# 第22章 練習問題

## 1.

$\mathcal{U}$ を線形空間 $\mathcal{V}$ の部分空間, $S$ を $\mathcal{U}$ から線形空間 $\mathcal{W}$ の中への線形変換とする.$\mathcal{V}$から $\mathcal{W}$ の中への線形変換 $T$ で， $S$ が $\mathcal{U}$ への $T$ の制限となるものが存在することを示せ.

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(kumada)
解答
${\mathbf{X}_1,\ldots,\mathbf{X}_r}$ が $\mathcal{U}$ の基底を表すと仮定する。
さらに定理4.3.12から、${\mathbf{X}_1,\ldots,\mathbf{X}_r,\mathbf{X}_{r+1},\ldots,\mathbf{X}_{r+k}}$ が$\mathcal{V}$の基底であるような行列$\mathbf{X}_{r+1},\ldots,\mathbf{X}_{r+k}$ が存在することがわかる。

$i=1,\ldots,r$ について、以下を仮定する。
- $\mathbf{Y}_i=S(\mathbf{X}_i)$
- $i=r+1,\ldots,r+k$ について、$\mathbf{Y}_i$を$\mathcal{W}$の任意の行列
- $\mathbf{X}$を$\mathcal{V}$の任意の行列
- $c_1,\ldots,c_r,c_{r+1},\ldots,c_{r+k}$ を $\mathbf{X}=c_1\mathbf{X}_1+\cdots+c_r\mathbf{X}_r+c_{r+1}\mathbf{X}_{r+1}+\cdots+c_{r+k}\mathbf{X}_{r+k}$ を満たす（一意な）スカラー

ここで $\mathbf{Y}_1,\ldots,\mathbf{Y}_r,\mathbf{Y}_{r+1},\ldots,\mathbf{Y}_{r+k}$ が線形空間$\mathcal{W}$にあるので、$T(\mathbf{X})$も$\mathcal{W}$にある。$T$を
$$
T(\mathbf{X})=c_1 \mathbf{Y}_1+\cdots+c_r \mathbf{Y}_r+c_{r+1} \mathbf{Y}_{r+1}+\cdots+c_{r+k} \mathbf{Y}_{r+k}
$$
と定義したとき、$\mathbf{X}\in\mathcal{U}$の場合、{${\mathbf{X}_1,\ldots,\mathbf{X}_r}$}のみで表せるため、$c_{r+1}=\cdots=c_{r+k}=0$である。よって、
$$
T(\mathbf{X})=c_1 \mathbf{Y}_1+\cdots+c_r \mathbf{Y}_r=\sum_{i=1}^r c_i S\left(\mathbf{X}_i\right)=S\left(\sum_{i=1}^r c_i \mathbf{X}_i\right)=S(\mathbf{X}) .
$$
さらに、補題22.1.8から、$T$ が線形であることがわかる。
従って、$T$ は $\mathcal{U}$ に制限したものが$S$と一致する、$\mathcal{V}$ から $\mathcal{W}$ への線形変換である。

## 2.

$T$を線形空間$\mathcal{V}$から線形空間$\mathcal{W}$の中への1-1線形変換とする.そして$\mathcal{W}$の中の任意の行列 $\mathbf{U}, \mathbf{Y}$の内積を $\mathbf{X} \cdot \mathbf{Y}$と書く. 更に，$\mathcal{V}$の中のすべてで行列 $\mathbf{X}, \mathbf{Z}$ に対して $\mathbf{X} * \mathbf{Z}=T(\mathbf{X}) \cdot T(\mathbf{Z})$と定義する。この「*演算」が$\mathcal{V}$に対する内積に要求される4つの性質を満たすことを示せ.

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(hamada)

補助定理22.1.3より $\mathcal{N}(T)=\{\mathbf{0}\}$ であるから、 $T(\mathbf{X})=\mathbf{0} \Leftrightarrow \mathbf{X}=\mathbf{0}$ であることに注意しておく。

$\mathbf{X}, \mathbf{Z}, \mathbf{Y}$ を任意の $\mathcal{V}$ の元とし、$k$ を任意のスカラーとする。内積に要求される次の4つの性質は以下。

(1) $\mathbf{X} * \mathbf{Z}=\mathbf{Z} * \mathbf{X}$.
(2) $\mathbf{X} * \mathbf{X} \geq 0$, 等号は $\mathbf{X}=\mathbf{0}$ のときかつそのときに限って成り立つ。
(3) $(k \mathbf{X}) * \mathbf{Z}=k(\mathbf{X} * \mathbf{Z})$.
(4) $(\mathbf{X}+\mathbf{Z}) * \mathbf{Y}=(\mathbf{X} * \mathbf{Y})+(\mathbf{Z} * \mathbf{Y})$.

これが成り立つことを確かめる。

(1) $\mathbf{X} * \mathbf{Z}=T(\mathbf{X}) \cdot T(\mathbf{Z})=T(\mathbf{Z}) \cdot T(\mathbf{X})=\mathbf{Z} * \mathbf{X}$
(2) $\mathbf{X} * \mathbf{X}=T(\mathbf{X}) \cdot T(\mathbf{X})\geq 0$ であり、
$$
\mathbf{X} * \mathbf{X}=0 \Leftrightarrow T(\mathbf{X}) \cdot T(\mathbf{X}) = 0 \Leftrightarrow T(\mathbf{X}) = \mathbf{0} \Leftrightarrow \mathbf{X}=\mathbf{0}.
$$
(3) $(k \mathbf{X}) * \mathbf{Z}=T(k \mathbf{X}) \cdot T(\mathbf{Z})$ $=[k T(\mathbf{X})] \cdot T(\mathbf{Z})=k[T(\mathbf{X}) \cdot T(\mathbf{Z})]=k(\mathbf{X} * \mathbf{Z})$
(4) $(\mathbf{X}+\mathbf{Z}) * \mathbf{Y}=T(\mathbf{X}+\mathbf{Z}) \cdot T(\mathbf{Y})$ $=[T(\mathbf{X})+T(\mathbf{Z})] \cdot T(\mathbf{Y})$ $=[T(\mathbf{X}) \cdot T(\mathbf{Y})]+[T(\mathbf{Z}) \cdot T(\mathbf{Y})]=(\mathbf{X} * \mathbf{Y})+(\mathbf{Z} * \mathbf{Y})$.

## 3.

$T$ を線形空間 $\mathcal{V}$ から線形空間 $\mathcal{W}$ の中への線形変換， $\mathcal{U}$ を $\mathcal{V}$ の任意の部分空間で, $\mathcal{U}, \mathcal{N}(T)$が本質的に互いに素なものとする. 更に,$\left\{\mathbf{X}_1, \ldots, \mathbf{X}_r\right\}$を$\mathbf{U}$の中の$r$個の行列の線形独立な集合とする.
$\mathbf{(a)}$ $T\left(\mathbf{X}_1\right), \ldots, T\left(\mathbf{X}_r\right)$ が線形独立なことを示せ.
$\mathbf{(b)}$ もし$r=\operatorname{dim}(\mathcal{U})$ で（すなわち, $\mathbf{X}_1, \ldots, \mathbf{X}_r$ が $\mathcal{U}$ の基底を成し，） $\mathcal{U} \oplus \mathcal{N}(T) = \mathcal{V}$ならば、$T\left(\mathbf{X}_1\right), \ldots, T\left(\mathbf{X}_r\right)$は$T(\mathcal{V})$の基底をなすことを示せ。

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(tomita)
$c_1, \ldots, c_r$ を実数として $\sum_{i=1}^r c_i T\left(\mathbf{X}_i\right)=\mathbf{0}$を満たすとする. すると, $T\left(\sum_{i=1}^r c_i \mathbf{X}_i\right)=\sum_{i=1}^r c_i T\left(\mathbf{X}_i\right)=\mathbf{0}$, なので$\sum_{i=1}^r c_i \mathbf{X}_i$ は $\mathcal{N}(T)$ の要素であり,問題文中の定義から $\sum_{i=1}^r c_i \mathbf{X}_i \in \mathcal{U}$ なので $\sum_{i=1}^r c_i \mathbf{X}_i$ は $\mathcal{U} \cap \mathcal{N}(T)$の要素である. よって, $\sum_{i=1}^r c_i \mathbf{X}_i=\mathbf{0}$, であり問題文中の定義から$\mathbf{X}_1, \ldots, \mathbf{X}_r$ は互いに線形独立である, したがって$c_1=\cdots=c_r=0$. よって $T\left(\mathbf{X}_1\right), \ldots, T\left(\mathbf{X}_r\right)$ は互いに線形独立である.
(b) $r=\operatorname{dim}(\mathcal{U})$ かつ $\mathcal{U} \oplus \mathcal{N}(T)=\mathcal{V}$を仮定する. すると, 定理 22.1.1 と系 17.1.6から,
$$
\operatorname{dim}[T(\mathcal{V})]=\operatorname{dim}(\mathcal{V})-\operatorname{dim}[\mathcal{N}(T)]=\operatorname{dim}(\mathcal{U})=r .
$$
よって, 定理 4.3.9 と (a)の結果から, $T\left(\mathbf{X}_1\right)$, $\ldots, T\left(\mathbf{X}_r\right)$ は $T(\mathcal{V})$の基底を張る.

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参照

定理 22.1.1.
$T$ を線形空間 $\mathcal{V}$ から線形空間 $\mathcal{W}$ の中への線形変換とする. こ のとき， $\mathcal{M}, \mathcal{N}$ をそれぞれ $T$ の值域空間と零空間として,
$$
\operatorname{dim}(\mathcal{V})=\operatorname{dim}(\mathcal{M})+\operatorname{dim}(\mathcal{N})
$$

系 17.1.6
$\mathcal{U},\mathcal{V}$をが本質的に互い素ならば
（すなわち, $\mathcal{U}+\mathcal{V}$ が直和）ならば
$$
\operatorname{dim}(\mathcal{U} \oplus \mathcal{V})=\operatorname{dim}(\mathcal{U})+\operatorname{dim}(\mathcal{V})
$$
$$
\operatorname{dim}(\mathcal{U}+\mathcal{V})<\operatorname{dim}(\mathcal{U})+\operatorname{dim}(\mathcal{V})
$$
である.すなわち,
$$
\operatorname{dim}(\mathcal{U}+\mathcal{V}) \leq \operatorname{dim}(\mathcal{U})+\operatorname{dim}(\mathcal{V})
$$

## 4.

$T,S$を線形空間$\mathcal{V}$から線形空間$\mathcal{W}$の中への線形変換, $k$を任意のスカラーとする.
$\mathbf{(a)}$ 変換$kT$が線形なことを証明せよ.
$\mathbf{(b)}$ 変換$T+S$が線形なことを証明せよ.

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(ogura)

テキストp.302の条件(1)及び(2)を満たすことを確認すればよい。

(a) 線形空間$\mathcal{V}$の中の任意の行列$\mathbf{X}$、$\mathbf{Y}$及び任意のスカラー$c$について、
$$
\begin{align}
(kT)(\mathbf{X} + \mathbf{Y}) &= T[k(\mathbf{X} + \mathbf{Y})] \\
&= T(k\mathbf{X} + k\mathbf{Y}) \\
&= T(k\mathbf{X}) + T(k\mathbf{Y}) \\
&= kT(\mathbf{X}) + kT(\mathbf{Y}) \\
&= (kT)(\mathbf{X}) + (kT)(\mathbf{Y})
\end{align}
$$
かつ、
$$
\begin{align}
(kT)(c\mathbf{X}) &= k[cT(\mathbf{X})] \\
&= c[kT(\mathbf{X})] \\
&= c(kT)(\mathbf{X}) \\
\end{align}
$$

(b) 線形空間$\mathcal{V}$の中の任意の行列$\mathbf{X}$、$\mathbf{Y}$及び任意のスカラー$c$について、
$$
\begin{align}
(T + S)(\mathbf{X} + \mathbf{Y}) &= T(\mathbf{X} + \mathbf{Y}) + S(\mathbf{X} + \mathbf{Y}) \\
&= T(\mathbf{X}) + T(\mathbf{Y}) + S(\mathbf{X}) + S(\mathbf{Y}) \\
&= (T + S)(\mathbf{X}) + (T + S)(\mathbf{Y})
\end{align}
$$
かつ、
$$
\begin{align}
(T + S)(c\mathbf{X}) &= T(c\mathbf{X}) + S(c\mathbf{X}) \\
&= cT(\mathbf{X}) + cS(\mathbf{X}) \\
&= c[T(\mathbf{X}) + S(\mathbf{X})] \\
&= c(T + S)(\mathbf{X})
\end{align}
$$

## 5.

$S$を線形空間$\mathcal{U}$から線形空間$\mathcal{V}$の中への線形変換, $T$を$\mathcal{V}$から線形空間$\mathcal{W}$の中への線形変換とする. 変換$TS$が線形なことを示せ.

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(tachimoto)
線型空間$\mathcal{U}$に属する任意の行列$\mathbf{X}$と$\mathbf{Z}$、および任意のスカラー$c$に対して、
$$
\begin{aligned}
(T S)(\mathbf{X}+\mathbf{Z})=T[S(\mathbf{X}+\mathbf{Z})] & =T[S(\mathbf{X})+S(\mathbf{Z})] \\
& =T[S(\mathbf{X})]+T[S(\mathbf{Z})]=(T S)(\mathbf{X})+(T S)(\mathbf{Z}),
\end{aligned}
$$
$$
(T S)(c \mathbf{X})=T[S(c \mathbf{X})]=T[c S(\mathbf{X})]=c T[S(\mathbf{X})]=c(T S)(\mathbf{X}) .
$$

## 6.

$T$ を線形空間 $\mathcal{V}$ から線形空間 $\mathcal{W}$ のへの線形変換， $R$ を線形空間 $\mathcal{U}$ から $\mathcal{W}$ の 中への線形変換とする. もし$T(\mathcal{V}) \subset R(\mathcal{U})$ ならば, $\mathcal{V}$から$\mathcal{U}$中への線形変換$S$で, $T=RS$を満たすものが存在することを示せ.

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$T(\mathcal{V}) \subset R(\mathcal{U})$をする。そして、$\left\{\mathbf{X}_1, \ldots, \mathbf{X}_r\right\}$を$\mathcal{V}$の基底とする。
その時、$i=1, \ldots, r$に対して$T\left(\mathbf{X}_i\right) \in R(\mathcal{U})$が成り立ち、従って$\mathcal{U}$内のある$\mathbf{Y}_i$に対して以下が成り立つ。

$$
T\left(\mathbf{X}_i\right)=R\left(\mathbf{Y}_i\right)
$$

次に$\mathbf{X}$を$\mathcal{V}$内の任意の行列とする。
そして、$c_1, \ldots, c_r$を以下の等式が成り立つ,一意的なスカラーとする。

$$
\mathbf{X}=\sum_{i=1}^r c_i \mathbf{X}_i
$$

また、$S$を$\mathcal{V}$から$\mathcal{U}$への以下の変換を定義する。

$$
S(\mathbf{X})=\sum_{i=1}^r c_i \mathbf{Y}_i
$$

上記より

$$
\begin{aligned}
T(\mathbf{X})=T\left(\sum_{i=1}^r c_i \mathbf{X}_i\right) & =\sum_{i=1}^r c_i T\left(\mathbf{X}_i\right) \\
& =\sum_{i=1}^r c_i R\left(\mathbf{Y}_i\right) \\
& =R\left(\sum_{i=1}^r c_i \mathbf{Y}_i\right)=R[S(\mathbf{X})]=(R S)(\mathbf{X}) .
\end{aligned}
$$

よって、$T=R S$となる。さらに補助定理22.1.8より$S$は線形である。

## 7.

$T$を線形空間$\mathcal{V}$から線形空間$\mathcal{W}$の中への線形変換, $S, R$を$\mathcal{W}$から$\mathcal{V}$の中への変換とする.そして$RT=I$（ここでの恒等変換$I$は$\mathcal{V}$から$\mathcal{V}$の上へのものとする）かつ$TS= I$（ここでの恒等変換は $\mathcal{W}$ から $\mathcal{W}$ の上へのものとする）と仮定する. このとき，次のことを示せ.
$\mathbf{(a)}$ $T$ は可逆である.
$\mathbf{(b)}$ $R=S=T^{-1}$.

----

$\mathbf{(a)}$

$T$が可逆であることを示すためには、言葉の定義から$T$が1-1かつ上への変換であることを示せば良い。1-1を示すには、線形空間$\mathcal{V}$の中の行列$\mathbf{X}$と$\mathbf{Z}$で$T(\mathbf{X})=T(\mathbf{Z})$を満たすものとしたとき、仮定$RT=I$を用いると

$$
\mathbf{X}=I(\mathbf{X})=(R T)(\mathbf{X})=R[T(\mathbf{X})]=R[T(\mathbf{Z})]=(R T)(\mathbf{Z})=I(\mathbf{Z})=\mathbf{Z} .
$$

となるので、$T(\mathbf{X})=T(\mathbf{Z})$ならば$\mathbf{X} = \mathbf{Z}$であることが導けるので、これは$T$は1-1であることを表している（補助定理22.1.3.の証明方法に近い）。さらに、線形空間$\mathcal{W}$の中の任意の行列$\mathbf{Y}$について、

$$
\mathbf{Y}=I(\mathbf{Y})=(T S)(\mathbf{Y})=T[S(\mathbf{Y})]
$$

ここで、$S(\mathbf{Y})$は線形空間$\mathcal{V}$の中の行列である。よって、線形変換$T$は$\mathcal{V}$から$\mathcal{W}$の上への変換である。1-1かつ上への変換であることが示されたので、$T$は可逆であることが示された。

$\mathbf{(b)}$ P.313-314の

$$
T^{-1}T = I \tag{3.1}
$$

$$
TT^{-1} = I \tag{3.3}
$$

から、

$$
R=R I=R\left(T T^{-1}\right)=(R T) T^{-1}=I T^{-1}=T^{-1}
$$

と

$$
S=I S=\left(T^{-1} T\right) S=T^{-1}(T S)=T^{-1} I=T^{-1}
$$

を導ける。

## 8.

$T$を線形空間 $\mathcal{V}$から線形空間 $\mathcal{W}$ 中への可逆変換, $S$ を線形空間 $\mathcal{U}$ から $\mathcal{V}$ 中への可逆変換， $k$を任意のスカラーとする、練習問題7の結果（あるいは他のもの）用いて, 次のことを示せ。
$\mathbf{(a)}$ $k T$ が可逆で $(k T)^{-1}=(1 / k) T^{-1}$ である.
$\mathbf{(b)}$ $T S$ が可逆で $(T S)^{-1}=S^{-1} T^{-1}$ である.

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(chiba)
$\mathbf{(a)}$
練習問題7の結果より、
$$
\left(\frac{1}{k}T^{-1}\right)(kT) = I \ \ \text{および}\ \ (kT)\left(\frac{1}{k}T^{-1}\right) = I
$$
を示せば十分である。

結果(2.12),(3.1),(3.3),(2.2),(2.1)を使用すると、
$$
\begin{align}
\left(\frac{1}{k}T^{-1}\right)(kT) &= \frac{1}{k}\left((kT)T^{-1}\right) \\
&=\frac{1}{k}\left(k(TT^{-1})\right) \\
&= \frac{1}{k}(kI) = \left[\frac{1}{k}k\right]I = I
\end{align}
$$
であるとわかる。

>$$
k(TS) = (kT)S = T(kS) \tag{2.12}
$$
$$
T^{-1}T = I \tag{3.1}
$$
$$
(T^{-1})^{-1}T^{-1} = I \tag{3.2}
$$
$$
c(kT) = (ck)T = (kc)T = k(cT) \tag{2.2}
$$
$$
1T = T \tag{2.1}
$$

$\mathbf{(b)}$
練習問題7の結果より、
$$
\left(S^{-1}T^{-1}\right)(TS) = I \ \ \text{および}\ \ (TS)(S^{-1}T^{-1}) = I
$$
を示せば十分である。

結果(2.9),(3.1),(3.3),(2.13)を使用すると、
$$
\begin{align}
(S^{-1}T^{-1})(TS) &= ((S^{-1}T^{-1})T)S \\
& = (S^{-1}(T^{-1}T))S \\
&= (S^{-1}I)S = S^{-1}S = I
\end{align}
$$
であり、同様に
\begin{align}
(TS)(S^{-1}T^{-1}) &= ((TS)S^{-1})T^{-1} \\
&= (T(SS^{-1}))T^{-1} \\
&= (TI)T^{-1} = TT^{-1} = I
\end{align}
であるとわかる。

>$$
T(SR) = (TS)R \tag{2.9}
$$
$$
T^{-1}T = I \tag{3.1}
$$
$$
TT^{-1} = I \tag{3.3}
$$
$$
TI = IT = T \tag{2.13}
$$

## 9.

$T$ を$n$次元線形空間 $\mathcal{V}$ から $m$ 次元線形空間 $\mathcal{W}$ の中の線形変換とする. そして $\mathcal{W}$ 中の任意の行列 $\mathbf{U}, \mathbf{Y}$の内積を$\mathbf{U} \cdot \mathbf{Y}$と書く. 更に，$B$を$\mathcal{V}$の基底を成す（$\mathcal{V}$の中の）行列$\mathbf{V}_1, \ldots, \mathbf{V}_n$の集合, $C$を$\mathcal{W}$の正規直交基底を成す（$\mathcal{W}$の中の）行列$\mathbf{W}_1, \ldots, \mathbf{W}_m$ の集合とする. $B, C$に関する$T$の行列表現は, $m \times n$ 行列で第 $ij$ 要素が $T\left(\mathbf{V}_j\right) \cdot \mathbf{W}_i$ となるものであることを示せ.

----

## 10.

$T$ を, $\mathcal{R}^{m \times n}$ から $\mathcal{R}^{n \times m}$ の中への線形変換で, $T(\mathbf{X})=\mathbf{X}^{\prime}$ で定義したものとする. そして, $\left(i=1, \ldots, m\right.$ と $j=1, \ldots, n$ に対して) $\mathbf{U}_{i j}$を $m \times n$ 行列で, 第 $ij$ 要素が$1$で残りの$mn-1$ 個の要素が$0$のもの, $C$を$mn$個の行列$\mathbf{U}_{11}, \mathbf{U}_{21}, \ldots, \mathbf{U}_{m 1}, \ldots, \mathbf{U}_{1 n}, \mathbf{U}_{2 n}, \ldots, \mathbf{U}_{m n}$から成る $\mathcal{R}^{m \times n}$ の自然基底とする. 同様に，$D$ を $\mathcal{R}^{p \times q}$ の自然基底とする. $C, D$ に関する $T$ の行列表現は$\operatorname{vec}$置換行列 $\mathbf{K}_{m n}$となることを示せ.

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## 11.

$\mathcal{W}$ をすべての $p \times p$ 対称行列の線形空間, $T$ を $\mathcal{R}^{m \times n}$ から $\mathcal{W}$ 中への線形変換とする. 更に, $\left(i=1, \ldots, m\right.$ と $j=1, \ldots, n$ に対して) $\mathbf{U}_{i j}$ を $m \times n$ 行列で, 第$ij$要素が$1$で残りの$mn-1$個の要素が$0$のもの, $B$ を$mn$個の行列 $\mathbf{U}_{11}, \mathbf{U}_{21}, \ldots, \mathbf{U}_{m 1}, \ldots, \mathbf{U}_{1 n}, \mathbf{U}_{2 n}, \ldots, \mathbf{U}_{m n}$から成る$\mathcal{R}^{m \times n}$の自然基底とする. そして $C$を$\mathcal{W}$の通常の基底とする. このとき, 次のことを示せ.

$\mathbf{(a)}$ 任意の $m \times n$ 行列 $\mathbf{X}$ に対して,

$$
\left(L_C^{-1} T L_B\right)(\operatorname{vec} \mathbf{X})=\operatorname{vech}[T(\mathbf{X})]
$$

である.

$\mathbf{(b)}$ $(B, C$ に関する) $T$ の行列表現は $p(p+1) / 2 \times m n$ 行列

$$\left[\operatorname{vech} T\left(\mathbf{U}_{11}\right), \ldots, \operatorname{vech} T\left(\mathbf{U}_{m 1}\right), \ldots, \operatorname{vech} T\left(\mathbf{U}_{1 n}\right), \ldots, \operatorname{vech} T\left(\mathbf{U}_{m n}\right)\right]$$

となる.

$\mathbf{(c)}$ $p=m=n$ かつ（あらゆる $n \times n$ 行列 $\mathbf{X}$ に対して）
$$
T(\mathbf{X})=(1 / 2)\left(\mathbf{X}+\mathbf{X}^{\prime}\right)
$$
と仮定したと**き**, $\left(B, C\right.$ に関する） $T$ の行列表現は $\left(\mathbf{G}_n\right.$ を複製行列として） $\left(\mathbf{G}_n^{\prime} \mathbf{G}_n\right)^{-1} \mathbf{G}_n^{\prime}$ となる.

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## 13.

$T$ を $\mathcal{R}^{4 \times 1}$ から $\mathcal{R}^{3 \times 1}$ の中への線形変換で, $\mathbf{x}=\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right)^{\prime}$ に対して

$$
T(\mathbf{x})=\left(x_1+x_2, x_2+x_3-x_4, x_1-x_3+x_4\right)^{\prime}
$$

で定義したものとする. 更に, $B$を$\left(\mathbf{I}_4\right.$ の列から成る） $\mathcal{R}^{4 \times 1}$の自然基底, $E$ を$4$個のベクトル $(1,-1,0,-1)^{\prime},(0,0,1,1)^{\prime},(0,0,0,1)^{\prime},(1,1,0,0)^{\prime}$ から成る（$\mathcal{R}^{4 \times 1}$の）基底とする.そして $C$ を（$\mathbf{I}_3$ の列から成る） $\mathcal{R}^{3 \times 1}$ の自然基底, $F$ を$3$個のベクトル$(1,0,1)^{\prime},(1,1,0)^{\prime},(-1,0,0)^{\prime}$ から成る（$\mathcal{R}^{3 \times 1}$の）基底とする.

$\mathbf{(a)}$ $B, C$ に関する $T$ の行列表現を求めよ.
$\mathbf{(b)}$ 次のものを求めよ. $(1)$ $\mathcal{R}^{4 \times 1}$ から $\mathcal{R}^{4 \times 1}$ の上への $E, B$ に関する恒等変換の行列表現. $(2)$ $\mathcal{R}^{3 \times 1}$ から $\mathcal{R}^{3 \times 1}$ の上への $C$ と $F$ に関する恒等変換の行列表現.
$\mathbf{(c)}$ $E, F$ に関する $T$ の行列表現を次の2つの方法で求めよ. $(1)$ 等式$(4.8)$を用いた直接的な方法.$(2)$ $\mathbf{(a)}$と$\mathbf{(b)}$の結果と共に定理$22.4.4$を用いた間接的な方法.
$\mathbf{(d)}$ 定理 $22.5.2$ と系 $22.5.3$ (あるいは他のもの) を用いて, $\operatorname{rank} T$ と $\operatorname{dim}[\mathcal{N}(T)]$ を求めよ.

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(kaneko)

## 14.

$T$を$n$次元線形空間$\mathcal{V}$から$m$次元線形空間$\mathcal{W}$の中への階数$k$ (ここで$ k \gt 0$とする）の線形変換とする. $E, F$ に関する $T$ の行列表現が $\begin{pmatrix}\mathbf{I}_k & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0}\end{pmatrix}$の形になる$\mathcal{V}$の基底$E$と$\mathcal{W}$の基底$F$が存在することを示せ.

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(yamashita)
$B$ は $\mathcal{V}$ の任意の基底, $C$ は $\mathcal{W}$ の任意の基底とする. また, $\mathbf{A}$ を $B, C$ に関する $T$ の行列表現とする. このとき, 定理 22.5.2 の結果より, rank $\mathbf{A}=k$ であり, 定理 4.4.9 より $n \times n$ 非特異行列 $\mathbf{R}$ 及び $m \times m$ 非特異行列 $\mathbf{S}$ で $\mathbf{A}=\mathbf{S}\left(\begin{array}{ll}\mathbf{I}_k & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0}\end{array}\right) \mathbf{R}^{-1}$ すなわち $\left(\begin{array}{ll}\mathbf{I}_k & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0}\end{array}\right)=\mathbf{S}^{-1} \mathbf{A} \mathbf{R}$ を満たすものが存在する. さらに, 定理 22.4.7 より, $\left(\begin{array}{ll}\mathbf{I}_k & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right)$ は $E, F$ に関する $T$ の行列表現である.
> 定理 22.5.2. $T$ を $n$ 次元線形空間 $\mathcal{V}$ から $m$ 次元線形空間 $\mathcal{W}$ の中の線形変換, $\mathbf{A}$ を（$\mathcal{V}, \mathcal{W}$ のそれぞれの）基底 $B, C$ に関する $T$ の行列表現とする. このとき,
$$
\operatorname{rank} T=\operatorname{rank} \mathbf{A}
$$
である.

> 定理 22.4.7. $\mathcal{V}$ を $n$ 次元線形空間, $\mathcal{W}$ を $m$ 次元線形空間とする. 更に, $B$ を $\mathcal{V}$ の基底, $C$ を $\mathcal{W}$ の基底とする. そして, $T$ を $\mathcal{V}$ から $\mathcal{W}$ の中への線形変換, $\mathbf{A}$ を $B, C$ に関する $T$ の行列表現とする. このとき, $m \times n$ 行列 $\mathbf{H}$ は, ある $n \times n$ (非特異) 行列 $\mathbf{R}$ とある $m \times m$ (非特異) 行列 $\mathbf{S}$ に対して $\mathbf{H}=\mathbf{S}^{-1} \mathbf{A R}$ のときかつそのときに限って, ある基底 $E, F$ に関する $T$ の行列表現である.

## 15.

$T$を$n$次元線形空間$\mathcal{V}$から$m$次元線形空間 $\mathcal{W}$ の中への線形変換, $\mathbf{A}$を$(\mathcal{V}, \mathcal{W}$ それぞれの）基底 $B, C$ に関する$T$の行列表現とする. $\operatorname{dim}[\mathcal{N}(T)]=\operatorname{dim}[\mathcal{N}(\mathbf{A})]$ を定理$22.5.1$の$(2)$を用いて「直接」証明せよ（定理 $22.5.2$ の系として導くのではない).

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(齋藤)
> 22.5.1 (2)
> Tをn次元線型空間$\mathcal{V}$からm次元線型空間$\mathcal{W}$の中への線形変換, $\mathbf{A}$を$\mathcal{V, W}$のそれぞれの基底$\mathcal{B, C}$に関するTの行列表現とする。このとき、(略)n次元列ベクトル$\mathbf{x}$は、対応する行列$L_B (\mathbf{x})$が$\mathcal{N}(T)$の中にある時かつその時に限って、$\mathcal{N}(A)$の中にある。すなわち、$\mathcal{V}$の中の行列$\mathbf{X}$は、対応するベクトル$L_B^{-1} (\mathbf{X})$が$\mathcal{N}(A)$の中にある時かつその時に限って、$\mathcal{N}(T)$の中にある。

定理22.5.1 (2)から、容易に証明されるように$L_B [\mathcal{N}(\mathbf{A})] = \mathcal{N}(T)$が成り立つ。そのため、$\mathcal{N}(\mathbf{A})$から$\mathcal{N}(\mathbf{T})$の上に1対1の線形変換が成り立つ。1対1の線形変換が成り立つので、定義から、$\mathcal{N}(\mathbf{A})$と$\mathcal{N}(\mathbf{T})$は同型である。定理 22.3.1から、$\operatorname{dim}[\mathcal{N}(T)]=\operatorname{dim}[\mathcal{N}(\mathbf{A})]$ が成り立つ。

>定理22.3.1
> 2つの線型空間$\mathcal{V, W}$は、$\operatorname{dim}(\mathcal{V})=\operatorname{dim}(\mathcal{W})$の時かつその時に限って同型である。

## 16.

$T$を$n$次元線形空間$\mathcal{V}$から$\mathcal{V}$の中への線形変換とする.

$\mathbf{(a)}$ $\mathcal{U}$を$\mathcal{V}$の$T$次元部分空間とし，$\mathcal{U}$を$T$に対して不変と仮定する. $B$，$B$に関する $T$ の行列表現が (上ブロック三角の) $\begin{pmatrix}\mathbf{E} & \mathbf{F} \\ \mathbf{0} & \mathbf{H}\end{pmatrix}$ (ここで $\mathbf{E}$ の次元は$r \times r$とする)の形となる$\mathcal{V}$の基底が存在することを示せ.

$\mathbf{(b)}$ $\mathcal{U}, \mathcal{W}$ を $\mathcal{V}$の部分空間で $\mathcal{U} \oplus \mathcal{W}=\mathcal{V}$となるもの（すなわち, 和が $\mathcal{V}$となる $\mathcal{V}$の本質的に互いに素な部分空間）とする. $\mathcal{U}, \mathcal{W}$を共に$T$に対して不変と仮定する. $B, B$ に関する $T$ の行列表現が（ブロック対角の） $\operatorname{diag}(\mathbf{E}, \mathbf{H})$ (ここで $\mathbf{E}$ の次元は $\operatorname{dim}(\mathcal{U})$ に等しい) の形となる$\mathcal{V}$の基底$B$が存在することを示せ.

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(kumada)
解答
(a)
$\mathbf{X}_1,\ldots,\mathbf{X}_r$を$\mathcal{U}$の基底とする $r$ 個の行列とし、 $B$ を$\mathbf{X}_1,\ldots,\mathbf{X}_r$ と $n-r$ 個の追加の行列$\mathbf{X}_{r+1},\ldots, \mathbf{X}_n$から構成される$\mathcal{V}$の基底とする。このような基底の存在は定理4.3.12によって保証されている。
$\mathbf{A}={a_{ij}}$を $B$ と $B$ に関する$T$の行列表現とすると、$j=1,\ldots,r$ について
$$
a_{1,j}\mathbf{x}_1+\cdots+a_{r,j}\mathbf{X}_r+a_{r+1,j}\mathbf{x}_{r+1}+\cdots+a_{n,j}\mathbf{X}_n=T\left(\mathbf{X}_j\right)\in\mathcal{U}
$$
となる（$\mathcal{U}$の任意の行列は $\mathbf{X}_1,\ldots,\mathbf{X}_r$ の線形結合で表されるため）。
従って、$a_{r+1,j}=\cdots=a_{n,j}=0$となる($i=r+1,\ldots,n$ および $j=1,\ldots,r$ について $a_{ij}=0$)。

(b)
$r=\operatorname{dim}(\mathcal{U})$とする（この時、$\operatorname{dim}(\mathcal{W})=n-r$）。
$\mathbf{X}_1,\ldots,\mathbf{X}_r$ を $\mathcal{U}$の基底とし、$\mathbf{X}_{r+1}, \ldots,\mathbf{X}_n$ を$\mathcal{W}$の基底とする$n-r$ 個の行列とする。そして、$B$ を$\mathbf{X}_1, \ldots,\mathbf{X}_r,\mathbf{X}_{r+1},\ldots,\mathbf{X}_n$ から構成される$\mathcal{V}$の基底とする($\because$ 定理17.1.5)。

$\mathbf{A}={a_{ij}}$を $B$ と $B$ に関する$T$の行列表現とすると、$j=1, \ldots, r, r+1, \ldots, n$ について
$$
a_{1,j} \mathbf{X}_1+\cdots+a_{r,j} \mathbf{X}_r+a_{r+1,j} \mathbf{X}_{r+1}+\cdots+a_{n,j} \mathbf{X}_n=T\left(\mathbf{X}_j\right)
$$
となる。
- $j=1, \ldots, r$ について、$T\left(\mathbf{X}_j\right)\in\mathcal{U}$ である（$\mathcal{U}$の任意の行列は $\mathbf{X}_1, \ldots, \mathbf{X}_r$ の線形結合として表せる）ため、$a_{r+1,j}=\cdots=a_{n,j}=0$.
- 同様に、$j=r+1,\ldots,n$ について、$T\left(\mathbf{X}_j\right)\in\mathcal{W}$である（$\mathcal{W}$の任意の行列は $\mathbf{X}_{r+1}, \ldots,\mathbf{X}_n$ の線形結合として表せる）ため、$a_{1, j}=\cdots=a_{r,j}=0$.

つまりは、$a_{i,j}=0$ は、$i=r+1,\ldots,n$ かつ $j=1, \ldots,r$ の場合と、$i=1,\ldots,r$ かつ$j=r+1,\ldots,n$ の場合に成り立つ。