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title: 第8章 練習問題

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# 第8章 練習問題

## 1.

$\mathbf{A}$を$m\times n$行列とする. $\mathbf{(a)}$ もし$\mathbf{A}$が右逆行列をもつならば$n\geq m$であり，$\mathbf{(b)}$ もし$\mathbf{A}$が左逆行列をもつならば$m \geq n$であることを示せ.

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解.(moriwaki)
$\mathbf{(a)}$
$\mathbf{A}$が右逆行列を持つならば、定義から$\mathbf{AR} = \mathbf{I}_{m}$となるような$n \times m$行列$\mathbf{R}$が存在する。補助定理8.1.1をおさらいして

$$
\begin{aligned}
\operatorname{rank}(\mathbf{A}) &\ge \operatorname{rank}(\mathbf{AR}) (\because \text{Corollary } 4.4.5) \\
&= \operatorname{rank}(\mathbf{I}_{m}) \\
&= m
\end{aligned}
$$

である。さらに補助定理4.4.3から行列$\mathbf{A}$は「$\operatorname{rank}(\mathbf{A}) \le m$かつ$\operatorname{rank}(\mathbf{A}) \le n$」である。これら2つの条件から、$\operatorname{rank}(\mathbf{A}) = m$のときかつその時に限って$\mathbf{A}$が右逆行列を持つことになり（補助定理8.1.1）、同時に$n \ge m$であることが示される。

$\mathbf{(b)}$
$\mathbf{A}$が左逆行列を持つ場合も同様にして示すことができる。もし$\mathbf{A}$が左逆行列をもつならば、定義から$\mathbf{LA} = \mathbf{I}_{n}$となるような$n \times m$行列$\mathbf{L}$が存在し、「$\operatorname{rank}(\mathbf{A}) \ge n$」かつ「$\operatorname{rank}(\mathbf{A}) \le m$かつ$\operatorname{rank}(\mathbf{A}) \le n$」となるので、$m \ge n$であることが示される。

## 2.

$n\times n$行列$\mathbf{A}$は，$\mathbf{A}^{2} = \mathbf{I}$，すなわち， $\mathbf{A}$が可逆でありかつ自分自身の逆行列のとき，**対合**(involution，形容詞はinvolutory) と言う.
$\mathbf{(a)}$ $n \times n$行列$\mathbf{A}$は$(\mathbf{I} - \mathbf{A})(\mathbf{I} + \mathbf{A}) = \mathbf{0}$のときかつそのときに限って対合で
あることを示せ.
$\mathbf{(b)}$ $2\times 2$行列$\mathbf{A}= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix}$は (1) $a^2 + bc =1$ かつ $d = -a$，あるいは(2) $b=c=0$かつ$d = a = \pm 1$のときかつそのときに限って対合であることを示せ.

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解.(Chiba)
$\mathbf{(a)}$
$\mathbf{A}^2 =\mathbf{I}$であるとする。このとき
\begin{align*}
(\mathbf{I} - \mathbf{A})(\mathbf{I} + \mathbf{A}) &=\mathbf{I}^2 + \mathbf{I}\mathbf{A} - \mathbf{A}\mathbf{I} - \mathbf{A}^2 \\
&= \mathbf{I}^2 - \mathbf{A}^2 \\
&= \mathbf{I}^2 - \mathbf{I} \\
&= \mathbf{I} - \mathbf{I} \\
&= \mathbf{0}
\end{align*}
が成り立つ。
逆に$(\mathbf{I} - \mathbf{A})(\mathbf{I} + \mathbf{A}) = \mathbf{0}$であるとすると
\begin{align*}
(\mathbf{I} - \mathbf{A})(\mathbf{I} + \mathbf{A}) &=\mathbf{I}^2 + \mathbf{I}\mathbf{A} - \mathbf{A}\mathbf{I} - \mathbf{A}^2 \\
&= \mathbf{I}^2 + \mathbf{A} - \mathbf{A} - \mathbf{A}^2 \\
&= \mathbf{I}^2 - \mathbf{A}^2 \\
&= \mathbf{I} - \mathbf{A}^2 = \mathbf{0} 
\end{align*}
より、$\mathbf{A}^2 = \mathbf{I}$が成り立つ。

以上より、$n\times n$行列$\mathbf{A}$は$(\mathbf{I} - \mathbf{A})(\mathbf{I} + \mathbf{A}) =\mathbf{0}$のときかつその時に限って対合であることが示せた。

$\mathbf{(b)}$
(a)より、行列$\mathbf{A}$が対合であるには$(\mathbf{I} - \mathbf{A})(\mathbf{I} + \mathbf{A})=\mathbf{0}$でなければならない。よって、
\begin{align*}
(\mathbf{I} - \mathbf{A})(\mathbf{I} + \mathbf{A}) &= \left(\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right)-
\left(
\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array}\right)
\right)
\left(\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right)+
\left(
\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array}\right)
\right) \\
&= \left(
\begin{array}{cc}
1-a & -b \\
-c & 1-d
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{cc}
1+a & b \\
c & 1+d
\end{array}
\right) \\
&= \left(
\begin{array}{cc}
1 - a^2 - bc & -b(a+d) \\
-c(a+d) & 1-bc-d^2
\end{array}
\right) = \mathbf{0}
\end{align*}
したがって、
1.$d= -a$のとき
$(1,2),(2,1)$成分は$0$であるので、$\mathbf{A} = \mathbf{0}$が成り立つには$1 - a^2 - bc =0$が成り立てば良い。
2.$d\neq -a$のとき
$(1,2),(2,1)$成分が$0$になるには$b,c = 0$が成り立たなければならない。これより$(1,1),(2,2)$成分が$0$になるには、$a,d = \pm 1$が成り立つ必要がある。

以上より、$\mathbf{A}$は(1)$a^2+bc = 1$かつ$d=-a$、あるいは(2)$b=c=0$かつ$d=a=\pm 1$のときかつその時に限って対合であることが示せた。


## 3.

$\mathbf{A}$を$\mathbf{0}$でない$n\times n$対称行列，$\mathbf{B}$を最大列階数$r$の$n\times r$行列，$\mathbf{T}$を$\mathbf{A} = \mathbf{BT}$を満たす最大行階数$r$の$r \times n$とする. このとき，$r\times r$行列$\mathbf{TB}$が非特異であることを示せ. (ヒント: $\mathbf{AA}^{\prime} = \mathbf{A}^{2} = \mathbf{BTBT}$を考慮せよ.).

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解.(Kaneko)
$\mathbf{A}\mathbf{A}^{\prime} =\mathbf{A}^2 =\mathbf{BTBT}$であることから、定理 7.4.5 と 8.3.4 を用いて

$$\operatorname{rank}(\mathbf{BTBT})= \operatorname{rank}(\mathbf{A}\mathbf{A}^{\prime}) =\operatorname{rank}(\mathbf{A}) = r$$

となり、さらに、定理 8.3.2 を利用すると、

$$\operatorname{rank}(\mathbf{BTBT})= \operatorname{rank}(\mathbf{TBT})= \operatorname{rank}(\mathbf{TB})$$

である。よって、$\operatorname{rank}(\mathbf{TB})=r$となるので、$r\times r$行列$\mathbf{TB}$は非特異である。


## 4.

$\mathbf{A}$を$n \times n$行列とし， $\mathbf{A} = (\mathbf{A}_{1}, \mathbf{A}_{2})$と分割する.

$\mathbf{(a)}$ もし$\mathbf{A}$が可逆ならば，$\mathbf{A}^{-1}$を$\mathbf{A}^{-1} = \begin{pmatrix}\mathbf{B}_{1} \\ \mathbf{B}_{2}\end{pmatrix}$と分割する(ここで$\mathbf{B}_{1}$は$\mathbf{A}_{1}$がもつ列数と同じ行数をもっている)と，

$$
\mathbf{B}_{1} \mathbf{A}_{1}=\mathbf{I}, \quad \mathbf{B}_{1} \mathbf{A}_{2}=\mathbf{0}, \quad \mathbf{B}_{2} \mathbf{A}_{1}=\mathbf{0}, \quad \mathbf{B}_{2} \mathbf{A}_{2}=\mathbf{I} \tag{E.1}
$$

$$
\mathbf{A}_{1} \mathbf{B}_{1}=\mathbf{I}-\mathbf{A}_{2} \mathbf{B}_{2}, \quad \mathbf{A}_{2} \mathbf{B}_{2}=\mathbf{I}-\mathbf{A}_{1} \mathbf{B}_{1} \tag{E.2}
$$

であることを示せ.
$\mathbf{(b)}$ もし$\mathbf{A}$が直交行列ならば，

$$
\mathbf{A}_{1}^{\prime} \mathbf{A}_{1}=\mathbf{I}, \quad \mathbf{A}_{1}^{\prime} \mathbf{A}_{2}=\mathbf{0}, \quad \mathbf{A}_{2}^{\prime} \mathbf{A}_{1}=\mathbf{0}, \quad \mathbf{A}_{2}^{\prime} \mathbf{A}_{2}=\mathbf{I} \tag{E.3}
$$

$$
\mathbf{A}_{1} \mathbf{A}_{1}^{\prime}=\mathbf{I}-\mathbf{A}_{2} \mathbf{A}_{2}^{\prime}, \quad \mathbf{A}_{2} \mathbf{A}_{2}=\mathbf{I}-\mathbf{A}_{1} \mathbf{A}_{1}^{\prime} \tag{E.4}
$$

であることを示せ.

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解.(Yamashita)

$\mathbf{(a)}$

$$
\left(\begin{array}{ll}
\mathbf{B}_{1}\mathbf{A}_{1} &\mathbf{B}_{1}\mathbf{A}_{2} \\
\mathbf{B}_{2}\mathbf{A}_{1} &\mathbf{B}_{2}\mathbf{A}_{2}
\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{c}
\mathbf{B}_{1} \\
\mathbf{B}_{2}
\end{array}\right)
\left(\mathbf{A}_{1}, \mathbf{A}_{2}\right)
=\mathbf{A}^{-1}\mathbf{A}
=\mathbf{I}
=\left(\begin{array}{cc}
\mathbf{I} & \mathbf{0} \\
\mathbf{0} & \mathbf{I}
\end{array}\right)
$$

より,

$$
\mathbf{B}_{1}\mathbf{A}_{1}=\mathbf{I},\quad
\mathbf{B}_{1}\mathbf{A}_{2}=\mathbf{0},\quad
\mathbf{B}_{2}\mathbf{A}_{1}=\mathbf{0},\quad
\mathbf{B}_{2}\mathbf{A}_{2}=\mathbf{I}
$$

を得る. また,

$$
\mathbf{A}_{1}\mathbf{B}_{1}+\mathbf{A}_{2}\mathbf{B}_{2}
=\left(\mathbf{A}_{1}, \mathbf{A}_{2}\right)
\left(\begin{array}{c}
\mathbf{B}_{1} \\
\mathbf{B}_{2}
\end{array}\right)
=\mathbf{A}\mathbf{A}^{-1}
=\mathbf{I}
$$

より,

$$
\mathbf{A}_{1} \mathbf{B}_{1}=\mathbf{I}-\mathbf{A}_{2} \mathbf{B}_{2}, \mathbf{A}_{2} \mathbf{B}_{2}=\mathbf{I}-\mathbf{A}_{1} \mathbf{B}_{1}
$$

を得る.

$\mathbf{(b)}$

$\mathbf{A}$ が直交行列のとき, $\mathbf{A}$ は可逆で,

$$
\mathbf{A}^{-1}
=\mathbf{A}^{\prime}
=\left(\begin{array}{c}
\mathbf{A}_{1}^{\prime} \\
\mathbf{A}_{2}^{\prime}
\end{array}\right)
$$

より, $\mathbf{(a)}$において $\mathbf{B}_{1}=\mathbf{A}_{1}^{\prime}$および$\mathbf{B}_{2}=\mathbf{A}_{2}^{\prime}$として得られる.

## 5.

$\mathbf{A}$を階数$r$の$\mathbf{0}$でない$m\times n$行列とする.このとき，最初の$r$個の列が$\mathcal{C}(\mathbf{A})$を張る$m \times m$直交行列が存在することを示せ.

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解.　(齋藤)
定理6.4.3

> ($m\times n$行列の)あらゆる線形空間は正規直交基底をもつ.

より、$\mathcal{R}^{m \times 1}$の通常の内積に関して直交し、$\mathcal{C}(\mathbf{A})$の基底を形成する$r$個の$m$次元ベクトルが存在する。今、補助定理6.2.1

> $\mathbf{0}$でない行列の直交集合は線形独立である.

よりこの正規直交系は線形独立である。そして、定理6.4.5

> $k$次元線形空間$\mathcal{V}$の中の$r$個の行列の任意の正規直交系$S$に対して，$S$の中の行列の$r$個すべて(と$k-r$個の追加の行列)を含む$\mathcal{V}$の正規直交基底が存在する.

から、$\mathcal{R}^{m \times 1}$の通常の内積に関して直交し、$\mathcal{R}^{m \times 1}$の基底を形成するような$m - r$個の$m$次元ベクトル,すなわち$\mathbf{b}_{r+1},\cdots, \mathbf{b}_m$が、$r$個の$m$次元ベクトル$\mathbf{b}_1, \cdots, \mathbf{b}_r$に加えて存在する。今、明らかに、$\mathbf{b}_1, \cdots, \mathbf{b}_r, \mathbf{b}_{r+1},\cdots, \mathbf{b}_m$を並べた$m \times m$行列とすると、$\mathbf{A}$と直交であり、最初の$r$列は$\mathcal{C}(\mathbf{A})$を張る。

## 6.

$\mathbf{T}$を$n \times n$三角行列とすると，$\operatorname{rank}(\mathbf{T})$は$\mathbf{T}$の中の$0$でない対角要素の個数以上であることを示せ.

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解.(Kumada)

$\mathbf{T}$が$0$でない対角要素を$m$個持ち、それらが$i_{1}, i_{2}, \ldots ,i_{m}$番目の行に位置しているとする。
$\mathbf{T}_{*}$ を$i_{1}, i_{2}, \ldots ,i_{m}$番目の行と列以外の $\mathbf{T}$ の行と列を全て削除した $m \times m$ 部分行列とする。すると$\mathbf{T}_{*}$は三角形であり、$\mathbf{T}_{*}$の対角要素$i_{1}, i_{2}, \ldots ,i_{m}$番目は、$\mathbf{T}$の対角要素と同じで、すべて非零である。
よって、定理8.5.6より、$\operatorname{rank}(\mathbf{T}_{*})=m$ となることがわかる。定理4.4.10より、$\operatorname{rank}(\mathbf{T}) \geq m$となる。


※系 8.5.6. 三角行列は、その対角要素がいずれも$0$でないときかつそのときに限って、非特異である。

※定理 4.4.10. $\mathbf{A}$を階数$r$の任意の$m \times n$行列とする．このとき, $\mathbf{A}$ は $r$ 個の線形独立な行と$r$個の線形独立な列を含む. そして$\mathbf{A}$の任意の$r$個の線形独立な行と$r$個の線形独立な列に対して,他の$m-r$個の行と$n-r$個の列を削除することで得られる$r \times r$部分行列は非特異である．更に, ($\mathbf{A}$の) $r$ 個より多い行あるいは$r$個より多い列の任意の集合は線形従属である.そして階数が$r$を超える$\mathbf{A}$のいかなる部分行列も存在しない.



## 7.

$$
\mathbf{A}=\begin{pmatrix}\mathbf{A}_{11} & \mathbf{A}_{12} & \cdots & \mathbf{A}_{1 r} \\ \mathbf{0} & \mathbf{A}_{22} & \cdots & \mathbf{A}_{2 r} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & & \mathbf{A}_{r r}\end{pmatrix}, \quad \mathbf{B}=\begin{pmatrix}\mathbf{B}_{11} & \mathbf{0} & \cdots & \mathbf{0} \\ \mathbf{B}_{21} & \mathbf{B}_{22} & & \mathbf{0} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \\ \mathbf{B}_{r 1} & \mathbf{B}_{r 2} & \cdots & \mathbf{B}_{r r}\end{pmatrix}
$$

をそれぞれ第$ij$ブロック$\mathbf{A}_{ij}$が次元$n_{i} \times n_{j} (j \geq i=1, \ldots, r)$である$n \times n$上ブロック三角行列と，第$ij$ブロック$\mathbf{B}_{ij}$が次元$n_{i} \times n_{j} (j \leq i=1, \ldots, r)$である$n \times n$下ブロック三角行列とする.

$\mathbf{(a)}$ $\mathbf{A}$と$\mathbf{B}$が可逆であると仮定すると

$$
\mathbf{A}^{-1}=\begin{pmatrix}\mathbf{F}_{11} & \mathbf{F}_{12} & \cdots & \mathbf{F}_{1 r} \\ \mathbf{0} & \mathbf{F}_{22} & \cdots & \mathbf{F}_{2 r} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & & \mathbf{F}_{r r}\end{pmatrix}, \quad \mathbf{B}^{-1}=\begin{pmatrix}\mathbf{G}_{11} & \mathbf{0} & \cdots & \mathbf{0} \\ \mathbf{G}_{21} & \mathbf{G}_{22} & & \mathbf{0} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \\ \mathbf{G}_{r 1} & \mathbf{G}_{r 2} & \cdots & \mathbf{G}_{r r}\end{pmatrix}
$$

ここで

$$
\mathbf{F}_{j j}=\mathbf{A}_{j j}^{-1}, \quad \mathbf{F}_{i j}=-\left(\sum_{k=i}^{j-1} \mathbf{F}_{i k} \mathbf{A}_{k j}\right) \mathbf{A}_{j j}^{-1} \quad(i<j=1, \ldots, r) \tag{E.5}
$$

$$
\mathbf{G}_{j j}=\mathbf{B}_{j j}^{-1}, \quad \mathbf{G}_{i j}=-\left(\sum_{k=j+1}^{i} \mathbf{G}_{i k} \mathbf{B}_{k j}\right) \mathbf{B}_{j j}^{-1} \quad(i>j=1, \ldots, r-1) \tag{E.6}
$$

であることを示せ. (公式$(5.11)$と$(5.14)$の導出法をまねるのではなく) 8.5d節の結果を$\mathbf{A}^{\prime}$と$\mathbf{B}^{\prime}$に適用することによって証明せよ.
$\mathbf{(b)}$ $\mathbf{(a)}$ の公式が$\mathbf{A}^{-1}$と$\mathbf{B}^{-1}$を計算する$r$ステップのアルゴリズムを考え出すのにどのように使えるかを述べよ.そしてそれらのアルゴリズムが8.5d 節で記述したものとどのように異なるかを示せ.

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解. (Hamada)

$\mathbf{(a)}$ 

$$
\mathbf{T}=\begin{pmatrix}\mathbf{T}_{11} & \mathbf{T}_{12} & \cdots & \mathbf{T}_{1 r} \\ \mathbf{0} & \mathbf{T}_{22} & \cdots & \mathbf{T}_{2 r} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & & \mathbf{T}_{r r}\end{pmatrix}, \quad \mathbf{U}=\begin{pmatrix}\mathbf{U}_{11} & \mathbf{0} & \cdots & \mathbf{0} \\ \mathbf{U}_{21} & \mathbf{U}_{22} & & \mathbf{0} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \\ \mathbf{U}_{r 1} & \mathbf{U}_{r 2} & \cdots & \mathbf{U}_{r r}\end{pmatrix}
$$

をそれぞれ第$ij$ブロック$\mathbf{T}_{ij}$が次元$n_{i} \times n_{j} (j \geq i=1, \ldots, r)$である$n \times n$上ブロック三角行列と，第$ij$ブロック$\mathbf{U}_{ij}$が次元$n_{i} \times n_{j} (j \leq i=1, \ldots, r)$である$n \times n$下ブロック三角行列とし、$\mathbf{T}, \mathbf{U}$が可逆ならば

$$
\mathbf{T}^{-1}=\begin{pmatrix}\mathbf{V}_{11} & \mathbf{V}_{12} & \cdots & \mathbf{V}_{1 r} \\ \mathbf{0} & \mathbf{V}_{22} & \cdots & \mathbf{V}_{2 r} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & & \mathbf{V}_{r r}\end{pmatrix}, \quad \mathbf{U}^{-1}=\begin{pmatrix}\mathbf{W}_{11} & \mathbf{0} & \cdots & \mathbf{0} \\ \mathbf{W}_{21} & \mathbf{W}_{22} & & \mathbf{0} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \\ \mathbf{W}_{r 1} & \mathbf{W}_{r 2} & \cdots & \mathbf{W}_{r r}\end{pmatrix}
$$

ここで

$$
\mathbf{V}_{ii}=\mathbf{T}_{ii}^{-1}, \quad \mathbf{V}_{i j}=-\mathbf{T}_{ii}^{-1}\left(\sum_{k=i+1}^{j} \mathbf{T}_{ik}\mathbf{V}_{kj} \right)  \quad(j>i=1, \ldots, r-1) \tag{5.11}
$$

$$
\mathbf{W}_{ii}=\mathbf{U}_{ii}^{-1}, \quad \mathbf{W}_{i j}=-\mathbf{U}_{ii}^{-1}\left(\sum_{k=j}^{i-1} \mathbf{U}_{i k} \mathbf{W}_{k j}\right)  \quad(j<i=1, \ldots, r) \tag{5.14}
$$

が成り立つ（もとの式から文字を置き換えている）。

問の$\mathbf{A}$に対して$\mathbf{F} = \mathbf{A}^{-1}$とおき、$\mathbf{E} = \mathbf{F}' = (\mathbf{A}')^{-1}$とおく。すると (5.14) 式より

$$
\mathbf{E}=\begin{pmatrix}\mathbf{E}_{11} & \mathbf{0} & \cdots & \mathbf{0} \\ \mathbf{E}_{21} & \mathbf{E}_{22} & & \mathbf{0} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \\ \mathbf{E}_{r 1} & \mathbf{E}_{r 2} & \cdots & \mathbf{E}_{r r}\end{pmatrix},
$$

$$
\mathbf{E}_{ii}=(\mathbf{A}_{ii}')^{-1}, \quad \mathbf{E}_{i j}=-(\mathbf{A}_{ii}')^{-1}\left(\sum_{k=j}^{i-1} \mathbf{A}_{ki}' \mathbf{E}_{k j}\right)  \quad(j<i=1, \ldots, r)
$$

と表せる。両辺を転置すると

$$
\mathbf{E}_{ii}'=\mathbf{A}_{ii}^{-1}, \quad \mathbf{E}_{ij}'=-\left(\sum_{k=j}^{i-1}  \mathbf{E}_{k j}'\mathbf{A}_{ki}\right)\mathbf{A}_{ii}^{-1}  \quad(j<i=1, \ldots, r)
$$

となり、$i, j$を入れ替えると

$$
\mathbf{E}_{jj}'=\mathbf{A}_{jj}^{-1}, \quad \mathbf{E}_{ji}'=-\left(\sum_{k=i}^{j-1}  \mathbf{E}_{k i}'\mathbf{A}_{kj}\right)\mathbf{A}_{jj}^{-1}  \quad(i<j=1, \ldots, r) \tag{*}
$$

となる。$\mathbf{E} = \mathbf{F}'$だったから、

$$
\mathbf{E}_{jj}' = \mathbf{F}_{jj}, \quad \mathbf{E}_{ji}' = \mathbf{F}_{ij}, \quad \mathbf{E}_{ki}' = \mathbf{F}_{ik}
$$

が成り立つので、(*)より

$$
\mathbf{F}_{jj}=\mathbf{A}_{jj}^{-1}, \quad \mathbf{F}_{ij}=-\left(\sum_{k=i}^{j-1}  \mathbf{F}_{ik}\mathbf{A}_{kj}\right)\mathbf{A}_{jj}^{-1}  \quad(i<j=1, \ldots, r) \tag{E.5}
$$

が成り立つ。(E.6)も同様である。

$\mathbf{(b)}$ (E.5)より、可逆なブロック上三角行列$\mathbf{A}$の逆行列を1"列"目からr"列"目まで順に求めることができる。(E.6)より、可逆なブロック下三角行列$\mathbf{B}$の逆行列をr"列"目から1"列"目まで順に求めることができる。一方、8.5d節のアルゴリズムは可逆なブロック三角行列の逆行列を"行"ごとに求める方法であった。