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title: 第14章（後半） 練習問題

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# 第14章（後半） 練習問題

## 26.

歪対称行列の主部分行列は歪対称なことを証明せよ.

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解.

## 27.

$\mathbf{(a)}$ 歪対称行列の和は歪対称なことを示せ.
$\mathbf{(b)}$ $n \times n$非負定値行列$\mathbf{A}_1, \mathbf{A}_2, \ldots, \mathbf{A}_k$の和$\mathbf{A}_1+\mathbf{A}_2+\cdots+\mathbf{A}_k$は,$\mathbf{A}_1$,$\mathbf{A}_2, \ldots, \mathbf{A}_k$が歪対称のときかつそのときに限って, 歪対称なことを示せ.
$\mathbf{(c)}$ $n \times n$対称非負定値行列$\mathbf{A}_1, \mathbf{A}_2, \ldots, \mathbf{A}_k$の和$\mathbf{A}_1+\mathbf{A}_2+\cdots+\mathbf{A}_k$は,$\mathbf{A}_1, \mathbf{A}_2, \ldots, \mathbf{A}_k$が零行列のときかつそのときに限って, 零行列であることを示せ。

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解.

## 28.

$\mathbf{(a)}$ $\mathbf{A}_1, \mathbf{A}_2, \ldots, \mathbf{A}_k$を$n \times n$非負定値行列とする.$\operatorname{tr}\left(\sum_{i=1}^k \mathbf{A}_i\right) \geq 0$で あり, 等号は$\sum_{i=1}^k \mathbf{A}_i$が歪対称のときかつそのときに限って, すなわち,$\mathbf{A}_1, \mathbf{A}_2, \ldots, \mathbf{A}_k$が歪対称のときかつそのときに限って成り立ち，よって定理 14.7.2 が一般化できることを示せ.$\left(\sum_{i=1}^k \mathbf{A}_i\right.$が歪対称なことが$\mathbf{A}_1, \mathbf{A}_2, \ldots$,$\mathbf{A}_k$が歪対称なことと同値なことは, 練習問題 27 の$\mathbf{(b)}$の結果である.)

$\mathbf{(b)}$$\mathbf{A}_1, \mathbf{A}_2, \ldots, \mathbf{A}_k$を$n \times n$対称非負定値行列とする.$\operatorname{tr}\left(\sum_{i=1}^k \mathbf{A}_i\right) \geq 0$であり, 等号は$\sum_{i=1} \mathbf{A}_i=\mathbf{0}$のときかつそのときに限って, すなわち,$\mathbf{A}_1, \mathbf{A}_2, \ldots, \mathbf{A}_k$が零行列のときかつそのときに限って成り立ち, よって系 14.7.3 が一般化されることを示せ.

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解.

## 29.

($n>1$に対して)$\operatorname{tr}(\mathbf{A B})<0$となる$n \times n$(非対称) 正定値行列$\mathbf{A}, \mathbf{B}$が存在することを例を挙げて示せ.

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解.

## 30.

$\mathbf{(a)}$ $(n>1$に対して)$n \times n$対称正定値行列$\mathbf{A}, \mathbf{B}$で， 積$\mathbf{A B}$が少なくとも1つの負の対角要素をもつ（従って$\mathbf{A B}$が非負定値でない）ものが存在する ことを例を挙げて示せ.

$\mathbf{(b)}$ しかし, 2つの$n \times n$対称正定値行列のこの積は非正定値であり得ないことを示せ。

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解.

## 31.

$\mathbf{A}=\left\{a_{ij}\right\}, \mathbf{B}=\left\{b_{ij}\right\}$を$n \times n$行列,$\mathbf{C}$を第$ij$要素$c_{ij}=a_{ij} b_{ij}$が$\mathbf{A}, \mathbf{B}$の第$ij$要素の積である$n \times n$行列とする. もし$\mathbf{A}$が非負定値で$\mathbf{B}$が対称非負定値ならば,$\mathbf{C}$は非負定値なことを示せ. 更に, もし$\mathbf{A}$が正定値で$\mathbf{B}$が対 称正定値ならば,$\mathbf{C}$は正定値なことを示せ. (ヒント：$\mathbf{x}=\left(x_1, \ldots, x_n\right)^{\prime}$を任 意の$n$次元列ベクトル,$\mathbf{F}=\left(\mathbf{f}_1, \ldots, \mathbf{f}_n\right)$を$\mathbf{B}=\mathbf{F}^{\prime} \mathbf{F}$を満たす行列とすると,$\mathbf{G}=\left(x_1 \mathbf{f}_1, \ldots, x_n \mathbf{f}_n\right)$に対して$\mathbf{H}=\mathbf{G}^{\prime} \mathbf{G}$として$\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{C} \mathbf{x}=\operatorname{tr}(\mathbf{A H})$を示すこと から始める.)

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解.

## 32.

$\mathbf{A}_1, \mathbf{A}_2, \ldots, \mathbf{A}_k$と$\mathbf{B}_1, \mathbf{B}_2, \ldots, \mathbf{B}_k$を$n \times n$対称非負定値行列とする.$\operatorname{tr}\left(\sum_{i=1}^k \mathbf{A}_i \mathbf{B}_i\right) \geq 0$であり, 等号は,$i=1,2, \ldots, k$に対して$\mathbf{A}_i \mathbf{B}_i=\mathbf{0}$のときかつそのときに限って成り立ち, よって系$14.7 .7$と練習問題 28 の (b)の 結果が一般化できることを示せ.

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解.

## 33.

$\mathbf{A}$を

$$
\mathbf{A}=\begin{pmatrix}
\mathbf{T} & \mathbf{U} \\
\mathbf{V} & \mathbf{W}
\end{pmatrix}
$$

と分割された対称非負定値行列とする. ここで，$\mathbf{T}$(従って$\mathbf{W}$）は正方とする.$\mathbf{V} \mathbf{T}^{-} \mathbf{U}$と$\mathbf{U W}^{-} \mathbf{V}$が対称かつ非負定値であることを示せ.

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解.

## 34.

$\mathbf{T}$を$m \times m$次元の行列,$\mathbf{W}$を$n \times n$次元の行列,$\mathbf{U}$を$m \times n$次元の行列,$\mathbf{V}$を$n \times m$次元の行列,$\mathcal{C}(\mathbf{U}) \not \subset \mathcal{C}(\mathbf{T})$あるいは$\mathcal{R}(\mathbf{V}) \not \subset \mathcal{R}(\mathbf{T})$とする. このとき,$\mathbf{A}=\begin{pmatrix}\mathbf{T} & \mathbf{U} \\ \mathbf{U}^{\prime} & \mathbf{W}\end{pmatrix}$の形の$(m+n) \times(m+n)$(非対称) 半正定値行列$\mathbf{A}$が存在することを例を挙げて示せ. 更に, 式 (9.6.1) は$\operatorname{rank}(\mathbf{A})$に等しくない（すなわち,$\operatorname{rank}(\mathbf{T})+\operatorname{rank}\left(\mathbf{W}-\mathbf{V T}^{-} \mathbf{U}\right)$は$\operatorname{rank}(\mathbf{A})$に等しくない) ことと, 公式(9.6.2)は$\mathbf{A}$の一般逆行列を与えないことを示せ.

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解.

## 35.

$\mathbf{T}$を$m \times m$次元の行列,$\mathbf{U}$を$m \times n$次元の行列,$\mathbf{W}$を$n \times n$次元の行列とする．このとき,$\mathbf{T}$は非負定値で ($\mathbf{T}^{-}$のとり方により）$\mathbf{T}^{-}$に関する$\mathbf{T}$の シューアの補元$\mathbf{W}-\mathbf{U}^{\prime} \mathbf{T}^{-} \mathbf{U}$は非負定値であるが$\mathbf{A}$が非負定値でないような$\mathbf{A}=\begin{pmatrix}\mathbf{T} & \mathbf{U} \\ \mathbf{U}^{\prime} & \mathbf{W}\end{pmatrix}$の形の$(m+n) \times(m+n)$対称分割行列$\mathbf{A}$が存在することを例を挙げて示せ.

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解.

## 36.

$n \times n$行列$\mathbf{A}=\left\{a_{ij}\right\}$は,$i=1,2, \ldots, n$に対して$\left|a_{ii}\right|>\sum_{j=1(j \neq i)}^n\left|a_{ij}\right|$のとき, 対角優位 (diagonally dominant) であると言う. (特に$n=1$の退化の場合には,$\mathbf{A}$は，0でないとき, 対角優位であると言う.)

$\mathbf{(a)}$ 対角優位な行列の主部分行列は対角優位なことを示せ.

$\mathbf{(b)}$ $\mathbf{A}=\left\{a_{ij}\right\}$を$n \times n$対角優位な行列と$し, \mathbf{A}=\begin{pmatrix}\mathbf{A}_{11} & \mathbf{a} \\ \mathbf{b}^{\prime} & a_{nn}\end{pmatrix}$と分割し (よって$\mathbf{A}_{11}$の次元は$(n-1) \times(n-1)$である),$\mathbf{C}=\mathbf{A}_{11}-\left(1 / a_{nn}\right) \mathbf{a b}^{\prime}$を$a_{nn}$のシューアの補元とする.$\mathbf{C}$が対角優位なことを示せ.

$\mathbf{(c)}$ 対角優位行列は非特異なことを示せ.
$\mathbf{(d)}$ 対角優位行列は一意な LDU 分解をもつことを示せ.
$\mathbf{(e)}$ $\mathbf{A}=\left\{a_{ij}\right\}$を$n \times n$対称行列とする. もし$\mathbf{A}$が対角優位で$\mathbf{A}$の対角要素$a_{11}, a_{22}, \ldots, a_{nn}$がすべて正ならば,$\mathbf{A}$は正定値なことを示せ.

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解.

## 37.

$\mathbf{A}=\left\{a_{ij}\right\}$を$n \times n$対称正定値行列とする.$\operatorname{det}(\mathbf{A}) \leq \prod_{i=1}^n a_{ii}$であり, 等号は$\mathbf{A}$が対角行列のときかつそのときに限って成り立つことを示せ.

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解.

## 38.

$\mathbf{A}=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}$とする. ここで$a, b, c, d$はスカラーである.
$\mathbf{(a)}$ $\mathbf{A}$は,$a>0, d>0,|b+c| / 2<\sqrt{a d}$のときかつそのときに限って, 正定 値であることを示せ.
$\mathbf{(b)}$ 特に$\mathbf{A}$が対称（すなわち,$c=b$) の場合には,$\mathbf{A}$は,$a>0, d>0,|b|<$$\sqrt{a d}$のときかつそのときに限って, 正定値であることを示せ.

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解.

## 39.

たとえば, 練習問題38の結果を用いて, もし$n \times n$行列$\mathbf{A}=\left\{a_{ij}\right\}$が対称正定値ならば,$j \neq i=1, \ldots, n$に対して,

$$
|a_{ij}| \lt\sqrt{a_{ii}a_{jj}}\le\max(a_{ii}, a_{jj})
$$

であることを示せ.

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解.

## 40.

$2 \times 2$対称行列が非負定値でなくても，両方の首座部分行列の行列式は非負であることが可能であることを例を挙げて示せ. また$n\ge3$に対しては，$n\times n$対称行列が非負定値でなくても，$n$個の首座部分行列の行列式がすべて非負でしかももとの行列は非特異なことが可能であることを例を挙げて示せ.

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解.

## 41.

$\mathcal{V}$を次元$r$ (ここで$r \geq 1$とする）の$\mathcal{R}^{n \times 1}$の部分空間とする.$\mathbf{B}=\left(\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \ldots\right.$,$\mathbf{b}_r$) を$n \times r$行列で列$\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \ldots, \mathbf{b}_r$が$\mathcal{V}$の基底を成すもの,$\mathbf{L}$を$\mathbf{B}$の左逆行列とする.$g$を$\mathcal{V} の$中のベクトルの任意の対$\mathbf{x}, \mathbf{y}$に値$\mathbf{x} * \mathbf{y}$を対応づける関数とする.

$\mathbf{(a)}$ $f$を$\mathcal{R}^{r \times 1}$における任意の内積とし,$r$次元ベクトル$\mathbf{s}, \mathbf{t}$の任意の対に対して$f$によって対応づけられた値を$\mathbf{s} \cdot \mathbf{t}$で表す. ($\mathcal{V}$の中のすべての$\mathbf{x}, \mathbf{y}$に対して)

$$
\mathbf{x} * \mathbf{y}=(\mathbf{L x}) \cdot(\mathbf{L y})
$$

を満たす$f$が存在するときかつそのときに限って,$g$は（$\mathcal{V}$における）内積となることを示せ.

$\mathbf{(b)}$ ($\mathcal{V}$の中のすべての$\mathbf{x}, \mathbf{y}$に対して)

$$
\mathbf{x} * \mathbf{y}=\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{L}^{\prime} \mathbf{W} \mathbf{L} \mathbf{y}
$$

を満たす$r \times r$対称正定値行列$\mathbf{W}$が存在するときかつそのときに限って, $g$は（$\mathcal{V}$における）内積となることを示せ.

$\mathbf{(c)}$ $(\mathcal{V}$の中のすべての$\mathbf{x}, \mathbf{y}$に対して)

$$
\mathbf{x} * \mathbf{y}=\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{W} \mathbf{y}
$$

を満たす$n \times n$対称正定値行列$\mathbf{W}$が存在するときかつそのときに限って,$g$は（$\mathcal{V}$における）内積となることを示せ.

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解.

## 42.

$\mathcal{V}$を$m \times n$行列の線形空間,$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}$を（$\mathcal{V}$の中の）$\mathbf{A}, \mathbf{B}$の任意の対に準内積で対応づけられた値とする. 準ノルムが 0 の$\mathcal{V}$中のあらゆる行列から成る集合

$$
\mathcal{U}=\{\mathbf{A} \in \mathcal{V}: \mathbf{A} \cdot \mathbf{A}=0\}
$$

は線形空間であることを示せ.

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解.

## 43.

$\mathbf{W}$を$m \times m$対称正定値行列,$\mathbf{V}$を$n \times n$対称正定値行列とする.
$\mathbf{(a)}$ $m \times n$行列$\mathbf{A}, \mathbf{B}$の任意の対に値$\operatorname{tr}\left(\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{WBV}\right)$を対応づける関数は線形空間$\mathcal{R}^{m \times n}$における内積としての資格があることを示せ.
$\mathbf{(b)}$ $m \times n$行列$\mathbf{A}, \mathbf{B}$の任意の対に値$\operatorname{tr}\left(\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{WB}\right)$を対応づける関数は$\mathcal{R}^{m \times n}$における内積としての資格があることを示せ.
$\mathbf{(c)}$ $m \times m$行列$\mathbf{A}, \mathbf{B}$の任意の対に値$\operatorname{tr}\left(\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{WBW}\right)$を対応づける関数は$\mathcal{R}^{m \times m}$における内積としての資格があることを示せ.

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解.

## 44.

$\mathbf{A}$を$q \times p$行列,$\mathbf{B}$を$p \times n$行列,$\mathbf{C}$を$m \times q$行列とする. このとき, 次のことを示せ.

$\mathbf{(a)}$ $\operatorname{rank}(\mathbf{CAB})=\operatorname{rank}(\mathbf{C})$のときかつそのときに限って,$\mathbf{CAB}(\mathbf{CAB})^{-} \mathbf{C}=\mathbf{C}$である.

$\mathbf{(b)}$ $\operatorname{rank}(\mathbf{CAB})=\operatorname{rank}(\mathbf{B})$のときかつそ のときに限って,$\mathbf{B}(\mathbf{CAB})^{-} \mathbf{CAB}=\mathbf{B}$である.（よって（系$14.11 .3$に照らして）定理14.12.11の(5)と(1)の結果が拡張される.)

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解.

## 45.

$\mathcal{U}$を$\mathcal{R}^{n \times 1}$の部分空間,$\mathbf{X}$を$n \times p$行列で列が$\mathcal{U}$を張るもの,$\mathbf{W}, \mathbf{V}$を$n \times n$対称正定値行列とする. 次の2つの条件の各々が,$\mathbf{W}$に関する$\mathcal{U}$上への$\mathbf{y}$の射$\mathbf{y}$に対して）一致するための必要十分条件であることを示せ.

$\mathbf{(a)}$ $\mathbf{V}=\mathbf{P}_{\mathbf{X}, \mathbf{w}}^{\prime} \mathbf{V P}_{\mathbf{x}, \mathbf{w}}+\left(\mathbf{I}-\mathbf{P}_{\mathbf{X}, \mathbf{w}}\right)^{\prime} \mathbf{V}\left(\mathbf{I}-\mathbf{P}_{\mathbf{x}, \mathbf{w}}\right)$である.

$\mathbf{(b)}$ $\mathbf{V}=c \mathbf{W}+\mathbf{W X K} \mathbf{X}^{\prime} \mathbf{W}+\left(\mathbf{I}-\mathbf{P}_{\mathbf{X}, \mathbf{W}}\right)^{\prime} \mathbf{H}\left(\mathbf{I}-\mathbf{P}_{\mathbf{X}, \mathbf{W}}\right)$を満たすスカラー$c, p \times p$行列$\mathbf{K}, n \times n$行列$\mathbf{H}$が存在する.

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解.

## 46.

$\mathbf{y}$を$n$次元列ベクトル,$\mathcal{U}$を$\mathcal{R}^{n \times 1}$の部分空間,$\mathbf{X}$を$n \times p$行列で列が$\mathcal{U}$を張るものとする. 系$12.1 .2$より$\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{y}=\mathbf{0}$のときかつそのときに限って,$\mathbf{y} \perp_{\mathbf{I}} \mathcal{U}$である. そしてもっと一般に, 補助定理$14.12 .1$より任意の$n \times n$対称正定値行列$\mathbf{W}$に対して,$\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{W} \mathbf{y}=\mathbf{0}$のときかつそのときに限って,$\mathbf{y} \perp \mathbf{w} \mathcal{U}$である. 任意の$n \times n$対称非負定値行列$\mathbf{W}$に対して,$\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{W} \mathbf{y}=\mathbf{0}$のときかつそのときに限って,$\mathbf{y} \perp_{\mathbf{w}} \mathcal{U}$であることを示すために補助定理$14.12.2$の(3)と(4)を用いることで，この結果を（補助定理$14.12.1$に続く議論の中で示した方向に）拡張せよ.

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解.

## 47.

$\mathbf{W}$を$n \times n$対称非負定値行列とする.

$\mathbf{(a)}$  任意の$n \times p$行列$\mathbf{X}$と任意の$n \times q$行列$\mathbf{U}$で$\mathcal{C}(\mathbf{U}) \subset \mathcal{C}(\mathbf{X})$を満たすものに対して
$\quad \mathbf{(1)}$ $\mathbf{W P}_{\mathbf{x}}, \mathbf{w} \mathbf{U}=\mathbf{W} \mathbf{U}, \mathbf{U}^{\prime} \mathbf{W P}_{\mathbf{x}, \mathbf{w}}=\mathbf{U}^{\prime} \mathbf{W}$,
$\quad \mathbf{(2)}$ $\mathbf{P}_{\mathbf{U}, \mathbf{w}} \mathbf{P}_{\mathbf{X}, \mathbf{w}}=\mathbf{P}_{\mathbf{U}, \mathbf{w}}, \mathbf{P}_{\mathbf{X}, \mathbf{w}}^{\prime} \mathbf{W P}_{\mathbf{U}, \mathbf{w}}=\mathbf{W P}_{\mathbf{X}, \mathbf{W}} \mathbf{P}_{\mathbf{U}, \mathbf{w}}$$=\mathbf{W P}_{\mathbf{U}, \mathbf{w}}$
を示して系$14.12.12$を一般化せよ.

$\mathbf{(b)}$  任意の$n \times p$行列$\mathbf{X}$と任意の$n \times q$行列$\mathbf{U}$で$\mathcal{C}(\mathbf{U})=\mathcal{C}(\mathbf{X})$を満たすものに対して

$$
\mathbf{W P}_{\mathbf{U}, \mathbf{w}}=\mathbf{W P}_{\mathbf{x}, \mathbf{w}}
$$

を示して系14.12.13 を一般化せよ.

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解.

## 48.

$\mathcal{U}$を$\mathcal{R}^{n \times 1}$の部分空間,$\mathbf{A}$を$n \times n$行列,$\mathbf{W}$を$n \times n$対称非負定値行列,$\mathbf{X}$を$n \times p$行列で列が$\mathcal{U}$を張るものとする.
$\mathbf{(a)}$  ある$p \times n$行列$\mathbf{K}$に対して
$$
\mathbf{A}=\mathbf{P}_{\mathbf{x}, \mathbf{w}}+\left(\mathbf{I}-\mathbf{P}_{\mathbf{X}, \mathbf{w}}\right) \mathbf{X K}
$$
のときかつそのときに限って，$\mathbf{A}$は$\mathbf{W}$に関する$\mathcal{U}$に対する射影行列であることを示せ.
$\mathbf{(b)}$  もし$\mathbf{A}$が$\mathbf{W}$に関する$\mathcal{U}$に対する射影行列ならば,$\mathbf{W A}=\mathbf{W P} \mathbf{x}, \mathbf{W}$であ ることを示せ.

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解.

## 49.

A を$n \times n$行列,$\mathbf{W}$を$n \times n$対称非負定値行列とする.

$\mathbf{(a)}$ （たとえば, 練習問題 48 を用いて）もし$\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{W A}=\mathbf{W A}$（すなわち, もし$\left.(\mathbf{I}-\mathbf{A})^{\prime} \mathbf{W A}=\mathbf{0}\right)$ならば,$\mathbf{A}$は$\mathbf{W}$に関する射影行列であり， 特に,$\mathbf{A}$は$\mathbf{W}$に関する$\mathcal{C}(\mathbf{A})$に対する射影行列であることを示せ. また，逆に，もし$\mathbf{A}$が$\mathbf{W}$に関する射影行列ならば,$\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{W A}=\mathbf{W A}$であることを示せ（よって定理14.12.16が一般化される）.

$\mathbf{(b)}$ もし$\mathbf{A}$が$\mathbf{W}$に関する射影行列ならば, 特に，$\mathbf{A}$は$\mathbf{W}$に関する$\mathcal{C}(\mathbf{A})$に 対する射影行列であることを示せ.

$\mathbf{(c)}$ $\mathbf{WA}$が対称で$\mathbf{WA}^2=\mathbf{W A}$のきかつそのときに限って，$\mathbf{A}$は$\mathbf{W}$に関する射影行列であることを示せ（よって系$14.12 .17$が一般化される）.

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解.

## 50.

$\mathcal{U}$を$\mathcal{R}^{n \times 1}$の部分空間,$\mathbf{X}$を$n \times p$行列で列が$\mathcal{U}$を張るもの,$\mathbf{W}, \mathbf{V}$を$n \times n$対称非負定値行列とする.(たとえば，練習問題 46 の結果を用いて）次の$2 つ の$条件の各々が,$\left(\mathcal{R}^n\right.$の中のあらゆる$\mathbf{y}$に対して）$\mathbf{W}$に関する$\mathcal{U}$上への$\mathbf{y} の$のあ らゆる射影が$\mathbf{V}$に関する$\mathcal{U}$上への$\mathbf{y}$の射影と一致するための必要十分条件であ ることを示せ.

$\mathbf{(a)}$ $\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{V} \mathbf{P}_{\mathbf{X}}, \mathbf{w}=\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{V}$, すなわち,$\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{V}\left(\mathbf{I}-\mathbf{P}_{\mathbf{X}, \mathbf{W}}\right)=\mathbf{0}$である.

$\mathbf{(b)}$ $\mathbf{V X}=\mathbf{W X} \mathbf{Q}$を満たす$p \times p$行列$\mathbf{Q}$が存在する. すなわち,$\mathcal{C}(\mathbf{V X}) \subset$$\mathcal{C}(\mathbf{W X})$である.
(よって定理 14.12.18の (1) と (4) が一般化される.)

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解.

## 51.

$\mathbf{X}$を$n \times p$行列,$\mathbf{W}$を$n \times n$対称非負定値行列とする.$\mathbf{W}$が特に正定値である場合と同様に,

$$
\mathcal{C}_{\mathbf{W}}^{\perp}(\mathbf{X})=\left\{\mathbf{y} \in \mathcal{R}^{n \times 1}: \mathbf{y} \perp \mathbf{w} \mathcal{C}(\mathbf{X})\right\}
$$

とする.

$\mathbf{(a)}$ たとえば, 練習問題46の結果を用いて,

$$
\mathcal{C}_{\mathbf{W}}^{\perp}(\mathbf{X})=\mathcal{N}\left(\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{W}\right)=\mathcal{C}\left(\mathbf{I}-\mathbf{P}_{\mathbf{X}}, \mathbf{w}\right)
$$

を示せ（よって補助定理14.12.21が一般化される）.

$\mathbf{(b)}$ 次式を示せ.

$$
\operatorname{dim}\left[\mathcal{C}_{\mathbf{W}}^{\perp}(\mathbf{X})\right]=n-\operatorname{rank}(\mathbf{W} \mathbf{X}) \geq n-\operatorname{rank}(\mathbf{X})=n-\operatorname{dim}[\mathcal{C}(\mathbf{X})]
$$

（よって補助定理14.12.22が一般化される.）

$\mathbf{(c)}$ たとえば，練習問題46の結果を用いて，($\mathbf{b}$に関する）線形系 $\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{W X b}=$ $\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{W} \mathbf{y}$ の任意の解 $\mathbf{b}^*$ に対して, $\mathbf{y}-\mathbf{X b}^*$は$\mathbf{W}$ に関する $\mathcal{C}_{\mathbf{W}}^{\perp}(\mathbf{X})$上への$\mathbf{y}$ の射影であることを示せ（よって定理14.12.23の結果が拡張される）.