# 第5章 練習問題

## 1.

任意の$m \times n$行列$\mathbf{A}$と，$n \times p$行列$\mathbf{B}$と，$p \times q$行列$\mathbf{C}$に対して，

$$
\operatorname{tr}(\mathbf{A B C})=\operatorname{tr}\left(\mathbf{B}^{\prime} \mathbf{A}^{\prime} \mathbf{C}^{\prime}\right)=\operatorname{tr}\left(\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{C}^{\prime} \mathbf{B}^{\prime}\right)
$$

であることを示せ.

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解．（Kaneko)

(2.9),(1.5)を用いて

$$
\operatorname{tr}(\mathbf{ABC})=\operatorname{tr}(\mathbf{CAB})=\operatorname{tr}\left[(\mathbf{CAB})'\right]=\operatorname{tr}(\mathbf{B'A'C'})=\operatorname{tr}(\mathbf{A'C'B'})
$$

より成り立つことがわかる．

## 2.

$\mathbf{A, B, C}$を$n \times n$行列とする.
$\mathbf{(a)}$ 練習問題1の結果を(あるいは別の方法を)用いて，もし$\mathbf{A, B, C}$が対称ならば，$\operatorname{tr}(\mathbf{ABC}) = \operatorname{tr}(\mathbf{BAC})$であることを示せ.

$\mathbf{(b)}$ ($\mathbf{(a)}$ で考えた特別な場合を除くと)$\operatorname{tr}(\mathbf{BAC})$は必ずしも$\operatorname{tr}(\mathbf{ABC})$に等しくないことを示せ.

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### (a)
$\mathbf{A, B, C}$はそれぞれ対称なので、$\mathbf{A} = \mathbf{A}^{\prime}$, $\mathbf{B}=\mathbf{B^{\prime} }$, $\mathbf{C}=\mathbf{C}^{\prime}$である。よって、$\operatorname{tr}\left(\mathbf{B}^{\prime} \mathbf{A}^{\prime} \mathbf{C}^{\prime}\right)=\operatorname{tr}\left(\mathbf{B}\mathbf{A} \mathbf{C}\right)$が成り立つ。

よって、問1より、$\operatorname{tr}(\mathbf{ABC}) = \operatorname{tr}\left(\mathbf{B}^{\prime} \mathbf{A}^{\prime} \mathbf{C}^{\prime}\right)　=\operatorname{tr}(\mathbf{BAC})$が成り立つ

### (b)
$\mathbf{A} = \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
2 & 3 \\
\end{pmatrix}$, $\mathbf{B} = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
1 & 0 \\
\end{pmatrix}$, $\mathbf{C} = \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix}$とする。

今、$\operatorname{tr}(\mathbf{BAC})= 0$であり, $\operatorname{tr}(\mathbf{ABC}) = 5$である。

## 3.

$\mathbf{A}$は$\mathbf{A}^{\prime}\mathbf{A} = \mathbf{A}^{2}$を満たす$n \times n$行列とする.
$\mathbf{(a)}$ $\operatorname{tr}\left[\left(\mathbf{A}-\mathbf{A}^{\prime}\right)^{\prime}\left(\mathbf{A}-\mathbf{A}^{\prime}\right)\right]=0$ を示せ.
$\mathbf{(b)}$ $\mathbf{A}$が対称なことを示せ.

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解.

$\operatorname{tr}[\mathbf{A}^{\prime}]=\operatorname{tr}[\mathbf{A}](1.5)$ と $\operatorname{tr}[\mathbf{A}\mathbf{B}]=\operatorname{tr}[\mathbf{B}\mathbf{A}]$(2.3) より、

(a)
$\begin{aligned} \operatorname{tr}\left[\left(\mathbf{A}-\mathbf{A}^{\prime}\right)^{\prime}\left(\mathbf{A}-\mathbf{A}^{\prime}\right)\right] &=\operatorname{tr}\left[\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{A}-\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{A}^{\prime}-\mathbf{A} \mathbf{A}+\mathbf{A} \mathbf{A}^{\prime}\right] \\ &=\operatorname{tr}\left(\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{A}\right)-\operatorname{tr}\left[(\mathbf{A} \mathbf{A})^{\prime}\right]-\operatorname{tr}\left(\mathbf{A}^{2}\right)+\operatorname{tr}\left(\mathbf{A} \mathbf{A}^{\prime}\right) \\ &=\operatorname{tr}\left(\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{A}\right)-\operatorname{tr}\left[(\mathbf{A} \mathbf{A})^{\prime}\right] \\ &=\operatorname{tr}\left(\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{A}\right)-\operatorname{tr}(\mathbf{A} \mathbf{A})=0 \end{aligned}$

(b)
補題(5.3.1)を考慮すると、(a)より$\mathbf{A}-\mathbf{A}^{\prime}=0$. すなわち等価的に$\mathbf{A}=\mathbf{A}^{\prime}$となる。

※ **補助定理 5.3.1.**
任意の $m \times n$ 行列 $\mathbf{A}=\left\{a_{i j}\right\}$ に対して、$\operatorname{tr}\left(\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{A}\right)=0$ であるときかつそのときに限って$\mathbf{A}=\mathbf{0}$ である。