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title: 第7章 練習問題

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# 第7章 練習問題

## 1.

$\mathbf{(a)}$ $\mathbf{A}$を$m \times n$行列，$\mathbf{C}$を$n \times q$行列，$\mathbf{B}$を$q\times p$行列とする.もし$\operatorname{rank}(\mathbf{AC}) = \operatorname{rank}(\mathbf{C})$ならば，

$$
\mathcal{R}(\mathbf{ACB}) = \mathcal{R}(\mathbf{CB}) , \quad \operatorname{rank}(\mathbf{ACB}) = \operatorname{rank}(\mathbf{CB})
$$

であり，もし$\operatorname{rank}(\mathbf{CB})=\operatorname{rank}(\mathbf{C})$ならば

$$
\mathcal{C}(\mathbf{ACB}) = \mathcal{C}(\mathbf{AC}), \quad \operatorname{rank}(\mathbf{ACB}) = \operatorname{rank}(\mathbf{AC})
$$

であり，それによって系4.4.7 と定理7.4.3 と系7.4.4の結果が拡張されることを示せ.

$\mathbf{(b)}$ $\mathbf{A}, \mathbf{B}$を$m \times n$行列とする. (1) もし$\mathbf{C}$が$r \times q$行列で，$\mathbf{D}$が$\operatorname{rank}(\mathbf{CD}) = \operatorname{rank}(\mathbf{D})$を満たす$q \times m$行列ならば， $\mathbf{CDA} = \mathbf{CDB}$のとき$\mathbf{DA} = \mathbf{DB}$であり，それによって系5.3.3の(1) の結果が拡張されることを示せ. (ヒント: $\mathbf{DA} = \mathbf{DB}$を示すには$\operatorname{rank}[\mathbf{D(A -B)}] = 0$ を示せば十分である.)
(2) 同様に，もし$\mathbf{C}$が$n \times q$行列， $\mathbf{D}$が$\operatorname{rank}(\mathbf{CD}) = \operatorname{rank}(\mathbf{C})$を満たす$q\times p$行列ならば， $\mathbf{ACD} = \mathbf{BCD}$のとき$\mathbf{AC} = \mathbf{BC}$であり，それによって系5.3.3 の(2)の結果が拡張されることを示せ.

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解.
$\mathbf{(a)}$
系4.2.3 より, $\mathcal{R}(\mathbf{A C B}) \subset \mathcal{R}(\mathbf{C B})$ および $\mathcal{C}(\mathbf{A C B})$ $\subset \mathcal{C}(\mathbf{A C})$である.

また, $\operatorname{rank}(\mathbf{A C})=\operatorname{rank}(\mathbf{C})$ならば, 系4.4.7より, $\mathcal{R}(\mathbf{A C})=\mathcal{R}(\mathbf{C})$であり, 補助定理4.2.2 より, $\mathbf{C}=\mathbf{L} \mathbf{A C}$ を満たす行列$\mathbf{L}$を用いて,
$$
\mathcal{R}(\mathbf{C B})=\mathcal{R}(\mathbf{L A C B}) \subset \mathcal{R}(\mathbf{A C B})
$$
よって, $\mathcal{R}(\mathbf{A C B})=\mathcal{R}(\mathbf{C B})$ および $\operatorname{rank}(\mathbf{ACB}) = \operatorname{rank}(\mathbf{C B})$である.

同様に, $\operatorname{rank}(\mathbf{C B})=\operatorname{rank}(\mathbf{C})$ならば, $\mathcal{C}(\mathbf{C B})=\mathcal{C}(\mathbf{C})$であり, $\mathbf{C}=\mathbf{CBR}$ を満たす行列$\mathbf{R}$を用いて,
$$
\mathcal{C}(\mathbf{A C})=\mathcal{C}(\mathbf{A C B R}) \subset \mathcal{C}(\mathbf{A C B})
$$
よって, $\mathcal{C}(\mathbf{A C B})=\mathcal{C}(\mathbf{A C})$ および$\operatorname{rank}(\mathbf{A C B})=\operatorname{rank}(\mathbf{A C})$である.


$\mathbf{(b)}$ $\mathbf{F}=\mathbf{A}-\mathbf{B}$とする.
(1)
$\operatorname{rank}(\mathbf{C D})=\operatorname{rank}(\mathbf{D})$ならば, $\mathbf{C D} \mathbf{A}= \mathbf{CDB}$のとき, $\mathbf{(a)}$より,
$$
\operatorname{rank}(\mathbf{D F})=\operatorname{rank}(\mathbf{C D F})=\operatorname{rank}(\mathbf{C D A}-\mathbf{C D B})=\operatorname{rank}(\mathbf{0})=0
$$
よって, $\mathbf{D F}=0$ すなわち $\mathbf{D A}=\mathbf{D B}$である.

(2)
同様に, $\operatorname{rank}(\mathbf{C D})=\operatorname{rank}(\mathbf{C})$ならば, $\mathbf{A C D}=\mathbf{B C D}$のとき, $\mathbf{(a)}$より,
$$
\operatorname{rank}(\mathbf{F C})=\operatorname{rank}(\mathbf{F C D})=\operatorname{rank}(\mathbf{A C D}-\mathbf{B C D})=\operatorname{rank}(0)=0
$$
よって, $\mathbf{F C}=\mathbf{0}$ すなわち $\mathbf{A C}=\mathbf{B C}$である.