## 1.

(同じ次元の)任意の行列$\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}$に対して，

$$
(\mathbf{A}+\mathbf{B})+\mathbf{C}=(\mathbf{C}+\mathbf{A})+\mathbf{B}
$$

であることを示せ.

----

解. (Moriwaki)

第1章$(2.2)$の加法の可換、$(2.3)$の結合法則を用いる。

$$
\begin{aligned}
(\mathbf{A}+\mathbf{B})+\mathbf{C}
&=\mathbf{A}+(\mathbf{B}+\mathbf{C}) \quad (\because (2.3))\\
&=\mathbf{A}+(\mathbf{C}+\mathbf{B}) \quad (\because (2.2))\\
&=(\mathbf{A}+\mathbf{C})+\mathbf{B} \quad (\because (2.3))\\
&=(\mathbf{C}+\mathbf{A})+\mathbf{B} \quad (\because (2.2))
\end{aligned}
$$

以上で示された。

## 2.

$\mathbf{A}$を$m \times n$行列, $\mathbf{B}$を$n\times p$行列， $c, k$ を任意のスカラーとする. 結果

$$
c \mathbf{A B}=(c \mathbf{A}) \mathbf{B}=\mathbf{A}(c \mathbf{B}) \tag{2.9}
$$

と

$$
c(k \mathbf{A})=(c k) \mathbf{A}=(k c) \mathbf{A}=k(c \mathbf{A}) \tag{2.1}
$$

(あるいは別なもの)を用いて，

$$
(c \mathbf{A})(k \mathbf{B})=(c k) \mathbf{A} \mathbf{B}
$$

であることを示せ.

----

解.（Chiba）

$$
\begin{aligned}
(c\mathbf{A})(k\mathbf{B})
&=\{k(c\mathbf{A})\}\mathbf{B}\quad (\because (2.9))\\
&=\{(kc)\mathbf{A}\}\mathbf{B}\quad (\because (2.1))\\
&=\{(ck)\mathbf{A}\}\mathbf{B}\quad (\because (2.1))\\
&=(ck)\mathbf{A}\mathbf{B}\quad (\because (2.9))\\
\end{aligned}
$$

となり示された。

## 3.

$\mathbf{(a)}$ (行列の乗法の結合性についての)結果

$$
\mathbf{A}(\mathbf{B C})=(\mathbf{A B}) \mathbf{C} \tag{2.6}
$$

を証明せよ.すなわち，任意
の$m\times n$行列$\mathbf{A}=\left\{a_{i j}\right\}$，$n \times q$行列$\mathbf{B}=\left\{b_{jk}\right\}$，$q \times r$ 行列$\mathbf{C}=\left\{c_{ks}\right\}$ に対して，$\mathbf{A(BC)} = \mathbf{(AB)C}$であることを示せ.

$\mathbf{(b)}$ (行列の乗法の加法についての分配性についての)結果

$$
\mathbf{A}(\mathbf{B}+\mathbf{C})=\mathbf{A B}+\mathbf{A} \mathbf{C} \tag{2.7}
$$

を証明せよ.すなわち，任意の$m\times n$行列$\mathbf{A}=\left\{a_{i j}\right\}$と$n \times q$行列$\mathbf{B}=\left\{b_{jk}\right\}$, $\mathbf{C}=\left\{c_{jk}\right\}$ に対して，$\mathbf{A(B + C)} = \mathbf{AB + AC}$であることを示せ.

----

解.(Kaneko)

行列の演算の性質について確認する問題。
行列の要素を考えて計算すると実数の演算の性質がそのまま使えることを利用して証明する。

$\mathbf{(a)}$ (行列の乗法の結合性についての)結果

$\mathbf{BC}$ の$js$成分は$\sum_k b_{jk}c_{ks}$，$\mathbf{AB}$の$ik$成分は$\sum_j a_{ij}b_{jk}$ である．従って$\mathbf{A}(\mathbf{BC})$の$is$成分は

$$
\begin{aligned}
\sum_j a_{ij} \left(\sum_k b_{jk}c_{ks} \right) &= \sum_j \left(\sum_k a_{ij}b_{jk}c_{ks}\right)\\
&= \sum_k \left(\sum_j a_{ij}b_{jk}c_{ks}\right)\\
&= \sum_k \left(\sum_j a_{ij}b_{jk}\right)c_{ks}
\end{aligned}
$$

でとなる。これは$\left(\mathbf{AB}\right)\mathbf{C}$の$is$成分である．対応する成分の値が等しいので$(2.6)$が成り立つ．

$\mathbf{(b)}$ (行列の乗法の加法についての分配性についての)結果

$\mathbf{B}+\mathbf{C}$の$jk$成分は$b_{jk}+c_{jk}$であるので$\mathbf{A}\left(\mathbf{B}+\mathbf{C}\right)$の$ik$成分は

$$
\begin{aligned}
\sum_j a_{ij}\left(b_{jk}+c_{jk}\right) &= \sum_j\left(a_{ij}b_{jk}+a_{ij}c_{jk}\right)\\
&=\sum_ja_{ij}b_{jk}+\sum_ja_{ij}c_{jk}
\end{aligned}
$$

である．ここで$\sum_ja_{ij}b_{jk}$は$\mathbf{AB}$の$ik$成分であり，$\sum_ja_{ij}c_{jk}$は$\mathbf{AC}$の$ik$成分である．
従って$\sum_ja_{ij}b_{jk}+\sum_ja_{ij}c_{jk}$は$\mathbf{AB}+\mathbf{BC}$の$ik$成分に等しい．
対応する成分の値が等しいので$(2.7)$が成り立つ．

## 4.

$\mathbf{A}=\left\{a_{i j}\right\}$を$m\times n$行列，$\mathbf{B}=\left\{b_{ij}\right\}$を$p\times m$行列とする.
$\mathbf{(a)}$ $\mathbf{x}=\left\{x_{i}\right\}$を$n$次元列ベクトルとする. $p$次元列ベクトル$\mathbf{BAx}$の第$i$要素が

$$
\sum_{i=1}^{m} b_{i j} \sum_{k=1}^{n} a_{j k} x_{k} \tag{E.1}
$$

であることを示せ.
$\mathbf{(b)}$ $\mathbf{x}=\left\{x_{i}\right\}$を$n\times q$行列とする.$\mathbf{A, B, X}$の要素を用いて$p\times q$行列$\mathbf{BAX}$の第$ir$要素を表すことで式$(\mathrm{E}.1)$を一般化せよ.
$\mathbf{(c)}$ $\mathbf{x}=\left\{x_{i}\right\}$を$n$次元列ベクトル，$\mathbf{C}=\left\{c_{ij}\right\}$を$q\times p$行列とする. $\mathbf{A, B, C, x}$の要素を用いて$q$次元列ベクトル$\mathbf{CBAx}$の第$i$要素を表すことで式$(\mathrm{E}.1)$を一般化せよ.
$\mathbf{(d)}$ $\mathbf{y}=\left\{y_{i}\right\}$を$p$次元列ベクトルとする.$\mathbf{A, B, y}$の要素を用いて$n$次元行ベクトル$\mathbf{y^{\prime}BA}$の第$i$要素を表せ.

----

解.(Yamashita)
$\mathbf{(a)}$
ベクトル$\mathbf{Ax}$の第$j$要素は, $\sum_{k=1}^{n} a_{j k} x_{k}$である. よって, ベクトル$\mathbf{BAx}$の第$i$要素は, $\sum_{j=1}^{m} b_{i j} \sum_{k=1}^{n} a_{j k} x_{k}$である.

$\mathbf{(b)}$
(a)における$\mathbf{x}$を$\mathbf{X}$の第$r$列とみなすことで, $\mathbf{BAX}$の第$ir$要素は,
$$
\sum_{j=1}^{m} b_{i j} \sum_{k=1}^{n} a_{j k} x_{kr}
$$
である.

$\mathbf{(c)}$
(a)と同様にして,
$$
\sum_{s=1}^{p} c_{i s} \sum_{j=1}^{m} b_{s j} \sum_{k=1}^{n} a_{j k} x_{k}
$$

$\mathbf{(d)}$
$\mathbf{y^{\prime}BA}$の第$i$要素は, 列ベクトル$(\mathbf{y^{\prime}BA})^{\prime}=\mathbf{A^{\prime}B^{\prime}y}$の第$i$要素と等しい. よって, (a)の結果より, $\mathbf{y^{\prime}BA}$の第$i$要素は,
$$
\sum_{j=1}^{m} a_{j i} \sum_{k=1}^{p} b_{k j} y_{k}
$$
である.

## 5.

$\mathbf{A, B}$を$n\times n$行列とする. $\mathbf{A, B}$が可換であるときかつそのときに限って

$$
(\mathbf{A}+\mathbf{B})(\mathbf{A}-\mathbf{B})=\mathbf{A}^{2}-\mathbf{B}^{2}
$$

であることを示せ.

----

明らかに、

$$
\begin{aligned}
(\mathbf{A}+\mathbf{B})(\mathbf{A}-\mathbf{B}) = \mathbf{A}^2 - \mathbf{B}^2 -\mathbf{A}\mathbf{B} +\mathbf{B}\mathbf{A}
\end{aligned}
$$

よって、$-\mathbf{A}\mathbf{B} +\mathbf{B}\mathbf{A} = 0$の時に限り、$(\mathbf{A}+\mathbf{B})(\mathbf{A}-\mathbf{B})=\mathbf{A}^{2}-\mathbf{B}^{2}$が成り立つ。

よって、$\mathbf{A}\mathbf{B} =\mathbf{B}\mathbf{A}$が成り立つ必要があるが、これは$\mathbf{A}$と$\mathbf{B}$が可換である時である。

## 6.

$\mathbf{(a)}$ 2つの$n \times n$対称行列$\mathbf{A, B}$の積$\mathbf{AB}$は， $\mathbf{A, B}$が可換であるときかつそのときに限って，それ自身対称であることを示せ.
$\mathbf{(b)}$ その積が対称でない(同じ次数の)2つの対称行列の一例を示せ.

----

解. (kumada)

(a)

行列$\mathbf{A, B}$は、$n \times n$対称行列より、$\mathbf{(AB)}^{\prime}=\mathbf{(AB)}...(*)$が成り立つための条件を求めれば良い。

$(2.13)$より、
$\mathbf{(AB)}^{\prime} = \mathbf{B}^{\prime}\mathbf{A}^{\prime} =\mathbf{BA}$
までは成り立つ。
ここで、$\mathbf{A, B}$が可換である時のみ、$(*)$が成り立つ。

(b)

$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 2\end{array}\right)$, $\mathbf{B}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right)$が一例。

$$
\mathbf{A B}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
2 & 0
\end{array}\right) \neq\left(\begin{array}{ll}
0 & 2 \\
1 & 0
\end{array}\right)=\mathbf{B} \mathbf{A}
$$

## 7.

$\mathbf{(a)}$ 上三角行列の転置は下三角行列であること，そして
$\mathbf{(b)}$ (同じ次数の) 2 つの上三角行列の和は上三角行列であることを証明せよ.

----

解. (Hamada)

$\mathbf{(a)}$ $\mathbf{A} = (a_{ij})$ を上三角行列とし、その転置 $\mathbf{A}^{\prime}$ を $\mathbf{A}^{\prime} = (b_{ij})$ とおく。$a_{ij} = 0\ (\forall i > j)$ であるから、$b_{ij} = a_{ji} = 0\ (\forall j > i)$ が成り立つ。よって $\mathbf{A}^{\prime}$ は下三角行列である。

$\mathbf{(b)}$ $\mathbf{A} = (a_{ij}), \mathbf{B} = (b_{ij})$ を同じ次数の上三角行列とすると、その和 $\mathbf{A} + \mathbf{B}$ の要素について $a_{ij} + b_{ij} = 0\ (\forall i > j)$ が成り立つので、$\mathbf{A} + \mathbf{B}$ も上三角行列である。

## 8.

$\mathbf{A}=\left\{a_{i j}\right\}$を$n\times n$上三角行列とし，$\mathbf{A}$の対角要素が$0$に等しい(すなわち，$a_{11}=a_{22}=\cdots=a_{n n}=0$) と仮定しよう. 更に，$p$を任意の整数とする.

$\mathbf{(a)}$ $i=1, \ldots, n$と$j=1, \ldots, \min (n, i+p-1)$に対して，$\mathbf{A}^{p}$の第$ij$要素が$0$に等しいことを示せ.
$\mathbf{(b)}$ $i \geq n-p+1$に対して，$\mathbf{A}^{p}$の第$i$行が$0$に等しいことを示せ.
$\mathbf{(c)}$ $p \geq n$に対して，$\mathbf{A}^{p} = \mathbf{0}$であることを示せ.

----

解.
$i, k=1, \ldots, n$, に対して, $b_{i k}$ は $\mathbf{A}^{p}$の$i k$番目の要素を表すとする .
(a) 数学的帰納法で示す. 明らかに, $i=1, \ldots, n$ と $j=$ $1, \ldots, \min (n, i+1-1)$, に対して $\mathbf{A}^{1}$ の $i j$ 番目の要素は$0$に等しい. ここで, 次のように仮定する, $i=1, \ldots, n$ で $j=1, \ldots, \min (n, i+p-1)$ であるとき $\mathbf{A}^{p}$ の $i j$ 番目の要素が$0$に等しい. そのとき, 以下を示せばよい.

$i=1, \ldots, n$ と $j=1, \ldots, \min (n, i+p)$ であるとき, $\mathbf{A}^{p+1}$　の$i j$ 番目の要素が$0$である.

$\mathbf{A}^{p+1}=\mathbf{A}^{p} \mathbf{A}$, であるので, $i=1, \ldots, n$ と $j=1, \ldots, \min (n, i+p)$について, $\mathbf{A}^{p+1}$ の$i j$ 番目の要素は

$$
\begin{aligned}
\sum_{k=1}^{n} b_{i k} a_{k j}&=\sum_{k=1}^{\min (n, i+p-1)} 0 a_{k j}+\sum_{k=i+p}^{n} b_{i k} a_{k j} \\
&=0
\end{aligned}
$$

(ここで, $i>n-p$, のとき、 第二項は無視されて$\sum_{k=i+p}^{n} b_{i k} a_{k j}$ は$0$であると解釈される )

(上三角行列の性質から$k \geq j$, では $a_{k j}=0$のため ).

(b) $i \geq n-p+1, \min (n, i+p-1)=n$ ( $i \geq n-p+1 \Leftrightarrow i+p-1 \geq n)$. したがって, $i \geq n-p+1$について, $\mathbf{A}^{p}$の$i$番目の行は (a)から$n$個の要素はすべて$0$に等しく、したがって、 $\mathbf{A}^{p}$ の $i$番目の行は0である.
(c) 明らかに, $p \geq n$に対して, $n-p+1 \leq 1$. したがって, $p \geq n$ に対して, (b) から$\mathbf{A}^{p}$ のすべての $n$ 行目の要素は$0$で$\mathbf{A}^{p}=\mathbf{0}$.