# 第11章 練習問題

## 1.

任意の行列$\mathbf{A}$に対して

$$
\mathcal{C}(\mathbf{A}) = \mathcal{N}(\mathbf{I} - \mathbf{AA^{-}})
$$

であることを示せ.

----

解.
$\mathbf{x}$ を$\mathbf{A}$の行の数と同じ次元を持つ列ベクトルだとする.公理9.3.6 から, $\mathbf{x} \in \mathcal{C}(\mathbf{A})$であるのは, $\mathbf{x}=$ $\mathbf{A A}^{-} \mathbf{x}$のときだけに限り, 等価な表現として $\left(\mathbf{I}-\mathbf{A} \mathbf{A}^{-}\right) \mathbf{x}=\mathbf{0}$と表せる. 後者の表現は $\mathbf{x} \in \mathcal{N}\left(\mathbf{I}-\mathbf{A} \mathbf{A}^{-}\right)$であることを示している.したがって, $\mathcal{C}(\mathbf{A})=\mathcal{N}\left(\mathbf{I}-\mathbf{A A}^{-}\right)$
## 2.

もし$\mathbf{X}_{1}, \ldots, \mathbf{X}_{k}$が（$\mathbf{X}$に関する）線形系$\mathbf{A X}=\mathbf{B}$の解で$c_{1}, \ldots, c_{k}$が$\sum_{i=1}^{k} c_{i}=1$を満たすスカラーならば, 行列$\sum_{i=1}^{k} c_{i} \mathbf{X}_{i}$は$\mathbf{A X}=\mathbf{B}$の解であることを示せ.

----

解 (Ogura)

\begin{align}
\mathbf{A}\left(\sum_{i = 1}^k c_i \mathbf{X}_i\right) = \sum_{i = 1}^k c_i (\mathbf{A}\mathbf{X}_i) = \sum_{i = 1}^k c_i \mathbf{B} = \mathbf{B}.
\end{align}

## 3.

$\mathbf{A}, \mathbf{Z}$を$n \times n$行列とする.$\operatorname{rank}(\mathbf{A})=n-1$と仮定し,$\mathbf{x}, \mathbf{y}$を$\mathbf{Ax}= \mathbf{0}, \mathbf{A}^{\prime} \mathbf{y}=\mathbf{0}$を満たす$\mathbf{0}$でない$n$次元列ベクトルとする.

$\mathbf{(a)}$適当な$n$次元行べクトル$\mathbf{k}^{\prime}$に対して $\mathbf{Z}=\mathbf{x}\mathbf{k}^{\prime}$のときかつそのときに限って,$\mathbf{AZ}=\mathbf{0}$であることを示せ.

$\mathbf{(b)}$適当なスカラー$c$に対して$\mathbf{Z}=c\mathbf{x}\mathbf{y}^{\prime}$のときかつそのときに限って,$\mathbf{AZ}=\mathbf{ZA}=\mathbf{0}$であることを示せ.

----

解.
(a) $\Rightarrow$は、命題の仮定により$\mathbf{Z}=\mathbf{x k}^{\prime}$なので、以下の式が成り立つことから明らか。

$$
\mathbf{A Z}=(\mathbf{A x}) \mathbf{k}^{\prime}=\mathbf{0} \mathbf{k}^{\prime}=\mathbf{0} .
$$

次に、$\Leftarrow$の命題を示す。$\mathbf{Z}=(\mathbf{z}_{1}, \mathbf{z}_{j}, \cdots, \mathbf{z}_{n})$とおく。
補助定理11.3.1および定理4.3.9により、$\mathcal{N}(\mathbf{A})$の基底は$\{\mathbf{x}\}$である。
さらに命題の仮定より$\mathbf{A Z}=\mathbf{0}$なので、$\mathbf{Z}$のどの列 $\mathbf{z}_{j}$ に対しても、あるスカラー$k_j$が存在して、$\mathbf{z}_{j}=k_{j} \mathbf{x}$となる。$(j=1, \ldots, n)$
このような$\mathbf{k}^{\prime}=\left(k_{1}, \ldots, k_{n}\right)$に対して、 $\mathbf{Z}=\mathbf{x k}^{\prime}$が成立する。

(b) $\Rightarrow$は、命題の仮定により$\mathbf{Z}=c \mathbf{x} \mathbf{y}^{\prime}$なので、以下の式が成り立つことから明らか。

$$
\begin{aligned}
\mathbf{A Z}
=&c(\mathbf{A x}) \mathbf{y}^{\prime}=c\mathbf{0} \mathbf{y}^{\prime}=\mathbf{0} \\
\mathbf{Z A}=&c \mathbf{x y}^{\prime} \mathbf{A}=c \mathbf{x}\left(\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{y}\right)^{\prime}=c \mathbf{x} \mathbf{0}^{\prime}=\mathbf{0}
\end{aligned}
$$

次に、$\Leftarrow$の命題を示す。
命題の仮定により$\mathbf{A Z}=\mathbf{0}$なので、(a)の帰結により$\mathbf{Z}=\mathbf{x k}^{\prime}$となるような$\mathbf{k}^{\prime}$が存在する。
命題の仮定により$\mathbf{Z A}=\mathbf{0}$なので、

$$
\begin{aligned}
\mathbf{k}^{\prime}
&=\left(\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{x}\right)^{-1}\left(\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{x}\right) \mathbf{k}^{\prime}
=\left(\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{x}\right)^{-1} \mathbf{x}^{\prime} \mathbf{Z} \\
\mathbf{k}^{\prime} \mathbf{A}
&=\left(\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{x}\right)^{-1} \mathbf{x}^{\prime} \mathbf{Z} \mathbf{A}=\mathbf{0}^{\prime} \\
\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{k}
&=\left(\mathbf{k}^{\prime} \mathbf{A}\right)^{\prime}=\mathbf{0}
\end{aligned}
$$

となり、$\mathbf{k} \in \mathcal{N}\left(\mathbf{A}^{\prime}\right.)$が言える。
(a)と同様の議論で、（補助定理11.3.1と定理4.3.9により）$\mathcal{N}\left(\mathbf{A}^{\prime}\right)$の基底が $\{\mathbf{y}\}$であると言えるので、あるスカラー$c$が存在して$\mathbf{k}=c \mathbf{y}$である。

以上により、$\mathbf{Z}=c \mathbf{x y}^{\prime}$である。

## 4.

$\mathbf{AX}=\mathbf{B}$を($n \times p$行列$\mathbf{X}$に関する)非同次線形系と仮定する. $s=p[n-\operatorname{rank}(\mathbf{A})]$と置き, $\mathbf{Z}_{1}, \ldots, \mathbf{Z}_{s}$を($n \times p$行列$\mathbf{Z}$ に関する) 同次線形系$\mathbf{AZ}=\mathbf{0}$の解空間の基底を成す任意の$s$個の$n \times p$行列となるようにとる.$\mathbf{X}_{0}$を$\mathbf{A X}=\mathbf{B}$の任意の特殊解とし,$\mathbf{X}_{i}=\mathbf{X}_{0}+\mathbf{Z}_{i}(i=1, \ldots, s)$と置く.

$\mathbf{(a)}$ $s+1$個の行列$\mathbf{X}_{0}, \mathbf{X}_{1}, \ldots, \mathbf{X}_{s}$が$\mathbf{A X}=\mathbf{B}$の線形独立な解であることを示せ.

$\mathbf{(b)}$ $\mathbf{A X}=\mathbf{B}$のあらゆる解は$\mathbf{X}_{0}, \mathbf{X}_{1}, \ldots, \mathbf{X}_{s}$の線形結合として表せることを示せ.

$\mathbf{(c)}$ $\mathbf{X}_{0}, \mathbf{X}_{1}, \ldots, \mathbf{X}_{s}$の線形結合 $\sum_{i=0}^{s} k_{i} \mathbf{X}_{i}$はスカラー$k_{0}, k_{1}, \ldots, k_{s}$が$\sum_{i=0}^{s} k_{i}=1$を満たすときかつそのときに限って, $\mathbf{A X}=\mathbf{B}$の解であることを示せ.

$\mathbf{(d)}$ $\mathbf{A X}=\mathbf{B}$解集合は線形空間$\operatorname{sp}\left(\mathbf{X}_{0}, \mathbf{X}_{1}, \ldots, \mathbf{X}_{s}\right)$の真部分集合であることを示せ.

----

(Shigenobu)

(a)問題の設定より$\mathbf{Z}_{1}, \ldots, \mathbf{Z}_{s}$は$\mathbf{A} \mathbf{X}=\mathbf{0}$の解空間の基底なので、$\mathbf{Z}_{1}, \ldots, \mathbf{Z}_{s}$自身も$\mathbf{A} \mathbf{X}=\mathbf{0}$の解である。また$\mathbf{X}_{0}$ を $\mathbf{A X}=\mathbf{B}$ は任意の特殊解としているので、定理11.2.3より$\mathbf{X}_{0}, \mathbf{X}_{1}, \ldots, \mathbf{X}_{s}$ は$\mathbf{A} \mathbf{X}=\mathbf{B}$ の解であることが分かる。あとはこれが線形独立であることを示せば良い。

>定理 11.2.3. $\mathbf{X}_{0}$ を（ $\mathbf{X}$ に関する）無矛盾な線形系 $\mathbf{A X}=\mathbf{B}$ の任意の特定の 解（特殊解と呼ぶ）を表すとするこのとき，行列 $\mathbf{X}^{*}$ は（Zに関する）同次 線形系の $\mathbf{A Z}=0$ の適当な解 $\mathbf{Z}^{*}$ に対して
$$
\mathbf{X}^{*}=\mathbf{X}_{0}+\mathbf{Z}^{*}
$$
のときかつそのときに限って, $\mathbf{A X}=\mathbf{B}$ の解である.

線形独立を示すにはスカラー$k_{0}, k_{1}, \ldots, k_{s}$において$\sum_{i=0}^{s} k_{i} \mathbf{X}_{i}=\mathbf{0}$の解が唯一
$k_{0}=\ldots=k_{s}=0$となること示せば良い。

$\sum_{i=0}^{s} k_{i} \mathbf{X}_{i}=\mathbf{0}$に$\mathbf{X}_{i}=\mathbf{X}_{0}+\mathbf{Z}_{i}(i=1, \ldots, s)$を代入すると以下の式になる。

$$
\left(\sum_{i=0}^{s} k_{i}\right) \mathbf{X}_{0}+\sum_{i=1}^{s} k_{i} \mathbf{Z}_{i}=\sum_{i=0}^{s} k_{i} \mathbf{X}_{i}=\mathbf{0} 　(S.1) 　
$$

(S.1)の両辺にAをかけると

$$
\left(\sum_{i=0}^{s} k_{i}\right) \mathbf{AX}_{0}+\sum_{i=1}^{s} k_{i} \mathbf{AZ}_{i}=\mathbf{A}\sum_{i=0}^{s} k_{i} \mathbf{X}_{i}=\mathbf{0}
$$

問題文より、$\mathbf{A X}_{0}=\mathbf{B}$、$\mathbf{A} \mathbf{Z}_{i}=\mathbf{0}$なので以下となる。

$$
\left(\sum_{i=0}^{s} k_{i}\right) \mathbf{B}=\mathbf{A}\left[\left(\sum_{i=0}^{s} k_{i}\right) \mathbf{X}_{0}+\sum_{i=1}^{s} k_{i} \mathbf{Z}_{i}\right]=\mathbf{0}\quad(S.2)
$$

$\mathbf{A X}=\mathbf{B}$は非同次線形系なので$\mathbf{B} \neq \mathbf{0}$より以下が成り立つ

$$
\sum_{i=0}^{s} k_{i}=0　(S.3)
$$

（S.3)を(S.1)に代入すると

$$
\sum_{i=1}^{s} k_{i} \mathbf{Z}_{i}=\mathbf{0}
$$
となり、$\mathbf{Z}_{1}, \ldots, \mathbf{Z}_{s}$は$\mathbf{A Z}=\mathbf{0}$の解空間の基底より、線形独立であるので$k_{1}=\ldots=k_{s}=0$

この結果と（S.3)より$k_{0}=0$となる。よって、$s+1$ 個の行列 $\mathbf{X}_{0}, \mathbf{X}_{1}, \ldots, \mathbf{X}_{s}$ が $\mathbf{A} \mathbf{X}=\mathbf{B}$ の線形独立な解であることが示された.

b）$\mathbf{X}^{*}$を$\mathbf{A X}=\mathbf{B}$の任意の解とする。この時、定理11.2.3より、$\mathbf{X}^{*}=\mathbf{X}_{0}+\mathbf{Z}^{*}$（$\mathbf{Z}^{*}$は$\mathbf{A Z}=\mathbf{0}$の解、$\mathbf{X}_{0}$は$\mathbf{A X}=\mathbf{B}$の特殊解）で表すことができる。

また、$\mathbf{Z}_{1}, \ldots, \mathbf{Z}_{s}$は$\mathbf{A Z}=\mathbf{0}$の解空間の基底（問題の前提より）なので
$\mathbf{Z}^{*}=\sum_{i=1}^{s} k_{i} \mathbf{Z}_{i}$（$k_{i}, \ldots, k_{s}$はスカラー）と$\mathbf{Z}_{1}, \ldots, \mathbf{Z}_{s}$の線形結合で表現できる。

よって、$\mathbf{X}^{*}$は以下の式で表すことができる。

$$
\begin{aligned}
X^{*} &=X_{0}+Z^{*}=X_{0}+\sum_{i=1}^{s} k_{i} Z_{i} \\
&=X_{0}+\sum_{i=1}^{s} k_{i}\left(X_{i}-X_{0}\right)　　（\mathbf{X}_{i}=\mathbf{X}_{0}+\mathbf{Z}_{i}(i=1, \ldots, s)より） \\
&=\left(1-\sum_{i=1}^{s} k_{i}\right) X_{0}+\sum_{i=1}^{s} k_{i} X_{i}
\end{aligned}
$$

よって、$\mathbf{A X}=\mathbf{B}$ のあらゆる解は $\mathbf{X}_{0}, \mathbf{X}_{1}, \ldots, \mathbf{X}_{s}$ の線形結合として表せることを示された.

c)問題a)より以下の等式が成り立つ

$$
\mathbf{A}\left(\sum_{i=0}^{s} k_{i} \mathbf{X}_{i}\right)=\mathbf{A}\left[\left(\sum_{i=0}^{s} k_{i}\right) \mathbf{X}_{0}+\sum_{i=1}^{s} k_{i} \mathbf{Z}_{i}\right]=\left(\sum_{i=0}^{s} k_{i}\right) \mathbf{B} \quad （S.4）
$$

もし、$\sum_{i=0}^{s} k_{i}=1$であれば、$\sum_{i=0}^{s} k_{i} \mathbf{X}_{i}$は$\mathbf{A X}=\mathbf{B}$の解になる。
逆にもし$\sum_{i=0}^{s} k_{i} {\mathbf{X}}_{i}$が$\mathbf{A} \mathbf{X}=\mathbf{B}$の解であれば$\mathbf{A}\left(\sum_{i=0}^{s} k_{i} \mathbf{X}_{i}\right)=\mathbf{B}$なので、これを（S .4)に代入すると$\left(\sum_{i=0}^{s} k_{i}\right) \mathbf{B}=\mathbf{B}$になる。$\mathbf{B} \neq \mathbf{0}$より、$\sum_{i=0}^{s} k_{i}=1$となる。

よって、$\mathbf{X}_{0}, \mathbf{X}_{1}, \ldots, \mathbf{X}_{s}$ の線形結合 $\sum_{i=0}^{s} k_{i} \mathbf{X}_{i}$ はスカラー $k_{0}, k_{1}, \ldots, k_{s}$ が $\sum_{i=0}^{s} k_{i}=1$ を満たすとき かつそのときに限って， $\mathbf{A X}=\mathbf{B}$ の解であることが示された.

d)問題b)から明らかなように、$\mathbf{A X}=\mathbf{B}$の解は$\operatorname{sp}\left(\mathbf{X}_{0}, \mathbf{X}_{1}, \ldots, \mathbf{X}_{s}\right)$（$\mathbf{X}_{0}, \mathbf{X}_{1}, \ldots, \mathbf{X}_{s}$の線形結合で表せる全ての行列からなる集合）に属する。しかし、問題c)より、全ての$\operatorname{sp}\left(\mathbf{X}_{0}, \mathbf{X}_{1}, \ldots, \mathbf{X}_{s}\right)$は$\mathbf{A X}=\mathbf{B}$の解ではない（$\sum_{i=0}^{s} k_{i}=1$の制約がある）。よって、$\mathbf{A X}=\mathbf{B}$ 解集合は線形空間 $\operatorname{sp}\left(\mathbf{X}_{0}, \mathbf{X}_{1}, \ldots, \mathbf{X}_{s}\right)$ の真部分集合であることが分かる。

## 5.

$\mathbf{AX}=\mathbf{B}$を($n \times p$行列$\mathbf{X}$に関する)無矛盾な線形系と仮定する. もし$\operatorname{rank}(\mathbf{A}) \lt n$かつ$\operatorname{rank}(\mathbf{B}) \lt p$ならば, $\mathbf{A}$のいかなる一般逆行列$\mathbf{G}$に対しても,$\mathbf{X}^{*}=\mathbf{G B}$のように表せない$\mathbf{A X}=\mathbf{B}$の解$\mathbf{X}^{*}$が存在することを示せ.

----
(moriwaki)

$\mathbf{A}$は$m\times n$, $\mathbf{B}$は$m \times p$行列である。定理11.5.1が$n\times p$行列$\mathbf{X}$に関して$\operatorname{rank}(\mathbf{A})=n$と$\operatorname{rank}(\mathbf{B})=p$の仮定のもとでのみ成り立つのに対し、この問題では$\textrm{rank}$が足りていない状態を論じる。

まず$\mathbf{AX} = \mathbf{B}$が無矛盾であるならば、定理7.2.1より次のことが言える。

> 定理 7.2.1. 次の各々の条件は（$\mathbf{X}$に関する）線形系$\mathbf{A X}=\mathbf{B}$が無矛盾であるための必要十分条件である.
> (1) $\mathcal{C}(\mathbf{B}) \subset \mathcal{C}(\mathbf{A})$.
> (2) $\mathbf{B}$のあらゆる列が$\mathcal{C}(\mathbf{A})$に属する.
> (3) $\mathcal{C}(\mathbf{A}, \mathbf{B})=\mathcal{C}(\mathbf{A})$.
> (4) $\operatorname{rank}(\mathbf{A}, \mathbf{B})=\operatorname{rank}(\mathbf{A})$

$\operatorname{rank}(\mathbf{B}) \lt p$であれば、同次線形系$\mathbf{Bk} = \mathbf{0}$となるような零ベクトルでない$p$次元列ベクトル$\mathbf{k}$が少なくとも1つ存在する。（定理11.3.1で示されているように線形独立な$\mathbf{k}$は最大で$p-\operatorname{rank}(\mathbf{B})$個取れる）

さらに定理4.3.12によると

>定理4.3.12. $k$次元線形空間$\mathcal{V}$の中にある$r$個の線形独立な行列の任意の集合$S$に対して，$S$の中の行列の$r$個のすべて(と$k-r$個の追加した行列)を含む$\mathcal{V}$の基底が存在する.

$p$次元線形空間$\mathcal{V}$について、1個の線形独立な列ベクトル$\mathbf{k}_{1}$に追加して、$\mathcal{V}$の基底となりうる線形独立な$p-1$個の列ベクトル$\mathbf{k}_{2}, \ldots, \mathbf{k}_{p}$が存在する。これを利用して$\mathbf{K}_{2} = (\mathbf{k}_{2}, \cdots, \mathbf{k}_{p})$として$\mathbf{K} = (\mathbf{k}_{1}, \mathbf{K}_{2})$とすると、この$\mathbf{K}$は非特異行列である。$\mathbf{BK} = (\mathbf{Bk}_{1}, \mathbf{BK}_{2}) = (\mathbf{0}, \mathbf{BK}_{2})$となる。

次に$\mathbf{A}$は$\operatorname{rank}(\mathbf{A}) \lt n$なので$\mathbf{Ay}^{*} = \mathbf{0}$となるような零ベクトルでない$n$次元ベクトル$\mathbf{y}_{1}^{*}$が最低1つは存在する。ここで、$\mathbf{Y}_{2}^{*}$を（$\mathbf{Y}_{2}$における）$\mathbf{AY_{2}^{*}} = \mathbf{BK}_{2}$の任意の解とし（問題の仮定から$\mathbf{AX} = \mathbf{B}$が無矛盾な線形系であり、補助定理4.2.2から$\mathcal{C}(\mathbf{BK}_{2}) \subset \mathcal{C}(\mathbf{B})(\subset \mathcal{C}(\mathbf{A}))$なので、$\mathbf{AY_{2}^{*}} = \mathbf{BK}_{2}$も当然無矛盾である）、これを用いて$\mathbf{Y}^{*} = (\mathbf{y}_{1}^{*}, \mathbf{Y}_{2}^{*})$とする。このとき明らかに$\mathbf{AY}^{*} = \mathbf{BK}$が成立する。

$\mathbf{X}^{*} = \mathbf{Y}^{*}\mathbf{K}^{-1}$とすると

$$
\mathbf{AX}^{*} = \mathbf{A}\mathbf{Y}^{*}\mathbf{K}^{-1} = \mathbf{BKK}^{-1} = \mathbf{B}
$$

と変形できるので、$\mathbf{Y}^{*}\mathbf{K}^{-1}$は$\mathbf{A X}=\mathbf{B}$の解の1つとして存在する。

ここで命題について背理法を用いて証明する。$\mathbf{A}$のある一般逆行列$\mathbf{G}$を適切にとれば$\mathbf{AX} = \mathbf{B}$の解を$\mathbf{X}^{*}=\mathbf{G B}$として常に書き表すことができるものと仮定する。このとき、先程の解は

$$
\begin{aligned}
\mathbf{X}^{*} = \mathbf{Y}^{*}\mathbf{K}^{-1} &\iff \mathbf{Y}^{*} = \mathbf{X}^{*}\mathbf{K} \\
& \iff (\mathbf{y}_{1}^{*}, \mathbf{Y}_{2}^{*}) = (\mathbf{X}^{*}\mathbf{k}_{1}, \mathbf{X}^{*}\mathbf{K}_{2})
\end{aligned}
$$

となるが、これに$\mathbf{X}^{*}=\mathbf{G B}$を代入すると、

$$
\mathbf{y}^{*}_{1} = \mathbf{X}^{*}\mathbf{k}_{1} = \mathbf{GBk}_{1} = \mathbf{0}
$$

となってしまい、$n$次元ベクトル$\mathbf{y}_{1}^{*}$が零ベクトルでないということと矛盾する。したがって背理法から$\mathbf{X}^{*}=\mathbf{G B}$の形で表せない解が存在することが示された。

## 6.

練習問題7.1 の$\mathbf{(b)}$の結果を用いて，補助定理11.6.1を一般化せよ.

> 補助定理11.6.1. $\mathbf{A}$を$m\times n$行列，$\mathbf{B}$を$m \times p$行列とする.もし$\mathbf{C}$が$r\times m$行列で最大列階数(すなわち，階数$m$) ならば， ($\mathbf{X}$に関する)線形系$\mathbf{CAX}=\mathbf{CB}$は線形系$\mathbf{AX}=\mathbf{B}$に同値である.

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解. (Chiba)
もし$\mathbf{C}$が$r\times q$行列で$\mathbf{D}$が$q\times m$行列として、$\operatorname{rank}(\mathbf{C}\mathbf{D}) = \operatorname{rank}(\mathbf{D})$とすると、（練習問題7.1のPart(b)から明らかなように）線型系$\mathbf{CDAX}=\mathbf{CDB}$は線型系$\mathbf{DAX}=\mathbf{DB}$と同値になる。

練習問題7.1 Part(b)
$\mathbf{A}, \mathbf{B}$を$m \times n$行列とする. (1) もし$\mathbf{C}$が$r \times q$行列で，$\mathbf{D}$が$\operatorname{rank}(\mathbf{CD}) = \operatorname{rank}(\mathbf{D})$を満たす$q \times m$行列ならば， $\mathbf{CDA} = \mathbf{CDB}$のとき$\mathbf{DA} = \mathbf{DB}$である。

## 7.

$\mathbf{A}$を$m \times n$行列, $\mathbf{B}$を$m \times p$行列, $\mathbf{C}$を$q \times m$行列とし, $\mathbf{A X}=\mathbf{B}$と$\mathbf{CAX}=\mathbf{CB}$を($\mathbf{X}$に関する) 線形系と仮定する.

$\mathbf{(a)}$ もし$\operatorname{rank}[(\mathbf{C}(\mathbf{A}, \mathbf{B})]=\operatorname{rank}(\mathbf{A}, \mathbf{B})$ならば, $\mathbf{CAX}=\mathbf{CB}$は$\mathbf{A X}=\mathbf{B}$に同値であり, それによって補助定理11.6.1と補助定理11.6.2が一般化されることを示せ.

> 補助定理11.6.2. 任意の$m\times n$行列$\mathbf{A}$と$n \times p$行列$\mathbf{F}$ に対して，線形系$\mathbf{A}^{\prime}\mathbf{AX} = \mathbf{A}^{\prime}\mathbf{AF}$は($\mathbf{X}$に関する)線形系$\mathbf{AX}=\mathbf{AF}$に同値である.

$\mathbf{(b)}$ もし$\operatorname{rank}[\mathbf{C}(\mathbf{A}, \mathbf{B})]\lt \operatorname{rank}(\mathbf{A}, \mathbf{B})$でありかつ$\mathbf{CAX}= \mathbf{CB}$が無矛盾であるならば,$\mathbf{A X}=\mathbf{B}$の解集合は $\mathbf{CAX}=\mathbf{CB}$の解集合の真部分集合である(すなわち, $\mathbf{AX}=\mathbf{B}$の解でない$\mathbf{CAX}=\mathbf{CB}$の解が存在する）ことを示せ.

$\mathbf{(c)}$ もし$\operatorname{rank}[\mathcal{C}(\mathbf{A}, \mathbf{B})] \lt \operatorname{rank}(\mathbf{A}, \mathbf{B})$でありかつ$\mathbf{AX}= \mathbf{B}$が矛盾しているならば, $\mathbf{CAX}=\mathbf{CB}$は無矛盾のことも矛盾していることもあることを例を挙げて示せ.

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解. (Kaneko)

(a) $\operatorname{rank}[\mathbf{C}(\mathbf{A}, \mathbf{B})]= \operatorname{rank}(\mathbf{A}, \mathbf{B})$であるとする。このとき定理4.4.7から$\mathcal{R}[\mathbf{C}(\mathbf{A}, \mathbf{B})]=\mathcal{R}(\mathbf{A}, \mathbf{B})$ したがって$\mathcal{R}(\mathbf{A}, \mathbf{B})\subset\mathcal{R}[\mathbf{C}(\mathbf{A}, \mathbf{B})]$である。ここで定理4.2.2によるとある行列$\mathbf{L}$に対して$(\mathbf{A}, \mathbf{B})=\mathbf{LC}(\mathbf{A}, \mathbf{B})$となることがわかる。
>補助定理4.2.2 任意の$m\times n$行列$\mathbf{A}$と$m\times p$行列$\mathbf{B}$ に対して， $\mathbf{B}=\mathbf{AF}$ を満たす$n\times p$行列$\mathbf{F}$ が存在するときかつそのときに限って， $\mathcal{C}(\mathbf{B})\subset\mathcal{C}(\mathbf{A})$である.同様に，任意の$m\times n$行列$\mathbf{A}$と任意の$q\times n$行列$\mathbf{C}$ に対して， $\mathbf{C}=\mathbf{LA}$ を満たす $q\times m$行列$\mathbf{L}$ が存在するときかつそのときに限って，$\mathcal{R}(\mathbf{C})\subset\mathcal{R}(\mathbf{A})$である.

したがって$\mathbf{A}=\mathbf{LCA},\mathbf{B}=\mathbf{LCB}$である。$\mathbf{CAX}=\mathbf{CB}$の任意の解$\mathbf{X}^*$について

$$
\mathbf{AX}^*=\mathbf{LCAX}^*=\mathbf{LCB}=\mathbf{B}
$$

となる。したがって$\mathbf{CAX}=\mathbf{CB}$の任意の解は$\mathbf{AX}=\mathbf{B}$の解であり，($\mathbf{AX}=\mathbf{B}$の解は$\mathbf{CAX}=\mathbf{CB}$の解であることから)$\mathbf{CAX}=\mathbf{CB}$は$\mathbf{AX}=\mathbf{B}$と等価であることがわかる。

(b) $\operatorname{rank}[\mathbf{C}(\mathbf{A}, \mathbf{B})]< \operatorname{rank}(\mathbf{A}, \mathbf{B})$で$\mathbf{CAX}=\mathbf{CB}$が無矛盾であるとする。ここで$\mathbf{AX}=\mathbf{B}$が無矛盾でないとき$\mathbf{AX}=\mathbf{B}$の解集合は$\mathbf{CAX}=\mathbf{CB}$の解集合の真部分集合であることは明らかである。したがって$\mathbf{AX}=\mathbf{B}$が無矛盾であるとする。このとき定理7.2.1を用いると

$$
\operatorname{rank}(\mathbf{A})=\operatorname{rank}(\mathbf{A}, \mathbf{B})>\operatorname{rank}[\mathbf{C}(\mathbf{A}, \mathbf{B})]=\operatorname{rank}(\mathbf{C A}, \mathbf{C B})=\operatorname{rank}(\mathbf{C A})
$$

となることがわかる。このことから

$$
n-\operatorname{rank}(\mathbf{A})<n-\operatorname{rank}(\mathbf{C A})\tag{1}
$$

となることがわかる。

$\mathbf{X}_0$を$\mathbf{AX}=\mathbf{B}$の任意の特殊解であるとする。定理11.2.3によると$\mathbf{AX}=\mathbf{B}$の解集合の要素$n\times p$行列$\mathbf{X}^*$は同じ係数行列を持つ線形同次系$\mathbf{AZ}=\mathbf{0}$の解$\mathbf{Z}^*$を用いて

$$
\mathbf{X}^*=\mathbf{X}_0+\mathbf{Z}^*
$$

と表される。同様に$\mathbf{X}_0$は$\mathbf{CAX}=\mathbf{CB}$の解でもあるので$\mathbf{CAX}=\mathbf{CB}$の解集合の要素$n\times p$行列$\mathbf{X}^*$は線形同次系$\mathbf{CAZ}=\mathbf{0}$の解$\mathbf{Z}^*$を用いて

$$
\mathbf{X}^*=\mathbf{X}_0+\mathbf{Z}^*
$$

と表される．

補助定理11.3.2から$\mathbf{AZ}=\mathbf{0}$の解空間の次元は$p[n-\operatorname{rank}(\mathbf{A})]$に等しく，$\mathbf{CAZ}=\mathbf{0}$の解空間の次元は$p[n-\operatorname{rank}(\mathbf{CA})]$に等しいことがわかる。$\mathbf{AZ}=\mathbf{0}$の解空間が$\mathbf{CAZ}=\mathbf{0}$の解空間の部分空間であることは明らかであり，これと(1)の不等式を踏まえると$\mathbf{AZ}=\mathbf{0}$の解空間は$\mathbf{CAZ}=\mathbf{0}$の解空間の真部分空間であることがわかる．したがって$\mathbf{AX}=\mathbf{B}$の解集合は$\mathbf{CAX}=\mathbf{CB}$の解集合の真部分集合であることがわかる。

(c)$\mathbf{AX}=\mathbf{B}$は任意の無矛盾でない線形系で$\mathbf{C}=\mathbf{0}$とすると

$$
\operatorname{rank}[\mathbf{C}(\mathbf{A},\mathbf{B})]=0<\operatorname{rank}(\mathbf{A},\mathbf{B})
$$

である。このとき$\mathbf{CAX}=\mathbf{CB}$は無矛盾である。

次に

$$
\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{array}\right), \quad \mathbf{B}=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right), \mathbf{C}=(1,0)
$$
の場合を考える。このとき$\mathbf{A X}=\mathbf{B}$は明らかに矛盾している。また

$$
\operatorname{rank}[\mathbf{C}(\mathbf{A}, \mathbf{B})]=1<2=\operatorname{rank}(\mathbf{A}, \mathbf{B})
$$

である。したがって$\mathbf{CAX}=\mathbf{CB}$は明らかに矛盾している。

## 8.

$\mathbf{A}$を$q\times n$行列，$\mathbf{B}$を$m\times p$行列，$\mathbf{C}$を$m\times q$行列とし，($n\times p$行列$\mathbf{X}$に関する)線形系$\mathbf{CAX} = \mathbf{B}$が無矛盾であると仮定する. $\operatorname{rank}(\mathbf{CA}) = \operatorname{rank}(\mathbf{A})$のときかつそのときに限って，$\mathbf{AX}$の値が$\mathbf{CAX} = \mathbf{B}$のあらゆる解に対して同ーであることを示せ.

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解. (Yamashita)
$\mathcal{R}(\mathbf{A}) = \mathcal{R}(\mathbf{C A})$ ならば $\operatorname{rank}$ の定義から $\operatorname{rank}(\mathbf{CA})=\operatorname{rank}(\mathbf{A})$ であり, 逆に $\operatorname{rank}(\mathbf{CA})=\operatorname{rank}(\mathbf{A})$ ならば系 4.4.7 より $\mathcal{R}(\mathbf{A}) = \mathcal{R}(\mathbf{C A})$ である.
> 系 4.4.7. $\mathbf{A}$ を $m \times n$ 行列, $\mathbf{F}$ を $n \times p$ 行列とする. $\operatorname{rank}(\mathbf{A F})=\operatorname{rank}(\mathbf{A})$ ならば, $\mathcal{C}(\mathbf{A F})=\mathcal{C}(\mathbf{A})$ である. 同様に, もし $\operatorname{rank}(\mathbf{A F})=\operatorname{rank}(\mathbf{F})$ ならば, $\mathcal{R}(\mathbf{A F})=\mathcal{R}(\mathbf{F})$ である.

よって, $\operatorname{rank}(\mathbf{C A})=\operatorname{rank}(\mathbf{A})$ のときかつそのときに限って, $\mathcal{R}(\mathbf{A}) = \mathcal{R}(\mathbf{C A})$
であり, $\mathcal{R}(\mathbf{C A}) \subset \mathcal{R}(\mathbf{A})$ よりこれは $\mathcal{R}(\mathbf{A}) \subset \mathcal{R}(\mathbf{C A})$ と同値であるから, 定理 11.10.1 より題意が示される.
> 定理 11.10.1. $\mathbf{A X}=\mathbf{B}$ が $(n \times p$ 行列 $\mathbf{X}$ に関する) 無矛盾な線形系と仮定し, $\mathbf{L}, \mathbf{K}$ を $n \times q$ 行列とする. このとき, $\mathbf{K}^{\prime} \mathbf{X}$ の値は, $\mathcal{R}\left(\mathbf{K}^{\prime}\right) \subset \mathcal{R}(\mathbf{A})$ のときかつそのときに限って, すなわち, $\mathbf{K}^{\prime}$ のあらゆる行が $\mathcal{R}(\mathbf{A})$ に属するときかつそのときに限って, $\mathbf{A X}=\mathbf{B}$ のあらゆる解に対して同一である.

## 9.

(1) 定理11.10.4と (2)定理11.10.5 を証明せよ.

> 定理11.10.4 $\mathbf{A}$を$m\times n$行列，$\mathbf{B}$を$m \times p$行列，$\mathbf{K}$を$n \times q$行列とする. もし$\mathbf{X}^{*},\mathbf{L}^{*}$がそれぞれ($\mathbf{X}, \mathbf{L}$に関する)線形系$$\begin{pmatrix}\mathbf{A} & \mathbf{0} \\ -\mathbf{K}^{\prime} & \mathbf{I}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\mathbf{X} \\ \mathbf{L}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\mathbf{B} \\ \mathbf{0}\end{pmatrix}\tag{10.2}$$の任意の解の第1と第2の部分ならば, $\mathbf{X}^{*}$は($\mathbf{X}$に関する）線形系$\mathbf{A X}=\mathbf{B}$の解で$\mathbf{L}^{*}=\mathbf{K}^{\prime} \mathbf{X}^{*}$である. 逆に, もし$\mathbf{X}^{*}$が$\mathbf{A} \mathbf{X}=\mathbf{B}$の任意の解ならば, $\mathbf{X}^{*}, \mathbf{K}^{\prime} \mathbf{X}^{*}$はそれぞれ線形系$(10.2)$の適当な解の第1と第2の部分である.

> 定理 11.10.5.$\mathbf{A}$を$n \times n$行列,$\mathbf{B}$を$n \times p$行列,$\mathbf{K}$を$n \times q$行列とする. もし$\mathbf{X}^{*}, \mathbf{L}^{*}$がそれぞれ（$\mathbf{X}, \mathbf{L}$に関する）線形系$$\begin{pmatrix}\mathbf{A}+\mathbf{K} \mathbf{K}^{\prime} & -\mathbf{K} \\ -\mathbf{K} & \mathbf{I}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\mathbf{X} \\ \mathbf{L}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\mathbf{B} \\ \mathbf{0}\end{pmatrix} \tag{10.3}$$の任意の解の第1と第2の部分であるならば，$\mathbf{X}^{*}$は($\mathbf{X}$に関する)線形系$\mathbf{A X}=\mathbf{B}$の解で$\mathbf{L}^{*}=\mathbf{K}^{\prime} \mathbf{X}^{*}$である．逆に，もし$\mathbf{X}^{*}$が$\mathbf{A X}=\mathbf{B}$の解ならば,$\mathbf{X}^{*}, \mathbf{K}^{\prime} \mathbf{X}^{*}$はそれぞれ線形系$(10.3)$の適当な解の第1と第2の部分である.

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解答　(齋藤)
(1)　
まず、定理11.10.4を考える。
今、$\mathbf{X}^{\ast}, \mathbf{L}^{\ast}$がそれぞれ(10.2)式の任意の解の第１と第２の部分とする。すると、(10.2)式より明らかに、
\begin{align}
\mathbf{A}\mathbf{X}^{\ast} + \mathbf{0}\mathbf{L}^{\ast}
&= \mathbf{A}\mathbf{X}^{\ast} \\
&= \mathbf{B} &(\because 仮定)
\end{align}
が成り立つ。今、$\mathbf{A}\mathbf{X}^{\ast} = \mathbf{B}$が成り立つため、$\mathbf{X}^{\ast}$は、$\mathbf{A}\mathbf{X} = \mathbf{B}$の解である。

同様に、
\begin{align}
&-\mathbf{K}'\mathbf{X}^{\ast} + \mathbf{I}\mathbf{L}^{\ast}
= \mathbf{0} &(\because 仮定) \\
&\Leftrightarrow \mathbf{K}'\mathbf{X}^{\ast} = \mathbf{L}^{\ast}
\end{align}
が成り立つ。よって$\mathbf{X}^{\ast}$は、$\mathbf{K}'\mathbf{X} = \mathbf{L}^{\ast}$の解である。

次に、逆を考える。$\mathbf{A}\mathbf{X}^{\ast} = \mathbf{B}$が成り立つとする。(10.2)式に代入すると、
\begin{align}
\mathbf{A}\mathbf{X}^{\ast} + \mathbf{0}\mathbf{L}^{\ast}
&= \mathbf{A}\mathbf{X}^{\ast} \\
&= \mathbf{B} &(\because 仮定)
\end{align}
が成り立つ。

さらに、$\mathbf{L} = \mathbf{K}'\mathbf{X}^{\ast}$を代入すると、
\begin{align}
&-\mathbf{K}'\mathbf{X}^{\ast} + \mathbf{I} \mathbf{K}'\mathbf{X}^{\ast}
= \mathbf{0}
\end{align}
である。よって逆も成り立つ。よって、11.10.4が成り立つ。

次に、定理11.10.5を考える。今、$\mathbf{X}^{\ast}, \mathbf{L}^{\ast}$がそれぞれ(10.3)式の任意の解の第１と第２の部分とする。すると、(10.3)式より明らかに、
\begin{align}
&-\mathbf{K}'\mathbf{X}^{\ast} + \mathbf{I}\mathbf{L}^{\ast}
= \mathbf{0} &(\because 仮定) \\
&\Leftrightarrow \mathbf{K}'\mathbf{X}^{\ast} = \mathbf{L}^{\ast}
\end{align}
が成り立つ。よって、$\mathbf{X}^{\ast}$は、$\mathbf{K}'\mathbf{X} = \mathbf{L}^{\ast}$の解である。また、この式を代入すると、
\begin{align}
(\mathbf{A}+\mathbf{K}\mathbf{K}') \mathbf{X}^{\ast} -\mathbf{K}\mathbf{L}^{\ast}
&= \mathbf{A}\mathbf{X}^{\ast} + \mathbf{K}\mathbf{K}' \mathbf{X}^{\ast} - \mathbf{K} \mathbf{K}'\mathbf{X}^{\ast} \\
&= \mathbf{A}\mathbf{X}^{\ast} \\
&= \mathbf{B} &(\because 仮定)
\end{align}
が成り立つ。よって、$\mathbf{A}\mathbf{X}^{\ast} = \mathbf{B}$が成り立つので、$\mathbf{X}^{\ast}$は$\mathbf{A}\mathbf{X}= \mathbf{B}$の解である。

逆を考えて、10.3式に解を導入すると、
\begin{align}
\mathbf{A}\mathbf{X}^{\ast} + \mathbf{K}\mathbf{K}' \mathbf{X}^{\ast} - \mathbf{K} \mathbf{K}'\mathbf{X}^{\ast}
&= \mathbf{A}\mathbf{X}^{\ast} \\
&= \mathbf{B} &(\because 仮定)
\end{align}
が成り立つ。また、

\begin{align}
-\mathbf{K}'\mathbf{X}^{\ast} + \mathbf{I}\mathbf{K}'\mathbf{X}^{\ast}
= \mathbf{0}
\end{align}

今、10.3式が満たされたので、これらは解である。