# 第4章 練習問題

## 1.

次の2つの集合どちらが線形空間であるか. $\mathbf{(a)}$ すべての$n \times n$上三角行列の集合$\mathbf{(b)}$ すべての$n \times n$非対称行列の集合.

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解.(Kaneko)

p32の線型空間の定義から

行列の空でない集合$\mathcal{V}$が

(1)$\mathcal{V}$の中のあらゆる行列$\mathbf{A}$と$\mathcal{V}$の中のあらゆる行列$\mathbf{B}$に対して，和$\mathbf{A}+\mathbf{B}$が$\mathcal{V}$の中にある

(2)$\mathcal{V}$の中のあらゆる行列$\mathbf{A}$とあらゆるスカラーkに対して，積$k\mathbf{A}$が$\mathcal{V}$の中にある

を満たすとき線型空間をなす．

$\mathbf{(a)}$について

上三角行列の和は上三角行列であり，また上三角行列にスカラーを乗じても上三角行列である．従って$\mathbf{(a)}$は線型空間である．

$\mathbf{(b)}$について

ある$n \times n$非対称行列$\mathbf{A}$を考える．このとき$-\mathbf{A}$と転置して得られる$\mathbf{A}^T$も非対称行列である．$\mathbf{A}+\left(-\mathbf{A}\right)=\mathbf{0}, \mathbf{A}+\mathbf{A}^T$は対称行列であるため(1)を満たさない．またスカラー0を$\mathbf{A}$に乗じて得られるゼロ行列は対称行列であるため(2)を満たさない．以上からすべての$n \times n$非対称行列の集合は線型空間ではない．

## 2.

補助定理4.2.5 を証明せよ.

補助定理4.2.5. $\mathbf{A}$を$m \times n$行列， $\mathbf{B}$を$m \times p$行列とする. このとき，(1) $\mathcal{R}(\mathbf{A}^{\prime}) \subset \mathcal{R}(\mathbf{B}^{\prime})$であるときかつそのときに限って，$\mathcal{C}(\mathbf{A}) \subset \mathcal{C}(\mathbf{B})$であり， (2) $\mathcal{R}(\mathbf{A}^{\prime}) = \mathcal{R}(\mathbf{B}^{\prime})$であるときかつそのときに限って，$\mathcal{C}(\mathbf{A}) = \mathcal{C}(\mathbf{B})$である.

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解. (Yamashita)
(1)
$\mathcal{R}\left(\mathbf{A}^{\prime}\right) \subset \mathcal{R}\left(\mathbf{B}^{\prime}\right)$と仮定する.
$\mathcal{C}(\mathbf{A})$の任意のベクトル $\mathbf{x}$に対して, 補助定理4.1.1より $\mathbf{x}^{\prime} \in \mathcal{R}\left(\mathbf{A}^{\prime}\right)$であり, $\mathbf{x}^{\prime} \in \mathcal{R}\left(\mathbf{B}^{\prime}\right)$である.
よって, 補助定理4.1.1より, $\mathbf{x} \in \mathcal{C}(\mathbf{B})$. ゆえに, $\mathcal{C}(\mathbf{A}) \subset \mathcal{C}(\mathbf{B})$である.
逆に, $\mathcal{C}(\mathbf{A}) \subset \mathcal{C}(\mathbf{B})$と仮定する. $\mathbf{x}^{\prime} \in \mathcal{R}\left(\mathbf{A}^{\prime}\right)$なる任意の$m$次元列ベクトル$\mathbf{x}$に対して, $\mathbf{x} \in \mathcal{C}(\mathbf{A})$であり, $\mathbf{x} \in \mathcal{C}(\mathbf{B})$である. よって, $\mathbf{x}^{\prime} \in \mathcal{R}\left(\mathbf{B}^{\prime}\right)$. ゆえに, $\mathcal{R}\left(\mathbf{A}^{\prime}\right) \subset \mathcal{R}\left(\mathbf{B}^{\prime}\right)$.
以上より, $\mathcal{R}(\mathbf{A}^{\prime}) \subset \mathcal{R}(\mathbf{B}^{\prime})$であるときかつそのときに限って，$\mathcal{C}(\mathbf{A}) \subset \mathcal{C}(\mathbf{B})$であることが示された.

(2)
$\mathcal{R}(\mathbf{A}^{\prime}) = \mathcal{R}(\mathbf{B}^{\prime})$のとき, $\mathcal{R}(\mathbf{A}^{\prime}) \subset \mathcal{R}(\mathbf{B}^{\prime})$かつ $\mathcal{R}(\mathbf{B}^{\prime}) \subset \mathcal{R}(\mathbf{A}^{\prime})$である. よって, (1)より, $\mathcal{C}(\mathbf{A}) \subset \mathcal{C}(\mathbf{B})$かつ $\mathcal{C}(\mathbf{B}) \subset \mathcal{C}(\mathbf{A})$であるから, $\mathcal{C}(\mathbf{A}) = \mathcal{C}(\mathbf{B})$である.
同様に, $\mathcal{C}(\mathbf{A}) = \mathcal{C}(\mathbf{B})$のとき, $\mathcal{C}(\mathbf{A}) \subset \mathcal{C}(\mathbf{B})$かつ $\mathcal{C}(\mathbf{B}) \subset \mathcal{C}(\mathbf{A})$である. よって, (1)より, $\mathcal{R}(\mathbf{A}^{\prime}) \subset \mathcal{R}(\mathbf{B}^{\prime})$かつ $\mathcal{R}(\mathbf{B}^{\prime}) \subset \mathcal{R}(\mathbf{A}^{\prime})$であるから, $\mathcal{R}(\mathbf{A}^{\prime}) = \mathcal{R}(\mathbf{B}^{\prime})$である.
以上より, $\mathcal{R}(\mathbf{A}^{\prime}) = \mathcal{R}(\mathbf{B}^{\prime})$であるときかつそのときに限って，$\mathcal{C}(\mathbf{A}) = \mathcal{C}(\mathbf{B})$であることが示された.

## 3.

$\mathcal{U}, \mathcal{W}$を線形空間$\mathcal{V}$の部分空間とする(1).もし$\mathcal{V}$の中のあらゆる行列が$\mathcal{U}$あるいは$\mathcal{W}$に属する(2)ならば，$\mathcal{U} = \mathcal{V}$あるいは$\mathcal{W} = \mathcal{V}$であることを示せ.

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(1)より、$\mathcal{U} \subset \mathcal{V}$、$\mathcal{W} \subset \mathcal{V}$とする。今、矛盾を示すために、$\mathcal{U} = \mathcal{V}$も$\mathcal{W} = \mathcal{V}$も成り立たないとする。この時、(2)より、$\mathbf{A} \in \mathcal{V}$、$\mathbf{B} \in \mathcal{V}$であり、$\mathbf{A} \notin \mathcal{U}$、$\mathbf{B} \notin \mathcal{W}$である$\mathbf{A}$、$\mathbf{B}$が存在する(3)。この時、(2)より、$\mathbf{A}$、$\mathbf{B}$は、それぞれ、$\mathcal{U}$か$\mathcal{W}$に属するので、$\mathbf{A} \in \mathcal{W}$、$\mathbf{B} \in \mathcal{U}$である。

今、$\mathbf{A} = \mathbf{B} - (\mathbf{B}-\mathbf{A})$であり、$\mathbf{B} = \mathbf{A} + (\mathbf{B}-\mathbf{A})$である。$\mathbf{A}$、$\mathbf{B}$がいずれも$\mathcal{V}$に属する(3)ため、$\mathbf{B}-\mathbf{A}$もまた、$\mathcal{V}$に属し、$\mathcal{U}$か$\mathcal{W}$に属する(2)。そして、もし、$\mathbf{B}-\mathbf{A} \in \mathcal{U}$ならば、$\mathbf{B} \in \mathcal{U}$なので、 $\mathbf{B} - (\mathbf{B}-\mathbf{A}) \in \mathcal{U}$が成り立つので、$\mathbf{A} \in \mathcal{U}$である。これは、(3)に矛盾する。同様に、$\mathbf{B}$についても矛盾する。

よって、$\mathcal{U} = \mathcal{V}$あるいは$\mathcal{W} = \mathcal{V}$が成り立つ。

## 4.

$\mathbf{A,B,C}$を$\mathbf{A+B+C = 0}$を満たす(同じ次元をもつ)3つの行列とする.このとき，$\operatorname{sp}(\mathbf{A}, \mathbf{B})=\operatorname{sp}(\mathbf{A}, \mathbf{C})$であることを示せ.

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解. (kumada)

$\mathbf{E}$が$sp(\mathbf{A}, \mathbf{B})$の中の任意の行列を表すとする。このとき、$\mathbf{E} = d\mathbf{A} +k\mathbf{B}$である。
あるスカラーdとkに対して、$\mathbf{E}=d\mathbf{A}+k(-\mathbf{A}-\mathbf{C})=(d-k)\mathbf{A}+(-k)\mathbf{C} \in sp(\mathbf{A},\mathbf{C})$となる。
したがって、$sp(\mathbf{A}, \mathbf{B}) \subset sp(\mathbf{A}, \mathbf{C})$ となる。また同様にして、$sp(\mathbf{A}, \mathbf{C}) \subset sp(\mathbf{A}, \mathbf{B})$が成り立つ。
以上より、$sp(\mathbf{A}, \mathbf{B}) = sp(\mathbf{A}, \mathbf{C})$が導かれる。

## 5.

$\mathbf{A}_{1}, \ldots, \mathbf{A}_{k}$を線形空間$\mathcal{V}$の中の任意の行列とする.このとき，$\operatorname{sp}(\mathbf{A}_{1}, \ldots, \mathbf{A}_{k})$が$\mathcal{V}$の部分空間であり，$\left\{\mathbf{A}_{1}, \ldots, \mathbf{A}_{k}\right\}$を含む$\mathcal{V}$のすべての部分空間の間で，それが($\mathbf{A}_{1}, \ldots, \mathbf{A}_{k}$を含む($\mathcal{V}$の)任意の部分空間$\mathcal{U}$に対して，$\operatorname{sp}\left(\mathbf{A}_{1}, \ldots, \mathbf{A}_{k}\right) \subset \mathcal{U}$であるという意味において)最小であることを示せ.

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解. (Hamada)

$\mathcal{W} = \operatorname{sp}(\mathbf{A}_{1}, \ldots, \mathbf{A}_{k})$ とおく。$\mathcal{W} = \{ \sum_{i=1}^k x_i \mathbf{A}_i \mid x_1, \ldots, x_k \in \mathcal{R} \}$ である。任意の $y_1, \ldots, y_k, z_1, \ldots, z_k \in \mathcal{R}$ に対し $\sum_{i=1}^k y_i \mathbf{A}_i + \sum_{i=1}^k z_i \mathbf{A}_i = \sum_{i=1}^k (y_i + z_i) \mathbf{A}_i \in \mathcal{W}$ であるから $\mathcal{W}$ は和で閉じている。任意の $c, y_1, \ldots, y_k \in \mathcal{R}$ に対し $c\sum_{i=1}^k y_i \mathbf{A}_i = \sum_{i=1}^k (cy_i) \mathbf{A}_i \in \mathcal{W}$ であるから $\mathcal{W}$ はスカラー倍で閉じている。また明らかに $\mathcal{W} \subset \mathcal{V}$ である。以上から、$\mathcal{W}$ は $\mathcal{V}$ の部分空間である。

$\mathcal{U}$ を、$\{\mathbf{A}_{1}, \ldots, \mathbf{A}_{k}\}$ を含む任意の部分空間とする。$\mathcal{U}$ は和とスカラー倍で閉じているので、任意の $x_1, \ldots, x_k \in \mathcal{R}$ に対し $\sum_{i=1}^k x_i \mathbf{A}_i \in \mathcal{U}$ である。よって $\mathcal{U} \supset \mathcal{W}$ である。従って $\mathcal{W}$ は $\{\mathbf{A}_{1}, \ldots, \mathbf{A}_{k}\}$ を含む最小の部分空間である。

## 6.

補助定理4.3.1 を証明せよ.

補助定理4.3.1. $\mathbf{A}_{1}, \ldots, \mathbf{A}_{p}$と$\mathbf{B}_{1}, \ldots, \mathbf{B}_{q}$を線形空間$\mathcal{V}$の中の行列とする.このとき，もし集合$\left\{\mathbf{A}_{1}, \ldots, \mathbf{A}_{p}\right\}$が$\mathcal{V}$を張るならば，集合$\left\{\mathbf{A}_{1}, \ldots, \mathbf{A}_{p}, \mathbf{B}_{1}, \ldots, \mathbf{B}_{q}\right\}$も$\mathcal{V}$を張る. また，もし集合$\left\{\mathbf{A}_{1}, \ldots, \mathbf{A}_{p}, \mathbf{B}_{1}, \ldots, \mathbf{B}_{q}\right\}$が$\mathcal{V}$を張り$\mathbf{B}_{1}, \ldots, \mathbf{B}_{q}$が$\mathbf{A}_{1}, \ldots, \mathbf{A}_{p}$の線形結合として表せるならば，集合$\left\{\mathbf{A}_{1}, \ldots, \mathbf{A}_{p}\right\}$は$\mathcal{V}$を張る.

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解. (Tomita)

4.3c節で述べたように、 $\mathbf{B}_{1}, \ldots, \mathbf{B}_{q}$ が $\mathbf{A}_{1}, \ldots, \mathbf{A}_{p}$ の線形結合で表現できるならば, $\mathbf{A}_{1}, \ldots, \mathbf{A}_{p}, \mathbf{B}_{1}, \ldots, \mathbf{B}_{q}$ が $\mathbf{A}_{1}, \ldots, \mathbf{A}_{p}$ の線形結合で表現できることを示し、続けてその逆を示せばよい. $k_{1 j}, \ldots, k_{p j}$ s.t. $\mathbf{B}_{j}=\sum_{i} k_{i j} \mathbf{A}_{i}(j=1, \ldots, q)$ に対して、任意のスカラー $x_{1}, \ldots, x_{p}, y_{1}, \ldots, y_{q}$ に対して,
$$
\sum_{i} x_{i} \mathbf{A}_{i}+\sum_{j} y_{j} \mathbf{B}_{j}=\sum_{i}\left(x_{i}+\sum_{j} y_{j} k_{i j}\right) \mathbf{A}_{i}
$$
これは$\mathbf{A}_{1}, \ldots, \mathbf{A}_{p}, \mathbf{B}_{1}, \ldots, \mathbf{B}_{q}$ が $\mathbf{A}_{1}, \ldots, \mathbf{A}_{p}$ の線形結合で表現できることを示す. $\mathbf{A}_{1}, \ldots$, $\mathbf{A}_{p}$ の任意の線形結合が$\mathbf{A}_{1}, \ldots, \mathbf{A}_{p}, \mathbf{B}_{1}, \ldots, \mathbf{B}_{q}$ の線形結合で示せることは自明である.

## 7.

$\left\{\mathbf{A}_{1}, \ldots, \mathbf{A}_{k}\right\}$が線形空間$\mathcal{V}$を張る行列の集合ではあるが$\mathcal{V}$の基底ではないと仮定する.$\mathcal{V}$の中の任意の行列$\mathbf{A}$に対して，$\left\{\mathbf{A}_{1}, \ldots, \mathbf{A}_{k}\right\}$を用いた$\mathbf{A}$の表現は一意でないことを示せ.

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解. (Ogura)

$\left\{\mathbf{A}_{1}, \ldots, \mathbf{A}_{k}\right\}$は線形空間$\mathcal{V}$を張る行列の集合であるため、スカラー$x_1, x_2, \cdots, x_k$を用いて$\boldsymbol{A} = \sum_{i = 1}^k x_i\boldsymbol{A}_i$と表すことができる。$\left\{\mathbf{A}_{1}, \ldots, \mathbf{A}_{k}\right\}$は基底ではないため、線形従属であることから、$\sum_{i = 1}^k z_i\boldsymbol{A}_i = \boldsymbol{0}$となる、少なくとも1つは0ではないスカラー$z_1, z_2, \cdots, z_k$が存在する。ここで、$x_i + z_i = y_i$とすると、
\begin{align}
\boldsymbol{A} &= \boldsymbol{A} + \boldsymbol{0} \\
&= \sum_{i = 1}^k x_i\boldsymbol{A}_i + \sum_{i = 1}^k z_i\boldsymbol{A}_i \\
&= \sum_{i = 1}^k y_i\boldsymbol{A}_i
\end{align}
より、$\left\{\mathbf{A}_{1}, \ldots, \mathbf{A}_{k}\right\}$を用いた$\mathbf{A}$の表現が一意でないことが示された。

## 8.

$$
\mathbf{A}=\left(\begin{array}{rrrrr}0 & 1 & 0 & -3 & 2 \\ 0 & -2 & 0 & 6 & 2 \\ 0 & 2 & 2 & 5 & 2 \\ 0 & -4 & -2 & 1 & 0\end{array}\right)
$$

とする.
$\mathbf{(a)}$ 2個の列ベクトル$(2,-1,3, -4)^{\prime}$と$(0, 9, -3,12)^{\prime}$の各々が$\mathbf{A}$の列の線形結合として表せる(従って$\mathcal{C}(\mathbf{A})$の中にある)ことを示せ.
$\mathbf{(b)}$ 定理4.3.11 の証明のところで記述したアルゴリズムを適用することで$\mathcal{C}(\mathbf{A})$の基底を見出せ. (このアルゴリズムを適用する際にこの張る集合が$\mathbf{A}$の列から成る集合であるようにとる.)
$\mathbf{(c)}$ $\operatorname{rank}(\mathbf{A})$の値を導出せよ.
$\mathbf{(d)}$ $\mathbf{(a)}$の2 個の列ベクトルを含む$\mathcal{C}(\mathbf{A})$の基底を見出せ.それには定理4.3.12 の証明のところで記述したアルゴリズムを適用せよ. (このアルゴリズムを適用する際に，この張る集合が$\mathbf{A}$の列から成る集合であるようにとる.)

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(a)以下の通り、線型結合で表せる。
\begin{gathered}
\left(\begin{array}{r}
2 \\
-1 \\
3 \\
-4
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}
1 \\
-2 \\
2 \\
-4
\end{array}\right)+\frac{1}{2}\left(\begin{array}{l}
2 \\
2 \\
2 \\
0
\end{array}\right) \\
\left(\begin{array}{r}
0 \\
9 \\
-3 \\
12
\end{array}\right)=-3\left(\begin{array}{r}
1 \\
-2 \\
2 \\
-4
\end{array}\right)+\frac{3}{2} \left(\begin{array}{l}
2 \\
2 \\
2 \\
0
\end{array}\right)
\end{gathered}

(b)定理4.3.11の証明で登場した記法に合わせて、
\begin{align}
S &= \{ \mathbf{A}_1, \mathbf{A}_2, \mathbf{A}_3, \mathbf{A}_4, \mathbf{A}_5 \}\\
&:= \left\{ \left(\begin{array}{r}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right), \left(\begin{array}{r}1 \\ -2 \\ 2 \\ -4 \end{array}\right), \left(\begin{array}{r}0 \\ 0 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right), \left(\begin{array}{r}-3 \\ 6 \\ 5 \\ 1 \end{array}\right), \left(\begin{array}{r}2 \\ 2 \\ 2 \\ 0\end{array}\right) \right\}
\end{align}
と置く。定理4.3.11に登場するアルゴリズムと同様に、「$\boldsymbol{0}$でなく、すでに$S^*$に含まれるどんな列ベクトルの線形結合としても表せないならば、その列ベクトルを$S^*$の要素に追加する」というアルゴリズムを、$\mathbf{A}_1, \mathbf{A}_2, \mathbf{A}_3, \mathbf{A}_4, \mathbf{A}_5$の順に行う。

* $\mathbf{A}_1$は、$\boldsymbol{0}$だから$S^*$の要素に追加しない。
* $\mathbf{A}_2$は、$\boldsymbol{0}$ではないので、追加する。
* $\mathbf{A}_3$は、$\boldsymbol{0}$ではなく、$\mathbf{A}_2$のスカラー倍として表せないので、追加する。
* $\mathbf{A}_4$は、$\mathbf{A}_4 = -3 \mathbf{A}_2 + \frac{11}{2}\mathbf{A}_3$として表せるので、追加しない。
* $\mathbf{A}_5$は、第1、第2成分の形から明らかに$\mathbf{A}_2$と$\mathbf{A}_3$の線形結合では表せないので、追加する。

以上より、$\{ \mathbf{A}_2, \mathbf{A}_3, \mathbf{A}_5\}$が$\mathcal{C}(\mathbf{A})$の基底である。

${\rm (c)}$ rankの定義から、$\mathcal{C}(\mathbf{A})$の基底の要素数$3$に一致する。

(d) $\mathcal{C}(\mathbf{A})$の基底$\{ \mathbf{A}_2, \mathbf{A}_3, \mathbf{A}_5\}$に、$\mathcal{C}(\mathbf{A})$のベクトルを2つ追加して得られる以下の集合も、補助定理4.3.1により、$\mathcal{C}(\mathbf{A})$を張る。（追加した2つのベクトルが$\mathcal{C}(\mathbf{A})$に含まれていることは、(a)にて証明済）
\begin{gathered}
\left\{ \left(\begin{array}{r}
2 \\
-1 \\
3 \\
-4
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{r}
0 \\
9 \\
-3 \\
12
\end{array}\right), \mathbf{A}_2, \mathbf{A}_3, \mathbf{A}_5\right\}
\end{gathered}

定理4.3.12のアルゴリズムに従って、この集合の要素を左から順に、互いに線型独立なものだけ選んでいく。

* $(2, -1, 3, -4)'$は$\boldsymbol{0}$ではないので追加する。
* $(0, 9, -3, 12)'$は$\boldsymbol{0}$ではなく、$(2, -1, 3, -4)'$のスカラー倍ではないので、追加する。
* $\displaystyle \begin{gathered}
\mathbf{A}_2 = \frac{1}{2} \left(\begin{array}{r}
2 \\
-1 \\
3 \\
-4
\end{array}\right)
-\frac{1}{6}
\left(\begin{array}{r}
0 \\
9 \\
-3 \\
12
\end{array}\right)\end{gathered} \displaystyle$と表せるので、$\mathbf{A}_2$は追加しない。
* $\mathbf{A}_3$は、$(2, -1, 3, -4)'$と $(0, 9, -3, 12)'$の線形結合では表せない（第1要素から、1つ目の係数が0でなければならず、第2要素から2つ目の係数も0でなければならないため）。従って、$\mathbf{A}_3$を基底の要素に追加する。
* 基底の要素数は3であるから、$\mathbf{A}_5$は検討不要。

以上より、基底は以下のとおり。
\begin{gathered}
\left\{ \left(\begin{array}{r}
2 \\
-1 \\
3 \\
-4
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{r}
0 \\
9 \\
-3 \\
12
\end{array}\right), \mathbf{A}_3 \right\}
\end{gathered}

## 9.

$\mathbf{A}$を$q\times p$行列，$\mathbf{B}$を$p\times n$行列，$\mathbf{C}$を$m \times q$行列とする.このとき， $\mathbf{(a)}$ もし$\operatorname{rank}(\mathbf{CAB}) = \operatorname{rank}(\mathbf{C})$ならば，$\operatorname{rank}(\mathbf{CA}) = \operatorname{rank}(\mathbf{C})$であり，$\mathbf{(b)}$ もし$\operatorname{rank}(\mathbf{CAB}) = \operatorname{rank}(\mathbf{B})$ならば，$\operatorname{rank}(\mathbf{AB}) = \operatorname{rank}(\mathbf{B})$であることを示せ.

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解.

(a)を示す

$\operatorname{rank}(\mathbf{C A B})=\operatorname{rank}(\mathbf{C})$とした場合

系4.4.5を使うと

$\operatorname{rank}(\mathbf{C}) \geq \operatorname{rank}(\mathbf{C A}) \geq \operatorname{rank}(\mathbf{C A B})=\operatorname{rank}(\mathbf{C})$となる。

よって、$\operatorname{rank}(\mathbf{C A})=\operatorname{rank}(\mathbf{C})$

(b)を示す

$\operatorname{rank}(\mathbf{C A B})=\operatorname{rank}(\mathbf{B})$とした場合

(a)と同様に系4.4.5を使うと

$\operatorname{rank}(\mathbf{B}) \geq \operatorname{rank}(\mathbf{A B}) \geq \operatorname{rank}(\mathbf{C A B})=\operatorname{rank}(\mathbf{B})$となる。

よって、$\operatorname{rank}(\mathbf{A B})=\operatorname{rank}(\mathbf{B})$

## 10.

$\mathbf{A}$を階数$r$の$m\times n$行列とする.$\mathbf{A}$を階数1の$r$個の行列の和として表せることを示せ.

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解. (Moriwaki)

定理4.4.8を用いると、$\mathbf{A} = \mathbf{BT}$を満たすような$m\times r$の行列$\mathbf{B}$と$r \times n$の行列$\mathbf{T}$が必ず存在する。$\mathbf{b}_{1}, \ldots, \mathbf{b}_{r}$を行列$\mathbf{B}$の1列めから$r$列めを表すとし、$\mathbf{t}_{1}^{\prime}, \ldots, \mathbf{t}_{r}^{\prime}$を行列$\mathbf{T}$の1行目から$r$行めまでを表すとする。これらは定理4.4.8から最大列階数、最大行階数$r$を持っているのでいずれも線形独立である。

2章の$(2.9)$に照らし合わせると、$\mathbf{A}$はこの列ベクトル$\mathbf{b}_{j}$・行ベクトル$\mathbf{t}_{j}^{\prime}$の積の和として表すことができて、

$$
\mathbf{A}= \sum_{j=1}^{r} \mathbf{b}_{j}\mathbf{t}_{j}^{\prime} \left( =\sum_{j=1}^{r} \mathbf{A}_{j} \right)
$$

ここで$\mathbf{A}_{j} = \mathbf{b}_{j}\mathbf{t}_{j}^{\prime}$を満たすような$m\times n$の行列である。このとき、$\mathbf{b}_{1}, \ldots, \mathbf{b}_{r}$と$\mathbf{t}_{1}^{\prime}, \ldots, \mathbf{t}_{r}^{\prime}$はいずれも$\mathbf{0}$でなく、線形独立も保証されているので、$\mathbf{A}_{j}$も$\mathbf{0}$でないことがわかる。

系4.4.5より、$\operatorname{rank}\left(\mathbf{A}_{j}\right) = \operatorname{rank}\left(\mathbf{b}_{j}\mathbf{t}_{j}^{\prime}\right) \leq \operatorname{rank}\left(\mathbf{b}_{j}\right)$となる。さらに補助定理4.4.3から列ベクトル$\mathbf{b}_{j}$は$m\times 1$行列扱いなので$\operatorname{rank}\left(\mathbf{b}_{j} \right) \leq 1$、これより$\operatorname{rank}\left(\mathbf{A}_{j}\right) = 1\ (j=1,\ldots, r)$となる（※$\mathbf{A}_{j}$は$\mathbf{0}$でないので）。以上から$\mathbf{A}$を階数1の$r$個の行列$\mathbf{A}_{j}$の和として表せることが示された。

（おまけ）例えば、$\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$で$\mathbf{t}^{\prime} = (3,4,5)$ならば

$$
\mathbf{bt}^{\prime} = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 5 \\ 6 & 8 & 10 \\ 9 & 12 & 15 \end{pmatrix}
$$

で、これは線形独立な行ベクトル・列ベクトルはいずれも1つだけなので階数1である。

## 11.

$\mathbf{A}$を$m \times n$行列，$\mathbf{C}$を$q \times n$行列とする.
$\mathbf{(a)}$

$$
\mathcal{R}(\mathbf{C})=\mathcal{R}\left(\begin{array}{l}\mathbf{A} \\ \mathbf{C}\end{array}\right) \Leftrightarrow \mathcal{R}(\mathbf{A}) \subset \mathcal{R}(\mathbf{C})
$$

であることを確かめて補助定理4.5.1 の証明に加えよ.
$\mathbf{(b)}$ $\operatorname{rank}(\mathbf{C}) \leq \operatorname{rank}\left(\begin{array}{l}\mathbf{A} \\ \mathbf{C}\end{array}\right)$であり，この等号は$\mathcal{R}(\mathbf{A}) \subset \mathcal{R}(\mathbf{C})$のときかつそのときに限って成り立つことを確かめて，系4.5.2 の証明に加えよ.

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解.（Chiba）
$\mathbf{(a)}$
いま$\mathcal{R}(\mathbf{A})\subset \mathcal{R}(\mathbf{C})$であると仮定する。このとき、補助定理4.2.2より、行列$\mathbf{L}$が存在して
$$
\mathbf{A} = \mathbf{L}\mathbf{C},
$$
従って、
$$
\left(\begin{array}{l}
\mathbf{A} \\
\mathbf{C}
\end{array}\right) =
\left(\begin{array}{l}
\mathbf{L} \\
\mathbf{I}
\end{array}\right)\mathbf{C}
$$
が成り立つ。よって、$\mathcal{R}\left(\begin{array}{l}\mathbf{A}\\
\mathbf{C}\end{array}\right) \subset \mathcal{R}(\mathbf{C})$である。従って、$\mathcal{R}(\mathbf{C})\subset \mathcal{R}\left(\begin{array}{l}\mathbf{A}\\
\mathbf{C}\end{array}\right)$であるので$\mathcal{R}(\mathbf{C})= \mathcal{R}\left(\begin{array}{l}\mathbf{A}\\
\mathbf{C}\end{array}\right)$である。

逆に、$\mathcal{R}(\mathbf{C})= \mathcal{R}\left(\begin{array}{l}\mathbf{A}\\
\mathbf{C}\end{array}\right)$であると仮定する。すると、$\mathcal{R}(\mathbf{A})\subset \mathcal{R}\left(\begin{array}{l}\mathbf{A}\\
\mathbf{C}\end{array}\right)$であるので、$\mathcal{R}(\mathbf{A})\subset\mathcal{R}(\mathbf{C})$である。

よって、$\mathcal{R}(\mathbf{C})= \mathcal{R}\left(\begin{array}{l}\mathbf{A}\\
\mathbf{C}\end{array}\right)\Leftrightarrow \mathcal{R}(\mathbf{A})\subset \mathcal{R}(\mathbf{C})$であることを証明した。

$\mathbf{(b)}$
補助定理4.5.1により、$\mathcal{R}(\mathbf{C})\subset\mathcal{R}\left(\begin{array}{l}\mathbf{A}\\
\mathbf{C}\end{array}\right)$であるので、定理4.4.4より、
$$\mathrm{rank}(\mathbf{C})\leq\mathrm{rank}\left(\begin{array}{l}\mathbf{A}\\
\mathbf{C}\end{array}\right)$$
が成り立つ。
さらにもし、$\mathcal{R}(\mathbf{A})\subset\mathcal{R}(\mathbf{C})$ならば、補助定理4.5.1より$\mathcal{R}(\mathbf{C})= \mathcal{R}\left(\begin{array}{l}\mathbf{A}\\
\mathbf{C}\end{array}\right)$である。よって、$\mathrm{rank}(\mathbf{C})= \mathrm{rank}\left(\begin{array}{l}\mathbf{A}\\
\mathbf{C}\end{array}\right)$が得られる。

逆にもし、$\mathrm{rank}(\mathbf{C})= \mathrm{rank}\left(\begin{array}{l}\mathbf{A}\\
\mathbf{C}\end{array}\right)$であるならば、$\mathcal{R}(\mathbf{C})\subset\mathcal{R}\left(\begin{array}{l}\mathbf{A}\\
\mathbf{C}\end{array}\right)$であるので、定理4.4.6より、$\mathcal{R}(\mathbf{C})=\mathcal{R}\left(\begin{array}{l}\mathbf{A}\\
\mathbf{C}\end{array}\right)$である。したがって、補助定理4.5.1より、$\mathcal{R}(\mathbf{A})\subset\mathcal{R}(\mathbf{C})$が成り立つ。