# 第2章 練習問題

## 1.

$\mathbf{A}_{*}$を$m\times n$行列$\mathbf{A}$の第$i_{1}, \ldots, i_{m-r}$行と第$j_{1}, \ldots, j_{n-s}$列を削除して作った($\mathbf{A}$の)$r \times s$部分行列とする.また$\mathbf{B}_{*}$を$\mathbf{A}^{\prime}$の第$j_{1}, \ldots, j_{n-s}$行と第$i_{1}, \ldots, i_{m-r}$列を削除して作った($\mathbf{A}^{\prime}$の)$s\times r$部分行列とする。

$$
\mathbf{B}_{*}=\mathbf{A}_{*}^{\prime} \tag{1.1}
$$

を証明せよ.

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※「$m\times n$行列$\mathbf{A}$の第$i_{1}, \ldots, i_{m-r}$行を削除して作った〜」というのは、必ずしも$i_{1}, \ldots, i_{m-r}$が連番でないことを考えなければならない。$i_{1} = 3, i_{2} = 1, ...$という指示も考えられる。

（解）　$i_{1}^{*}, \ldots, i_{r}^{*}\left(i_{1}^{*} \lt \cdots \lt i_{r}^{*}\right)$を、数列$\{1, \ldots, m\}$のうち、$i_{1}, \ldots, i_{m-r}$に該当しない$r$個の行番号を表すインデックスとする。同様にして、$j_{1}^{*}, \ldots, j_{s}^{*}\left(j_{1}^{*}<\cdots<j_{s}^{*}\right)$を、数列$\{1, \ldots, n\}$のうち、$j_{1}, \ldots, j_{n-s}$に該当しない$s$個の列番号を表すインデックスとする。また、$\mathbf{A}$と$\mathbf{A}^{\prime}$の$ij$番目の成分をそれぞれ$a_{ij}$と$b_{ij}$で表す。両者は$a_{ij} = b_{ji}$の関係式が成立する。

これらのインデックスを用いて$\mathbf{A}_{*}$を書き下すと

$$
\mathbf{A}_{*}=\left(\begin{array}{ccc}
a_{i_{1}^{*} j_{1}^{*}} & \ldots & a_{i_{1}^{*} j_{s}^{*}} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{i_{r}^{*} j_{1}^{*}} & \ldots & a_{i_{r}^{*} j_{s}^{*}}
\end{array}\right)
$$

であり、これは$r\times s$行列となっている。同様に$\mathbf{B}_{*}$は

$$
\mathbf{B}_{*} = \left(\begin{array}{ccc}
b_{j_{1}^{*} i_{1}^{*}} & \ldots & b_{j_{1}^{*} i_{r}^{*}} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
b_{j_{s}^{*} i_{1}^{*}} & \ldots & b_{j_{s}^{*} i_{r}^{*}}
\end{array}\right)
$$

と書き下せる。

$\mathbf{A}_{*}$の転置行列$\mathbf{A}_{*}^{\prime}$は、$a_{ij} = b_{ji}$の関係式を用いると

$$
\mathbf{A}_{*}^{\prime}=\left(\begin{array}{ccc}
a_{i_{1}^{*} j_{1}^{*}} & \ldots & a_{i_{r}^{*} j_{1}^{*}} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{i_{1}^{*} j_{s}^{*}} & \ldots & a_{i_{r}^{*} j_{s}^{*}}
\end{array}\right)
= \left(\begin{array}{ccc}
b_{j_{1}^{*} i_{1}^{*}} & \ldots & b_{j_{1}^{*} i_{r}^{*}} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
b_{j_{s}^{*} i_{1}^{*}} & \ldots & b_{j_{s}^{*} i_{r}^{*}}
\end{array}\right)
$$

となるので、これは$\mathbf{B}_{*}$に一致する。したがって、$(1.1)$が示された。

## 2.

$\textbf{(a)}$対称行列の主部分行列は対称であること$\textbf{(b)}$対角行列の主部分行列は対角であること，そして$\textbf{(c)}$上三角行列の主部分行列は上三角であることを証明せよ.

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解.

行列$\mathbf{A} = {a_{ij}}$の第$k_1, k_2, \cdots, k_r\ (k_1 < k_2 < \cdots < k_r)$番目の行および列を残した主部分行列を$\mathbf{B} = {b_{ij}}$を考える。定義より、$b_{ij} = a_{k_{i}, k_{j}}$である。

$\textbf{(a)}$ $\mathbf{A}$が対称行列のとき、$b_{ij} = a_{k_{i}, k_{j}} = a_{k_{j}, k_{i}} = b_{ji}$より、$\mathbf{B}$も対称行列となる。

$\textbf{(b)}$ $\mathbf{A}$が対角行列のとき、任意の$i, j\ (i \neq j)$について、$b_{ij} = a_{k_{i}, k_{j}} = 0$となるため、$\mathbf{B}$も対角行列となる。

$\textbf{(c)}$ $\mathbf{A}$が上三角行列のとき、任意の$i, j\ (i > j)$について、$b_{ij} = a_{k_{i}, k_{j}} = 0$となるため、$\mathbf{B}$も上三角行列となる。

## 3.

$$
\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}\mathbf{A}_{11} & \mathbf{A}_{12} & \cdots & \mathbf{A}_{1 r} \\ \mathbf{0} & \mathbf{A}_{22} & \cdots & \mathbf{A}_{2 r} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & \cdots & \mathbf{A}_{r r}\end{array}\right)
$$

をその第$ij$ブロック$\mathbf{A}_{ij}$が次元$n_{i} \times n_{j}(j>i=1,2, \ldots, r)$である$n \times n$ブロック三角行列とする.その対角ブロック$\mathbf{A}_{11}, \mathbf{A}_{22}, \ldots, \mathbf{A}_{r r}$が上三角であるときかつそのときに限って$\mathbf{A}$が上三角であることを示せ.

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$\mathbf{A}$が上三角　$\Leftrightarrow$　$\mathbf{A}$の下三角要素(対角項を除く）はすべてゼロ
$\Leftrightarrow$ $\mathbf{A}_{11}, \mathbf{A}_{22}, \cdots, \mathbf{A}_{rr}$の下三角要素(対角項を除く）はすべてゼロ
$\Leftrightarrow$ $\mathbf{A}_{11}, \mathbf{A}_{22}, \cdots, \mathbf{A}_{rr}$はすべて上三角

## 4.

結果
$$
\mathbf{A}^{\prime}=\begin{pmatrix}\mathbf{A}_{11}^{\prime} & \mathbf{A}_{21}^{\prime} & \cdots & \mathbf{A}_{r 1}^{\prime} \\ \mathbf{A}_{12}^{\prime} & \mathbf{A}_{22}^{\prime} & \cdots & \mathbf{A}_{r 2}^{\prime} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \mathbf{A}_{1 c}^{\prime} & \mathbf{A}_{2 c}^{\prime} & \cdots & \mathbf{A}_{r c}^{\prime}\end{pmatrix} \tag{2.3}
$$
と
$$
\mathbf{A B}=\begin{pmatrix}\mathbf{F}_{11} & \mathbf{F}_{11} & \cdots & \mathbf{F}_{1 v} \\ \mathbf{F}_{21} & \mathbf{F}_{21} & \cdots & \mathbf{F}_{2 v} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \mathbf{F}_{r 1} & \mathbf{F}_{r 2} & \cdots & \mathbf{F}_{r v}\end{pmatrix} \tag{2.6}
$$
を証明せよ.ここで$\mathbf{F}_{i j}=\sum_{k=1}^{c} \mathbf{A}_{i k} \mathbf{B}_{k j}=\mathbf{A}_{i 1} \mathbf{B}_{1 j}+\mathbf{A}_{i 2} \mathbf{B}_{2 j}+\cdots+\mathbf{A}_{i c} \mathbf{B}_{c j}$である。

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解.

$(2.3)$について、行列$\mathbf{H}_{ij}$を

$$
\mathbf{A}^{\prime}=\begin{pmatrix}\mathbf{H}_{11} & \mathbf{H}_{12} & \ldots & \mathbf{H}_{1 r} \\ \mathbf{H}_{21} & \mathbf{H}_{22} & \ldots & \mathbf{H}_{2 r} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \mathbf{H}_{c 1} & \mathbf{H}_{c 2} & \ldots & \mathbf{H}_{c r}\end{pmatrix}
$$

を満たすような$n_{i} \times m_{j}(i=1, \ldots, c; j=1, \ldots r)$の行列であると定義する。この定義から、$\mathbf{H}_{ij}$は$\mathbf{A}^{\prime}$の最初の$n_{1}+\cdots+n_{i-1}$行と最後の$n_{i+1}+\cdots+n_{c}$行、および$\mathbf{A}^{\prime}の$最初の$m_{1}+\cdots+m_{j-1}$列と最後の$m_{j+1}+\cdots+m_{r}$列を削除することで得られる$\mathbf{A}^{\prime}$の部分行列を表している。

一方で、$\mathbf{A}_{ji}$を考えると、これも定義から$\mathbf{A}$の最初の$m_{1}+\cdots+m_{j-1}$行と最後の$m_{j+1}+\cdots+m_{r}$行、および$\mathbf{A}の$最初の$n_{1}+\cdots+n_{i-1}$列と最後の$n_{i+1}+\cdots+n_{c}$列を削除することで得られる$\mathbf{A}$の部分行列である。

練習問題1.および$(1.1)$の結果から、両者は

$$
\mathbf{H}_{ij}^{\prime} = \mathbf{A}_{ji} \\
\mathbf{H}_{ij} = \mathbf{A}_{ji}^{\prime}
$$

であることが成立するので、

$$
\mathbf{A}^{\prime}=\begin{pmatrix}\mathbf{H}_{11} & \mathbf{H}_{12} & \ldots & \mathbf{H}_{1 r} \\ \mathbf{H}_{21} & \mathbf{H}_{22} & \ldots & \mathbf{H}_{2 r} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \mathbf{H}_{c 1} & \mathbf{H}_{c 2} & \ldots & \mathbf{H}_{c r}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\mathbf{A}_{11}^{\prime} & \mathbf{A}_{21}^{\prime} & \cdots & \mathbf{A}_{r 1}^{\prime} \\ \mathbf{A}_{12}^{\prime} & \mathbf{A}_{22}^{\prime} & \cdots & \mathbf{A}_{r 2}^{\prime} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \mathbf{A}_{1 c}^{\prime} & \mathbf{A}_{2 c}^{\prime} & \cdots & \mathbf{A}_{r c}^{\prime}\end{pmatrix}
$$

が導ける。

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$(2.6)$について、$a_{ij}, b_{ij}, h_{ij}, s_{ij}$を行列$\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{A}^{\prime}, \mathbf{AB}$の各$ij$成分であるとする。行列$\mathbf{A}$は$m \times n$次元、$\mathbf{B}$は$n \times q$次元であるとする。また、部分行列$\mathbf{S}_{ij}$を

$$
\mathbf{A B}=\begin{pmatrix}\mathbf{S}_{11} & \mathbf{S}_{11} & \cdots & \mathbf{S}_{1 v} \\ \mathbf{S}_{21} & \mathbf{S}_{21} & \cdots & \mathbf{S}_{2 v} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \mathbf{S}_{r 1} & \mathbf{S}_{r 2} & \cdots & \mathbf{S}_{r v}\end{pmatrix}
$$

を満たすような$m_{i}\times q_{j}(i=1, \ldots, r; j=1, \ldots v)$次元の行列として定義する。

この部分行列の$\mathbf{S}_{ij}$の$wz$成分$s_{wz}\ (w=1, \ldots, m_{i} ; z=1,\ldots, q_{j})$というのは、全体から見ると$(m_{1}+\cdots+m_{i-1}+w)$行めの$q_{1}+\cdots+q_{j-1}+z$列めに位置していることを踏まえると、

$$
\begin{aligned}
s_{m_{1}+\cdots+m_{i-1}+w, q_{1}+\cdots+q_{j-1}+z} &=\sum_{\ell=1}^{n_{1}+\cdots+n_{c}} a_{m_{1}+\cdots+m_{i-1}+w, \ell} b_{\ell, q_{1}+\cdots+q_{j-1}+z} \\
&=\sum_{k=1}^{c} \sum_{\ell=n_{1}+\cdots+n_{k-1}+1}^{n_{1}+\cdots+n_{k-1}+n_{k}} a_{m_{1}+\cdots+m_{i-1}+w, \ell} b_{\ell, q_{1}+\cdots+q_{j-1}+z} \\
&=\sum_{k=1}^{c} \sum_{t=1}^{n_{k}} a_{m_{1}+\cdots+m_{i-1}+w, n_{1}+\cdots+n_{k-1}+t} b_{n_{1}+\cdots+n_{k-1}+t, q_{1}+\cdots+q_{j-1}+z}
\end{aligned}
$$

によって計算できる。

一方で、部分行列$\mathbf{A}_{ik}$の$wt$成分は$a_{m_{1}+\cdots+m_{i-1}+w, n_{1}+\cdots+n_{k-1}+t}$, $\mathbf{B}_{kj}$の$tz$成分は$b_{n_{1}+\cdots+n_{k-1}+t, q_{1}+\cdots+q_{j-1}+z}$と書くことができるので、

$$
\sum_{t=1}^{n_{k}} a_{m_{1}+\cdots+m_{i-1}+w, n_{1}+\cdots+n_{k-1}+t} b_{n_{1}+\cdots+n_{k-1}+t, q_{1}+\cdots+q_{j-1}+z}
$$

は$\mathbf{A}_{ik}\mathbf{B}_{kj}$の$wz$成分を表している。よって$s_{m_{1}+\cdots+m_{i-1}+w, q_{1}+\cdots+q_{j-1}+z}$は、問題文の設定$\mathbf{F}_{i j}=\sum_{k=1}^{c} \mathbf{A}_{i k} \mathbf{B}_{k j}=\mathbf{A}_{i 1} \mathbf{B}_{1 j}+\mathbf{A}_{i 2} \mathbf{B}_{2 j}+\cdots+\mathbf{A}_{i c} \mathbf{B}_{c j}$の$wz$成分と一致し、$\mathbf{S}_{ij} = \mathbf{F}_{ij}$が成立する。したがって$(2.6)$式が導かれた。