# 第3章 練習問題

## 1.

3個の行ベクトル$(k,1,0),(1,k,1),(0,1,k)$はスカラー$k$のどんな値に対して線形従属であるか，またこれらはどんな値に対して線形独立であるかを導け.

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解.(Moriwaki)

3.1の線形従属の定義から、

$$
x_{1}(k, 1,0)+x_{2}(1, k, 1)+x_{3}(0,1, k)=0 \tag{A}
$$

を満たすような$0$でない$x_{1},x_{2},x_{3}$が存在するならば3つの行ベクトルは線形従属となり、そうでないならば線形独立である。すなわち

$$
\left\{\begin{array}{l}
kx_{1}+x_{2}=0 \\
x_{1}+kx_{2}+x_{3}=0 \\
x_{2}+kx_{3}=0
\end{array}\right.
$$

となる$0$でない$x_{1},x_{2},x_{3}$が存在するならば線形従属なので、これより、

$$
\begin{align}
x_{2}&=-k x_{1}=-k x_{3} \tag{s.1}\\
k x_{2}&=-x_{1}-x_{3} \tag{s.2}
\end{align}
$$

を得る。

$(i)$ $k=0$の場合、$\textrm{(s.1)}$から$x_{2}=0$, $\textrm{(s.2)}$から$x_{1} = -x_{3}$となる場合、3つのベクトルは線形従属となる。

$(ii)$ $k\neq 0$の場合、$\textrm{(s.1)}$から$x_{1} = x_{3}$となり、$\textrm{(s.2)}$から

$$
\begin{aligned}
kx_{2} =-2 x_{1} \\
-k^{2}x_{1} = -2 x_{1} \\
(k^2 -2)x_{1} = 0
\end{aligned}
$$

もし$x_{1} = 0$とすると自動的に$x_{1} = x_{2} = x_{3} = 0$となり、これは前提に反するので、$x_{1} \neq 0$でなければならない。これより、$k = \pm \sqrt{2}$となる。

$k=\sqrt{2}$のとき、$x_{2} = -\sqrt{2}x_{1}, x_{1} = x_{3}\ (x_{1} \neq 0)$とすれば$\textrm{(A)}$を満たし、線形従属となる。$k = -\sqrt{2}$のとき$x_{2}=\sqrt{2} x_{1}, x_{1}=x_{3}$とすれば同様。

以上から、$k = 0, \pm\sqrt{2}$のとき線形従属となり、それ以外の時は線形独立である。

## 2.

$\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C}$を3つの線形独立な$m\times n$行列とする.これら3つの対の和$\mathbf{A+B},\mathbf{A+C},\mathbf{B+C}$が線形独立であるかどうかを判定せよ. (ヒント:補助定理3.2.4を利用せよ.)

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解.（Chiba）
$$\left(\begin{array}{l}
\mathbf{A}+\mathbf{B} \\
\mathbf{A}+\mathbf{C} \\
\mathbf{B}+\mathbf{C}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}
1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
\mathbf{A} \\
\mathbf{B} \\
\mathbf{C}
\end{array}\right)
$$
であることから、
$$
\mathbf{x}_1=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0\end{array}\right)',\ \
\mathbf{x}_2=\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & 1
\end{array}\right)',\ \
\mathbf{x}_3=\left(\begin{array}{lll}
0 & 1 & 1
\end{array}\right)'
$$
あるスカラー$x_1,x_2,x_3$に対して
$$
x_1\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0\end{array}\right)' + x_2\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0\end{array}\right)'+x_3\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0\end{array}\right)'=\mathbf{0}
$$
を考える。このとき
$$
x_1+x_2=x_1+x_3=x_2+x_3=0
$$
であり、これを解くと$(x_1,x_2,x_3)=(0,0,0)$であるので、$\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,\mathbf{x}_3$は線型独立である。

以上より、$\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C}$が線型独立であることも合わせると、補助定理3.2.4より$\mathbf{A}+\mathbf{B}, \mathbf{A}+\mathbf{C}, \mathbf{B}+\mathbf{C}$は線型独立である。