# 第20章 練習問題

## 1.

最大列階数の任意の$m \times n$行列$\mathbf{B}$と最大行階数の$n \times p$行列$\mathbf{C}$に対して,

$$
(\mathbf{B C})^{+}=\mathbf{C}^{+} \mathbf{B}^{+}
$$

を示せ.

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解.(tachimoto)

公式(1.2)により、ムーア-ペンローズ型逆行列は以下の式で書ける。（公式(1.2)における$\mathbf{A, B, T}$がそれぞれ、本問での$\mathbf{BC, B, C}$に対応する。ムーア-ペンローズ型逆行列の一意性により、元の行列を最大列階数と最大行階数の積で表すための$\mathbf{B, C}$として、本問で与えられた$\mathbf{B, C}$自体を用いてよい。）

$$
(\mathbf{B C})^{+}=\mathbf{C}^{\prime}\left(\mathbf{C C}^{\prime}\right)^{-1}\left(\mathbf{B}^{\prime} \mathbf{B}\right)^{-1} \mathbf{B}^{\prime}
$$

(2.1)式と(2.2)式により、命題は示される。

$$
(\mathbf{B C})^{+}=\mathbf{C}^{+} \mathbf{B}^{+} .
$$

>$$\mathbf{G}=\mathbf{T}^{\prime}\left(\mathbf{T T}^{\prime}\right)^{-1}\left(\mathbf{B}^{\prime} \mathbf{B}\right)^{-1} \mathbf{B}^{\prime} \ \ \ (1.2) \\ \mathbf{A}^{+}=\mathbf{A}^{\prime}\left(\mathbf{A} \mathbf{A}^{\prime}\right)^{-1} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.1)\\ \mathbf{A}^{+}=\left(\mathbf{A}^{\prime}\mathbf{A}\right)^{-1} \mathbf{A}^{\prime} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.2)$$

## 2.

任意の$m \times n$行列$\mathbf{A}$に対して, $\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{A}$が冪等のときかつそのときに限って, $\mathbf{A}^{+}=\mathbf{A}^{\prime}$であることを示せ.

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解(shigenobu).

$\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{A}$が冪等の時、定義より以下が成り立つ。

$$
\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{A}=\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{A}^{\prime} \mathbf{A}
$$

この式の左側に$\mathbf{A}^{+}\left(\mathbf{A}^{+}\right)^{\prime}$、右側に$\mathbf{A}^{+}$をかけると以下となる。

$$
\mathbf{A}^{+}\left(\mathbf{A}^{+}\right)^{\prime} \mathbf{A}^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{A}^{+}=\mathbf{A}^{+}\left(\mathbf{A}^{+}\right)^{\prime} \mathbf{A}^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{A}^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{A}^{+}
$$

まず上記左の式に関して

$$
\begin{aligned}
\mathbf{A}^{+}\left(\mathbf{A}^{+}\right)^{\prime} \mathbf{A}^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{A}^{+} &=\mathbf{A}^{+}\left(\mathbf{A} \mathbf{A}^{+}\right)^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{A}^{+}\\
&=\mathbf{A}^{+} \mathbf{A} \mathbf{A}^{+} \mathbf{A A}^{+}（定理20.1.1 (3)より）\\
&=\mathbf{A}^{+} \mathbf{A A}^{+} \mathbf{A A}^{+} \\
&=\mathbf{A}^{+} \mathbf{A} \mathbf{A}^{+} \\
&=\mathbf{A}^{+}（定理20.1.1(2)より）
\end{aligned}
$$

次に右の式に関して

$$
\begin{aligned}
\mathbf{A}^{+}\left(\mathbf{A}^{+}\right)^{\prime} \mathbf{A}^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{A}^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{A}^{+} &=\mathbf{A}^{+}\left(\mathbf{A} \mathbf{A}^{+}\right)^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{A}^{\prime}\left(\mathbf{A A}^{+}\right)^{\prime}（定理20.1.1(3)より） \\ &=\mathbf{A}^{+} \mathbf{A} \mathbf{A}^{+} \mathbf{A}\left(\mathbf{A} \mathbf{A}^{+} \mathbf{A}\right)^{\prime}（定理20.1.1(3)より） \\
&=\mathbf{A}^{+} \mathbf{A} \mathbf{A}^{\prime}（定理20.1.1(1),(2)より） \\
&=\left(\mathbf{A}^{+} \mathbf{A}\right)^{\prime} \mathbf{A}^{\prime}=\left(\mathbf{A} \mathbf{A}^{+} \mathbf{A}\right)^{\prime}=\mathbf{A}^{\prime}（定理20.1.1(1),(3)より）
\end{aligned}
$$

よって、$\mathbf{A}^{+}=\mathbf{A}^{\prime}$となる。

逆に$\mathbf{A}^{+}=\mathbf{A}^{\prime}$の時、$\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{A}=\mathbf{A}^{+} \mathbf{A}$で、定理10.2.5よりこれは冪等行列となる。

## 3.

定理9.6.1に関連して, もし$\mathcal{C}(\mathbf{U}) \subset \mathcal{C}(\mathbf{T})$かつ$\mathcal{R}(\mathbf{V}) \subset \mathcal{R}(\mathbf{T})$で、(それぞれ$\mathbf{T}, \mathbf{Q}$の)一般逆行列$\mathbf{T}^{-}, \mathbf{Q}^{-}$が共に反射的ならば，分割行列$(9.6.2)$,$(9.6.3)$はそれぞれ$\begin{pmatrix}\mathbf{T} & \mathbf{U} \\ \mathbf{V} & \mathbf{W}\end{pmatrix},\begin{pmatrix}\mathbf{W} & \mathbf{V} \\ \mathbf{U} & \mathbf{T}\end{pmatrix}$の反射形一般逆行列となることを示せ.

> 定理9.6.1. $\mathbf{T}$を$m \times p$行列,$\mathbf{U}$を$m \times q$行列,$\mathbf{V}$を$n \times p$行列,$\mathbf{W}$を$n \times q$行列とし,$\mathbf{Q}=\mathbf{W}-\mathbf{V} \mathbf{T}^{-} \mathbf{U}$と置く.$\mathcal{C}(\mathbf{U}) \subset \mathcal{C}(\mathbf{T})$かつ$\mathcal{R}(\mathbf{V}) \subset \mathcal{R}(\mathbf{T})$と仮定する.このとき,$$\operatorname{rank}\begin{pmatrix}\mathbf{T} & \mathbf{U} \\\mathbf{V} & \mathbf{W}\end{pmatrix}=\operatorname{rank}\begin{pmatrix}\mathbf{W} & \mathbf{V} \\\mathbf{U} & \mathbf{T}\end{pmatrix}=\operatorname{rank}(\mathbf{T})+\operatorname{rank}(\mathbf{Q})$$である. 更に, 分割行列$$\begin{aligned}&\begin{pmatrix}\mathbf{T}^{-}+\mathbf{T}^{-} \mathbf{U Q}^{-} \mathbf{V T}^{-} & -\mathbf{T}^{-} \mathbf{U Q}^{-} \\-\mathbf{Q}^{-} \mathbf{V} \mathbf{T}^{-} & \mathbf{Q}^{-}\end{pmatrix} \\=& \begin{pmatrix}\mathbf{T}^{-} & \mathbf{0} \\\mathbf{0} & \mathbf{0}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-\mathbf{T}^{-} \mathbf{U} \\\mathbf{I}_q\end{pmatrix} \mathbf{Q}^{-}\left(-\mathbf{V T}^{-}, \mathbf{I}_n\right)\end{aligned}\tag{9.6.2}$$と$$\begin{aligned}&\begin{pmatrix}\mathbf{Q}^{-} & -\mathbf{Q}^{-} \mathbf{V} \mathbf{T}^{-} \\ -\mathbf{T}^{-} \mathbf{U Q}^{-} & \mathbf{T}^{-}+\mathbf{T}^{-} \mathbf{U Q}^{-} \mathbf{V T}^{-}\end{pmatrix} \\=&\begin{pmatrix}\mathbf{0} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{T}^{-}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\mathbf{I}_q \\ -\mathbf{T}^{-} \mathbf{U}\end{pmatrix} \mathbf{Q}^{-}\left(\mathbf{I}_n,-\mathbf{V} \mathbf{T}^{-}\right)\end{aligned}\tag{9.6.3}$$は, それぞれ,$\begin{pmatrix}\mathbf{T} & \mathbf{U} \\ \mathbf{V} & \mathbf{W}\end{pmatrix}$と$\begin{pmatrix}\mathbf{W} & \mathbf{V} \\ \mathbf{U} & \mathbf{T}\end{pmatrix}$の一般逆行列である.
>
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解.(moriwaki)

※反射形一般逆行列であるというのは、20.3.aからペンローズの条件(1), (2)から行列$\mathbf{A}$の一般逆行列$\mathbf{G}$について、$\mathbf{AGA} = \mathbf{A}$, $\mathbf{GAG} = \mathbf{G}$が成立していることである。

もし$\mathcal{C}(\mathbf{U}) \subset \mathcal{C}(\mathbf{T})$かつ$\mathcal{R}(\mathbf{V}) \subset \mathcal{R}(\mathbf{T})$を仮定すると、定理9.6.1が成立して$(9.6.2)$と$(9.6.3)$はそれぞれ$\begin{pmatrix}\mathbf{T} & \mathbf{U} \\ \mathbf{V} & \mathbf{W}\end{pmatrix}$と$\begin{pmatrix}\mathbf{W} & \mathbf{V} \\ \mathbf{U} & \mathbf{T}\end{pmatrix}$の一般逆行列となっている。また、補助定理9.3.5から$\mathbf{U} = \mathbf{TT}^{-} \mathbf{U}$, $\mathbf{V}=\mathbf{VT}^{-} \mathbf{T}$が成立する。

> 禣助定理 9.3.5. $\mathbf{A}$を$m \times n$行列とする. このとき, 任意の$m \times p$行列$\mathbf{B}$に対して, $\mathbf{B}=\mathbf{A A}^{-} \mathbf{B}$のときかつそのときに限って, すなわち, $\left(\mathbf{I}-\mathbf{A A}^{-}\right) \mathbf{B}=\mathbf{0}$のときかつそのときに限って, $\mathcal{C}(\mathbf{B}) \subset \mathcal{C}(\mathbf{A})$である. そして, 任意の$q \times n$行列$\mathbf{C}$に対して, $\mathbf{C}=\mathbf{C A}^{-} \mathbf{A}$のときかつそのときに限って, すなわち, $\mathbf{C}\left(\mathbf{I}-\mathbf{A}^{-} \mathbf{A}\right)=\mathbf{0}$のときかつそのときに限って, $\mathcal{R}(\mathbf{C}) \subset \mathcal{R}(\mathbf{A})$である.

今、仮定から一般逆行列$\mathbf{T}^{-}, \mathbf{Q}^{-}$が共に反射的なので$\mathbf{T}^{-}\mathbf{TT}^{-}= \mathbf{T}^{-}$, $\mathbf{Q}^{-}\mathbf{QQ}^{-}= \mathbf{Q}^{-} (\iff \mathbf{Q}^{-}(\mathbf{I} - \mathbf{QQ}^{-}) = \mathbf{0} )$が成立している。これを用いて、分割行列$(9.6.2)$が行列$\begin{pmatrix}\mathbf{T} & \mathbf{U} \\ \mathbf{V} & \mathbf{W}\end{pmatrix}$の反射的一般逆行列であることを計算して確かめる（※定理9.6.1から$\mathbf{Q}=\mathbf{W}-\mathbf{V} \mathbf{T}^{-} \mathbf{U} \iff \mathbf{W}=\mathbf{Q}+\mathbf{V} \mathbf{T}^{-} \mathbf{U}$と置いている）。

$$
\begin{aligned}
& \begin{pmatrix}\mathbf{T}^{-}+\mathbf{T}^{-} \mathbf{U Q}^{-} \mathbf{V T}^{-} & -\mathbf{T}^{-} \mathbf{U Q}^{-} \\-\mathbf{Q}^{-} \mathbf{V} \mathbf{T}^{-} & \mathbf{Q}^{-}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}\mathbf{T} & \mathbf{U} \\ \mathbf{V} & \mathbf{W}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}\mathbf{T}^{-}+\mathbf{T}^{-} \mathbf{U Q}^{-} \mathbf{V T}^{-} & -\mathbf{T}^{-} \mathbf{U Q}^{-} \\-\mathbf{Q}^{-} \mathbf{V} \mathbf{T}^{-} & \mathbf{Q}^{-}\end{pmatrix} \\
= & \begin{pmatrix}\mathbf{T}^{-}+\mathbf{T}^{-} \mathbf{U Q}^{-} \mathbf{V T}^{-} & -\mathbf{T}^{-} \mathbf{U Q}^{-} \\-\mathbf{Q}^{-} \mathbf{V} \mathbf{T}^{-} & \mathbf{Q}^{-}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\mathbf{T T}^{-} & \mathbf{0} \\
\left(\mathbf{I}-\mathbf{Q Q}^{-}\right) \mathbf{V T}^{-} &
\mathbf{Q Q}^{-}
\end{pmatrix} \\
= & \begin{pmatrix} \mathbf{T}^{-}\mathbf{T T}^{-} + \mathbf{TUQ}^{-}\mathbf{VT}^{-}\mathbf{TT}^{-}-\mathbf{T}^{-}\mathbf{UQ}^{-}(\mathbf{I}-\mathbf{QQ}^{-})\mathbf{VT}^{-} & -\mathbf{T}^{-}\mathbf{UQ}^{-}\mathbf{QQ}^{-} \\ -\mathbf{Q}^{-}\mathbf{VT}^{-}\mathbf{TT}^{-} + \mathbf{Q}^{-}(\mathbf{I} - \mathbf{QQ}^{-})\mathbf{VT}^{-} & \mathbf{Q}^{-}\mathbf{QQ}^{-} \\
\end{pmatrix} \\
= & \begin{pmatrix} \mathbf{T}^{-} + \mathbf{TUQ}^{-}\mathbf{VT}^{-}-\mathbf{T}^{-}\mathbf{UQ}^{-}(\mathbf{I}-\mathbf{QQ}^{-})\mathbf{VT}^{-} & -\mathbf{T}^{-}\mathbf{UQ}^{-} \\ -\mathbf{Q}^{-}\mathbf{VT}^{-} + \mathbf{Q}^{-}(\mathbf{I} - \mathbf{QQ}^{-})\mathbf{VT}^{-} & \mathbf{Q}^{-} \\
\end{pmatrix} \\
= & \begin{pmatrix} \mathbf{T}^{-} + \mathbf{TUQ}^{-}\mathbf{VT}^{-} & -\mathbf{T}^{-}\mathbf{UQ}^{-} \\ -\mathbf{Q}^{-}\mathbf{VT}^{-} & \mathbf{Q}^{-} \\
\end{pmatrix} \quad (9.6.2)
\end{aligned}
$$

以上で示された。同様に$(9.6.3)$が行列$\begin{pmatrix}\mathbf{W} & \mathbf{V} \\ \mathbf{U} & \mathbf{T}\end{pmatrix}$の反射的一般逆行列であることを示す。

$$
\begin{aligned}
& \begin{pmatrix}\mathbf{Q}^{-} & -\mathbf{Q}^{-} \mathbf{V} \mathbf{T}^{-} \\ -\mathbf{T}^{-} \mathbf{U Q}^{-} & \mathbf{T}^{-}+\mathbf{T}^{-} \mathbf{U Q}^{-} \mathbf{V T}^{-}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\mathbf{W} & \mathbf{V} \\ \mathbf{U} & \mathbf{T}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\mathbf{Q}^{-} & -\mathbf{Q}^{-} \mathbf{V} \mathbf{T}^{-} \\ -\mathbf{T}^{-} \mathbf{U Q}^{-} & \mathbf{T}^{-}+\mathbf{T}^{-} \mathbf{U Q}^{-} \mathbf{V T}^{-}\end{pmatrix} \\
= & \begin{pmatrix}\mathbf{Q}^{-} & -\mathbf{Q}^{-} \mathbf{V} \mathbf{T}^{-} \\ -\mathbf{T}^{-} \mathbf{U Q}^{-} & \mathbf{T}^{-}+\mathbf{T}^{-} \mathbf{U Q}^{-} \mathbf{V T}^{-}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\mathbf{QQ}^{-} & \left(\mathbf{I} - \mathbf{Q Q}^{-} \right) \mathbf{V T}^{-} \\
\mathbf{0} & \mathbf{TT}^{-}
\end{pmatrix} \\
= & \begin{pmatrix} \mathbf{Q}^{-}\mathbf{QQ}^{-} & -\mathbf{Q}^{-}\mathbf{VT}^{-}\mathbf{TT}^{-} + \mathbf{Q}^{-}(\mathbf{I} - \mathbf{QQ}^{-})\mathbf{VT}^{-} \\ -\mathbf{T}^{-}\mathbf{UQ}^{-}\mathbf{QQ}^{-} & \mathbf{T}^{-}\mathbf{T T}^{-} + \mathbf{TUQ}^{-}\mathbf{VT}^{-}\mathbf{TT}^{-}-\mathbf{T}^{-}\mathbf{UQ}^{-}(\mathbf{I}-\mathbf{QQ}^{-})\mathbf{VT}^{-} \\
\end{pmatrix} \\
= & \begin{pmatrix} \mathbf{Q}^{-} & -\mathbf{Q}^{-}\mathbf{VT}^{-} + \mathbf{Q}^{-}(\mathbf{I} - \mathbf{QQ}^{-})\mathbf{VT}^{-} \\ -\mathbf{T}^{-}\mathbf{UQ}^{-} & \mathbf{T}^{-} + \mathbf{TUQ}^{-}\mathbf{VT}^{-}-\mathbf{T}^{-}\mathbf{UQ}^{-}(\mathbf{I}-\mathbf{QQ}^{-})\mathbf{VT}^{-} \\
\end{pmatrix} \\
= & \begin{pmatrix} \mathbf{Q}^{-} & -\mathbf{Q}^{-}\mathbf{VT}^{-} \\ -\mathbf{T}^{-}\mathbf{UQ}^{-} & \mathbf{T}^{-} + \mathbf{TUQ}^{-}\mathbf{VT}^{-} \\
\end{pmatrix} \quad (9.6.3)
\end{aligned}
$$

以上で示された。

## 4.

$m \times n$行列$\mathbf{A}$の左逆行列（存在するとき）はペンローズの条件 (1)-(4) のどれを必ず満たすかを判定せよ. $m \times n$行列$\mathbf{A}$の右逆行列（存在するとき）はペンローズの条件のどれを必ず満たすか?

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解.（Chiba）
$\mathbf{A}$は左逆行列$\mathbf{L}$を持つと仮定する。そのとき、定義により$\mathbf{L}\mathbf{A}=\mathbf{I}_n$が成り立つ。そして、以前（Section 9.2で）示したように、$\mathbf{A}\mathbf{L}\mathbf{A}=\mathbf{A}\mathbf{I}=\mathbf{A}$である。したがって、ペンローズの条件(1)を必ず満たす。さらに、$\mathbf{L}\mathbf{A}\mathbf{L} = \mathbf{I}\mathbf{L}=\mathbf{L}$と$(\mathbf{L}\mathbf{A})'=\mathbf{I}'=\mathbf{I}=\mathbf{L}\mathbf{A}$より、$\mathbf{L}$もまたペンローズの条件(2)および(4)を必ず満たす。

しかし、ペンローズの条件(3)を満たさない左逆行列をもつ行列が存在する。例えば、$\mathbf{A}=(\mathbf{I}_n\ \mathbf{0})'$（ただし、$m>n$）を考える。そして、$\mathbf{L}=(\mathbf{I}_n\ \mathbf{K})$（ここで$\mathbf{K}$は任意の$n\times(m-n)$行列）をとる。そのとき、$\mathbf{L}\mathbf{A}=\mathbf{I}_n$かつ$\mathbf{A}\mathbf{L}=\begin{pmatrix}\mathbf{I}_n & \mathbf{K} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0}\end{pmatrix}$であるので、$\mathbf{L}$は$\mathbf{A}$の左逆行で、（$\mathbf{K}$=$\mathbf{0}$でない限り）ペンローズの条件(3)を満たさない。

同様に、$\mathbf{A}$は右逆行列$\mathbf{R}$を持つと仮定すると、$\mathbf{R}$は必ずペンローズの条件(1)-(3)を満たす。しかし、ペンローズの条件(4)を満たさない右逆行列をもつ行列が存在する。

## 5.

$\mathbf{A}$を$m \times n$行列, $\mathbf{G}$を$n \times m$行列とする.

$\mathbf{(a)}$$\mathbf{G}$が$\mathbf{A}$の最小ノルム形一般逆行列かつ$\mathbf{A}$が$\mathbf{G}$の最小ノルム形一般逆行列のときかつそのときに限って, $\mathbf{G}$は$\mathbf{A}$のムーア―ペンローズ形逆行列であることを示せ.

$\mathbf{(b)}$$\mathbf{G A A}^{\prime}=\mathbf{A}^{\prime}$かつ$\mathbf{A G G}^{\prime}=\mathbf{G}^{\prime}$のときかつそのときに限って, $\mathbf{G}$は$\mathbf{A}$の ムーア―ペンローズ形逆行列であることを示せ.

$\mathbf{(c)}$$\mathbf{G A}=\mathbf{P}_{\mathbf{A}^{\prime}}$かつ$\mathbf{A G}=\mathbf{P}_{\mathbf{G}^{\prime}}$のときかつそのときに限って, $\mathbf{G}$は$\mathbf{A}$のムーア―ペンローズ形逆行列であることを示せ.

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解.(Kaneko)

$\mathbf{(a)}$ 最小ノルム形一般逆行列の定義より$\mathbf{AGA}=\mathbf{A},(\mathbf{GA})^{\prime}=\mathbf{GA}$が成り立つ(定理20.1.1の(1),(4))ときかつそのときに限って$\mathbf{G}$が$\mathbf{A}$の最小ノルム形一般逆行列になる. また$\mathbf{GAG}=\mathbf{G},(\mathbf{AG})^{\prime}=\mathbf{AG}$成り立つ(定理20.1.1の(2),(3))ときかつそのときに限って$\mathbf{A}$が$\mathbf{G}$の最小ノルム形一般逆行列になる. したがって$\mathbf{G}$が$\mathbf{A}$の最小ノルム形一般逆行列であり，$\mathbf{A}$が$\mathbf{G}$の最小ノルム形一般逆行列であるとき，かつその時に限って$\mathbf{G}$は$\mathbf{A}$のムーア―ペンローズ形逆行列である．

$\mathbf{(b)}$ 定理(20.3.7)より$\mathbf{G A A}^{\prime}=\mathbf{A}^{\prime}$かつ$\mathbf{A G G}^{\prime}=\mathbf{G}^{\prime}$のときかつそのときに限って,$\mathbf{G}$は$\mathbf{A}$の最小ノルム形一般逆行列であり，かつ$\mathbf{A}$は$\mathbf{G}$の最小ノルム形一般逆行列である．したがってこれと$\mathbf{(a)}$から$\mathbf{G}$は$\mathbf{A}$のムーア―ペンローズ形逆行列である．

> 定理 20.3.7. $m \times n$ 行列 $\mathbf{A}$ に対して, $n \times m$ 行列 $\mathbf{G}$ は, $\mathbf{G A } \mathbf{A}^{\prime}=\mathbf{A}^{\prime}$ すな わち $\mathbf{A} \mathbf{A}^{\prime} \mathbf{G}^{\prime}=\mathbf{A}$ のときかつそのときに限って, $\mathbf{A}$ の最小ノルム形一般逆行 列である.

$\mathbf{(c)}$ 系(20.3.8)より$\mathbf{G A}=\mathbf{P}_{\mathbf{A}^{\prime}}$かつ$\mathbf{A G}=\mathbf{P}_{\mathbf{G}^{\prime}}$のときかつそのときに限って, $\mathbf{G}$は$\mathbf{A}$の最小ノルム形一般逆行列であり，かつ$\mathbf{A}$は$\mathbf{G}$の最小ノルム形一般逆行列である．したがってこれと$\mathbf{(a)}$から$\mathbf{G}$は$\mathbf{A}$のムーア―ペンローズ形逆行列である．

> 系 20.3.8. $m \times n$ 行列 $\mathbf{A}$ に対して, $n \times m$ 行列 $\mathbf{G}$ は, $\mathbf{G A}=\mathbf{P}_{\mathbf{A}^{\prime}}$ すなわ ち $\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{G}^{\prime}=\mathbf{P}_{\mathbf{A}^{\prime}}$ のときかつそのときに限って, $\mathbf{A}$ の最小ノルム形一般逆行列 である.

## 6.

$\mathbf{(a)}$ $m \times n$行列$\mathbf{A}, \mathbf{B}$で$\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{B}=\mathbf{0}, \mathbf{B A}^{\prime}=\mathbf{0}$を満たすものに対して, $(\mathbf{A}+\mathbf{B})^{+}=$$\mathbf{A}^{+}+\mathbf{B}^{+}$を示せ.

$\mathbf{(b)}$ $\mathbf{A}_1, \mathbf{A}_2, \ldots, \mathbf{A}_k$を$m \times n$行列で, $j>i=1, \ldots, k-1$に対して, $\mathbf{A}_i^{\prime} \mathbf{A}_j=$$\mathbf{0}, \mathbf{A}_j \mathbf{A}_i^{\prime}=\mathbf{0}$を満たすものとする. $\left(\mathbf{A}_1+\mathbf{A}_2+\cdots+\mathbf{A}_k\right)^{+}=\mathbf{A}_1^{+}+\mathbf{A}_2^{+}+$$\cdots+\mathbf{A}_k^{+}$を示して$\mathbf{(a)}$の結果を一般化せよ.

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解. (Yamashita)
$\mathbf{(a)}$
$\mathbf{X}$ を $(\mathbf{A}+\mathbf{B})^{\prime}(\mathbf{A}+\mathbf{B}) \mathbf{X}= (\mathbf{A}+\mathbf{B})^{\prime}$ を満たす $n \times m$ 行列, $\mathbf{Y}$ を $(\mathbf{A}+\mathbf{B})(\mathbf{A}+\mathbf{B})^{\prime} \mathbf{Y}=\mathbf{A}+\mathbf{B}$ を 満たす $m \times n$ 行列とする. $\mathbf{B}^{\prime} \mathbf{A}=\left(\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{B}\right)^{\prime}=\mathbf{0}$ 及び $\mathbf{A} \mathbf{B}^{\prime}=\left(\mathbf{B} \mathbf{A}^{\prime}\right)^{\prime}=\mathbf{0}$ より, $\left(\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{A}+\mathbf{B}^{\prime} \mathbf{B}\right) \mathbf{X}=\mathbf{A}^{\prime}+\mathbf{B}^{\prime}$ 及び $\left(\mathbf{A} \mathbf{A}^{\prime}+\mathbf{B} \mathbf{B}^{\prime}\right) \mathbf{Y}=\mathbf{A}+\mathbf{B}$ を得る.
さらに, 系 12.1.2 より, $\mathcal{C}(\mathbf{A}) \perp \mathcal{C}(\mathbf{B})$ 及び $\mathcal{C}\left(\mathbf{A}^{\prime}\right) \perp \mathcal{C}\left(\mathbf{B}^{\prime}\right)$ であるから, 補助定理 17.1.9 より, $\mathcal{C}(\mathbf{A}) \cap \mathcal{C}(\mathbf{B})=\{\mathbf{0}\}$ 及び $\mathcal{C}\left(\mathbf{A}^{\prime}\right) \cap \mathcal{C}\left(\mathbf{B}^{\prime}\right)=\{\mathbf{0}\}$ を得る. よって, $\mathcal{C}\left(\mathbf{A}^{\prime}\right)=\mathcal{C}\left(\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{A}\right)$, $\mathcal{C}\left(\mathbf{B}^{\prime}\right)=\mathcal{C}\left(\mathbf{B}^{\prime} \mathbf{B}\right)$, $\mathcal{C}(\mathbf{A})=\mathcal{C}\left(\mathbf{A} \mathbf{A}^{\prime}\right)$, 及び $\mathcal{C}(\mathbf{B})=\mathcal{C}\left(\mathbf{B B}^{\prime}\right)$ であるから, 定理 18.2.7 より, $\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{A X}=\mathbf{A}^{\prime}$, $\mathbf{B}^{\prime} \mathbf{B} \mathbf{X}=\mathbf{B}^{\prime}$, $\mathbf{A} \mathbf{A}^{\prime} \mathbf{Y}=\mathbf{A}$, 及び $\quad \mathbf{B B}^{\prime} \mathbf{Y}=\mathbf{B}$ である.
よって, 定理 20.4.4 を用いて,
$$
(\mathbf{A}+\mathbf{B})^{+}=\mathbf{Y}^{\prime}(\mathbf{A}+\mathbf{B}) \mathbf{X}=\mathbf{Y}^{\prime} \mathbf{A X}+\mathbf{Y}^{\prime} \mathbf{B X}=\mathbf{A}^{+}+\mathbf{B}^{+}
$$
を得る.

> 系 12.1.2. $\mathbf{y}$ を $m$ 次元列べクトル, $\mathbf{X}$ を $m \times n$ 行列, $\mathbf{Z}$ を $m \times p$ 行列とする. このとき, $\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{y}=\mathbf{0}$ (すなわち, $\mathbf{y}^{\prime} \mathbf{X}=\mathbf{0}$) のときかつそのときに限って, $\mathbf{y}$ は (通常の内積に関して) $\mathcal{C}(\mathbf{X})$ に直交する. 同様に, $\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{Z}=\mathbf{0}$ (すなわち, $\mathbf{Z}^{\prime} \mathbf{X}=\mathbf{0}$) のときかつそのときに限って, $\mathcal{C}(\mathbf{X})$ は（通常の内積に関して）$\mathcal{C}(\mathbf{Z})$ に直交する.

> 補助定理 17.1.9. $\mathcal{U}, \mathcal{V}$ を $\mathcal{R}^{m \times n}$ の部分空間とする. $\mathcal{U} \perp \mathcal{V}$ (すなわち, $\mathcal{U}, \mathcal{V}$ が直交する）ならば, $\mathcal{U} \cap \mathcal{V}=\{0\}$ である (すなわち, $\mathcal{U}, \mathcal{V}$ は本質的に互いに素である).

> 定理 18.2.7. $\mathbf{A}, \mathbf{B}$ を $m \times n$ 行列, $\mathbf{C}, \mathbf{D}$ を $m \times p$ 行列で $\mathcal{C}(\mathbf{C}) \subset \mathcal{C}(\mathbf{A})$, $\mathcal{C}(\mathbf{D}) \subset \mathcal{C}(\mathbf{B})$ を満たすものとする. (1) もし $\mathcal{R}(\mathbf{A})$, $\mathcal{R}(\mathbf{B})$ が本質的に互いに素ならば, (Xに関する) 線形系 $(\mathbf{A}+\mathbf{B}) \mathbf{X}=\mathbf{C}+\mathbf{D}$ は無矛盾である. (2) もし $\mathcal{C}(\mathbf{A}), \mathcal{C}(\mathbf{B})$ が本質的に互いに素ならば，線形系 $(\mathbf{A}+\mathbf{B}) \mathbf{X}=\mathbf{C}+\mathbf{D}$ の解は線形系 $\mathbf{A X}=\mathbf{C}$ と線形系 $\mathbf{B X}=\mathbf{D}$ の解である.

> 定理 20.4.4. 任意の $m \times n$ 行列 $\mathbf{A}$ に対して, $\mathbf{X}$ を ($n \times m$ 行列 $\mathbf{X}$ に関する) (無矛盾な）線形系 $\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{A X}=\mathbf{A}^{\prime}$ の任意の解， $\mathbf{Y}_*$ を $(m \times n$ 行列 $\mathbf{Y}$ に関する) (無矛盾な）線形系 $\mathbf{A} \mathbf{A}^{\prime} \mathbf{Y}=\mathbf{A}$ の任意の解として，
$$
\mathbf{A}^{+}=\mathbf{Y}_*^{\prime} \mathbf{A X} .
$$
である.

$\mathbf{(b)}$
数学的帰納法により示す. まず, $\mathbf{(a)}$ より $k=2$ のとき $\mathbf{(b)}$ の結果は成立する.

$\mathbf{(b)}$ の結果が $k=k^*-1$ のときに成立すると仮定する. また, $\mathbf{A}_1, \ldots, \mathbf{A}_{k^*-1}, \mathbf{A}_{k^*}$ を $j>i=1, \ldots, k^*-1$ に対して $\mathbf{A}_i^{\prime} \mathbf{A}_j=\mathbf{0}$ 及び $\mathbf{A}_j \mathbf{A}_i^{\prime}=\mathbf{0}$ を満たす $m \times n$ 行列とする. このとき,
$$
\left(\mathbf{A}_1+\cdots+\mathbf{A}_{k^*-1}\right)^{\prime} \mathbf{A}_{k^*}=\mathbf{A}_1^{\prime} \mathbf{A}_{k^*}+\cdots+\mathbf{A}_{k^*-1}^{\prime} \mathbf{A}_{k^*}=0
$$
及び
$$
\mathbf{A}_{k^*}\left(\mathbf{A}_1+\cdots+\mathbf{A}_{k^*-1}\right)^{\prime}=\mathbf{A}_{k^*} \mathbf{A}_1^{\prime}+\cdots+\mathbf{A}_{k^*} \mathbf{A}_{k^*-1}^{\prime}=\mathbf{0}
$$
より, $\mathbf{(a)}$ を用いて,
$$
\begin{aligned}
\left(\mathbf{A}_1+\cdots+\mathbf{A}_{k^*-1}+\mathbf{A}_{k^*}\right)^{+} &=\left[\left(\mathbf{A}_1+\cdots+\mathbf{A}_{k^*-1}\right)+\mathbf{A}_{k^*}\right]^{+} \\
&=\left(\mathbf{A}_1+\cdots+\mathbf{A}_{k^*-1}\right)^{+}+\mathbf{A}_{k^*}^{+} \\
&=\mathbf{A}_1^{+}+\ldots+\mathbf{A}_{k^*-1}^{+}+\mathbf{A}_{k^*}^{+},
\end{aligned}
$$
となり, $k=k^*$ のときにも $\mathbf{(b)}$ の結果は成立する.

以上より, 数学的帰納法で示される.

## 7.

任意の$m \times n$行列$\mathbf{A}$に対して, $\left(\mathbf{A}^{+} \mathbf{A}\right)^{+}=\mathbf{A}^{+} \mathbf{A},\left(\mathbf{A} \mathbf{A}^{+}\right)^{+}=\mathbf{A A}^{+}$が成り立つことを示せ。

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解. 齋藤
系20.5.2より、$\mathbf{A}^{+} \mathbf{A}$と、 $\mathbf{A}\mathbf{A}^{+}$は対称で冪等である。

> 補助定理20.2.1 任意の対称冪等行列$\mathbf{A}$に対して、$\mathbf{A}^{+} = \mathbf{A}$である

よって、補助定理20.2.1より、$\left(\mathbf{A}^{+} \mathbf{A}\right)^{+}=\mathbf{A}^{+} \mathbf{A},\left(\mathbf{A} \mathbf{A}^{+}\right)^{+}=\mathbf{A A}^{+}$が成り立つ。

## 8.

任意の$n \times n$対称行列$\mathbf{A}$に対して, $\mathbf{A} \mathbf{A}^{+}=\mathbf{A}^{+} \mathbf{A}$が成り立つことを示せ.

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解. (kumada)

行列$\mathbf{A}$が対称行列であることと、定理20.5.1のパート(2)より、$\mathbf{A}^{+} \mathbf{A}=\mathbf{A} \mathbf{A}^{+}$が導かれる。

>定理 20.5.1. 任意の行列 $\mathbf{A}$ に対して, 次のことが成り立つ.
(1) $\operatorname{rank}\left(\mathbf{A}^{+}\right)=\operatorname{rank}(\mathbf{A})$.
(2) $\mathbf{A}^{+} \mathbf{A}=\mathbf{P}_{\mathbf{A}^{\prime}}, \mathbf{A} \mathbf{A}^{+}=\mathbf{P}_{\mathbf{A}}$.
(3) $\mathcal{C}\left(\mathbf{A}^{+}\right)=\mathcal{C}\left(\mathbf{A}^{\prime}\right), \mathcal{R}\left(\mathbf{A}^{+}\right)=\mathcal{R}\left(\mathbf{A}^{\prime}\right)$.
(4) $\mathcal{N}\left(\mathbf{A}^{+}\right)=\mathcal{C}^{\perp}(\mathbf{A})=\mathcal{N}\left(\mathbf{A}^{\prime}\right)$.

## 9.

$\mathbf{V}$を$n \times n$対称非負定値行列, $\mathbf{X}$を$n \times p$行列, $\mathbf{d}$を$p$次元列ベクトルとする. 練習問題8と19.11の結果（あるいは他のもの）を用いて, あらゆる$\mathbf{d} \in \mathcal{C}\left(\mathbf{X}^{\prime}\right)$に対して, $\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{a}=\mathbf{d}$の下で（$\mathbf{a}$に関する）二次形式$\mathbf{a}^{\prime} \mathbf{V a}$を最小にする問題について, ベクトル$\mathbf{X}\left(\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{X}\right)^{-} \mathbf{d}$が解となるためには, $\mathcal{C}\left(\mathbf{V}^{+} \mathbf{X}\right) \subset \mathcal{C}(\mathbf{X})$であることが必要十分であることを示せ.

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解. (Hamada)

練習問題 19.11 の結果より、

$$
\mathcal{C}(\mathbf{V X}) \subset\mathcal{C}(\mathbf{X}) \Leftrightarrow \mathcal{C}\left(\mathbf{V}^{+} \mathbf{X}\right) \subset \mathcal{C}(\mathbf{X})
$$

を示せばよい。以下これを示す。

$\mathcal{C}(\mathbf{V X}) \subset \mathcal{C}(\mathbf{X})$ と仮定すると、ある行列 $\mathbf{Q}$ が存在して $\mathbf{V X}=\mathbf{X} \mathbf{Q}$ が成り立つ。また、練習問題 8 の結果より
$$
\mathbf{V X}=\mathbf{V V}^{+} \mathbf{V X}=\mathbf{V V}^{+} \mathbf{X Q}=\mathbf{V}^{+} \mathbf{V X Q}=\mathbf{V}^{+} \mathbf{X Q}^2
$$
が成り立つので
$$
\mathcal{C}(\mathbf{V X}) \subset \mathcal{C}\left(\mathbf{V}^{+} \mathbf{X}\right)
$$
である。さらに、定理20.5.3 より $\mathrm{V}^{+}$ は対称非負定値なので、補助定理 14.11.2 と練習問題 8 の結果より
$$
\begin{aligned}
\operatorname{rank}(\mathbf{V X}) \geq \operatorname{rank}\left(\mathbf{V}^{+} \mathbf{V} \mathbf{X}\right)=\operatorname{rank}\left(\mathbf{V V}^{+} \mathbf{X}\right) & \geq \operatorname{rank}\left(\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{V}^{+} \mathbf{V} \mathbf{V}^{+} \mathbf{X}\right) \\
&=\operatorname{rank}\left(\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{V}^{+} \mathbf{X}\right)=\operatorname{rank}\left(\mathbf{V}^{+} \mathbf{X}\right)
\end{aligned}
$$
が成り立つ。$\mathcal{C}(\mathbf{V X}) \subset \mathcal{C}\left(\mathbf{V}^{+} \mathbf{X}\right)$ より $\operatorname{rank}(\mathbf{V X}) \leq \operatorname{rank}\left(\mathbf{V}^{+} \mathbf{X}\right)$ だから、$\operatorname{rank}(\mathbf{V X})$ $=\operatorname{rank}\left(\mathbf{V}^{+} \mathbf{X}\right)$ である。 よって $\mathcal{C}(\mathbf{V X})=\mathcal{C}\left(\mathbf{V}^{+} \mathbf{X}\right)$ である。 従って仮定より $\mathcal{C}\left(\mathbf{V}^{+} \mathbf{X}\right) \subset \mathcal{C}(\mathbf{X})$ が成り立つ。

逆に、$\mathcal{C}\left(\mathbf{V}^{+} \mathbf{X}\right) \subset \mathcal{C}(\mathbf{X})$ と仮定すると、ある行列 $\mathbf{R}$ が存在して $\mathbf{V}^{+} \mathbf{X}=\mathbf{X R}$ が成り立つ。また、練習問題 8 の結果より
$$
\mathbf{V}^{+} \mathbf{X}=\mathbf{V}^{+} \mathbf{V V}^{+} \mathbf{X}=\mathbf{V}^{+} \mathbf{V X R}=\mathbf{V V}^{+} \mathbf{X R}=\mathbf{V X R}^2
$$
が成り立つので
$$
\mathcal{C}\left(\mathbf{V}^{+} \mathbf{X}\right) \subset \mathcal{C}(\mathbf{V X})
$$
である。さらに、補助定理 14.11.2 と練習問題 8 の結果より
$$
\begin{aligned}
&\operatorname{rank}\left(\mathbf{V}^{+} \mathbf{X}\right) \geq \operatorname{rank}\left(\mathbf{V V}^{+} \mathbf{X}\right)=\operatorname{rank}\left(\mathbf{V}^{+} \mathbf{V X}\right) \geq \operatorname{rank}\left(\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{V V}^{+} \mathbf{V X}\right) \\
&=\operatorname{rank}\left(\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{V X}\right)=\operatorname{rank}(\mathbf{V X})
&
\end{aligned}
$$
が成り立つ。$\mathcal{C}\left(\mathbf{V}^{+} \mathbf{X}\right) \subset \mathcal{C}(\mathbf{V X})$ より $\operatorname{rank}\left(\mathbf{V}^{+} \mathbf{X}\right)\leq\operatorname{rank}(\mathbf{V X})$ だから、$\operatorname{rank}\left(\mathbf{V}^{+} \mathbf{X}\right)$ $=\operatorname{rank}(\mathbf{V X})$ である。よって $\mathcal{C}\left(\mathbf{V}^{+} \mathbf{X}\right)=\mathcal{C}(\mathbf{V X})$ である。従って仮定より $\mathcal{C}(\mathbf{V X}) \subset \mathcal{C}(\mathbf{X})$ が成り立つ。以上から、示された。

> 定理 20.5.3 (一部) もし $\mathbf{A}$ が対称かつ非負定値ならば、$\mathbf{A}^{+}$も対称かつ非負定値である。

> 補助定理 14.11.2. 任意の $m \times n$ 行列 $\mathbf{A}$ と任意の $m \times m$ 対称非負定値行列 $\mathbf{W}$ に対して、$\mathcal{C}\left(\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{W A}\right)=\mathcal{C}\left(\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{W}\right), \mathcal{R}\left(\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{W A}\right)=\mathcal{R}(\mathbf{W A}), \operatorname{rank}\left(\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{W A}\right)=$ $\operatorname{rank}(\mathbf{W A})$ が成り立つ。

## 10.

定理 20.5.3の (3) の別な証明を定理20.4.5 を用いてせよ.

> 定理20.5.3. $\mathbf{A}$を$m\times n$行列とし、(3) もし$\mathbf{A}$ が対称かつ半正定値ならば, $\mathbf{A}^{+}$も対称かつ半正定値である. もし $\mathbf{A}$ が対称かつ正定値ならば, $\mathbf{A}^{+}$も対称かつ正定値である (そしてもし $\mathbf{A}$ が対称かつ非負定値ならば, $\mathbf{A}^{+}$も対称かつ非負定値である).
> 定理20.4.5. $\mathbf{A}$ を ($\mathbf{0}$でない) $n \times n$ 対称非負定値行列とする. このとき, 最大行階数の行列$\mathbf{T}$で$\mathbf{A}=\mathbf{T}^{\prime}\mathbf{T}$を満たすものに対して
$$
\begin{aligned}
\mathbf{A}^{+} & =\mathbf{T}^{\prime}\left(\mathbf{T A} \mathbf{T}^{\prime}\right)^{-1} \mathbf{T} \\
& =\mathbf{T}^{\prime}\left(\mathbf{T} \mathbf{T}^{\prime}\right)^{-2} \mathbf{T} \\
& =\mathbf{T}^{+}\left(\mathbf{T}^{+}\right)^{\prime}
\end{aligned}
$$
（ここで $\left(\mathbf{T} \mathbf{T}^{\prime}\right)^{-2}=[(\mathbf{T} \mathbf{T}^{\prime})^{-1}]^2$）である.

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解.(Ogura)

- 定理20.5.3 (1) より、$\mathbf{A}$が対称なら$\mathbf{A}^{+}$も対称。

- $\mathbf{A} = \mathbf{0}$の場合、$\mathbf{A}^{+} = \mathbf{0}$であるため、$\mathbf{A}$も$\mathbf{A}^{+}$も半正定値

- $\mathbf{A} \neq \mathbf{0}$の場合、定理20.4.5より、最大行階数を持つ任意の行列$\mathbf{T}$で$\mathbf{A} = \mathbf{T}'\mathbf{T}$を満たすものに対して、
$$
\mathbf{A}^{+} = \mathbf{T}^{+}(\mathbf{T}^{+})'
$$
と表すことができる。ここで、$\mathbf{T}$の列数 (i.e., $(\mathbf{T}^{+})'$の列数) を$n$とおく。定理20.5.1 (1) より、$\mathrm{rank} (\mathbf{T}^{+})' = \mathrm{rank} (\mathbf{T}^{+}) = \mathrm{rank} (\mathbf{T})$であることから、系14.2.14にてらして、
- $\mathrm{rank} (\mathbf{T}) < n$のとき、つまり$\mathbf{A}$が半正定値のとき、$\mathbf{A}^{+}$も半正定値
- $\mathrm{rank} (\mathbf{T}) = n$のとき、つまり$\mathbf{A}$が正定値のとき、$\mathbf{A}^{+}$も正定値

> 系14.2.14. $\mathbf{P}$を任意の$n \times m$行列とする。もし$\mathrm{rank}(\mathbf{P}) = m$ならば、$\mathrm{P}'\mathrm{P}$は正定値であり、もし$\mathrm{rank}(\mathbf{P}) < m$ならば、$\mathrm{P}'\mathrm{P}$は半正定値である。

## 11.

$\mathbf{C}$を$m \times n$行列とする. 任意の$m \times m$冪等行列$\mathbf{A}$に対して, $(\mathbf{A C})^{+} \mathbf{A}^{\prime}=(\mathbf{A C})^{+}$であり, 任意の$n \times n$行列$\mathbf{B}$に対して, $\mathbf{B}^{\prime}(\mathbf{C B})^{+}=(\mathbf{C B})^{+}$であることを示せ.

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解.(tachimoto)

（コメント）おそらく、$\mathbf{B}$も冪等行列と仮定されている。

>系 20.5.5. 任意の行列 $\mathbf{A}$ に対して,
$$
\mathbf{A}^{+}=\mathbf{A}^{\prime}\left(\mathbf{A} \mathbf{A}^{\prime}\right)^{+}=\left(\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{A}\right)^{+} \mathbf{A}^{\prime}
$$

系20.5.5により、
$$
(\mathbf{A C})^{+}=\left[(\mathbf{A C})^{\prime} \mathbf{A C}\right]^{+}(\mathbf{A C})^{\prime}=\left[(\mathbf{A C})^{\prime} \mathbf{A C}\right]^{+} \mathbf{C}^{\prime} \mathbf{A}^{\prime},\\
(\mathbf{CB})^{+}=(\mathbf{CB})^{\prime}\left[\mathbf{CB}(\mathbf{CB})^{\prime}\right]^{+}=\mathbf{B}^{\prime} \mathbf{C}^{\prime}\left[\mathbf{CB}(\mathbf{CB})^{\prime}\right]^{+} .
$$
従って、
$$
\begin{aligned}
(\mathbf{A C})^{+} \mathbf{A}^{\prime}=\left[(\mathbf{A C})^{\prime} \mathbf{A C}\right]^{+} \mathbf{C}^{\prime} \mathbf{A}^{\prime} \mathbf{A}^{\prime} &=\left[(\mathbf{A C})^{\prime} \mathbf{A C}\right]^{+} \mathbf{C}^{\prime}(\mathbf{A A})^{\prime} \\
&=\left[(\mathbf{A C})^{\prime} \mathbf{A C}\right]^{+} \mathbf{C}^{\prime} \mathbf{A}^{\prime}=(\mathbf{A C})^{+},
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
\mathbf{B}^{\prime}(\mathbf{C B})^{+}=\mathbf{B}^{\prime} \mathbf{B}^{\prime} \mathbf{C}^{\prime}\left[\mathbf{C B}(\mathbf{C B})^{\prime}\right]^{+} &=(\mathbf{B B})^{\prime} \mathbf{C}^{\prime}\left[\mathbf{C B}(\mathbf{C B})^{\prime}\right]^{+} \\
&=\mathbf{B}^{\prime} \mathbf{C}^{\prime}\left[\mathbf{C B}(\mathbf{C B})^{\prime}\right]^{+}=(\mathbf{C B})^{+}
\end{aligned}
$$

## 12.

$\mathbf{a}$を変数の$n$次元列ベクトルとし, $n \times p$行列$\mathbf{X}$と$p$次元列ベクトル$\mathbf{d}$で$\mathbf{d} \in$$\mathcal{C}\left(\mathbf{X}^{\prime}\right)$となるものを用いて$\mathbf{a}$に制約$\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{a}=\mathbf{d}$を課す. $n \times n$対称非負定値行列$\mathbf{V}$と$n$次元列ベクトル$\mathbf{b}$で$\mathbf{b} \in \mathcal{C}(\mathbf{V}, \mathbf{X})$となるものに対して$f(\mathbf{a})=\mathbf{a}^{\prime} \mathbf{V a}-2 \mathbf{b}^{\prime} \mathbf{a}$と定義する. 更に, $\mathbf{R}$を$\mathbf{V}=\mathbf{R}^{\prime} \mathbf{R}$を満たす任意の行列, $\mathbf{a}_0$を$n$次元列ベクトルで$\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{a}_0=\mathbf{d}$を満たすもの, $\mathbf{s}$を$n$次元列ベクトルで, ある$p$次元列ベクトル$\mathbf{t}$対して$\mathbf{b}=\mathbf{V s}+\mathbf{X t}$を満たすものとする.19.6 節と練習問題11の結果 （あるいは他のもの）を用いて, ある$n$次元列ベクトル$\mathbf{w}$に対して

$$
\mathbf{a}_*=\mathbf{a}_0+\left[\mathbf{R}\left(\mathbf{I}-\mathbf{P}_{\mathbf{X}}\right)\right]^{+} \mathbf{R}\left(\mathbf{s}-\mathbf{a}_0\right)+\left\{\mathbf{I}-\left[\mathbf{R}\left(\mathbf{I}-\mathbf{P}_{\mathbf{X}}\right)\right]^{+} \mathbf{R}\right\}\left(\mathbf{I}-\mathbf{P}_{\mathbf{X}}\right) \mathbf{w}
$$

のときかつそのときに限って, $f(\mathbf{a})$が（制約$\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{a}=\mathbf{d}$の下で）点$\mathbf{a}_*$において最小値に達することを示せ.

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解.(shigenobu)

$\mathbf{Z}=\mathbf{I}-\mathbf{P}_{\mathbf{X}}$とすると、第12章の定理12.3.4より$\mathcal{C}(\mathbf{Z})=\mathcal{N}\left(\mathbf{X}^{\prime}\right)$

そして、19.6節の制約条件下の最小化問題の結果を使うと$f(\mathbf{a})$は$\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{a}=\mathbf{d}$の制約下で以下の点$\mathbf{a}_*$において最小値を取る。

$$
\mathbf{a}_*=\mathbf{a}_0+\mathbf{Z}\left(\mathbf{Z}^{\prime} \mathbf{V Z}\right)^{+} \mathbf{Z}^{\prime}\left(\mathbf{b}-\mathbf{V} \mathbf{a}_0\right)+\left[\mathbf{I}-\mathbf{Z}\left(\mathbf{Z}^{\prime} \mathbf{V} \mathbf{Z}\right)^{+} \mathbf{Z}^{\prime} \mathbf{V}\right] \mathbf{Z} \mathbf{w}
$$

さらに、定理12.3.4の(9)より$\mathbf{Z}$は対称で冪等となる。
従って系20.5.5と練習問題11より以下となる。

$$
\mathbf{Z}\left(\mathbf{Z}^{\prime} \mathbf{V Z}\right)^{+} \mathbf{Z}^{\prime} \mathbf{V}=\mathbf{Z}\left[(\mathbf{R Z})^{\prime} \mathbf{R Z}\right]^{+}(\mathbf{R Z})^{\prime} \mathbf{R}=\mathbf{Z}(\mathbf{R Z})^{+} \mathbf{R}=(\mathbf{R Z})^{+} \mathbf{R}
$$

>系20.5.5 任意の行列$\mathbf{A}$に対して
$\mathbf{A}^{+}=\mathbf{A}^{\prime}\left(\mathbf{A} \mathbf{A}^{\prime}\right)^{+}=\left(\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{A}\right)^{+} \mathbf{A}^{\prime}$

>$n \times n$ 行列 $\mathbf{B}$ に対して， $\mathbf{B}^{\prime}(\mathbf{C B})^{+}=(\mathbf{C B})^{+}$

また、定理12.3.4の(1)に照らして$\mathbf{Z}^{\prime} \mathbf{X}=\mathbf{Z} \mathbf{X}=\mathbf{0}$なので以下となるので

$$
\begin{aligned}
\mathbf{Z}\left(\mathbf{Z}^{\prime} \mathbf{V Z}\right)^{+} \mathbf{Z}^{\prime}\left(\mathbf{b}-\mathbf{V} \mathbf{a}_0\right) &=\mathbf{Z}\left(\mathbf{Z}^{\prime} \mathbf{V Z}\right)^{+} \mathbf{Z}^{\prime}\left(\mathbf{V s}+\mathbf{X} \mathbf{t}-\mathbf{V} \mathbf{a}_0\right) \\
&=\mathbf{Z}\left(\mathbf{Z}^{\prime} \mathbf{V Z}\right)^{+} \mathbf{Z}^{\prime} \mathbf{V}\left(\mathbf{s}-\mathbf{a}_0\right)=(\mathbf{R Z})^{+} \mathbf{R}\left(\mathbf{s}-\mathbf{a}_0\right)
\end{aligned}
$$

>定理12.3.4(1) $\boldsymbol{P}_{\mathbf{X}} \mathbf{X}=\boldsymbol{X}$

よって、$f(\mathbf{a})$は$\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{a}=\mathbf{d}$の制約下の元、以下の点$\mathbf{a}_*$において最小値を取る。

$$
\mathbf{a}_*=\mathbf{a}_0+\left[\mathbf{R}\left(\mathbf{I}-\mathbf{P}_{\mathbf{X}}\right)\right]^{+} \mathbf{R}\left(\mathbf{s}-\mathbf{a}_0\right)+\left\{\mathbf{I}-\left[\mathbf{R}\left(\mathbf{I}-\mathbf{P}_{\mathbf{X}}\right)\right]^{+} \mathbf{R}\right\}\left(\mathbf{I}-\mathbf{P}_{\mathbf{X}}\right) \mathbf{w}
$$

## 13.

$\mathbf{A}$を$n \times n$対称非負定値行列, $\mathbf{B}$を$n \times n$行列とする. $\mathbf{B}-\mathbf{A}$を対称非負定値と仮定する (この場合には$\mathbf{B}$は対称で非負定値である). 定理18.3.4 と定理20.4.5 と 練習問題 1 と練習問題18.15(あるいは他のもの）を用いて, $\operatorname{rank}(\mathbf{A})=\operatorname{rank}(\mathbf{B})$のときかつそのときに限って, $\mathbf{A}^{+}-\mathbf{B}^{+}$が非負定値であることを示せ.

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解. (moriwaki)

まず$\operatorname{rank}(\mathbf{B}) = r$とおき、$r \gt 0$であると仮定する。もし$r = 0$であれば明らかに$\mathbf{B}=\mathbf{0}$であり、練習問題18.15の結果から、問題設定の条件下では$\mathcal{R}(\mathbf{A}) \subset \mathcal{R}(\mathbf{B}), \mathcal{C}(\mathbf{A}) \subset \mathcal{C}(\mathbf{B})$が成立しており、補助定理4.2.2より$\mathbf{A} = \mathbf{0}$に限られる。したがってこれらのムーア-ペンローズ形逆行列$\mathbf{A}^{+}, \mathbf{B}^{+}$も$\mathbf{0}$となるので、$\operatorname{rank}(\mathbf{A})=\operatorname{rank}(\mathbf{B}) = 0$が成立し、かつ$\mathbf{A}^{+}-\mathbf{B}^{+} = \mathbf{0}$で非負定値となっていることが示される。

$r \gt 0$について定理14.3.7から$\mathbf{B} = \mathbf{P}^{\prime} \mathbf{P}$を満たす階数$r$の$r\times n$行列$\mathbf{P}$が存在することが言える。同様に、系14.2.14と系14.3.8から$\mathbf{A} = \mathbf{Q}^{\prime}\mathbf{Q}$となる列の数が$n$の（階数は任意の）行列$\mathbf{Q}$が存在する。

> 定理 14.3.7. $n \times n$行列$\mathbf{A}(\neq \mathbf{0})$は, $\mathbf{A}=\mathbf{P}^{\prime} \mathbf{P}$を満たす階数$r$の$r \times n$行列$\mathbf{P}$が存在するときかつそのときに限って, 階数$r$の対称非負定値行列である.
> 系 14.2.14. $\mathbf{P}$を任意の$n \times m$行列とする. $m \times m$行列$\mathbf{P}^{\prime} \mathbf{P}$は非負定値である. もし$\operatorname{rank}(\mathbf{P})=m$ならば, $\mathbf{P}^{\prime} \mathbf{P}$は正定値であり, そうでなければ（もし$\operatorname{rank}(\mathbf{P}) \lt m$ ならば）, $\mathbf{P}^{\prime} \mathbf{P}$は半正定値である.
> 系 14.3.8. $n \times n$行列 $\mathbf{A}$は, $\mathbf{A}=\mathbf{P}^{\prime} \mathbf{P}$ を満たす（$n$個の列をもつ) 行列$\mathbf{P}$が存在するときかつそのときに限って, 対称非負定値行列である.

練習問題18.15の結果から$\mathcal{R}(\mathbf{A}) \subset \mathcal{R}(\mathbf{B})$であり、さらに$\mathcal{R}(\mathbf{B}) = \mathcal{R}(\mathbf{P^{\prime}}\mathbf{P}) = \mathcal{R}(\mathbf{P})$, $\mathcal{R}(\mathbf{A}) = \mathcal{R}(\mathbf{Q^{\prime}\mathbf{Q}}) = \mathcal{R}(\mathbf{Q})$( $\because$ 定理4.4.6)であるから、$\mathcal{R}(\mathbf{Q}) \subset \mathcal{R}(\mathbf{P})$が成立する。ゆえに定理4.2.2から

$$
\mathbf{Q} = \mathbf{KP}
$$

となるような列の数が$r$の行列$\mathbf{K}$が存在する。これを用いて$\mathbf{B-A}$を表すと

$$
\mathbf{B-A} = \mathbf{P^{\prime}}\mathbf{P} - \mathbf{Q^{\prime}}\mathbf{Q} = \mathbf{P^{\prime}}(\mathbf{I} - \mathbf{K^{\prime}}\mathbf{K})\mathbf{P}
$$

となる。また$\mathbf{P}$は最大行階数を持っているので右逆行列$\mathbf{R}$が存在し（補助定理8.1.1）、

$$
\mathbf{I} - \mathbf{K^{\prime}}\mathbf{K} = (\mathbf{PR})^{\prime}(\mathbf{I} - \mathbf{K^{\prime}}\mathbf{K})(\mathbf{PR}) = \mathbf{R}^{\prime}(\mathbf{B} - \mathbf{A})\mathbf{R}
$$

となる。ゆえに、定理14.2.9の(1)から$\mathbf{I} - \mathbf{K^{\prime}}\mathbf{K}$は非負定値行列である。

ここで問題文の設定から$\operatorname{rank}(\mathbf{A})=\operatorname{rank}(\mathbf{B}) = r$であることを仮定する。このとき

$$
r = \operatorname{rank}(\mathbf{Q}) = \operatorname{rank}(\mathbf{KP}) \le \operatorname{rank}(\mathbf{K})
$$

となり、また$\mathbf{K}$の列の数は$r$なので$\operatorname{rank}(\mathbf{K}) \le r$であるから、$\operatorname{rank}(\mathbf{K}) = r$である。したがって系14.2.14から$\mathbf{K}^{\prime}\mathbf{K}$は対称正定値行列となる。上述の通り$\mathbf{I}-\mathbf{K}^{\prime}\mathbf{K}$は対称かつ非負定値(すなわち，正定値あるいは半正定値)なので定理18.3.4(2)から$(\mathbf{K}^{\prime}\mathbf{K})^{-1}-\mathbf{I}$は非負定値である。

そして$\mathbf{A} = (\mathbf{KP})^{\prime}\mathbf{KP} = \mathbf{P}^{\prime}(\mathbf{K}^{\prime}\mathbf{K})\mathbf{P}$であるから練習問題1の結果より

$$
\mathbf{A}^{+}=\mathbf{P}^{+}\left(\mathbf{K}^{\prime} \mathbf{K}\right)^{-1}\left(\mathbf{P}^{\prime}\right)^{+}=\mathbf{P}^{+}\left(\mathbf{K}^{\prime} \mathbf{K}\right)^{-1}\left(\mathbf{P}^{+}\right)^{\prime}
$$

となる。そして定理20.4.5の結果から$\mathbf{B}^{+}=\mathbf{P}^{+}\left(\mathbf{P}^{+}\right)^{\prime}$となるので、

$$
\mathbf{A}^{+}-\mathbf{B}^{+}=\mathbf{P}^{+}\left[\left(\mathbf{K}^{\prime} \mathbf{K}\right)^{-1}-\mathbf{I}\right]\left(\mathbf{P}^{+}\right)^{\prime}
$$

と書ける。したがって定理14.2.9(1)から$\mathbf{A}^{+}-\mathbf{B}^{+}$は非負定値である。

反対に、$\mathbf{A}^{+}-\mathbf{B}^{+}$が非負定値行列であると仮定する。このとき練習問題18.15の結果から$\mathcal{R}(\mathbf{B}^{+}) \subset \mathcal{R}(\mathbf{A}^{+})$となり、$\operatorname{rank}\left(\mathbf{B}^{+}\right) \leq \operatorname{rank}\left(\mathbf{A}^{+}\right)$となる。これと定理20.5.1の(1)($\operatorname{rank}(\mathbf{A}^{+}) = \operatorname{rank}(\mathbf{A})$)から$\operatorname{rank}\left(\mathbf{B}\right) \leq \operatorname{rank}\left(\mathbf{A}\right)$となる。これに加えて問題設定の条件下では$\mathcal{R}(\mathbf{A}) \subset \mathcal{R}(\mathbf{B})$となるので$\operatorname{rank}(\mathbf{A}) \leq \operatorname{rank}(\mathbf{B})$となる。したがって、$\operatorname{rank}(\mathbf{A})=\operatorname{rank}(\mathbf{B})$となる。

> 補助定理8.1.1. $m \times n$行列$\mathbf{A}$は, $\operatorname{rank}(\mathbf{A})=m$のときかつそのときに限って (すなわち, $\mathbf{A}$が最大行階数をもつときかつそのときに限って）右逆行列をもつ. また $\operatorname{rank}(\mathbf{A})=n$のときかつそのときに限って（すなわち, $\mathbf{A}$が最大列階数をもつときかつそのときに限って）左逆行列をもつ.

> 定理14.2.9. $\mathbf{A}$を$n \times n$行列, $\mathbf{P}$を$n \times m$行列とする. (1) もし$\mathbf{A}$が非負定値ならば, $\mathbf{P}^{\prime} \mathbf{A P}$も非負定値である. (2) もし$\mathbf{A}$が非負定値でかつ$\operatorname{rank}(\mathbf{P})\lt m$ならば, $\mathbf{P}^{\prime} \mathbf{AP}$は半正定値である. (3) もし$\mathbf{A}$が正定値でかつ$\operatorname{rank}(\mathbf{P})=m$ならば, $\mathbf{P}^{\prime} \mathbf{A P}$は正定値である.

>系14.2.14. $\mathbf{P}$を任意の$n \times m$行列とする. $m \times m$行列$\mathbf{P}^{\prime} \mathbf{P}$は非負定値である. もし$\operatorname{rank}(\mathbf{P})=m$ならば, $\mathbf{P}^{\prime} \mathbf{P}$は正定値であり, そうでなければ（もし$\operatorname{rank}(\mathbf{P}) \lt m$ならば), $\mathbf{P}^{\prime} \mathbf{P}$は半正定値である.

> 定理 18.3.4. $\mathbf{A}$を$n \times n$対称正定値行列, $\mathbf{B}$を$n \times n$行列とする.
>$(1)$ もし$\mathbf{B}-\mathbf{A}$が正定値，あるいはもっと一般に，もし$\mathbf{B}-\mathbf{A}$が非負定値かつ非特異ならば（この場合には$\mathbf{B}$は正定値である) , $\mathbf{A}^{-1}-\mathbf{B}^{-1}$は正定値である.
>$(2)$ もし$\mathbf{B}-\mathbf{A}$が対称かつ半正定値ならば（この場合には$\mathbf{B}$は対称かつ正定値である), $\mathbf{A}^{-1}-\mathbf{B}^{-1}$は半正定値である.

> 定理 20.4.5. $\mathbf{A}$を（$\mathbf{0}$でない）$n \times n$対称非負定値行列とする. このとき, 最大行階数の行列$\mathbf{T}$で$\mathbf{A}=\mathbf{T}^{\prime} \mathbf{T}$を満たすものに対して$$\begin{aligned}\mathbf{A}^{+} &=\mathbf{T}^{\prime}\left(\mathbf{T A T}^{\prime}\right)^{-1} \mathbf{T} \\&=\mathbf{T}^{\prime}\left(\mathbf{T} \mathbf{T}^{\prime}\right)^{-2} \mathbf{T} \\&=\mathbf{T}^{+}\left(\mathbf{T}^{+}\right)^{\prime}\end{aligned}$$（ここで$\left(\mathbf{T} \mathbf{T}^{\prime}\right)^{-2}=[\left(\mathbf{T} \mathbf{T}^{\prime}\right)^{-1}]^2)$である.

> 練習問題18.15 $\mathbf{A}$を$n \times n$対称非負定値行列, $\mathbf{B}$を$n \times n$行列とする. もし$\mathbf{B}-\mathbf{A}$が非負定値ならば (この場合には$\mathbf{B}$も非負定値である), $\mathcal{R}(\mathbf{A}) \subset \mathcal{R}(\mathbf{B}), \mathcal{C}(\mathbf{A}) \subset \mathcal{C}(\mathbf{B})$であることを示せ.