# 第10章 練習問題

## 1.

もし$n\times n$行列$\mathbf{A}$が冪等であるならば，次のことが成り立つことを示せ.
$\mathbf{(a)}$ 任意の$n\times n$非特異行列$\mathbf{B}$に対して，$\mathbf{B}^{-1}\mathbf{AB}$は冪等である.
$\mathbf{(b)}$ $2$以上の任意の整数$k$に対して，$\mathbf{A}^k = \mathbf{A}$である.

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解. (Ogura)

$\mathbf{(a)}$

\begin{align}
(\mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{B})(\mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{B}) = \mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{A}\mathbf{B} = \mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{B}.
\end{align}

$\mathbf{(b)}$

数学的帰納法による。定義より、$k = 2$のとき、$\mathbf{A}^k = \mathbf{A}$が成り立つ。今、$k = k^{\star}$のとき$\mathbf{A}^k = \mathbf{A}$であると仮定する。すると、
\begin{align}
\mathbf{A}^{k^{\star} + 1} = \mathbf{A}\mathbf{A}^{k^{\star}} = \mathbf{A}\mathbf{A} = \mathbf{A}.
\end{align}

## 2.

$\mathbf{P}$を$\mathbf{P}^{\prime}\mathbf{P} = \mathbf{I}_{n}$を満たす$m\times n$行列(ここで$m \geq n$とする) ，すなわち，列が (通常の内積に関して)正規直交系を成す$m\times n$行列とする.このとき，$m\times m$対称行列$\mathbf{PP}^{\prime}$が冪等であることを示せ.

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解.
$$
\left(\mathbf{P P}^{\prime}\right) \mathbf{P P}^{\prime}=\mathbf{P}\left(\mathbf{P}^{\prime} \mathbf{P}\right) \mathbf{P}^{\prime}=\mathbf{P I}_{n} \mathbf{P}^{\prime}=\mathbf{P P}^{\prime}
$$
より、冪等行列であることが示された。

## 3.

任意の対称冪等行列$\mathbf{A}$に対して，行列$\mathbf{I}-2\mathbf{A}$が直交行列であることを示せ.

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解(shigenobu).

$\mathbf{A}$は対称冪等行列なので$\mathbf{A} = \mathbf{A}^{\prime},\quad \mathbf{A}^{\prime}\mathbf{A} = \mathbf{A}^{2} = \mathbf{A}$である。

直交行列の定義は

$$
\mathbf{A}^{\prime}\mathbf{A}=\mathbf{A}\mathbf{A^{\prime}}=\mathbf{I}
$$

なので$(\mathbf{I}-2 \mathbf{A})^{\prime}(\mathbf{I}-2 \mathbf{A}) = \mathbf{I}$であることを証明すれば良い。

$$
\begin{aligned}
(\mathbf{I}-2 \mathbf{A})^{\prime}(\mathbf{I}-2 \mathbf{A})&=(\mathbf{I}-2 \mathbf{A}^{\prime})(\mathbf{I}-2 \mathbf{A}) \\
&=\mathbf{I}-2 \mathbf{A}^{\prime}-2 \mathbf{A}+4 \mathbf{A}^{\prime}\mathbf{A} \\
&=\mathbf{I}-2 \mathbf{A}-2 \mathbf{A}+4 \mathbf{A}=\mathbf{I}
\end{aligned}
$$

よって、題意は示された。

## 4.

$\mathbf{A}$を$m\times n$行列とする.もし$\mathbf{A}^{\prime}\mathbf{A}$が冪等ならば，$\mathbf{AA^{\prime}}$も冪等であることを示せ.

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解.(moriwaki)

$\mathbf{A}^{\prime}\mathbf{A}$が冪等であることを仮定すると、定義から$\mathbf{A}^{\prime}\mathbf{A}\mathbf{A}^{\prime}\mathbf{A} = \mathbf{A}^{\prime}\mathbf{A}$である。この仮定のもとで$\mathbf{AA}^{\prime}\mathbf{AA}^{\prime} = \mathbf{AA}^{\prime}$が成立することを示せば$\mathbf{AA}^{\prime}$が冪等であることを示せる。ここで

> 系5.3.3. $(1)$ 任意の$m\times n$行列$\mathbf{A}$と$n \times p$行列$\mathbf{B}$，$\mathbf{C}$に対して， $\mathbf{A}^{\prime}\mathbf{AB} = \mathbf{A}^{\prime}\mathbf{AC}$であるときかつそのときに限って，$\mathbf{AB} = \mathbf{AC}$である. $(2)$ 同様に，任意の$m\times n$行列$\mathbf{A}$と$p \times n$行列$\mathbf{B}，\mathbf{C}$に対して，$\mathbf{BA}^{\prime}\mathbf{A} = \mathbf{CA}^{\prime}\mathbf{A}$であるときかつそのときに限って，$\mathbf{BA}^{\prime} = \mathbf{CA}^{\prime}$である.

より、$\mathbf{A}^{\prime}\mathbf{A}\mathbf{A}^{\prime}\mathbf{A} = \mathbf{A}^{\prime}\mathbf{A} \iff \mathbf{A}\mathbf{A}^{\prime}\mathbf{A} = \mathbf{A}$である（$\mathbf{A}^{\prime}$は$\mathbf{A}$の一般逆行列である。）。これを用いれば容易に

$$
\begin{aligned}
\mathbf{AA}^{\prime}\mathbf{AA}^{\prime} &= \mathbf{AA}^{\prime}
\end{aligned}
$$

であることが示される。したがって題意は示された。

## 5.

$\mathbf{A}$を対称行列，$k$を$1$以上の整数とする.もし$\mathbf{A}^{k+1}=\mathbf{A}^{k}$ならば， $\mathbf{A}$は冪等であることを示せ.

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解.(Chiba)

$k$から$2$までの整数$m$について$\mathbf{A}^{m+1}=\mathbf{A}^{m}$ならば$\mathbf{A}^{m}=\mathbf{A}^{m-1}$であることを示せば十分である。
$\mathbf{A}^{m+1}=\mathbf{A}^{m}$を仮定する。そのとき、$\mathbf{A}$が対称行列であるため、
$$
\mathbf{A}'\mathbf{A}\mathbf{A}^{m-1} = \mathbf{A}'\mathbf{A}\mathbf{A}^{m-2}
$$
が成り立つ（ただし$\mathbf{A}^0 = \mathbf{I}$）。また、系5.3.3から
$$
\mathbf{A}\mathbf{A}^{m-1} = \mathbf{A}\mathbf{A}^{m-2}
$$
となり、これは
$$
\mathbf{A}^{m}=\mathbf{A}^{m-1}
$$
と等しい。

系5.3.3.
(1)任意の$m\times m$行列$\mathbf{A}$と$n\times p$行列$\mathbf{B},\mathbf{C}$に対して、$\mathbf{A}'\mathbf{A}\mathbf{B} = \mathbf{A}'\mathbf{A}\mathbf{C}$であるときかつその時に限って、$\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{A}\mathbf{C}$である。
(2)同様に、任意の$m\times m$行列$\mathbf{A}$と$p\times n$行列$\mathbf{B},\mathbf{C}$に対して、$\mathbf{B}\mathbf{A}'\mathbf{A} = \mathbf{C}\mathbf{A}'\mathbf{A}$であるときかつその時に限って、$\mathbf{B}\mathbf{A}'=\mathbf{C}\mathbf{A}'$である。

## 6.

$\mathbf{A}$を$n\times n$行列とする.$\mathbf{A}$が対合のときかつそのときに限って，$(1/2)(\mathbf{I} + \mathbf{A})$が冪等であることを示せ. (ここで対合は練習問題8.2で定義したものである.)

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解. (Kaneko)

$\mathbf{A}$は$\mathbf{A}^2=\mathbf{I}$のとき対合という。$(1/2)(\mathbf{I} + \mathbf{A})$の2乗を計算すると

$$
\left\{\frac{1}{2}(\mathbf{I}+\mathbf{A})\right\}^2=\frac{1}{4}\mathbf{I}+\frac{1}{2}\mathbf{A}+\frac{1}{4}\mathbf{A}^2
$$

となる．したがって$(1/2)(\mathbf{I} + \mathbf{A})$は以下が成り立つときかつその時に限り冪等行列となる

$$
\frac{1}{4}\mathbf{I}+\frac{1}{2}\mathbf{A}+\frac{1}{4}\mathbf{A}^2=\frac{1}{2}\mathbf{I}+\frac{1}{2}\mathbf{A}
$$

これは式をまとめると$(1/4)\mathbf{A}^2 =(1/4)\mathbf{I}$，すなわち$\mathbf{A}^2=\mathbf{I}$である。したがって$\mathbf{A}$が対合のときかつそのときに限って，$(1/2)(\mathbf{I} + \mathbf{A})$が冪等である。

## 7.

$\mathbf{A},\mathbf{B}$を$n\times n$対称冪等行列とする.もし$\mathcal{C}(\mathbf{A}) = \mathcal{C}(\mathbf{B})$ならば，$\mathbf{A} = \mathbf{B}$であることを示せ.

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解.(Yamashita)
$\mathcal{C}(\mathbf{A})=\mathcal{C}(\mathbf{B})$と仮定する. 補助定理 4.2.2より, $\mathbf{A}=\mathbf{B R}$ 及び $\mathbf{B}=\mathbf{A S}$ となる $n \times n$ 行列 $\mathbf{R}$, $\mathbf{S}$ が存在する.

> 補助定理 4.2.2. 任意の$m \times n$行列$\mathbf{A}$と$m \times p$行列$\mathbf{B}$に対して,$\mathbf{B}=\mathbf{AF}$を満たす$n \times p$行列$\mathbf{F}$が存在するときかつそのときに限って, $\mathcal{C}(\mathbf{B}) \subset \mathcal{C}(\mathbf{A})$である. 同様に, 任意の$m \times n$行列$\mathbf{A}$と$q \times n$行列$\mathbf{C}$に対して, $\mathbf{C}=\mathbf{L} \mathbf{A}$を満たす$q \times m$行列$\mathbf{L}$が存在するときかつそのときに限って, $\mathcal{R}(\mathbf{C}) \subset \mathcal{R}(\mathbf{A})$である.

対称行列なので $\mathbf{A} = \mathbf{A}^{\prime}, \mathbf{B} = \mathbf{B}^{\prime}$ が成立する. これらを用いて

$$
\mathbf{B}=\mathbf{B}^{\prime}=(\mathbf{A S})^{\prime}=\mathbf{S}^{\prime} \mathbf{A}^{\prime}=\mathbf{S}^{\prime} \mathbf{A} .
$$

よって,

$$
\mathbf{A}=\mathbf{B B R}=\mathbf{B A}=\mathbf{S}^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{A}=\mathbf{S}^{\prime} \mathbf{A}=\mathbf{B} .
$$

以上で題意が示された.

## 8.

$\mathbf{A}$を$r \times m$行列，$\mathbf{B}$を$m\times n$行列とする.
$\mathbf{(a)}$ $\mathbf{A}^{-} \mathbf{A B B}^{-}$ が冪等のときかつそのときに限って,$\mathbf{B}^{-} \mathbf{A}^{-}$が $\mathbf{A B}$の一般逆行列であることを示せ.
$\mathbf{(b)}$ もし$\mathbf{A}$が最大列階数をもつか $\mathbf{B}$が最大行階数をもつならば, $\mathbf{B}^{-} \mathbf{A}^{-}$が$\mathbf{A B}$の一般逆行列であることを示せ.

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解.
$\mathbf{(a)}$ 冪等行列と一般逆行列の定義から、

$$
\mathbf{A}^{-} \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{B}^{-} \mathbf{A}^{-} \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{B}^{-}=\mathbf{A}^{-} \mathbf{A B} \mathbf{B}^{-}
\ \ \
\Leftrightarrow
\ \ \
\mathbf{A B B}^{-} \mathbf{A}^{-} \mathbf{A B}=\mathbf{A B}
$$

を示せばよい。
$\Leftarrow$を示すには、第2式において左から$\mathbf{A}^{-}$を、右から$\mathbf{B}^{-}$を、両辺に乗じればよい。
$\Rightarrow$を示すには、第1式において両辺に左から$\mathbf{A}$を、右から$\mathbf{B}$を乗じた上で、一般逆行列の定義式を使えばよい。

$\mathbf{(b)}$ $\mathbf{A}$が最大列階数をもつなら、補助定理9.2.8により$\mathbf{A}^{-}$は$\mathbf{A}$の左逆行列に限られる (つまり、$\mathbf{A}^{-} \mathbf{A}=\mathbf{I}$ )。

> 補助定理9.2.8.$\mathbf{A}$を最大列階数をもっ行列，$\mathbf{B}$を最大行階数をもつ行列とする.このとき，次のことが成り立つ. (1) 行列$\mathbf{G}$は，$\mathbf{G}$が$\mathbf{A}$の左逆行列のときかつそのときに限って，$\mathbf{A}$の一般逆行列である. (2) 行列$\mathbf{G}$は，$\mathbf{G}$が$\mathbf{B}$の右逆行列のときかつそのときに限って，$\mathbf{B}$の一般逆行列である.

両辺に右から$\mathbf{B B}^{-}$を乗じると、$\mathbf{A}^{-} \mathbf{\mathbf { A B B } ^ { - }}=\mathbf{B B}^{-}$であり、右辺の形は補助定理10.2.5から冪等行列である。したがって、左辺の$\mathbf{A}^{-} \mathbf{\mathbf { A B B } ^ { - }}$も冪等行列であると分かる。$\mathbf{(a)}$と合わせると、$\mathbf{B}^{-} \mathbf{A}^{-}$が$\mathbf{A B}$の一般逆行列であることが示される。

> 補助定理10.2.5. $\mathbf{A}$を$m\times n$行列とすると，$n \times n$行列$\mathbf{A}^{-}\mathbf{A}$と$m\times m$行列$\mathbf{AA}^{-}$は共に冪等行列である.

$\mathbf{B}$が最大行階数をもつ場合も同様の議論で、$\mathbf{B}^{-} \mathbf{A}^{-}$が$\mathbf{A B}$の一般逆行列であることが示される。

## 9.

$\mathbf{T}$を$m \times p$ 行列, $\mathbf{U}$ を $m \times q$ 行列, $\mathbf{V}$ を $n \times p$ 行列, $\mathbf{W}$ を $n \times q$ 行列とし, $\mathbf{Q}=\mathbf{W}-\mathbf{V T}^{-} \mathbf{U}$と置く. 結果$(2.1)$と共に練習問題$9.8$ (a) を用いて，もし
$\mathbf{(1)}$ $\left(\mathbf{I}-\mathbf{T T}^{-}\right) \mathbf{U}\left(\mathbf{I}-\mathbf{Q}^{-} \mathbf{Q}\right)=\mathbf{0}$ かつ

$\mathbf{(2)}$ $\left(\mathbf{I}-\mathbf{QQ}^{-}\right)\mathbf{V}\left(\mathbf{I}-\mathbf{T}^{-}\mathbf{T}\right)=\mathbf{0}$ かつ

$\mathbf{(3)}$ $\left(\mathbf{I}-\mathbf{TT}^{-}\right) \mathbf{UQ}^{-} \mathbf{V}\left(\mathbf{I}-\mathbf{T}^{-} \mathbf{T}\right)=\mathbf{0}$ ならば,

$$
\operatorname{rank}\begin{pmatrix}
\mathbf{T} & \mathbf{U} \\
\mathbf{V} & \mathbf{W}
\end{pmatrix}=\operatorname{rank}(\mathbf{T})+\operatorname{rank}(\mathbf{Q})
$$

であることを示せ.

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解.
$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ll}\mathbf{T} & \mathbf{U} \\ \mathbf{V} & \mathbf{W}\end{array}\right)$とする。そして、$\mathbf{G}$を練習問題9.8のパート(a)と同様に定義する。
$$
\mathbf{G}=\begin{pmatrix}\mathbf{T}^{-}+\mathbf{T}^{-} \mathbf{U} \mathbf{Q}^{-} \mathbf{V} \mathbf{T}^{-} & -\mathbf{T}^{-} \mathbf{U} \mathbf{Q}^{-} \\ -\mathbf{Q}^{-} \mathbf{V} \mathbf{T}^{-} & \mathbf{Q}^{-}\end{pmatrix}
$$
条件(1)～(3)を満たすとする。練習問題9.8を踏まえて、$\mathbf{G}$は $\mathbf{A}$の一般化逆行列であり、任意の行列$\mathbf{B}$について$\operatorname{rank}(\mathbf{B})=\operatorname{tr}\left(\mathbf{B B}^{-}\right)$と(2.1)から、以下の結果が得られる。
$$
\begin{aligned}
\operatorname{rank}(\mathbf{A}) &=\operatorname{tr}(\mathbf{A G}) \\
&=\operatorname{tr}\left(\begin{array}{cc}
\mathbf{A}_{11}\mathbf{G}_{11}+\mathbf{A}_{12}\mathbf{G}_{21} & \mathbf{A}_{11}\mathbf{G}_{12}+\mathbf{A}_{12}\mathbf{G}_{22} \\
\mathbf{A}_{21}\mathbf{G}_{11}+\mathbf{A}_{22}\mathbf{G}_{21} & \mathbf{A}_{21}\mathbf{G}_{12}+\mathbf{A}_{22}\mathbf{G}_{22}
\end{array}\right) \\
&=\operatorname{tr}\left(\begin{array}{cc}
\mathbf{T T}^{-}+\mathbf{T T}^{-}\mathbf{U}\mathbf{Q}^{-}\mathbf{V}\mathbf{T}^{-}-\mathbf{U}\mathbf{Q}^{-}\mathbf{V}\mathbf{T}^{-} & \mathbf{T}(-\mathbf{T}^{-} \mathbf{U} \mathbf{Q}^{-})+\mathbf{U}\mathbf{Q}^{-}\\
\mathbf{V}(\mathbf{T}^{-}+\mathbf{T}^{-} \mathbf{U} \mathbf{Q}^{-} \mathbf{V} \mathbf{T}^{-})+\mathbf{W}(-\mathbf{Q}^{-} \mathbf{V} \mathbf{T}^{-}) & \mathbf{V}(-\mathbf{T}^{-}\mathbf{U}\mathbf{Q}^{-})+\mathbf{W}\mathbf{Q}^{-}
\end{array}\right) \\
&=\operatorname{tr}\left(\begin{array}{cc}
\mathbf{T T}^{-}-\left(\mathbf{I}-\mathbf{T T}^{-}\right) \mathbf{U} \mathbf{Q}^{-} \mathbf{V T}^{-} & \left(\mathbf{I}-\mathbf{T T}^{-}\right) \mathbf{U} \mathbf{Q}^{-} \\
\left(\mathbf{I}-\mathbf{Q Q}^{-}\right) \mathbf{V T}^{-} & \mathbf{Q Q}^{-}
\end{array}\right) (\because \mathbf{W}=\mathbf{Q}+\mathbf{VT}^{-1}\mathbf{U}) \\
&=\operatorname{tr}\left(\mathbf{T T}^{-}\right)-\operatorname{tr}\left[\left(\mathbf{I}-\mathbf{T T}^{-}\right) \mathbf{U Q}^{-} \mathbf{V T}^{-}\right]+\operatorname{tr}\left(\mathbf{Q} \mathbf{Q}^{-}\right) \\
&=\operatorname{rank}(\mathbf{T})-\operatorname{tr}\left[\left(\mathbf{I}-\mathbf{T T}^{-}\right) \mathbf{U Q}^{-} \mathbf{V T}^{-}\right]+\operatorname{rank}(\mathbf{Q}) ... (\mathbf{A})
\end{aligned}
$$
さらに、条件(3)から次のようになる。
$$
\left(\mathbf{I}-\mathbf{T T}^{-}\right) \mathbf{U} \mathbf{Q}^{-} \mathbf{V}=\left(\mathbf{I}-\mathbf{T T}^{-}\right) \mathbf{U Q}^{-} \mathbf{V} \mathbf{T}^{-} \mathbf{T} ... (\mathbf{B})
$$
その結果、以下の計算により、(A)の右辺第２項は０になる。
$$
\begin{aligned}
\operatorname{tr}\left[\left(\mathbf{I}-\mathbf{T T}^{-}\right) \mathbf{U} \mathbf{Q}^{-} \mathbf{V T ^ { - }}\right] &=\operatorname{tr}\left[\left(\mathbf{I}-\mathbf{T T}^{-}\right) \mathbf{U Q}^{-} \mathbf{V T}^{-} \mathbf{T T}^{-}\right] (\because \mathbf{B})\\
&=\operatorname{tr}\left[\mathbf{T T}^{-}\left(\mathbf{I}-\mathbf{T T}^{-}\right) \mathbf{U Q}^{-} \mathbf{V T}^{-}\right] (\because \operatorname{tr}[\mathbf{XY}]=\operatorname{tr}[\mathbf{YX}])\\
&=\operatorname{tr}\left[\left(\mathbf{T T}^{-}-\mathbf{T T}^{-}\right) \mathbf{U} \mathbf{Q}^{-} \mathbf{V T}^{-}\right] \\
&=\operatorname{tr}(\mathbf{0}) (\because 2.1)\\
&=0
\end{aligned}
$$
従って、以下の結論が導かれる。
$$
\operatorname{rank}(\mathbf{A})=\operatorname{rank}(\mathbf{T})+\operatorname{rank}(\mathbf{Q})
$$

## 10.

$\mathbf{T}$を$m \times p$行列,$\mathbf{U}$を$m \times q$行列, $\mathbf{V}$を$n \times p$行列, $\mathbf{W}$を$n \times q$ 行列とする. $\mathbf{A}=\begin{pmatrix}\mathbf{T} & \mathbf{U} \\ \mathbf{V} & \mathbf{W}\end{pmatrix}, \mathbf{Q}=\mathbf{W}-\mathbf{V T}^{-} \mathbf{U}$ と置く. 更に,

$$
\mathbf{E}_{\mathbf{T}}=\mathbf{I}-\mathbf{T T}^{-}, \mathbf{F}_{\mathbf{T}}=\mathbf{I}-\mathbf{T}^{-} \mathbf{T}, \mathbf{X}=\mathbf{E}_{\mathbf{T}} \mathbf{U}, \mathbf{Y}=\mathbf{V F}_{\mathbf{T}}, \mathbf{E}_{\mathbf{Y}}=\mathbf{I}-\mathbf{Y} \mathbf{Y}^{-} \text {, }
$$

$$
\mathbf{F}_{\mathbf{X}}=\mathbf{I}-\mathbf{X}^{-} \mathbf{X}, \quad \mathbf{Z}=\mathbf{E}_{\mathbf{Y}} \mathbf{Q} \mathbf{F}_{\mathbf{X}}, \quad \mathbf{Q}^{*}=\mathbf{F}_{\mathbf{X}} \mathbf{Z}^{-} \mathbf{E}_{\mathbf{Y}}
$$

と置く.

(a) ([Meyer 1973](https://www.jstor.org/stable/2100027), Theorem 3.1).

$$
\mathbf{G}_{1}=\left(\begin{array}{c|c}
\mathbf{T}^{-}-\mathbf{T}^{-} \mathbf{U}\left(\mathbf{I}-\mathbf{Q}^{*} \mathbf{Q}\right) \mathbf{X}^{-} \mathbf{E}_{\mathbf{T}} \\
-\mathbf{F}_{\mathbf{T}} \mathbf{Y}^{-}\left(\mathbf{I}-\mathbf{Q Q}^{*}\right) \mathbf{V T}^{-} & \mathbf{F}_{\mathbf{T}} \mathbf{Y}^{-}\left(\mathbf{I}-\mathbf{Q Q}^{*}\right) \\
-\mathbf{F}_{\mathbf{T}} \mathbf{Y}^{-}\left(\mathbf{I}-\mathbf{Q} \mathbf{Q}^{*}\right) \mathbf{Q} \mathbf{X}^{-} \mathbf{E}_{\mathbf{T}} & \\
\hline\left(\mathbf{I}-\mathbf{Q}^{*} \mathbf{Q}\right) \mathbf{X}^{-} \mathbf{E}_{\mathbf{T}} & 0
\end{array}\right)
$$

と

$$
\mathbf{G}_{2}=\begin{pmatrix}
-\mathbf{T}^{-} \mathbf{U} \\
\mathbf{I}_{q}
\end{pmatrix} \mathbf{Q}^{*}\left(-\mathbf{V T}^{-}, \mathbf{I}_{n}\right)
$$

と置くと, 行列

$$
\mathbf{G}=\mathbf{G}_{1}+\mathbf{G}_{2} \tag{E.1}
$$

が$\mathbf{A}$の一般逆行列となることを示せ.

(b) (Meyer 1973, Theorem 4.1).

$$
\operatorname{rank}(\mathbf{A})=\operatorname{rank}(\mathbf{T})+\operatorname{rank}(\mathbf{X})+\operatorname{rank}(\mathbf{Y})+\operatorname{rank}(\mathbf{Z}) \tag{E.2}
$$

を示せ，(ヒント：結果 (2.1) と共に (a) を用いよ.)

$\mathrm{(c)}$ $\mathcal{C}(\mathbf{U}) \subset \mathcal{C}(\mathbf{T})$かつ$\mathcal{R}(\mathbf{V}) \subset \mathcal{R}(\mathbf{T})$ならば$\operatorname{rank}(\mathbf{A})$についての公式$\textrm{(E.2)}$は公式$(9.6.1)$となり，$\mathbf{A}$の一般逆行列の公式$(9.6.2)$は公式$\textrm{(E.1)}$の特別な場合として得られることを示せ.

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解. (Hamada)

(a)

$\mathbf{E_TT} = \mathbf{0}, \mathbf{TF_T} = \mathbf{0}, \mathbf{XF_X} = \mathbf{0}, \mathbf{E_YY} = \mathbf{0}$である。また$\mathbf{Q}^{*}=\mathbf{F}_{\mathbf{X}} \mathbf{Z}^{-}\mathbf{E}_{\mathbf{Y}}$なので$\mathbf{X}\mathbf{Q}^{*}=\mathbf{0}, \mathbf{Q}^*\mathbf{Y} = \mathbf{0}$であることに注意する。

計算すると、

$$
\mathbf{AG_1A}=
\begin{pmatrix}
\mathbf{T} & \mathbf{U} \\
\mathbf{V} & \mathbf{W - QQ^*Q}
\end{pmatrix}, \quad
\mathbf{A}\mathbf{G_2}\mathbf{A}=
\begin{pmatrix}
\mathbf{0} & \mathbf{0} \\
\mathbf{0} & \mathbf{QQ^*Q}
\end{pmatrix}
$$

となる。（濱田：すみません、$\mathbf{AG_1A}$の(2,2)ブロックだけは手計算で確かめることができませんでした。）

よって$\mathbf{AGA}=\mathbf{A}$である。

(b)

$\mathbf{AG}$を計算すると、その(1,1)ブロックは$\mathbf{TT^-+XX^-E_T},$ (2,2)ブロックは$\mathbf{YY^-+E_YQQ^*}$である。(9.2.1)より任意の行列$\mathbf{B}$に対して$\text{rank}\mathbf{B}=\text{tr}\mathbf{BB^-}$なので、

$$
\begin{aligned}
\text{rank}\mathbf{A}
&=\text{tr}\mathbf{AG} \\
&=\text{tr}\mathbf{TT^-} + \text{tr}\mathbf{XX^-E_T}+\text{tr}\mathbf{YY^-}+\text{tr}\mathbf{E_YQQ^*} \\
&=\text{rank}\mathbf{T} + \text{tr}\mathbf{XX^-E_T}+\text{rank}\mathbf{Y}+\text{tr}\mathbf{E_YQQ^*}
\end{aligned}
$$

である。ここで、$\mathbf{E_T}, \mathbf{E_Y}$が冪等であることに注意して

$$
\begin{aligned}
\text{tr}\mathbf{XX^-E_T}=\text{tr}\mathbf{E_TXX^-}=\text{tr}\mathbf{E_TE_TUX^-}=\text{tr}\mathbf{E_TUX^-}=\text{tr}\mathbf{XX^-}=\text{rank}\mathbf{X}
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
\text{tr}\mathbf{E_YQQ^*}=\text{tr}\mathbf{E_YQF_XZ^-E_Y}=\text{tr}\mathbf{E_YE_YQF_XZ^-}=\text{tr}\mathbf{E_YQF_XZ^-}=\text{tr}\mathbf{ZZ^-}=\text{rank}\mathbf{Z}
\end{aligned}
$$

であるから示された。

\(c\)

$\mathcal{C}(\mathbf{U})\subset\mathcal{C}(\mathbf{T})$かつ$\mathcal{R}(\mathbf{V})\subset\mathcal{R}(\mathbf{T})$のとき、補助定理9.3.5より

$$
\begin{aligned}
\mathbf{X}&=\mathbf{E_TU}=(\mathbf{I-TT^-})\mathbf{U} = \mathbf{0},\\
\mathbf{Y} &= \mathbf{VF_T} = \mathbf{V}(\mathbf{I-T^-T}) = \mathbf{0}
\end{aligned}
$$

である。よって$\mathbf{F_X}=\mathbf{I},\ \mathbf{E_Y}=\mathbf{I},\ \mathbf{Z}=\mathbf{Q}$である。従って(E.2)の右辺は$\text{rank}\mathbf{T}+\text{rank}\mathbf{Q}$となり、(9.6.1)に一致する。

また、$\mathbf{X} = \mathbf{0}, \mathbf{Y} = \mathbf{0}$なので$\mathbf{X^-} = \mathbf{0}, \mathbf{Y^-} = \mathbf{0}$と取れる。また、$\mathbf{Q^*}=\mathbf{F_XZ^-E_Y}=\mathbf{Z^-}=\mathbf{Q^-}$であるから、

$$
\mathbf{G_1} + \mathbf{G_2}=
\begin{pmatrix}
\mathbf{T^-} & \mathbf{0} \\
\mathbf{0} & \mathbf{0}
\end{pmatrix} +
\begin{pmatrix}
-\mathbf{T^-U}\\
\mathbf{I}
\end{pmatrix}
\mathbf{Q^-}
\begin{pmatrix}
-\mathbf{VT^-}, & \mathbf{I} \\
\end{pmatrix}
$$

となり(9.6.2)に一致する。