebuah relasi pada sebuah himpunan. Graf berarah tidak dapat digunakan untuk merepresentasikan relasi dari suatu himpunan ke himpunan lain. Graf berarah yang merepresentasikan relasi $R$ pada sebuah himpunan digambarkan mengikuti ketentuan-ketentuan berikut:
- Setiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (yang disebut juga simpul atau *vertex*), dan setiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur (*arc*)
- Jika $(a, b) \in R$, maka sebuah busur dibuat dari simpul $a$ ke simpul $b$. Simpul $a$ disebut **simpul asal** (*initial vertex*) dan simpul $b$ disebut **simpul tujuan** (*terminal vertex*).
- Pasangan terurut $(a, a)$ dinyatakan dengan busur dari simpul $a$ ke simpul $a$ sendiri. Busur semacam ini disebut **gelang** (*loop*).
:::info
***Contoh 2.2.4***
Misalkan $R = \{(a, a), (a, b), (b, a), (b, c), (b, d), (c, a), (c, d), (d, b)\}$ adalah relasi pada himpunan $\{a, b, c, d\}$, maka $R$ direpresentasikan dalam graf berarah berikut:
:::
:::info
***Contoh 2.2.5***
Misalkan $R = \{(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (4, 1)\}$ dalah relasi pada himpunan $\{1, 2, 3, 4\}$, maka $R$ direpresentasikan dalam graf berarah berikut:
:::
## 2.3. Sifat-sifat Relasi
Relasi yang didefinisikan pada sebuah himpunan mempunyai sejumlah sifat. Sifat-sifat tersebut antara lain:
- Refleksif
- Simetris
- Antisimetris
- Transitif
### Refleksif
:::success
**DEFINISI 2.3**
Sebuah relasi, $R$ pada himpunan $A$ disebut **refleksif** jika $(a, a) \in R$ untuk setiap $a \in A$ . Sebaliknya, relasi $R$ disebut **tidak refleksif** jika terdapat $a \in A$ sedemikian sehingga $(a, a) \not\in R$.
:::
:::info
***Contoh 2.3.1***
Misalkan $A = \{1, 2, 3, 4\}$. Relasi-relasi pada himpunan $A$ berikut:
- $R_1 = \{(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4) \}$ bersifat **refleksif** karena mengandung pasangan terurut berbentuk $(a, a)$ untuk semua $a$ di dalam $A$ yaitu $(1, 1)$, $(2, 2)$, $(3, 3)$, dan $(4, 4)$.
- $R_2 = \{(1, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4)\}$ **tidak refleksif** karena $(3, 3) \not \in R$.
:::
:::info
***Contoh 2.3.2***
Apakah relasi "habis membagi" pada himpunan bilangan bulat positif bersifat refleksif?
***Solusi:***
Karena setiap bilangan bulat positif habis dibagi dengan dirinya sendiri, sehingga terdapat $(a, a) \in R$ untuk setiap $a \in \mathbb{N}$. Jadi, relasi "habis membagi" bersifat **refleksif**.
:::
:::info
***Contoh 2.3.3***
Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilangan bulat positif $\mathbb{N}$.
- $R_1=\{(x, y) \ | \ x > y\}$.
- $R_2=\{(x, y) \ | \ x + y = 5\}$.
- $R_3=\{(x, y) \ | \ 3x + y = 10\}$.
Tidak satupun dari ketiga relasi di atas yang refleksif karena, $(a, a) \not \in R$ untuk $a \in \mathbb{N}$. Sebagai contoh, $(2, 2) \not \in R$.
:::
Relasi yang bersifat refleksif mempunyai matriks yang elemen diagonal utamanya semua bernilai 1, atau $m_{ii} = 1$ untuk $i = 1, 2, ..., n$. Bentuk matriks dari relasi yang bersifat refleksif dapat dilihat pada Gambar 2.1.
<br>
<p style="text-align: center;">
<b>Gambar 2.1. </b>Bentuk Matriks dari Relasi yang Refleksif.
</p>
<br>
Graf berarah yang merepresentasikan relasi yang bersifat refleksif juga dapat diidentifikasi dengan adanya gelang pada setiap simpulnya.
### Simetris
:::success
**DEFINISI 2.4**
Relasi $R$ pada himpunan $A$ disebut **simetris** jika $(a, b) \in R$, maka $(b, a) \in R$ untuk $a, b \in A$. Sedangkan relasi $R$ pada himpunan $A$ disebut tidak simetris jika $(a, b) \in R$, tetapi $(b, a) \not \in R$ untuk $a, b \in A$.
:::
:::info
**Contoh 2.3.4**
Misalkan $A = \{1, 2, 3, 4\}$ dan $R$ adalah relasi pada $A$ yang didefinisikan dengan $R = \{(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4)\}$. Tentukan apakah $R$ simetris.
***Solusi:***
$R$ bersifat simetris karena jika $(a, b) \in R$, maka $(b, a) \in R$. Untuk pasangan terurut dengan dua elemen yang sama $(1, 1)$, $(2, 2)$, dan $(4, 4)$ sudah jelas syarat simetris terpenuhi. Untuk pasangan terurut yang dua elemennya tidak sama, kita dapat lihat $(1, 2) \in R$ dan $(2, 1) \in R$, begitu juga $(2, 4) \in R$ dan $(4, 2) \in R$ yang berarti syarat simetris terpenuhi.
:::
:::info
**Contoh 2.3.5**
Misalkan $A = \{1, 2, 3, 4\}$. Tentukan apakah relasi-relasi pada himpunan $A$ berikut simetris.
- $R_1 = \{(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2)\}$.
- $R_2 = \{(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (4, 2), (4, 4)\}$.
***Solusi:***
- $R_1$ tidak simetris karena $(2, 3) \in R$ tetapi $(3, 2) \not \in R$.
- $R_2$ tidak simetris karena $(4, 2) \in R$ tetapi $(2, 4) \not \in R$.
:::
:::info
**Contoh 2.3.6**
Apakah relasi βhabis membagiβ pada himpunan bilangan bulat positif bersifat simetris?
***Solusi:***
Relasi βhabis membagiβ tidak simetris. Karena jika $a$ habis membagi $b$, $b$ tidak habis membagi $a$, kecuali jika $a=b$. Sebagai contoh, 2 habis membagi 4, tetapi 4 tidak habis membagi 2. Karena itu, $(2, 4) \in R$ tetapi $(4, 2) \not \in R$.
:::
:::info
**Contoh 2.3.7**
Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilangan bulat positif β.
- $π _1=\{(π₯, π¦)\ |\ π₯>π¦\}$ tidak simetris karena misalkan 5 lebih besar dari 3 tetapi 3 tidak lebih besar dari 5.
- $π _2=\{(π₯, π¦)\ |\ π₯+π¦=5\}$ simetris karena $π₯+π¦=π¦+π₯=5$, sehingga jika $(π₯, π¦) \in R$ maka $(π¦, π₯) \in R$ juga.
- $π _3=\{(π₯, π¦)\ | \ 3π₯+π¦=10\}$ tidak simetris karena misalkan $(3, 1) \in R$ tetapi $(1, 3) \not \in R$.
:::
Relasi yang bersifat simetris mempunyai matriks yang bercirikan elemen-elemen di bawah diagonal utama merupakan pencerminan dari elemen-elemen di atas diagonal utama, atau $m_{ij} = m_{ji} = 1$, untuk $i = 1, 2, ..., n$. Contoh ciri matriks dari sebuah relasi yang bersifat simetris dapat dilihat pada Gambar 2.2.
<br>
<p style="text-align: center;">
<b>Gambar 2.2. </b>Bentuk Matriks dari Relasi yang Simetris.
</p>
<br>
Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat simetris dicirikan oleh: jika terdapat busur dari $a$ ke $b$, maka juga terdapat busur dari $b$ ke $a$.
### Antisimetris
:::success
**DEFINISI 2.5**
Relasi $R$ pada himpunan $A$ disebut **antisimetris** jika $(a, b) \in R$ dan $(b, a) \in R$ maka $a = b$ untuk $a, b \in A$.
:::
Dengan kata lain, relasi $R$ pada himpunan $A$ adalah antisimetris, jika $(a, b) \in R$ maka $(b, a) \notin R$, kecuali ketika $a = b$.
:::info
**Contoh 2.3.8**
Misalkan $A = \{1, 2, 3, 4\}$ dan terdapat dua relasi pada $A$ berikut:
- $R_1 = \{(1, 3), (4, 2), (3, 3), (4, 4)\}$
- $R_2 = \{(1, 3), (4, 2), (4, 4), (2, 4)\}$
Tentukan apakah masing-masing relasi adalah antisimetris !
*Solusi:*
- $R_1$ bersifat antisimetris. Untuk pasangan terurut berelemen sama $(3, 3)$ dan $(4, 4)$ sudah jelas syarat antisimetris terpenuhi. Untuk pasangan terurut berelemen tidak sama syarat antisimetris juga terpenuhi: $(1, 3) \in R$ dan $(3, 1) \not \in R$ begitu juga $(4, 2) \in R$ dan $(2, 4) \not \in R$.
- $R_1$ tidak antisimetris, karena $(4, 2) \in R$ dan $(2, 4) \in R$ tetapi $4 \neq 2$.
:::
:::info
***Contoh 2.3.9***
Misalkan $A = \{1, 2, 3, 4\}$ dan relasi-relasi di bawah didefinisikan pada himpunan $A$, maka:
- Relasi $R_1 = \{(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4)\}$ bersifat **simetris** dan **tidak antisimetris**, karena $(1, 2) \in R$ dan $(2, 1) \in R$, begitu juga $(2, 4) \in R$ dan $(4, 2) \in R$.
- Relasi $R_2 = \{(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2)\}$ bersifat **tidak simetris** dan **tidak antisimetris**.
- **Tidak simetris** karena $(2, 3) \in R$, tetapi $(3, 2) \notin R$.
- **Tidak antisimetris** karena $(2, 4) \in R$ dan $(4, 2) \in R$ juga.
- Relasi $R_3 = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3)\}$ bersifat **simetris** dan **antisimetris**, karena semua pasangan terurut dengan dua elemen sama memenuhi syarat simetris dan antisimetris.
- Relasi $R_4 = \{(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3)\}$ **tidak simetris** dan **antisimetris**.
- **Tidak simetris** karena $(1, 2) \in R$ tetapi $(2, 1) \notin R$ dan juga $(2, 3) \in R$ tetapi $(3, 2) \notin R$.
- **Antisimetris** karena untuk pasangan terurut berelemen sama $(1, 1), (2, 2)\in R$ sudah jelas memenuhi syarat antisimetris, begitu juga untuk pasangan terurut tidak berelemen sama $(1, 2) \in R$ tetapi $(2, 1) \notin R$ dan $(2, 3) \in R$ tetapi $(3, 2) \notin R$.
- Relasi $R_5 = \{(1, 1), (2, 4), (3, 3), (4, 2)\}$ **simetris** dan **tidak antisimetris** karena $(2, 4) \in R$ dan $(4, 2) \in R$ tetapi $2 \neq 4$.
- Relasi $R_6 = \{(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (4, 2), (4, 4)\}$ **tidak simetris** dan **tidak antisimetris**.
- **Tidak simetris** karena $(4, 2) \in R$ tetapi $(2, 4) \notin R$.
- **Tidak antisimetris** karena $(2, 3) \in R$ dan $(3, 2) \in R$ tetapi $2 \neq 3$.
:::
:::info
**Contoh 2.3.10**
Apakah relasi βhabis membagiβ pada himpunan bilangan bulat positif bersifat antisimetris?
***Solusi:***
Relasi βhabis membagiβ bersifat antisimetris karena jika $a$ habis membagi $b$ dan $b$ habis membagi $a$ maka $a = b$. Sebagai contoh, 4 habis membagi 4. Karena itu, $(4, 4) \in R$ dan juga $4=4$.
:::
:::info
**Contoh 2.3.11**
Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilangan bulat positif β.
- $π _1=\{(π₯, π¦)\ |\ π₯>π¦\}$ antisimetris karena jika $(x, y) \in R$ maka $y \ngtr x$, sehingga $(y, x) \not \in R$.
- $π _2=\{(π₯, π¦)\ |\ π₯+π¦=5\}$ tidak antisimetris karena jika $(x, y) \in R$ maka $(y, x) \in R$ juga.
- $π _3=\{(π₯, π¦)\ | \ 3π₯+π¦=10\}$ antisimetris karena tidak ada $a$ dan $b$ dengan $a \neq b$ sedemikian sehingga $(a, b)$ dan $(b, a)$ ada di $R_3$.
:::
Matriks dari relasi antisimetris mempunyai sifat yaitu jika $m_{ij} = 1$ dengan $i \neq j$, maka $m_{ji} = 0$. Contoh bentuk matriks dari sebuah relasi yang antisimetris ditunjukkan oleh Gambar 2.3.
<br>
<p style="text-align: center;">
<b>Gambar 2.3. </b>Bentuk Matriks dari Relasi yang Antisimetris.
</p>
<br>
![]()
Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat antisimetris dicirikan oleh: tidak ada dua busur dalam arah berlawanan antara dua simpul berbeda.
### Transitif
:::success
**DEFINISI 2.6**
Relasi $R$ pada himpunan $A$ disebut **transitif** jika untuk setiap $(a, b) \in R$ dan $(b, c) \in R$, maka $(a, c) \in R$, untuk semua $a, b, c \in A$.
:::
:::info
**Contoh 2.3.12**
Misalkan $A = \{1, 2, 3, 4\}$. Tentukan apakah relasi-relasi berikut bersifat transitif:
- $R_1 = \{(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3)\}$
- $R_2 = \{(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2)\}$
- $R_3 = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)\}$
- $R_4 = \{(1, 2), (3, 4)\}$
***Solusi:***
- **Ya**. $R_1$ bersifat transitif. Perhatikan tabel berikut:
| $(a, b)$ | $(b, c)$ | $(a, c)$ |
|----------|----------|----------|
| $(3, 2)$ | $(2, 1)$ | $(3, 1)$ |
| $(4, 2)$ | $(2, 1)$ | $(4, 1)$ |
| $(4, 3)$ | $(3, 1)$ | $(4, 1)$ |
| $(4, 3)$ | $(3, 2)$ | $(4, 2)$ |
Pada tabel di atas dapat dilihat syarat transitif dari relasi $R_1$ terpenuhi.
- **Tidak**. $R_2$ tidak bersifat transitif, karena $(2, 4) \in R_2$ dan $(4, 2) \in R_2$ tetapi $(2, 2) \notin R_2$. Begitu juga, $(4, 2) \in R_2$ dan $(2, 3) \in R_2$ tetapi $(4, 3) \notin R_2$.
- **Ya**. Relasi $R_3 = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)\}$ jelas bersifat transitif.
- **Tidak**. Relasi $R_4$ tidak transitif karena tidak ada $(a, b) \in R_4$ dan $(b, c) \in R_4$ sedemikian sehingga $(a, c) \in R_4$.
:::
:::info
**Contoh 2.3.13**
Apakah relasi βhabis membagiβ pada himpunan bilangan bulat positif bersifat transitif?
***Solusi:***
Misalkan $a$ habis membagi $b$ dan $b$ habis membagi $c$. Maka terdapat bilangan bulat positif $m$ dan $n$ sedemikian sehingga $b = ma$ dan $c = nb$. Sehingga, $c = nma$, yang berarti $a$ membagi $c$. Jadi, relasi βhabis membagiβ bersifat transitif.
:::
:::info
**Contoh 2.3.14**
Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilangan bulat positif β.
- $π _1=\{(π₯, π¦)\ |\ π₯>π¦\}$ bersifat transitif karena jika $x > y$ dan $y > z$, maka $x > z$.
- $π _2=\{(π₯, π¦)\ |\ π₯+π¦=5\}$ tidak transitif karena $(4, 2)$ dan $(2, 4)$ berada di dalam $R_2$ tetapi $(4, 4) \not \in R_2$.
- $π _3=\{(π₯, π¦)\ | \ 3π₯+π¦=10\}$ bersifat transitif. Dapat dilihat bahwa $R_3 = \{(1, 7), (2, 4), (3, 1)\}$. Karena untuk $(1, 7)$ tidak ada bentuk $(7, z) \in R_3$, dan untuk $(2, 4)$ tidak ada bentuk $(4, z) \in R_3$, begitu juga untuk $(3, 1)$ tidak ada bentuk $(1, z) \in R_3$, maka $R_3$ transitif.
:::
Relasi yang bersifat transitif tidak mempunyai ciri khusus pada matriks representasinya. Sedangkan, representasi graf berarah dari relasi yang transitif dicirikan oleh: jika terdapat busur dari $a$ ke $b$ dan dari $b$ ke $c$, maka juga terdapat busur dari $a$ ke $c$.
## 2.4. Relasi Invers
:::success
**DEFINISI 2.7**
Misalkan $R$ adalah sebuah relasi dari himpunan $A$ ke himpunan $B$ yang didefinisikan dengan $R = \{(a, b) \ | \ a \in A, b \in B\}$. **Relasi invers** dari $R$, dinotasikan dengan $R^{-1}$, adalah relasi dari $B$ ke $A$ yang didefiniskan dengan:
$$
R^{-1} = \{(b, a) \ | \ (a, b) \in R\}
$$
:::
Dengan kata lain, relasi invers dari relasi $R$ adalah relasi yang didapatkan dengan menukar posisi elemen-elemen pada setiap pasangan terurut dari $R$.
:::info
***Contoh 2.4.1***
Misalkan $A = \{1, 2, 3\}$, $B = \{a, b\}$, dan $R$ adalah relasi dari $A$ ke $B$ yang didefinisikan dengan $R = \{(1, a), (1, b), (3, a)\}$, maka relasi invers dari $R$ adalah $R^{-1} = \{(a, 1), (b, 1), (a, 3)\}$
:::
:::info
***Contoh 2.4.2***
Misalkan $P = \{2, 3, 4\}$, $Q = \{2, 4, 8, 9, 15\}$, dan $R$ adalah relasi dari $P$ ke $Q$ dengan
$\qquad(p, q) \in R$ jika $p$ habis membagi $q$.
Tentukan $R^{-1}$.
***Solusi:***
Karena $(p, q) \in R$ jika $p$ membagi $q$, maka:
$$
R = \{(2, 2), (2, 4), (2, 8), (3, 9), (3, 15), (4, 4), (4, 8)\}
$$
Sehingga, $R^{-1}$ adalah adalah invers dari relasi $R$, yaitu relasi dari
$$
R^{-1} = \{(2, 2), (4, 2), (8, 2), (9, 3), (15, 3), (4, 4), (8, 4)\}
$$
:::
Dalam bentuk matriks, relasi invers dari suatu relasi direpresentasikan oleh matriks transpos dari matriks yang merepresentasikan relasi tersebut. Misalkan sebuah relasi $R$ direpresentasikan oleh matriks $M_R$ maka $R^{-1}$ dapat direpresentasikan oleh matriks $M_R^{T}$ yang merupakan transpos dari matriks $M_R$.
:::info
***Contoh 2.4.3***
Misalkan $R$ adalah relasi seperti pada ***Contoh 2.4.2***, maka representasi matriks dari $R$ adalah:
$$
M =
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}
$$
Sehingga matriks yang merepresentasikan relasi $R^{-1}$ diperoleh dengan melakukan transpos terhadap matriks $M$, yaitu:
$$
\begin{align}
M^T =
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix} ^ T = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
\end{bmatrix} \\
\end{align}
$$
:::
## 2.5. Mengkombinasikan Relasi
Karena relasi-relasi dari himpunan $A$ ke himpunan $B$ adalah himpunan bagian dari $A \times B$, maka operasi-operasi himpunan seperti irisan, gabungan, selisih, dan selisih simetri pada dua relasi dari $A$ ke $B$ juga berlaku.
:::info
***Contoh 2.5.1***
Misalkan $A=\{1, 2, 3\}$ dan $B=\{1, 2, 3, 4\}$ dan relasi $R_1=\{(1, 1), (2, 2), (3, 3)\}$ dan $R_2=\{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4)\}$ adalah relasi-relasi dari $A$ ke $B$. Maka,
$R_1 \cup R_2=\{(1, 1),(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (3, 3)\}$,
$R_1 \cap R_2=\{(1, 1)\}$,
$R_1βR_2=\{(2, 2),(3, 3)\}$,
$R_2βR_1=\{(1, 2), (1, 3), (1, 4)\}$,
$R_1 \oplus R_2=\{(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (3, 3)\}$.
:::
## 2.6. Komposisi Relasi
Dua relasi dapat dikombinasikan secara komposisi.
:::success
**DEFINISI 2.8**
Misalkan $R$ adalah sebuah relasi dari himpunan $A$ ke himpunan $B$ dan $S$ adalah relasi dari himpunan $B$ ke himpunan $C$. Komposisi $R$ dan $S$, dinotasikan dengan $S \circ R$, adalah relasi yang beranggotakan pasangan terurut $(a, c)$ dimana $a \in A$, $c \in C$, dan terdapat sebuah elemen $b \in B$ sedemikian sehingga $(a, b) \in R$ dan $(b, c) \in S$.
:::
Komposisi $R$ dan $S$ dapat didefinisikan dalam notasi seperti berikut:
$$
S \circ R = \{(a, c)\ |\ a \in A, c \in C, \text{ dan terdapat} \ b \in B \text{ dimana} \ (a, b) \in R \ \text{dan} \ (b, c) \in S \}
$$
:::info
***Contoh 2.6.1***
Misalkan $A = \{1, 2, 3\}$, $B = \{2, 4, 6, 8\}$, dan $C = \{s, t, u\}$. Relasi $R$ didefinisikan dengan:
$R = \{(1, 2), (1, 6), (2, 4), (3, 4), (3, 6), (3, 8)\}$
dan relasi $S$ didefinisikan dengan:
$S = \{(2, u), (4, s), (4, t), (6, t), (8, u)\}$
Maka, komposisi relasi $R$ dan $S$ adalah:
$S \circ R =\{(1, u), (1, t), (2, s), (2, t), (3, s), (3, t), (3, u)\}$
Dalam diagram panah $S \circ R$ direpresentasikan sebagai berikut:
:::
## Daftar Pustaka
1. Rinaldi Munir. 2016. Matematika Diskrit. Bandung, Indonesia. Informatika Bandung.
2. Kenneth H. Rosen. 2012. *Discrete Mathematics and Its Applications (Seventh Edition)*. Amerika Serikat. McGraw-Hill.
3. Susanna S. Epp. 2018. *Discrete Mathematics with Applications (Fifth Edition)*. Amerika Serikat. Cengage.
4. D. Suryadi H.S. 1993. Aljabar Logika & Himpunan. Indonesia. Penerbit Gunadarma.
Sign in with Wallet
Connect another wallet