# 第13章 練習問題

## 1.

$$
\mathbf{A}=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & \fbox{$a_{14}$} \\
\fbox{$a_{21}$} & a_{22} & a_{23} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & \fbox{$a_{33}$} & a_{34} \\ a_{41} & \fbox{$a_{42}$} & a_{43} & a_{44}\end{pmatrix}
$$

$\mathbf{(a)}$ $\mathbf{A}$の四角に囲まれた$4$個の要素から作れる対をすべて書け.
$\mathbf{(b)}$ $\mathbf{(a)}$からの各々の対の正負を述ベよ.
$\mathbf{(c)}$ $\mathbf{(a)}$の対のうち負のものの個数を公式$(1.1)$を用いて計算せよ. そしてこの計算の結果を$\mathbf{(b)}$ の答えと検算せよ.

> $\sigma_n\left(1, i_1 ; \ldots ; n, i_n\right)=\sigma_n\left(i_1, 1 ; \ldots ; i_n, n\right)=\phi_n\left(i_1, \ldots, i_n\right) \tag{1.1}$

----

解. (Kaneko)

$\mathbf{(a)}$, $\mathbf{(b)}$
$(a_{14}, a_{21}) \rightarrow -$ ,$(a_{14}, a_{33}) \rightarrow -$,$(a_{14}, a_{42}) \rightarrow -$,
$(a_{21}, a_{33}) \rightarrow +$, $(a_{21}, a_{42}) \rightarrow +$, $(a_{33}, a_{42}) \rightarrow -$

$\mathbf{(c)}$

$$
\phi_4(4,1,3,2)=3+0+1=4
$$

## 2.

$n \times n$行列

$$
\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}x+\lambda & x & \cdots & x \\ x & x+\lambda & & x \\ \vdots & & \ddots & \\ x & x & & x+\lambda\end{array}\right)
$$

を考える. 定理13.2.10を用いて

$$
|\mathbf{A}|=\lambda^{n-1}(n x+\lambda)
$$

を示せ.
ヒント：$\mathbf{A}$の第$1$列にその後ろの$n-1$個の列を加えよ. そして結果として得た行列の第$1$行を後ろの$n-1$個の行の各々から引け.

> 定理13.2.10. $n\times n$行列$\mathbf{A}$の任意の1つの行(あるいは列)に，1つ以上の他の行(あるいは列)のスカラー倍を加えて作った行列を$\mathbf{B}$とする.このとき，$$|\mathbf{B}| = |\mathbf{A}|$$である.

----

解. (Yamashita)
$\mathbf{A}$の第$1$列にその後ろの$n-1$個の列を加えたものは,
$$
\mathbf{B}=\left(\begin{array}{cccc}
n x+\lambda & x & \cdots & x \\
n x+\lambda & x+\lambda & & x \\
\vdots & & \ddots & \\
n x+\lambda & x & & x+\lambda
\end{array}\right)
$$
$\mathbf{B}$の第$1$行を後ろの$n-1$個の行の各々から引いたものは,
$$
\mathbf{C}=\left(\begin{array}{ccccccc}
n x+\lambda & x & \ldots & x \\
0 & \lambda & & 0 \\
\vdots & & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \ldots & \lambda
\end{array}\right)
$$
定理 13.2.10 より, $|\mathbf{A}|=|\mathbf{B}|=\left|\mathbf{C}\right|$. また, 補助定理 13.1.1 より, $|\mathbf{C}|=\lambda^{n-1}(n x+\lambda)$. よって, $|\mathbf{A}|=\lambda^{n-1}(n x+\lambda)$ を得る.
> 補助定理 13.1.1. もし $n \times n$ 行列 $\mathbf{A}=\left\{a_{i j}\right\}$ が（上あるいは下）三角行列ならば,
$$
|\mathbf{A}|=a_{11} a_{22} \cdots a_{n n}
$$
である. すなわち, 三角行列の行列式はその対角要素の積に等しい.

## 3.

$\mathbf{A}$を$n \times n$非特異行列とする. もし$\mathbf{A}, \mathbf{A}^{-1}$の要素がすべて整数ならば, $|\mathbf{A}|=\pm 1$を示せ.

----

解. (kumada)
$\mathbf{A}$と$\mathbf{A}^{-1}$の要素はすべて整数であるとする。
行列式の定義(テキストP.213)から、$|\mathbf{A}|$と$|\mathbf{A}^{-1}|$はともに整数である。
また、定理13.3.7より$|\mathbf{A}^{-1}|=1/|\mathbf{A}|$が成り立つ。
従って、$|\mathbf{A}|$と$1 /|\mathbf{A}|$はともに整数なので、$|\mathbf{A}|=\pm 1$.が導かれる。

> 定理13.3.7. $\mathbf{A}$を$n\times n$行列とすると、$|\mathbf{A}|\neq0$のときかつそのときに限って、Aは非特異（すなわち、可逆）であり、この場合には
$$
\left|\mathbf{A}^{-1}\right|=1 /|\mathbf{A}|
$$
である.
---

## 4.

$\mathbf{T}$を$m \times m$行列,$\mathbf{U}$を$m \times n$行列,$\mathbf{V}$を$n \times m$行列,$\mathbf{W}$を$n \times n$行列とする. もし$\mathbf{T}$が非特異ならば,

$$
\left|\begin{array}{cc}\mathbf{V} & \mathbf{W} \\ \mathbf{T} & \mathbf{U}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\mathbf{U} & \mathbf{T} \\ \mathbf{W} & \mathbf{V}\end{array}\right|=(-1)^{m n}|\mathbf{T}|\left|\mathbf{W}-\mathbf{V T}^{-1} \mathbf{U}\right|
$$

であることを示せ.

----

解. (Hamada)

定理13.2.7より

$$
\left|
\begin{array}{cc}
\mathbf{V} & \mathbf{W} \\
\mathbf{T} & \mathbf{U}
\end{array}
\right|=
(-1)^{mn}
\left|
\begin{array}{cc}
\mathbf{T} & \mathbf{U} \\
\mathbf{V} & \mathbf{W}
\end{array}
\right|
, \quad
\left|
\begin{array}{cc}
\mathbf{U} & \mathbf{T} \\
\mathbf{W} & \mathbf{V}
\end{array}
\right|=
(-1)^{mn}
\left|
\begin{array}{cc}
\mathbf{T} & \mathbf{U} \\
\mathbf{V} & \mathbf{W}
\end{array}
\right|
$$

であることと、定理13.3.8より示された。

> 定理13.2.7
> $n \times p$ 行列 $\mathbf{B}$ と $n \times q$ 行列 $\mathbf{C}$（ただし $p+q=n$ ）に対して
> $$\left|\mathbf{B}, \mathbf{C}\right| = (-1)^{pq}\left|\mathbf{C}, \mathbf{B}\right|$$

> 定理13.3.8
> $m \times m$ 行列 $\mathbf{T}$, $m \times n$ 行列 $\mathbf{U}$, $n \times m$ 行列 $\mathbf{V}$, $n \times n$ 行列 $\mathbf{W}$ に対して、$\mathbf{T}$ が非特異ならば
> $$
> \left|
> \begin{array}{cc}
> \mathbf{T} & \mathbf{U} \\
> \mathbf{V} & \mathbf{W}
> \end{array}
> \right|=
> \left|
> \begin{array}{cc}
> \mathbf{W} & \mathbf{V} \\
> \mathbf{U} & \mathbf{T}
> \end{array}
> \right|=\left|\mathbf{T}\right|\left|\mathbf{W} - \mathbf{VT}^{-1}\mathbf{U}\right|
> $$

## 5.

$4 \times 4$行列

$$
\mathbf{A}=\begin{pmatrix}0 & 4 & 0 & 5 \\ 1 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 3 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & -6 & 0\end{pmatrix}
$$

の行列式を次の2つの各々の方法で計算せよ.

$\mathbf{(a)}$ 式$(1.2)$あるいは$(1.6)$の中の$0$でない項を見出して加える.
$\mathbf{(b)}$ 余因子を用いての展開を繰り返す. (公式$(5.1)$あるいは$(5.2)$を用いて, $|\mathbf{A}|$を展開するのに$3 \times 3$行列の行列式を用い,$3 \times 3$行列の行列式を展開するのに$2 \times 2$行列の行列式を用い, 最後に$2 \times 2$行列の行列式を展開するのに$1 \times 1$行列の行列式を用いよ.)

> $$\begin{aligned}|\mathbf{A}|&=\sum(-1)^{\sigma_{n}\left(1, j_{1} ; \ldots ; n, j_{n}\right)} a_{1 j_{1}} \cdots a_{n j_{n}} \\ &=\sum(-1)^{\phi_{n}\left(j_{1}, \ldots, j_{n}\right)} a_{1 j_{1}} \cdots a_{n j_{n}}\end{aligned} \tag{1.2}$$
> $$\begin{aligned}|\mathbf{A}| &=\sum(-1)^{\sigma_{n}\left(i_{1}, 1 ; \ldots ; i_{n}, n\right)} a_{i_{1} 1} \cdots a_{i_{n} n} \\ &=\sum(-1)^{\phi_{n}\left(i_{1}, \ldots, i_{n}\right)} a_{i_{1} 1} \cdots a_{i_{n} n} \end{aligned} \tag{1.6}$$
> $$|\mathbf{A}|=\sum_{j=1}^{n} a_{i j} \alpha_{i j}=a_{i 1} \alpha_{i 1}+\cdots+a_{i n} \alpha_{i n} \tag{5.1}$$
> $$|\mathbf{A}|=\sum_{j=1}^{n} a_{i j} \alpha_{i j}=a_{1j} \alpha_{1j}+\cdots+a_{nj} \alpha_{nj} \tag{5.2}$$

----

解. (tomita)

$\begin{aligned}|\mathbf{A}| &=(-1)^{\phi_4(2,1,4,3)} 4(1)(-2)(-6)+(-1)^{\phi_4(4,1,2.3)} 5(1)(3)(-6) \\ &=(-1)^{1+0+1} 48+(-1)^{3+0+0}(-90) \\ &=48+90 \\ &=138 \end{aligned}$

$\begin{aligned}|\mathbf{A}| &=(1)(-1)^{2+1}\left|\begin{array}{rrr}4 & 0 & 5 \\ 3 & 0 & -2 \\ 0 & -6 & 0\end{array}\right| (一列目に関して展開 ）\\ &=(-1)^3(-6)(-1)^{3+2}\left|\begin{array}{rr}4 & 5 \\ 3 & -2\end{array}\right| (3行目に関して展開) \\ &=(-1)^3(-6)(-1)^5\left[4(-1)^{1+1}(-2)+5(-1)^{1+2}(3)\right] \\ &=(-6)(-8-15) \\ &=138 . \end{aligned}$

## 6.

$\mathbf{A}=\left\{a_{i j}\right\}$を$n \times n$行列とする. もし$\mathbf{A}$が対称ならば, （$\mathbf{A}$の）余因子行列もまた対称であることを証明せよ.

----

解.
$a_{ij}$の余因子を$\alpha_{ij}$で表す。行列$\mathbf{A}_{i j}$を行列$\mathbf{A}$の$i$行目と$j$列目を削除して得た$(n-1) \times(n-1)$部分行列とする。また、行列$\mathbf{B}_{ji}$を$\mathbf{A}^{\prime}$の$j$行目と$i$列目を削除して得た$(n-1)\times (n-1)$部分行列とする。補助定理13.2.1を利用すると

$$
\begin{aligned}
\alpha_{i j}&=(-1)^{i+j}\left|\mathbf{A}_{i j}\right| \\
&=(-1)^{i+j}\left|\mathbf{A}_{i j}^{\prime}\right| (\because 補助定理13.2.1) \\
&=(-1)^{i+j}\left|\mathbf{B}_{j i}\right| (\because 第2章の結果(1.1)) \\
&=(-1)^{i+j}\left|\mathbf{A}_{j i}\right| (\because \mathbf{A}が対称行列ならば\mathbf{B}_{j i}=\mathbf{A}_{j i}) \\
&=\alpha_{j i}
\end{aligned}
$$

したがって、$\mathbf{A}$が対称行列ならば$\mathbf{A}$の余因子行列も対称となることが示された。

> 補助定理13.2.1 任意の$n \times n$行列$\mathbf{A}$に対して$$|\mathbf{A}^{\prime}| = |\mathbf{A}|$$である.

> 第2章 結果$(1.1)$ $\mathbf{A}_*$を$m \times n$行列$\mathbf{A}$の第$i_1, \ldots, i_{m-r}$行と第$j_1, \ldots, j_{n-s}$列を削除して作った($\mathbf{A}$の)$r \times s$部分行列とする. また$\mathbf{B}_*$を$\mathbf{A}^{\prime}$の第$j_1, \ldots, j_{n-s}$行と第$i_1, \ldots, i_{m-r}$列を削除して作った($\mathbf{A}^{\prime}$の)$s \times r$部分行列とする. このとき, 容易に証明されるように$$\mathbf{B}_*=\mathbf{A}_*^{\prime}$$である.

## 7.

$\mathbf{A}$を$n \times n$行列とする.
$\mathbf{(a)}$ もし$\mathbf{A}$が特異ならば,$\operatorname{adj}(\mathbf{A})$も特異であることを示せ.
$\mathbf{(b)}$ $\operatorname{det}[\operatorname{adj}(\mathbf{A})]=[\operatorname{det}(\mathbf{A})]^{n-1}$を示せ.

----

解.(Tachimoto)

$\mathbf{(a)}$ $\mathbf{A}$が零行列であれば$\operatorname{adj}(\mathbf{A})$も零行列であり、従って特異であることは明らか。
もし$\mathbf{A}$が零でない特異行列の場合、$\mathbf{A}$のうちゼロでない行（第$i$行； $\mathbf{a}_i^{\prime}$とする）が存在する。
$\mathbf{A}$が特異なので $|\mathbf{A}|=0$であり、従って定理13.5.3により$\mathbf{A}\operatorname{adj}(\mathbf{A})=\mathbf{0}$である。よって、

$$
\mathbf{a}_i^{\prime} \operatorname{adj}(\mathbf{A})=\mathbf{0}
$$

これは、（$\mathbf{a}_i^{\prime}$が非零なので）$\operatorname{adj}(\mathbf{A})$の各行が線型従属であることを意味する。従って、$\operatorname{adj}(\mathbf{A})$が特異であることが示された。
$\mathbf{(b)}$ 定理13.3.4、定理13.5.3、系13.2.4および (1.9)式を用いて、

$$
|\mathbf{A}||\operatorname{adj}(\mathbf{A})|=|\mathbf{A} \operatorname{adj}(\mathbf{A})|=\operatorname{det}\left(|\mathbf{A}| \mathbf{I}_n\right)=|\mathbf{A}|^n\left|\mathbf{I}_n\right|=|\mathbf{A}|^n .
$$

もし$\mathbf{A}$が非特異（$|\mathbf{A}| \neq 0$）であれば、上式の両辺を$|\mathbf{A}|$で割って

$$
|\operatorname{adj}(\mathbf{A})|=|\mathbf{A}|^{n-1} \text {. }
$$

を得る。また、$\mathbf{A}$が特異であれば、(a)の帰結により$\operatorname{adj}(\mathbf{A})$も特異なので、

$$
|\operatorname{adj}(\mathbf{A})|=0=|\mathbf{A}|^{n-1}
$$

である。

## 8.

公式$(5.7)$を用いて$2 \times 2$非特異行列の逆行列に対する公式$(8.1.2)$を証明せよ.

> $$\mathbf{A}^{-1}=(1 /|\mathbf{A}|) \operatorname{adj}(\mathbf{A}) \tag{5.7}$$ $$\mathbf{A}^{-1}=\frac{1}{a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}}\left(\begin{array}{rr}a_{22} & -a_{12} \\ -a_{21} & a_{11}\end{array}\right) \tag{8.1.2}$$

----

解.(shigenobu)

$2 \times 2$の非特異行列Aを以下で表す。

$$
\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right)
$$

$\alpha_{i j}$を$a_{i j}(i, j=1,2)$余因子とすると(5.7)式より以下となる。

$$
\mathbf{A}^{-1}=(1 /|\mathbf{A}|)\left(\begin{array}{ll}
\alpha_{11} & \alpha_{21} \\
\alpha_{12} & \alpha_{22}
\end{array}\right) \tag{*}
$$

また各余因子は以下で表現できる。

$$
\begin{gathered}
\alpha_{11}=(-1)^{1+1} a_{22}=a_{22}, \quad \alpha_{21}=(-1)^{2+1} a_{12}=-a_{12}, \\
\alpha_{12}=(-1)^{1+2} a_{21}=-a_{21}, \quad \alpha_{22}=(-1)^{2+2} a_{11}=a_{11}, \\
|\mathbf{A}|=a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21} .
\end{gathered}
$$

上記を$(*)$に代入すると$(8.1.2)$となり証明された。

## 9.

$$
\mathbf{A}=\begin{pmatrix}2 & 0 & -1 \\ -1 & 3 & 1 \\ 0 & -4 & 5\end{pmatrix}
$$

とする.
$\mathbf{(a)}$ $\mathbf{A}$の各々の要素の余因子を計算せよ.
$\mathbf{(b)}$ $\mathbf{A}$の第$2$行の要素の余因子を用いて$|\mathbf{A}|$を展開することで$|\mathbf{A}|$を計算せよ. そして$\mathbf{A}$の第$2$列の要素の余因子を用いて$|\mathbf{A}|$を展開することで検算せよ.
$\mathbf{(c)}$ 公式$(5.7)$を用いて$\mathbf{A}^{-1}$を計算せよ.

>$$\mathbf{A}^{-1}=(1 /|\mathbf{A}|) \operatorname{adj}(\mathbf{A}) \tag{5.7}$$

----

解. (moriwaki)

$\mathbf{(a)}$ $\mathbf{A}$の$ij$成分の余因子を$\alpha_{ij}$として表すと

$$
\begin{aligned}
&\alpha_{11}=(-1)^{1+1}\begin{vmatrix}
3 & 1 \\
-4 & 5
\end{vmatrix}=19, & &\alpha_{12}=(-1)^{1+2}\begin{vmatrix}
-1 & 1 \\
0 & 5
\end{vmatrix}=5, \\
&\alpha_{13}=(-1)^{1+3}\begin{vmatrix}
-1 & 3 \\
0 & -4
\end{vmatrix}=4, & &\alpha_{21}=(-1)^{2+1}\begin{vmatrix}
0 & -1 \\
-4 & 5
\end{vmatrix}=4, \\
&\alpha_{22}=(-1)^{2+2}\begin{vmatrix}
2 & -1 \\
0 & 5
\end{vmatrix}=10, & & \alpha_{23}=(-1)^{2+3}\begin{vmatrix}
2 & 0 \\
0 & -4
\end{vmatrix}=8, \\
&\alpha_{31}=(-1)^{3+1}\begin{vmatrix}
0 & -1 \\
3 & 1
\end{vmatrix}=3, & & \alpha_{32}=(-1)^{3+2}\begin{vmatrix}
2 & -1 \\
-1 & 1
\end{vmatrix}=-1, \\
&\alpha_{33}=(-1)^{3+3}\begin{vmatrix}
2 & 0 \\
-1 & 3
\end{vmatrix}=6
\end{aligned}
$$

$\mathbf{(b)}$ 定理13.5.1. $(5.1)$の$i=2$として

$$
|\mathbf{A}| = \sum_{j=1}^{n}a_{2j}\alpha_{2j} = (-1)\cdot 4 + 3\cdot 10 + 1\cdot 8 =34
$$

$(5.2)$の$j=2$として検算すると

$$
|\mathbf{A}| = \sum_{i=1}^{n}a_{i2}\alpha_{i2} = 0\cdot 5 + 3\cdot 10 + (-4)\cdot (-1) = 34
$$

以上で$|\mathbf{A}| = 34$となる。

> 定理 13.5.1.$\quad a_{i j}$を$n \times n$行列$\mathbf{A}$の第$ij$要素,$\alpha_{ij}$を$a_{i j}(i, j=1, \ldots, n)$の余因子とする. このとき,$i=1, \ldots, n$に対して,$$|\mathbf{A}|=\sum_{j=1}^n a_{i j} \alpha_{i j}=a_{i 1} \alpha_{i 1}+\cdots+a_{i n} \alpha_{i n} \tag{5.1}$$であり,$j=1, \ldots, n$に対して,$$|\mathbf{A}|=\sum_{i=1}^n a_{i j} \alpha_{i j}=a_{1 j} \alpha_{1 j}+\cdots+a_{n j} \alpha_{n j}\tag{5.2}$$である。

$\mathbf{(c)}$

$\mathbf{A}^{-1}=(1 /|\mathbf{A}|) \operatorname{adj}(\mathbf{A}), \quad \operatorname{adj} \mathbf{A}=\begin{pmatrix}\alpha_{11} & \cdots & \alpha_{n 1} \\\vdots & \ddots & \vdots \\\alpha_{1 n} & \cdots & \alpha_{n n}\end{pmatrix}$を用いて

$$
\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{34}\begin{pmatrix}19 & 4 & 3 \\ 5 & 10 & -1 \\ 4 & 8 & 6\end{pmatrix}
$$

## 10.

$\mathbf{A} = \{a_{ij}\}$を$n\times n$(ここで$n \ge 2$とする)行列，$\alpha_{ij}$を$a_{ij}$の余因子とする.
$\mathbf{(a)}$ (たとえば, 練習問題11.3 の$\mathbf{(b)}$の結果を用いて）もし$\operatorname{rank}(\mathbf{A})=n-1$ならば,$\mathbf{x}=\left\{x_{j}\right\}$と$\mathbf{y}=\left\{y_{i}\right\}$を$\mathbf{A x}=\mathbf{0}$と$\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{y}=\mathbf{0}$を満たす任意の$\mathbf{0}$でない$n$次元列ベクトルとして,$\operatorname{adj}(\mathbf{A})=c \mathbf{x} \mathbf{y}^{\prime}$を満たすスカラー$c$が存在することを示せ. また$c$は$0$ではなく,$y_{i} \neq 0$と$x_{j} \neq 0$を満たす任意の$i, j$に対して$c=\alpha_{i j} /\left(y_{i} x_{j}\right)$と表せることを示せ.
$\mathbf{(b)}$ もし$\operatorname{rank}(\mathbf{A}) \le n-2$ならば，$\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \mathbf{0}$であることを示せ.

----

解. (Chiba)
$\mathbf{(a)}$
$\operatorname{rank}(\mathbf{A})=n-1$と仮定する。そのとき、$\det (\mathbf{A}) = 0$であり、それゆえ（定理13.5.3より）
$$
\mathbf{A}\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \operatorname{adj}(\mathbf{A})\mathbf{A}=\mathbf{0}
$$
である。

> 定理13.5.1 $n\times n$行列$\mathbf{A}$に対して$$\mathbf{A}\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \operatorname{adj}(\mathbf{A})\mathbf{A}=|\mathbf{A}|\mathbf{I}_n$$である。

それゆえ 練習問題11.3 Part(b)より$\operatorname{adj}(\mathbf{A})=c\mathbf{x}\mathbf{y}'$をみたす（もしくは同等に$(\operatorname{adj}\mathbf{A})'=c\mathbf{y}\mathbf{x}'$をみたす）ようなスカラー$c$が存在し、したがって、（任意の$i$と$j$について）
$$
\alpha_{ij} = cy_ix_j　\tag{S.3}
$$
が成り立つ。

> 練習問題11.3 Part(b)
$\mathbf{(b)}$適当なスカラー$c$に対して$\mathbf{Z}=c\mathbf{x}\mathbf{y}^{\prime}$のときかつそのときに限って,$\mathbf{AZ}=\mathbf{ZA}=\mathbf{0}$であることを示せ.

さらに、（定理4.4.10より）$\mathbf{A}$は$(n-1)\times(n-1)$の非特異部分行列を含み、ある$i,j$について$\alpha_{ij} \neq 0$であり、これは$c\neq 0$ということである。そして、$y_i\neq 0$かつ$x_j\neq 0$となる任意の$i,j$について、($S.3$に照らし合わせて)$c = \alpha_{ij} / (y_ix_j)$が成り立つ。

> 定理4.4.10 $\mathbf{A}$を階数$r$の任意の$m\times n$行列とする。このとき、$\mathbf{A}$が$r$個の線型独立な行と$r$個の線型独立な列を含む。そして$\mathbf{A}$の任意の$r$個の線型独立な行と$r$個の線型独立な列に対して、他の$m-r$個の行と$n-r$個の列を削除することで得られる$r\times r$部分行列は非特異である。さらに、($\mathbf{A}$の)$r$個より多い行あるいは$r$個より多い列の任意の集合は線型従属である。そして階数が$r$を超える$\mathbf{A}$のいかなる部分行列は存在しない。

$\mathbf{(b)}$
もし$\operatorname{rank}(\mathbf{A})\leq n-2$ならば、定理4.4.10より任意の$\mathbf{A}$の$(n-1)\times(n-1)$部分行列は特異であり、すなわち任意の$i,j$について$\alpha_{ij} = 0$であること、または同等に$\operatorname{adj}(\mathbf{A})=\mathbf{0}$であることを意味する。

## 11.

$\mathbf{A}$を$n \times n$非特異行列,$\mathbf{b}$を$n$次元列ベクトルとする.（$\mathbf{x}$に関する）線形系$\mathbf{A x}=\mathbf{b}$の解は,$\mathbf{A}_{j}$を$\mathbf{A}$の第$j$列に$\mathbf{b}$を代入して作った行列として， その第$j$成分が

$$
\left|\mathbf{A}_{j}\right| /|\mathbf{A}|
$$

である$n$次元列ベクトルであることを示せ$(j = 1,..., n)$. (この結果をガブリエル・クラメール(Gabriel Cramer, 1704-1752) に因んで**クラメールの法則(Cramer's rule)** と呼ぶ.)

----

解.(Kaneko)

$\mathbf{Ax} = \mathbf{b}$の解は$\mathbf{A}^{-1}\mathbf{b}$と表される．ここで$b_i$を$\mathbf{b}$の$i$成分，$\alpha_{ij}$を$\mathbf{A}$の$ij$要素の余因子とする．このとき系13.5.4より$\mathbf{A}^{-1}\mathbf{b}$の$j$成分は

$$
(1 /|\mathbf{A}|)\left(\alpha_{1 j}, \ldots, \alpha_{n j}\right)\left(\begin{array}{c}
b_1 \\
\vdots \\
b_n
\end{array}\right)=(1 /|\mathbf{A}|) \sum_{i=1}^n b_i \alpha_{i j}
$$

明らかに、$\mathbf{A}_j$ の $ij$ 番目の要素の余因子 は $\mathbf{A} (i = 1, ... , n)$ の $ij$ 番目の要素の 余因子 と同じなので、定理 13.5.1 により $\mathbf{A}^{-1}\mathbf{b}$ の $j$ 番目の要素は $\left|\mathbf{A}_{j}\right| /|\mathbf{A}|$ であることがわかる。

> 系 13.5.4. もし$\mathbf{A}$が$n \times n$ 非特異行列ならば,$$\operatorname{adj}(\mathbf{A})=|\mathbf{A}| \mathbf{A}^{-1}$$すなわち,$$\mathbf{A}^{-1}=(1 /|\mathbf{A}|) \operatorname{adj}(\mathbf{A})$$である.

> 定理 13.5.1. $a_{i j}$ を $n \times n$ 行列 $\mathbf{A}$ の第 $i j$ 要素, $\alpha_{i j}$ を $a_{i j}(i, j=1, \ldots, n)$ の 余因子とする. このとき, $i=1, \ldots, n$ に対して,$$|\mathbf{A}|=\sum_{j=1}^n a_{i j} \alpha_{i j}=a_{i 1} \alpha_{i 1}+\cdots+a_{i n} \alpha_{i n}$$
であり, $j=1, \ldots, n$ に対して,$$|\mathbf{A}|=\sum_{i=1}^n a_{i j} \alpha_{i j}=a_{1 j} \alpha_{1 j}+\cdots+a_{n j} \alpha_{n j}$$である.

## 12.

$c$をスカラー，$\mathbf{x}, \mathbf{y}$を$n$次元列ベクトル，$\mathbf{A}$を$n\times n$行列とする.

$\mathbf{(a)}$

$$
\left|\begin{array}{ll}\mathbf{A} & \mathbf{y} \\ \mathbf{x}^{\prime} & c\end{array}\right|=c|\mathbf{A}|-\mathbf{x}^{\prime} \operatorname{adj}(\mathbf{A}) \mathbf{y}\tag{E.1}
$$

であることを示せ。

$\mathbf{(b)}$ 特に$\mathbf{A}$が非特異の場合には, 結果$(\textrm{E}.1)$は

$$
\left|\begin{array}{ll}\mathbf{A} & \mathbf{y} \\ \mathbf{x}^{\prime} & c\end{array}\right|=|\mathbf{A}|\left(c-\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{A}^{-1} \mathbf{y}\right)
$$

と書き換えられ，結果$(3.13)$と一致することを示せ.

> $$\left|\begin{array}{cc}\mathbf{T} & \mathbf{U} \\ \mathbf{V} & \mathbf{W}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\mathbf{W} & \mathbf{V} \\ \mathbf{U} & \mathbf{T}\end{array}\right|=|\mathbf{T}|\left|\mathbf{W}-\mathbf{V} \mathbf{T}^{-1} \mathbf{U}\right|\tag{3.13}$$

----

解.(齋藤)

$\mathbf{(a)}$

> 13.5.1 $a_{ij}$を$n\times n$行列$A$の第$ij$要素、$\alpha_{ij}$を$a_{ij}$の余因子とする.このとき， $i = 1,... ， n$ に対して，$$|\mathbf{A}|= \sum_j a_{ij} \alpha_{ij}$$

今、13.5.1から与えられた行列を最後の行とそれ以外の行に分け、最後の行の余因子について展開すると、

$$
\left|\begin{array}{ll}\mathbf{A} & \mathbf{y} \\ \mathbf{x}^{\prime} & c\end{array}\right|= \sum_j x_j (-1)^{n+1+j} \det(\mathbf{A_j}, \mathbf{y}) + c(-1)^{2(n+1)}|\mathbf{A}|
$$

が成り立つ。ただし、$\mathbf{A}_j$は$A$から$j$列目を除いた$n \times n-1$行列である。

同様に、$\det(\mathbf{A_j}, \mathbf{y})$についても最後の列の余因子について展開すると、

$$
\det(\mathbf{A_j}, \mathbf{y}) = \sum_i y_i (-1)^{i+n} |\mathbf{A}_{ij}|
$$

が成り立つ。ただし、$y_i$は$\mathbf{y}$の$i$番目の要素であり、$\mathbf{A}_{ij}$は、$A$から$i$行目と$j$列目を除いたn-1×n-1行列である。

よって両式をまとめると、

$$
\begin{aligned}
\left|\begin{array}{ll}
\mathbf{A} & \mathbf{y} \\
\mathbf{x}^{\prime} & c
\end{array}\right| &=\sum_j x_j(-1)^{n+1+j} \sum_i y_i(-1)^{i+n}\left|\mathbf{A}_{i j}\right|+c(-1)^{2(n+1)}|\mathbf{A}| \\
&=\sum_{i, j} y_i x_j(-1)^{2 n+1+i+j}\left|\mathbf{A}_{i j}\right|+c|\mathbf{A}| \\
&=c|\mathbf{A}|-\sum_{i, j} y_i x_j(-1)^{i+j}\left|\mathbf{A}_{i j}\right| \\
&=c|\mathbf{A}|-\sum_{i, j} y_i x_j \alpha_{i j} \\
&=c|\mathbf{A}|-\mathbf{x}^{\prime} \operatorname{adj}(\mathbf{A}) \mathbf{y}
\end{aligned}
$$

が成り立つ。よって題意が満たされた。ただし、$\alpha_{ij}$は$a_{ij}$の余因子である。

$\mathbf{(b)}$

> (13.5.4) もし$\mathbf{A}$が非特異行列ならば、$$\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = |\mathbf{A}|\mathbf{A}^{-1}$$

今、$\mathbf{(a)}$で求めた式に$(13.5.4)$を代入すると、

$$
\begin{aligned}
\left|\begin{array}{cc}
\mathbf{A} & \mathbf{y} \\
\mathbf{x}^{\prime} & c
\end{array}\right| &=c|\mathbf{A}|-\mathbf{x}^{\prime} \operatorname{adj}(\mathbf{A}) \mathbf{y} \\
&=c|\mathbf{A}|-\mathbf{x}^{\prime}|\mathbf{A}| \mathbf{A}^{-1} \mathbf{y} \\
&=|\mathbf{A}|\left(c-\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{A}^{-1} \mathbf{y}\right)
\end{aligned}
$$

が成立し、題意は満たされた。

## 13.

$n \times n$ヴァンデルモンド行列

$$
\mathbf{V}=\begin{pmatrix}1 & x_{1} & x_{1}^{2} & \cdots & x_{1}^{n-1} \\ 1 & x_{2} & x_{2}^{2} & \cdots & x_{2}^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & x_{n} & x_{n}^{2} & \cdots & x_{n}^{n-1}\end{pmatrix}
$$

の第$k$行と第$n$(最後の)列を削除して得られる$(n-1) \times(n-1)$部分行列を$\mathbf{V}_{k}$とする (ここで$x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$は任意のスカラーとする)

$$
|\mathbf{V}|=\left|\mathbf{V}_{k}\right|(-1)^{n-k} \prod_{i \neq k}\left(x_{k}-x_{i}\right)
$$

を示せ.

----

解. (kumada)

$\mathbf{V}^*$は、以下を満たす$n\times n$行列とする。

- $1,...,(k-1)$番目の行がそれぞれ$\mathbf{V}$の$1,...,(k-1)$番目の行
- $k,...,(n-1)$番目の行がそれぞれ$\mathbf{V}$の$(k+1),...,n$番目の行
- $n$番目の行を$\mathbf{V}$の$k$番目の行

このとき、$\mathbf{V}^*$($\mathbf{V}$と同様)は$n\times n$のヴァンデルモンド行列であり、$\mathbf{V}_k$は$\mathbf{V}^*$の最後の行と列を削除した$(n-1)\times(n-1)$の部分行列に相当する。
ここで、$\mathbf{V}$は$\mathbf{V}^*$から$n-k$個の行の組の連続した交換によって得ることができる。具体的には、$\mathbf{V}^*$の$n$番目の行を$\mathbf{V}^*$の$(n-1), ..., k$番目の行と連続して入れ替えることにより、$\mathbf{V}$を$\mathbf{V}^*$より得ることができる。
したがって、定理13.2.6と$(6.4)$を利用すると、以下のようになる。

$$
\begin{aligned}
|\mathbf{V}| &=(-1)^{n-k}\left|\mathbf{V}^*\right| (\because 定理 13.2.6)\\
&=(-1)^{n-k}\left(x_k-x_1\right) \cdots\left(x_k-x_{k-1}\right)\left(x_k-x_{k+1}\right) \cdots\left(x_k-x_n\right)\left|\mathbf{V}_k\right| (\because \mathbf{V}^*の最終行と列について余因子展開)\\
&=\left|\mathbf{V}_k\right|(-1)^{n-k} \prod_{i \neq k}\left(x_k-x_i\right) (\because 結果 6.4)
\end{aligned}
$$

> 定理 13.2.6. $n \times n$ 行列 $\mathbf{A}=\left\{a_{i j}\right\}$ の 2つの行あるいは列を交換して $n \times n$ 行列 $\mathbf{B}=\left\{b_{i j}\right\}$ を作ると,$$|\mathbf{B}|=-|\mathbf{A}|$$である。

> 結果 6.4 $$\begin{aligned} |\mathbf{V}|=& \prod_{\substack{i, j \\ (j<i)}}\left(x_i-x_j\right) \\ =&\left(x_n-x_1\right)\left(x_n-x_2\right) \cdots\left(x_n-x_{n-1}\right) \\ & \times\left(x_{n-1}-x_1\right)\left(x_{n-1}-x_2\right) \cdots\left(x_{n-1}-x_{n-2}\right) \cdots\left(x_2-x_1\right) \end{aligned}$$

## 14.

$n \times n$行列$\mathbf{A}, \mathbf{B}$に対して

$$
\operatorname{adj}(\mathbf{A B})=\operatorname{adj}(\mathbf{B}) \operatorname{adj}(\mathbf{A})
$$

を示せ.
(ヒント：ビネーコーシーの公式を用いて$\operatorname{adj}(\mathbf{A B})$と$\operatorname{adj}(\mathbf{B}) \operatorname{adj}(\mathbf{A})$の第$i j$要素が等しいことを証明せよ.)

----

解. (Hamada)

一般に正方行列 $\mathbf{X}$ に対して $\text{adj}\mathbf{X}$ の $(i, j)$ 成分は $(-1)^{i+j}|\mathbf{X}_{ji}|$（ただし $\mathbf{X}_{ji}$ は $\mathbf{X}$ の第 $j$ 行と第 $i$ 列を削除した行列）であるから、$\text{adj}(\mathbf{AB})$ の $(i, j)$ 成分は $(-1)^{i+j}|(\mathbf{AB})_{ji}|$ であり、$(\text{adj}\mathbf{B})(\text{adj}\mathbf{A})$ の $(i, j)$ 成分は

$$
\begin{aligned}
&\sum_k (\text{adj}\mathbf{B})_{ik} (\text{adj}\mathbf{A})_{kj} \\
=&\sum_k (-1)^{i+k+k+j} |\mathbf{B}_{ki}||\mathbf{A}_{jk}| \\
=&(-1)^{i+j}\sum_k |\mathbf{A}_{jk}||\mathbf{B}_{ki}|
\end{aligned}
$$

である。よって

$$
|(\mathbf{AB})_{ji}| = \sum_k |\mathbf{A}_{jk}||\mathbf{B}_{ki}| \tag{*}
$$

を示せばよい。以下これを示す。

$\mathbf{A}$ から第 $j$ 行を削除した行列を $\mathbf{A}_j$ とおき、$\mathbf{B}$ から第 $i$ 列を削除した行列を $\mathbf{B}_i$ とおくと $(\mathbf{AB})_{ji} = \mathbf{A}_j \mathbf{B}_i$ であるから、ビネ・コーシーの公式より

$$
\begin{aligned}
|(\mathbf{AB})_{ji}|
&= |\mathbf{A}_j \mathbf{B}_i| \\
&= \sum_{\{i_1, \ldots, i_{n-1}\} \subset [n]} |\mathbf{A}_j^{\{i_1, \ldots, i_{n-1}\}}||\mathbf{B}_{i\ \{i_1, \ldots, i_{n-1}\}}| \\
&= \sum_k |\mathbf{A}_{jk}||\mathbf{B}_{ki}|
\end{aligned}
$$

が成り立つので、(*)が示された。