# 齋藤　発表メモ
## 4.4.1
4.2.2より、$\mathbf{A} = \mathbf{B}\mathbf{L}$となる$\mathbf{B}$が存在するので、$R(\mathbf{A}) \subset R(\mathbf{L})$である。同様に、$\mathbf{A} = \mathbf{K}\mathbf{T}$となる$\mathbf{T}$が存在するので、$C(\mathbf{A}) \subset C(\mathbf{K})$である。

今、4.3.8より、もし$R(\mathbf{A}) \subset R(\mathbf{L})$ならば、$\dim[R(\mathbf{A})] \leq \dim[R(\mathbf{L}) ]$
が成り立つ。

今、定義より$\dim[R(\mathbf{A})] = r$であり、$\mathbf{L}$はc行なので$\dim[\mathbf{L}] \leq c$である。

よって、$r \leq c$である。

同様に、$C(\mathbf{A}) \subset C(\mathbf{K})$についても行うと、$c \leq r$である。

よって、$r = c$であり、行階数と列階数は一致する。

## 4.4.6
今、定義より、$rank(\mathbf{A}) = \dim [R(\mathbf{A})] = \dim[ C(\mathbf{A})]$である。同様に$\mathbf{B}$についても行うと、$\dim[C（\mathbf{B}）] = \dim[C（\mathbf{A}）]$が得られる。今、$C（\mathbf{B}） \subset C（\mathbf{A}$であり、$\dim[C（\mathbf{B}）] = \dim[C（\mathbf{A}）]$なので、4.3.10より、$C（\mathbf{B}）] = C（\mathbf{A}）$

## 4.4.8
階数が$r$である行列$\mathbf{A}$について、$\mathbf{A} = \mathbf{B}\mathbf{T}$となるm行r列の行列$\mathbf{B}$とr行n列の行列$\mathbf{T}$は4.4.2より存在する。

4.4.3より、$rank(\mathbf{B}) \leq r$であり、4.4.5より、$r = rank(\mathbf{A}) = rank(\mathbf{B}\mathbf{T}) \leq rank(\mathbf{B})$が成り立つので、$rank(\mathbf{B}) \geq r$である。

よって、$rank(\mathbf{B}) = r$であり、同様に、$rank(\mathbf{T}) = r$である。