# 第21章 練習問題

## 1.

$n \times n$歪対称行列$\mathbf{A}$は$0$でない固有値をもたないことを示せ.

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解.(Chiba)
$\lambda$を$\mathbf{A}$の任意の固有値、$\mathbf{x}$を$\lambda$に対応する固有ベクトルとする。そのとき、$-\mathbf{A}'\mathbf{x} = \mathbf{A}\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x}$であり、つまり
$$
-\mathbf{A}'\mathbf{A}\mathbf{x} = -\mathbf{A}'(\lambda\mathbf{x})=\lambda(-\mathbf{A}'\mathbf{x})=\lambda(\lambda\mathbf{x})=\lambda^2\mathbf{x}
$$
が成り立ち、ゆえに$-\mathbf{x}'\mathbf{A}'\mathbf{A}\mathbf{x} = \lambda^2\mathbf{x}'\mathbf{x}$である。したがって、$\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$かつ$\mathbf{A}'\mathbf{A}$が非負定値であることから
$$
0 \leq \lambda^2 = - \mathbf{x}'\mathbf{A}'\mathbf{A}\mathbf{x}/ \mathbf{x}'\mathbf{x} \leq 0,
$$
であり、このことから$\lambda^2 = 0$、つまり$\lambda=0$が導かれる。

## 2.
$\mathbf{A}$を$n \times n$行列, $\mathbf{B}$を$k \times k$行列, $\mathbf{X}$を$n \times k$行列で, $\mathbf{A X}=\mathbf{X B}$を満たすものとする.
$\mathbf{(a)}$ $\mathcal{C}(\mathbf{X})$が$\mathbf{A}$に関する$\left(\mathcal{R}^{n \times 1}\right)$の 不変な部分空間であることを示せ.
$\mathbf{(b)}$ もし$\mathbf{X}$が最大列階数をもてば, $\mathbf{B}$のあらゆる固有値は$\mathbf{A}$の固有値であることを示せ.

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解.(kaneko)

(a) $\mathcal{C}(\mathbf{X})$の任意の$n \times 1$ ベクトル $\mathbf{u}$ に対して, $\mathbf{u}=\mathbf{X r}$となるような$k \times 1$ ベクトルが存在し，以下のようになる

$$
\mathbf{A u}=\mathbf{A X r}=\mathbf{X B r} \in \mathcal{C}(\mathbf{X}) .
$$

したがって, $\mathcal{C}(\mathbf{X})$ は$\mathbf{A}$に関する不変な部分空間である．

(b) $\lambda$ を $\mathbf{B}$の固有値とし,$\mathbf{y}$ を$\mathbf{B}$ の $\lambda$に対応する固有ベクトルであるとする. 定義から, $\mathbf{B y}=\lambda \mathbf{y}$であるから

$$
\mathbf{A}(\mathbf{X y})=\mathbf{X B y}=\mathbf{X}(\lambda \mathbf{y})=\lambda(\mathbf{X} \mathbf{y}) .
$$

問題文より$\mathbf{X}$ が最大列階数を持ち， $\mathbf{y} \neq \mathbf{0}$ ， $\mathbf{X y} \neq \mathbf{0}$であるから, $\lambda$ は $\mathbf{A}$ の固有値であり$\mathbf{X y}$は $\mathbf{A}$ の$\lambda$ に対する固有ベクトルであることがわかる.

## 3.

$p(\lambda)$を$n \times n$行列$\mathbf{A}$の特性多項式, $c_0, c_1, c_2, \ldots, c_n$をその特性多項式のそれぞれの係数, すなわち, $(\lambda \in \mathcal{R}$に対して$)$

$$
p(\lambda)=c_0 \lambda^0+c_1 \lambda+c_2 \lambda^2+\cdots+c_n \lambda^n=\sum_{s=0}^n c_s \lambda^s
$$

とする. 更に, $\mathbf{P}$を$p(\lambda)$において形式的にスカラー$\lambda$を$\mathbf{A}$で置き換えて（また$\mathbf{A}^0=\mathbf{I}_n$と置いて） 得られる$n \times n$行列とする. すなわち,

$$
\mathbf{P}=c_0 \mathbf{I}+c_1 \mathbf{A}+c_2 \mathbf{A}^2+\cdots+c_n \mathbf{A}^n=\sum_{s=0} c_s \mathbf{A}^s
$$

とする. 次の4ステップを遂行することで$\mathbf{P}=\mathbf{0}$を示せ（この結果は**ケーリー-ハミルトンの定理** (Cayley-Hamilton theorem) として知られている).

$\mathbf{(a)}$ $\mathbf{B}(\lambda)=\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I}$と置き, $\mathbf{H}(\lambda)$を$\mathbf{B}(\lambda)$の随伴行列とすると, $(\lambda \in \mathcal{R}$に対 して)

$$
\mathbf{H}(\lambda)=\mathbf{K}_0+\lambda \mathbf{K}_1+\lambda^2 \mathbf{K}_2+\cdots+\lambda^{n-1} \mathbf{K}_{n-1}
$$

と表せることを示せ. ここで, $\mathbf{K}_0, \mathbf{K}_1, \mathbf{K}_2, \ldots, \mathbf{K}_{n-1}$は（$\lambda$に伴って変化しない）$n \times n$行列である.

$\mathbf{(b)}$ $\mathbf{T}_0=\mathbf{A} \mathbf{K}_0, \mathbf{T}_n=-\mathbf{K}_{n-1}$, ($s=1, \ldots, n-1$に対し)$\mathbf{T}_s=\mathbf{A K}_s-\mathbf{K}_{s-1}$と置くと, $(\lambda \in \mathcal{R}$に対して$)$

$$
\mathbf{T}_0+\lambda \mathbf{T}_1+\lambda^2 \mathbf{T}_2+\cdots+\lambda^n \mathbf{T}_n=p(\lambda) \mathbf{I}_n
$$

であることを示せ.
(ヒント : 定理 13.5.3 より, $(\lambda \in \mathcal{R}$に対して$) \mathbf{B}(\lambda) \mathbf{H}(\lambda)=|\mathbf{B}(\lambda)| \mathbf{I}_n=$$p(\lambda) \mathbf{I}_n$となる.)

$\mathbf{(c)}$ $s=0,1, \ldots, n$に対して,, $\mathbf{T}_s=c_s \mathbf{I}$を示せ.
$\mathbf{(d)}$ 次式を示せ.

$$
\mathbf{P}=\mathbf{T}_0+\mathbf{A} \mathbf{T}_1+\mathbf{A}^2 \mathbf{T}_2+\cdots+\mathbf{A}^n \mathbf{T}_n=\mathbf{0} .
$$

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解.(Yamashita)
$\mathbf{(a)}$
$h_{i j}(\lambda)$ を $\mathbf{H}(\lambda)$ の第 $i j$ 要素とする. このとき, $h_{i j}(\lambda)$ は $\mathbf{B}(\lambda)$ の第 $j i$ 要素の余因子である. また, 余因子の定義と行列式の定義 (式(13.1.2)) から明らかに $h_{i j} (\lambda)$ は $\lambda$ の $n-1$ 次または $n-2$ 次の多項式である. よって, ($\lambda$ に伴って変化しない) 定数 $k_{i j}^{(0)}, k_{i j}^{(1)}, k_{i j}^{(2)}, \ldots, k_{i j}^{(n-1)}$ を用いて,
$$
h_{i j}(\lambda)=k_{i j}^{(0)}+k_{i j}^{(1)} \lambda+k_{i j}^{(2)} \lambda^2+\cdots+k_{i j}^{(n-1)} \lambda^{n-1}
$$
と表され, ($s=0,1,2, \ldots, n-1$ に対して) 第 $i j$ 要素が $k_{i j}^{(s)}$ である $n \times n$ 行列 $\mathbf{K}_s$ を用いて,
$$
\mathbf{H}(\lambda)=\mathbf{K}_0+\lambda \mathbf{K}_1+\lambda^2 \mathbf{K}_2+\cdots+\lambda^{n-1} \mathbf{K}_{n-1},
$$
と表せる.

$\mathbf{(b)}$
$\mathbf{(a)}$ より $\lambda \in \mathcal{R}$ に対して,
$$
\begin{aligned}
\mathbf{B}(\lambda) \mathbf{H}(\lambda) & =(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I})\left(\mathbf{K}_0+\lambda \mathbf{K}_1+\lambda^2 \mathbf{K}_2+\cdots+\lambda^{n-1} \mathbf{K}_{n-1}\right) \\
& =\mathbf{T}_0+\lambda \mathbf{T}_1+\lambda^2 \mathbf{T}_2+\cdots+\lambda^n \mathbf{T}_n .
\end{aligned}
$$
が得られる. また, ヒントを用いて $\lambda \in \mathcal{R}$ に対して,
$$
\mathbf{T}_0+\lambda \mathbf{T}_1+\lambda^2 \mathbf{T}_2+\cdots+\lambda^n \mathbf{T}_n=p(\lambda) \mathbf{I}_n
$$
が得られる.

$\mathbf{(c)}$
$s=0,1, \ldots, n$ に対して, $t_{i j}^{(s)}$ は $\mathbf{T}_s$ の第 $i j$ 要素を表すものとする. このとき $\mathbf{(b)}$ より $\lambda \in \mathcal{R}$ に対して,
$$
t_{i j}^{(0)}+\lambda t_{i j}^{(1)}+\lambda^2 t_{i j}^{(2)}+\cdots+\lambda^n t_{i j}^{(n)}= \begin{cases}p(\lambda), & \text { if } j=i, \\ 0, & \text { if } j \neq i .\end{cases}
$$
ゆえに,
$$
t_{i j}^{(s)}= \begin{cases}c_s, & \text { if } j=i, \\ 0, & \text { if } j \neq i,\end{cases}
$$
また, すなわち $\mathbf{T}_s=c_s \mathbf{I}$ である.

$\mathbf{(d)}$
$\mathbf{(c)}$ を用いて,
$$
\begin{aligned}
& \mathbf{T}_0+\mathbf{A T}_1+\mathbf{A}^2 \mathbf{T}_2+\cdots+\mathbf{A}^n \mathbf{T}_n \\
&=c_0 \mathbf{I}+\mathbf{A}\left(c_1 \mathbf{I}\right)+\mathbf{A}^2\left(c_2 \mathbf{I}\right)+\cdots+\mathbf{A}^n\left(c_n \mathbf{I}\right)=\mathbf{P} .
\end{aligned}
$$
を得る. さらに,
$$
\begin{aligned}
\mathbf{T}_0+\mathbf{A} \mathbf{T}_1 & +\mathbf{A}^2 \mathbf{T}_2+\cdots+\mathbf{A}^n \mathbf{T}_n \\
& =(\mathbf{A}-\mathbf{A}) \mathbf{K}_0+(\mathbf{A}-\mathbf{A}) \mathbf{A} \mathbf{K}_1+(\mathbf{A}-\mathbf{A}) \mathbf{A}^2 \mathbf{K}_2 +\cdots+(\mathbf{A}-\mathbf{A}) \mathbf{A}^{n-1} \mathbf{K}_{n-1} \\
& =\mathbf{0}
\end{aligned}
$$
である.

## 4.

$c_0, c_1, \ldots, c_{n-1}, c_n$を$n \times n$行列$\mathbf{A}$の特性多項式$p(x)$のそれぞれの係数（すなわち, $(\lambda \in \mathcal{R}$に対して$\left.) p(\lambda)=c_0+c_1 \lambda+\cdots+c_{n-1} \lambda^{n-1}+c_n \lambda^n\right)$とする. 練習問題 3 の結果（ケーリーーハミルトンの定理）を用いて，もし$\mathbf{A}$が非特異ならば, $c_0 \neq 0$で,

$$
\mathbf{A}^{-1}=-\left(1 / c_0\right)\left(c_1 \mathbf{I}+c_2 \mathbf{A}+\cdots+c_n \mathbf{A}^{n-1}\right)
$$

であることを示せ.

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解.(齋藤)
(1.8)より、$c_0 = |\mathbf{A}|$が成り立つ。また、問3より、
\begin{align}
c_0 \mathbf{I} + c_1 \mathbf{A} +c_2 \mathbf{A}^2 + \cdots + c_n \mathbf{A}^n = \mathbf{0} (S.1)
\end{align}
も成り立つ。

今、$\mathbf{A}$が非特異であると仮定する。その時、定理13.3.7より、$c_0 \neq 0$である。
> 定理13.3.7 $\mathbf{A}$をn×n行列とすると、$|\mathbf{A}| \neq 0$のときかつそのときに限って、$\mathbf{A}$は非特異であり、この場合には
> $$
> |\mathbf{A}^{-1}| = 1/|\mathbf{A}|
> $$

今、(S.1)の両辺に$\mathbf{A}^{-1}$を乗じると、
\begin{align}
c_0 \mathbf{A}^{-1} + c_1 \mathbf{I} +c_2 \mathbf{A} + \cdots + c_n \mathbf{A}^{n-1} = \mathbf{0}
\end{align}
が成り立ち、
$$
\mathbf{A}^{-1}=-\left(1 / c_0\right)\left(c_1 \mathbf{I}+c_2 \mathbf{A}+\cdots+c_n \mathbf{A}^{n-1}\right)
$$
が成り立つ。

## 5.

もし$n \times n$行列$\mathbf{B}$が$n \times n$行列$\mathbf{A}$に相似ならば, 次のことが成り立つことを示せ.
$\mathbf{(1)}$ $\mathbf{B}^k$は$\mathbf{A}^k$に相似である$(k=2,3, \ldots)$.
$\mathbf{(2)}$ $\mathbf{B}^{\prime}$は$\mathbf{A}^{\prime}$に相似である.

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解.(kumada)

行列$\mathbf{B}$が行列$\mathbf{A}$に相似と仮定する。 この時、$\mathbf{B}=\mathbf{C}^{-1} \mathbf{A C}$を満たす$n \times n$非特異行列 $\mathbf{C}$が存在する。
(1) $k=1,2,3, \ldots$について、$\mathbf{B}^k=\mathbf{C}^{-1} \mathbf{A}^k \mathbf{C}$(*)を数学的帰納法で示す。
- $k=1$について、明らかに$\mathbf{B}^1=\mathbf{C}^{-1} \mathbf{A}^1 \mathbf{C}$が成り立つ。
- $k \geq 2$について、$\mathbf{B}^{k-1}=\mathbf{C}^{-1} \mathbf{A}^{k-1} \mathbf{C}$と仮定する。この時、以下より$k-1$で(*)が成り立つと仮定すると、$k$でも成り立つ。
$$
\mathbf{B}^k=\mathbf{B * B}^{k-1}=\mathbf{C}^{-1} \mathbf{AC*C}^{-1} \mathbf{A}^{k-1} \mathbf{C}=\mathbf{C}^{-1} \mathbf{A}^k \mathbf{C}.
$$

以上より、(*)は示された。

(2) 以下の式変形より、$\mathbf{B}^{\prime}$は$\mathbf{A}^{\prime}$に相似であることが示される。
$$
\mathbf{B}^{\prime}=\left(\mathbf{C}^{-1} \mathbf{A C}\right)^{\prime}=\mathbf{C}^{\prime} \mathbf{A}^{\prime}\left(\mathbf{C}^{-1}\right)^{\prime}=\left[\left(\mathbf{C}^{\prime}\right)^{-1}\right]^{-1} \mathbf{A}^{\prime}\left(\mathbf{C}^{\prime}\right)^{-1} .
$$

## 6.

もし$n \times n$行列$\mathbf{B}$が$(n \times n)$冪等行列に相似ならば, $\mathbf{B}$は幂等なことを示せ.

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解. (Hamada)

$\mathbf{B}$ が $n \times n$ 冪等行列 $\mathbf{A}$ に相似であるとすると、$n \times n$ 非特異行列 $\mathbf{C}$ が存在して $\mathbf{B}=\mathbf{C}^{-1} \mathbf{A C}$ である。従って
$$
\mathbf{B}^2=\mathbf{C}^{-1} \mathbf{ACC}{ }^{-1} \mathbf{AC}=\mathbf{C}^{-1}\mathbf{A}^2 \mathbf{C}=\mathbf{C}^{-1} \mathbf{AC}=\mathbf{B}
$$
が成り立つため、$\mathbf{B}$ は冪等である。

## 7.

$\mathbf{A}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$, $\mathbf{B}=\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$とする. $\mathbf{B}$は$\mathbf{A}$と同じ階数, 行列式, トレース, 特性多項式をもつが, $\mathbf{B}$は$\mathbf{A}$に相似でないことを示せ.

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解.(tomita)
$|\mathbf{B}|=1=|\mathbf{A}|, \operatorname{rank}(\mathbf{B})=2=\operatorname{rank}(\mathbf{A}), \operatorname{tr}(\mathbf{B})=2=\operatorname{tr}(\mathbf{A})$ であり, $\mathbf{B}$ と $\mathbf{A}$ の特性多項式は $p(\lambda)=(\lambda-1)^2$.

ある $2 \times 2$ 行列 $\mathbf{C}=\left\{c_{i j}\right\}$に対して, $\mathbf{C B}=\mathbf{A C}$ と仮定する.
すると,
$$
\mathbf{C B}=\left(\begin{array}{ll}
c_{11} & c_{11}+c_{12} \\
c_{21} & c_{21}+c_{22}
\end{array}\right) \quad \text { かつ } \quad \mathbf{A C}=\mathbf{C}=\left(\begin{array}{ll}
c_{11} & c_{12} \\
c_{21} & c_{22}
\end{array}\right)
$$
整理すると, $c_{11}+c_{12}=c_{12}$ かつ $c_{21}+c_{22}=c_{22}$, すなわち $c_{11}=0$ かつ $c_{21}=0$ となり $\mathbf{C}$ は特異である.

したがって $\mathbf{C B}=\mathbf{A C}$ を満たす $2 \times 2$ の非特異行列 $\mathbf{C}$ は存在しない. したがって $\mathbf{B}$ は $\mathbf{A}$に相似ではない.

## 8.

$n \times n$行列$\mathbf{B}$が$n \times n$行列$\mathbf{A}$に相似なためには, $\mathbf{B}$が$\mathbf{A}$と同じ階数, 行列式, トレース, 特性多項式をもつことは十分でないことを（任意の正の整数$n$に対して）示して，練習問題 7 の結果を拡張せよ.

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解.(Ogura)

$\mathbf{A} = \mathbf{I}_n$、$\mathbf{B}$を全ての対角成分が1である三角行列とする。このとき、補助定理13.1.1及び系8.5.6より、$\mathbf{A}$と$\mathbf{B}$は同じ階数、行列式、トレース、特性多項式を持つ。$\mathbf{A}$と$\mathbf{B}$が相似であるためには、ある$n \times n$行列$\mathbf{C}$に対して$\mathbf{C}\mathbf{B} = \mathbf{A}\mathbf{C}$が成り立つ必要がある。$\mathbf{A} = \mathbf{I}_n$であるため、$\mathbf{A}$と$\mathbf{B}$が相似となるのは、$\mathbf{B} = \mathbf{I}_n$であるときのみである。

> 系8.5.6. 三角行列は、その対角要素がいずれも0でないときかつその時に限って、非特異である。

> 補助定理13.1.1. 三角行列の行列式はその対角要素の積に等しい。

## 9.

$\mathbf{A}$を$n \times n$行列, $\mathbf{B}$を$k \times k$行列, $\mathbf{X}$を$n \times k$行列で, $\mathbf{A X}=\mathbf{X B}$を満たすものとする. もし$\mathbf{X}$が最大列階数の行列ならば, 直交行列$\mathbf{Q}$が存在して, $\mathbf{Q}^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{Q}=\begin{pmatrix}\mathbf{T}_{11} & \mathbf{T}_{12} \\ \mathbf{0} & \mathbf{T}_{22}\end{pmatrix}$で$\mathbf{T}_{11}$が$\mathbf{B}$に相似な$k \times k$行列の形にできることを示せ.

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解.　$\operatorname{rank}(\mathbf{X})=k$のとき、$\mathcal{C}(\mathbf{X})$の正規直交基底（これは定理6.4.3により必ず存在する）を横に並べた$n \times k$行列 $\mathbf{U}$を考える。
さらに、$\mathbf{X}=\mathbf{U C}$となる$k \times k$非特異行列$\mathbf{ C}$が存在する。

ここで、$\mathbf{A U C}=\mathbf{A X}=\mathbf{X B}=\mathbf{U C B}$であるから、$\mathbf{A U}=\mathbf{A U C C}^{-1}$ $=\mathbf{U C B C}^{-1}$となる。従って、定理21.3.2を用いると、$\mathbf{Q}^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{Q}=\left(\begin{array}{ll}\mathbf{T}_{11} & \mathbf{T}_{12} \\ \mathbf{0} & \mathbf{T}_{22}\end{array}\right)$を満たす直交行列$\mathbf{Q}$が存在する。さらに、 $\mathbf{T}_{11}=\mathbf{C B C}^{-1}$（すなわち$\mathbf{T}_{11}$は$\mathbf{B}$に相似）である。

> 定理 21.3.2. $\mathbf{A}$ を $n \times n$ 行列, $\mathbf{B}$ を $k \times k$ 行列, $\mathbf{U}$ を $n \times k$ 行列で正規直交列をもち (すなわち, $\left.\mathbf{U}^{\prime} \mathbf{U}=\mathbf{I}\right) \mathbf{A U}=\mathbf{U B}$ を満たすものとする. このとき, $n \times(n-k)$ 行列 $\mathbf{V}$ が存在して $n \times n$ 行列 $(\mathbf{U}, \mathbf{V})$ が直交行列となる. また, 任意のそういった行列 $\mathbf{V}$ に対して,
$$
(\mathbf{U}, \mathbf{V})^{\prime} \mathbf{A}(\mathbf{U}, \mathbf{V})=\left(\begin{array}{cc}
\mathbf{B} & \mathbf{U}^{\prime} \mathbf{A V} \\
\mathbf{0} & \mathbf{V}^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{V}
\end{array}\right)
$$
(よって, $\mathbf{A}$ はブロック三角行列 $\left(\begin{array}{cc}\mathbf{B} & \mathbf{U}^{\prime} \mathbf{A V} \\ \mathbf{0} & \mathbf{V}^{\prime} \mathbf{A V}\end{array}\right)$ に相似）である. 特に $\mathbf{A}$ が対称な場合には,
$$
(\mathbf{U}, \mathbf{V})^{\prime} \mathbf{A}(\mathbf{U}, \mathbf{V})=\left(\begin{array}{cc}
\mathbf{B} & \mathbf{0} \\
\mathbf{0} & \mathbf{V}^{\prime} \mathbf{A V}
\end{array}\right)
$$
(よって, $\mathbf{A}$ は $\operatorname{diag}\left(\mathbf{B}, \mathbf{V}^{\prime} \mathbf{A V}\right)$ に相似) である.

## 10.

もし$0$が$n \times n$行列$\mathbf{A}$の固有値ならば, 代数的重複度は$n-\operatorname{rank}(\mathbf{A})$以上で あることを示せ.

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解.()

## 11.

$\mathbf{A}$を$n \times n$行列とする. もしスカラー$\lambda$が代数的重複度$\gamma$の$\mathbf{A}$の固有値ならば, $\operatorname{rank}(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I}) \geq n-\gamma$であることを示せ.

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解.(moriwaki)

スカラー$\lambda$が行列$\mathbf{A}$の固有値ならば、定義より$(\mathbf{A}-\lambda\mathbf{I}_{n})\mathbf{x} = \mathbf{0}$を満たす$\mathbf{0}$でない$n$次元列ベクトル$\mathbf{x}$が存在する。補助定理11.3.1や21章の$(1.1)$にもあるように、固有値$\lambda$の固有空間の次元を表す幾何学的重複度は

$$
\operatorname{dim}[\mathcal{N}(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I})]=n-\operatorname{rank}(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I})
$$

である。ここでさらに定理21.3.4を用いると、

> 定理21.3.4. $n\times n$行列$\mathbf{A}$の固有値$\lambda$の幾何学的重複度は，代数的重複度以下である.

$n-\operatorname{rank}(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I}) \le \gamma$であることが容易に導けるので、これを変形すると

$$
\operatorname{rank}(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I}) \geq n-\gamma
$$

が得られる。

> 補助定理11.3.1. $\mathbf{A}$を$m \times n$ 行列とする. このとき,$$\operatorname{dim}[\mathcal{N}(\mathbf{A})]=n-\operatorname{rank}(\mathbf{A})$$である. すなわち, ($n$次元列ベクトル$\mathbf{x}$に関する) 同次線形系 $\mathbf{A x}=\mathbf{0}$ の解空間の次元は $n-\operatorname{rank}(\mathbf{A})$に等しい.

## 12.

$0$を$n \times n$（特異）行列$\mathbf{A}$の固有値と見なしたとき, $\gamma_1$を$0$の代数的重複度, $\nu_1$をその幾何学的重複度とする. また$0$を$\mathbf{A}^2$の固有値と見なしたとき, $\gamma_2$を$0$の代数的重複度, $\nu_2$をその幾何学的重複度とする. もし, $\nu_1=\gamma_1$ならば, $\nu_2=\gamma_2=\nu_1$であることを示せ.

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解.(Chiba)
$\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{0}$を満たす任意の$n\times 1$ベクトル$\mathbf{x}$に対して、$\mathbf{A}^2\mathbf{x} = \mathbf{A}\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{A}\mathbf{0} =\mathbf{0}$であることがわかる。つまり、
$$
\nu_2=\operatorname{dim}[\mathcal{N}(\mathbf{A}^2)] \geq \operatorname{dim}[\mathcal{N}(\mathbf{A})] = \nu_1
$$
である。

列が$\mathcal{N}(\mathbf{A})$の（通常の内積に対して）直交基底を形成する$n\times \nu_1$行列$\mathbf{U}$が存在する。ゆえに、$\mathbf{A}\mathbf{U}=\mathbf{0} = \mathbf{U}\mathbf{0}$が成り立つ。そして、定理21.3.2より$n\times n$行列$(\mathbf{U}, \mathbf{V})$が直交行列となるような$n\times(n-\nu_1)$行列$\mathbf{V}$が存在し、そのような行列となるように$\mathbf{V}$をとると、
$$
(\mathbf{U}, \mathbf{V})'\mathbf{A}(\mathbf{U}, \mathbf{V}) =
\begin{pmatrix}\mathbf{0} & \mathbf{U}'\mathbf{A}\mathbf{V} \\ \mathbf{0} & \mathbf{V}'\mathbf{A}\mathbf{V}\end{pmatrix}
$$
となる（ゆえに$\mathbf{A}$は$\begin{pmatrix}\mathbf{0} & \mathbf{U}'\mathbf{A}\mathbf{V} \\ \mathbf{0} & \mathbf{V}'\mathbf{A}\mathbf{V}\end{pmatrix}$と相似である）。
>定理21.3.2 $\mathbf{A}$を$n\times n$行列、$\mathbf{B}$を$k\times k$行列、$\mathbf{U}$を$n\times k$行列で正規直交列をもち（すなわち、$\mathbf{U}'\mathbf{U}=\mathbf{I}$）$\mathbf{A}\mathbf{B} = \mathbf{U}\mathbf{B}$を満たすものとする。このとき、$n\times (n-k)$行列$\mathbf{V}$が存在して$n\times n$行列$(\mathbf{U}, \mathbf{V})$が直交行列となる。また、任意のそういった行列$\mathbf{V}$に対して、
$$
(\mathbf{U}, \mathbf{V})'\mathbf{A}(\mathbf{U}, \mathbf{V})=\begin{pmatrix}\mathbf{B} & \mathbf{U}'\mathbf{A}\mathbf{V} \\ \mathbf{0} & \mathbf{V}'\mathbf{A}\mathbf{V}\end{pmatrix}
$$
（よって$\mathbf{A}$は$\begin{pmatrix}\mathbf{B} & \mathbf{U}'\mathbf{A}\mathbf{V} \\ \mathbf{0} & \mathbf{V}'\mathbf{A}\mathbf{V}\end{pmatrix}$に相似）である。特に$\mathbf{A}$が対称な場合には、$$
(\mathbf{U}, \mathbf{V})'\mathbf{A}(\mathbf{U}, \mathbf{V})=\begin{pmatrix}\mathbf{B} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{V}'\mathbf{A}\mathbf{V}\end{pmatrix}
$$
（よって$\mathbf{A}$は$\operatorname{diag}(\mathbf{B}, \mathbf{V}'\mathbf{A}\mathbf{V})$に相似）である。

さらに、定理21.3.1より
>定理21.3.1 (5)固有値は、$\mathbf{A}$の固有値と見なしたときと$\mathbf{C}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{C}$の固有値と見なしたときに、同じ代数的重複度と幾何学的重複度をもつ。

$\gamma_1$は$0$が\begin{pmatrix}\mathbf{0} & \mathbf{U}'\mathbf{A}\mathbf{V} \\ \mathbf{0} & \mathbf{V}'\mathbf{A}\mathbf{V}\end{pmatrix}
の固有値と見なされるときの$0$の代数的重複度と等しくなり、そして（補助定理21.2.1に照らせば）$\gamma_1$は、$\nu_1$に$0$が$\mathbf{V}'\mathbf{A}\mathbf{V}$の固有値と見なされるときの$0$の代数的重複度を足したものと等しい。
> 補助定理21.2.1 (3)$\mathbf{A}$の固有値$\lambda$に対して、($i=1,\dots, r$)に対して$\lambda$を$\mathbf{A}_{ii}$の固有値とみなしたときの代数的重複度を$\gamma^{(i)}$（$\mathbf{A}_{ii}$の固有値でないときは$\gamma^{(i)}=0$）とすると、$\lambda$の$\mathbf{A}$の固有値としての代数的重複度は$\sum_{i=1}^r\gamma^{(i)}$に等しい。

いま、$\nu_1=\gamma_1$とする。そのとき、$0$が$\mathbf{V}'\mathbf{A}\mathbf{V}$の固有値と見なされるときの$0$の代数的重複度は$0$である（$0$は$\mathbf{V}'\mathbf{A}\mathbf{V}$の固有値ではない）。したがって、定理11.3.1より$\mathbf{V}'\mathbf{A}\mathbf{V}$は非特異である。
> 補助定理11.3.1 $\mathbf{A}$を$m\times n$行列とする。このとき、
$$
\operatorname{dim}[\mathcal{N}(\mathbf{A})] = n - \operatorname{rank}(\mathbf{A})
$$
である。すなわち、（$n$次元ベクトル$\mathbf{x}$に関する）同次線形系$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{0}$の解空間の次元は$n - \operatorname{rank}(\mathbf{A})$に等しい。

さらに、
$$
\begin{align}
(\mathbf{U}, \mathbf{V})'\mathbf{A}^2(\mathbf{U}, \mathbf{V}) &=(\mathbf{U}, \mathbf{V})'\mathbf{A}(\mathbf{U}, \mathbf{V}) (\mathbf{U}, \mathbf{V})'\mathbf{A}(\mathbf{U}, \mathbf{V}) \\
&= \begin{pmatrix}\mathbf{0} & \mathbf{U}'\mathbf{A}\mathbf{V} \\ \mathbf{0} & \mathbf{V}'\mathbf{A}\mathbf{V}\end{pmatrix}
^2 \\
&= \begin{pmatrix}\mathbf{0} & \mathbf{U}'\mathbf{A}\mathbf{V}\mathbf{V}'\mathbf{A}\mathbf{V} \\ \mathbf{0} & (\mathbf{V}'\mathbf{A}\mathbf{V})^2\end{pmatrix}
\end{align}
$$
となるため、$\mathbf{A}^2$は$\begin{pmatrix}\mathbf{0} & \mathbf{U}'\mathbf{A}\mathbf{V}\mathbf{V}'\mathbf{A}\mathbf{V} \\ \mathbf{0} & (\mathbf{V}'\mathbf{A}\mathbf{V})^2\end{pmatrix}$と相似である。そして、$(\mathbf{V}'\mathbf{A}\mathbf{V})^2$は非特異であるため、補助定理21.2.1より$\gamma_2=\nu_1$である。不等式(S.2)を思い出すと、定理21.3.4に基づいて$\nu_1 = \gamma_2 \geq \nu_2 \geq \nu_1$と結論づけられ、つまり$\nu_2=\gamma_2=\nu_1$である。

> 不等式(S.2) $\gamma \geq \operatorname{dim}[\mathcal{N}(\mathbf{A}-\lambda\mathbf{I})] = n- \operatorname{rank}(\mathbf{A}-\lambda\mathbf{I})$

>定理21.3.4 $n\times n$行列$\mathbf{A}$の固有値$\lambda$の幾何学的重複度は、代数的重複度以下である

## 13.

$\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2$を$n \times n$行列$\mathbf{A}$の固有ベクトルとする. また$c_1, c_2$を$0$でないスカラーとする. どんな条件の下でベクトル$\mathbf{x}=c_1 \mathbf{x}_1+c_2 \mathbf{x}_2$が$\mathbf{A}$の固有ベクトルとなるか?

----
解.(kaneko)

$\lambda_1$ と $\lambda_2$ を $\mathbf{x}_1$ と $\mathbf{x}_2$に対応する固有値であるとする．このとき定義から $\mathbf{A} \mathbf{x}_1=\lambda_1 \mathbf{x}_1$，$\mathbf{A x}_2=\lambda_2 \mathbf{x}_2$であるから

$$
\mathbf{A x}=c_1 \mathbf{A x}_1+c_2 \mathbf{A x _ { 2 }}=c_1 \lambda_1 \mathbf{x}_1+c_2 \lambda_2 \mathbf{x}_2=\lambda_1 \mathbf{x}+\left(\lambda_2-\lambda_1\right) c_2 \mathbf{x}_2 .
$$

したがって, $\lambda_2=\lambda_1$であるとき $\mathbf{x}$は$\mathbf{A}$の固有ベクトルである （ただし$\mathbf{x}_2=-\left(c_1 / c_2\right) \mathbf{x}_1$である場合には $\mathbf{x}=\mathbf{0}$）.

仮に $\lambda_2 \neq \lambda_1$であるとすると, 定理(21.4.1)から, $\mathbf{x}_1$ と$\mathbf{x}_2$ は線型独立であり, したがって$\mathbf{x}$ と $\mathbf{x}_2$ も線型独立である．よって$\lambda_1 \mathbf{x}+\left(\lambda_2-\lambda_1\right) c_2 \mathbf{x}_2=c \mathbf{x}$ を満たすスカラー$c$は存在しない. 以上から $\lambda_2 \neq \lambda_1$ のとき $\mathbf{x}$ は$\mathbf{A}$の固有ベクトルとなり得ないことがわかる.

## 14.

$\mathbf{A}$を$n \times n$行列とする. そして, $n \times n$非特異行列$\mathbf{Q}$が存在して, 適当な対角行列$\mathbf{D}$に対して$\mathbf{Q}^{-1} \mathbf{A} \mathbf{Q}=\mathbf{D}$となると仮定する. 更に, $i=1, \ldots, n$に対して, $\mathbf{r}_i^{\prime}$を$\mathbf{Q}^{-1}$の第$i$行とする. このとき, 次のことを示せ.
(a)$\mathbf{A}^{\prime}$は$\left(\mathbf{Q}^{-1}\right)^{\prime}$で対角化される.
(b)$\mathbf{D}$の対角要素は$\mathbf{A}^{\prime}$の（必ずしも相異ならない）固有値である.
(c)$\mathbf{r}_1, \ldots, \mathbf{r}_n$は$\mathbf{A}^{\prime}$の固有ベクトルである (ここで$\mathbf{r}_i$は固有値$d_i$に対応する）.

----
解.(齋藤)
(a)
$$
\mathbf{D} = \mathbf{D}' = (\mathbf{Q}^{-1} \mathbf{A} \mathbf{Q})'=　\mathbf{Q}'\mathbf{A}' (\mathbf{Q}^{-1} )' =[(\mathbf{Q}')^{-1}]^{-1}\mathbf{A}' (\mathbf{Q}^{-1} )'
= [(\mathbf{Q}^{-1})']^{-1}\mathbf{A}' (\mathbf{Q}^{-1} )'
$$
なお、最初の変形は$\mathbf{D}$は対角行列であることを用いた。

よって、(5.1)式の形に書き直すことができたため、$\mathbf{A}^{\prime}$は$\left(\mathbf{Q}^{-1}\right)^{\prime}$で対角化される.

(b)

> 定理21.5.1 $\mathbf{A}$を$n \times n$行列とする. そして, $n \times n$非特異行列$\mathbf{Q}$が存在して, 適当な対角行列$\mathbf{D}$に対して$\mathbf{Q}^{-1} \mathbf{A} \mathbf{Q}=\mathbf{D}$となると仮定する. (略)
>次のことが成り立つ。
> (7) $\mathbf{A}$の（必ずしも相異ならない）固有値は、$\mathbf{D}$の対角要素である。
> (8) $\mathbf{Q}$の列は、$\mathbf{A}$の(線型独立な)固有ベクトルである

今、$\mathbf{D}$は対角行列なので、$\mathbf{D} = \mathbf{D}'$であり、定理21.5.1 (7)から、$\mathbf{D}$の対角要素は$\mathbf{A}^{\prime}$の（必ずしも相異ならない）固有値である.

(c)
今、$\mathbf{r}_i^{\prime}$は$\mathbf{Q}^{-1}$の第$i$行なので、$\mathbf{r}_i$は$(\mathbf{Q}^{-1})^{\prime}$の第$i$列である。よって、定理21.5.1 (8)より、$\mathbf{r}_1, \ldots, \mathbf{r}_n$は$\mathbf{A}^{\prime}$の固有ベクトルである.

## 15.

もし$n \times n$非特異行列$\mathbf{A}$が$n \times n$非特異行列$\mathbf{Q}$で対角化されれば, $\mathbf{A}^{-1} \neq \mathbf{Q}$で対角化されることを示せ.

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解.(kumada)
行列$\mathbf{A}$が行列$\mathbf{Q}$で対角化されていると仮定する。
すると、**定理21.5.1**(8)から、行列$\mathbf{Q}$の列は行列$\mathbf{A}$の固有ベクトルである。
したがって、**補題21.1.3**を考慮すると、行列$\mathbf{Q}$の列は行列$\mathbf{A}^{-1}$の固有ベクトルでもある。
**定理21.5.2**を踏まえ、行列$\mathbf{Q}$は行列$\mathbf{A}$と同様に行列$\mathbf{A}^{-1}$も対角化すると結論づけられる。

> **定理 21.5.1.**
> $\mathbf{A}$を$n \times n$行列とする.そして,$n \times n$非特異行列 $\mathbf{Q}$が存在して, 適当な対角行列$\mathbf{D}$ に対して $\mathbf{Q}^{-1} \mathbf{A Q}=\mathbf{D}$となると仮定する. $\mathbf{Q}$の第$1, \ldots, n$列をそれぞれ $\mathbf{q}_1, \ldots, \mathbf{q}_n$で, $\mathbf{D}$の第$1, \ldots, n$対角要素をそれぞれ $d_1, \ldots, d_n$ で表す. このとき,次のことが成り立つ.
(1) $\operatorname{rank}(\mathbf{A})$は$\mathbf{D}$の0でない対角要素の個数に等しい.
(2) $\operatorname{det}(\mathbf{A})=d_1 d_2 \cdots d_n$.
(3) $\operatorname{tr}(\mathbf{A})=d_1+d_2+\cdots+d_n$.
(4) $\mathbf{A}$ の特性多項式は $p(\lambda)=(-1)^n\left(\lambda-d_1\right)\left(\lambda-d_2\right) \cdots\left(\lambda-d_n\right)$である.
(5) $\mathbf{A}$のスペクトルは$\mathbf{D}$ の対角要素に現れる相異なるスカラーから成る.
(6) $\mathbf{A}$の固有值$\lambda$の代数的及び幾何学的重複度は,$\mathbf{D}$ の対角要素の中の$\lambda$の個数に等しい.
(7) A の（必ずしも相異ならない）固有值は,Dの対角要素である.
**(8) $\mathbf{Q}$の列（第$i$列$\mathbf{q}_i$は固有值$d_i$に対応している）は, $\mathbf{A}の（$線形独立な）固有ベクトルである.**

> **定理 21.5.2.**
> $n\times n$行列$\mathbf{A}$ は, $n \times n$非特異行列$\mathbf{Q}$の列が $\mathbf{A}$の（線形独立な）固有ベクトルのときかつそのときに限って, $\mathbf{Q}$で対角化可能である.

> **補助定理 21.1.3.**
> $\lambda$を$n \times n$ 行列 $\mathbf{A}$の固有值,$\mathbf{x}$を $\lambda$に対応する( $\mathbf{A}$ の)任意の固有ベクトルとする. このとき, 次のことが成り立つ. (1)任意の正の整 数 $k$に対して, $\lambda^k$は $\mathbf{A}^k$の固有值であり, $\mathbf{x}$ は $\lambda^k$ に対応する $\mathbf{A}^k$の固有ベク トルである. (2) もし $\mathbf{A}$ が非特異ならば (この場合には $\lambda \neq 0$ である), $1 / \lambda$は$\mathbf{A}^{-1}$ の固有值であり, $\mathbf{x}$ は $1 / \lambda$ に対応する $\mathbf{A}^{-1}$ の固有ベクトルである.

## 16.

$\mathbf{A}$を$n \times n$行列で, スペクトルが$k$個の固有値$\lambda_1, \ldots, \lambda_k$から成るとし, これらの固有値のそれぞれの代数的重複度は$\gamma_1, \ldots, \gamma_k$, その合計は$n$とする.$i=1, \ldots, k$に対して$\operatorname{rank}\left(\mathbf{A}-\lambda_i \mathbf{I}\right)=n-\gamma_i$のときかつそのときに限って, $\mathbf{A}$は対角化可能なことを示せ.

----
解. (Hamada)

$\nu_1, \ldots, \nu_k$ を $\lambda_1, \ldots, \lambda_k$ の幾何学的重複度とすると $\nu_i=n-\text{rank}\left(\mathbf{A}-\lambda_i \mathbf{I}\right) \, (i=1, \ldots, k)$ であるから、
$$
\operatorname{rank}\left(\mathbf{A}-\lambda_i \mathbf{I}\right)=n-\gamma_i \quad\Leftrightarrow\quad \gamma_i=n-\operatorname{rank}\left(\mathbf{A}-\lambda_i \mathbf{I}\right) \quad\Leftrightarrow \quad \nu_i=\gamma_i
$$
である。よって、「$\mathbf{A}$ が対角化可能 $\Leftrightarrow\nu_i=\gamma_i \, (i=1, \ldots, k)$」を示せばよい。

系21.5.4より「$\mathbf{A}$ が対角化可能 $\Leftrightarrow \sum_{i=1}^k \nu_i = n$」である。また、 $\sum_{i=1}^k \gamma_i = n$ であるから系21.3.7より「$\sum_{i=1}^k \nu_i = n \Leftrightarrow \nu_i=\gamma_i \, (i=1, \ldots, k)$」である。よって示された。

> 系 21.5.4.（抜粋） $n \times n$ 行列 $\mathbf{A}$ で, スペクトルがそれぞれ幾何学的重複度 $\nu_1, \ldots, \nu_k$ をもつ $k$ 個の固有值から成るものは, $\sum_{i=1}^k \nu_i=n$ のときかつそのときに限って対角化可能である.

> 系 21.3.7. （抜粋）A を $n \times n$ 行列で, それぞれ代数的重複度 $\gamma_1, \ldots, \gamma_k$ と幾何学的 重複度 $\nu_1, \ldots, \nu_k$ の $k$ 個の相異なる固有值 $\lambda_1, \ldots, \lambda_k$ をもつとする. もし $\sum_{i=1}^k \nu_i=n$ ならば, $\sum_{i=1}^k \gamma_i=n$ である. 更に, もし $\sum_{i=1}^k \nu_i=\sum_{i=1}^k \gamma_i=n$ ならば, $(i=1, \ldots, k$ に対して) $\nu_i=\gamma_i$ である.

## 17.

$\mathbf{A}$を$n \times n$対称行列で, $d_1 \leq d_2 \leq \cdots \leq d_n$の順序に並ベた（必ずしも相異 ならない）固有値$d_1, \ldots, d_n$をもつものとする. また$\mathbf{Q}$を$n \times n$直交行列<s>でが</s>かつ$\mathbf{Q}^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{Q}=\operatorname{diag}\left(d_1, \ldots, d_n\right)$を満たすものとする ―この存在は系$21.5 .9$で保証されている. 更に, $m=2, \ldots, n-1$に対して, $\mathbf{Q}_m=\left(\mathbf{q}_1, \ldots, \mathbf{q}_{m-1}\right)$, $\mathbf{P}_m=\left(\mathbf{q}_{m+1}, \ldots, \mathbf{q}_n\right)$として, $S_m=\left\{\mathbf{x} \in \mathcal{R}^{n \times 1}: \mathbf{x} \neq \mathbf{0}, \mathbf{Q}_m^{\prime} \mathbf{x}=\mathbf{0}\right\}$, $T_m=\left\{\mathbf{x} \in \mathcal{R}^{n \times 1}: \mathbf{x} \neq \mathbf{0}, \mathbf{P}_m^{\prime} \mathbf{x}=\mathbf{0}\right\}$と定義する.$m=2, \ldots, n-1$に対して,

$$
d_m=\min _{\mathbf{x} \in S_m} \frac{\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{x}}{\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{x}}=\max _{\mathbf{x} \in T_m} \frac{\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{x}}{\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{x}}
$$

を示せ.

----
解.(Ogura)

$\mathbf{x}$を$\mathbf{0}$ではない任意の$n \times 1$ベクトル、$\mathbf{y} = \mathbf{Q}'\mathbf{x}$とおく。また、$\mathbf{Q}$と$\mathbf{y}$の分割を$\mathbf{Q} = (\mathbf{Q}_m, \mathbf{R}_m)$、$\mathbf{y} = (\mathbf{y}_1, \mathbf{y}_2)'$ ($\mathbf{y}_1$は$(m - 1) \times 1$ベクトル) とおく。定義より、
$$
\mathbf{x} = \mathbf{Q}\mathbf{y} = \mathbf{Q}_m\mathbf{y}_1 + \mathbf{R}_m\mathbf{y}_2
$$
である。また、$\mathbf{Q}$は直交行列 (i.e., 各行が線形独立) なので、$\mathbf{y}_1 = \mathbf{0} \Leftrightarrow \mathbf{Q}_m\mathbf{y}_1 = \mathbf{0}$。よって、
$$
\mathbf{Q}'_m\mathbf{x} = \mathbf{0} \Leftrightarrow \mathbf{y}_1 = \mathbf{0} \Leftrightarrow \mathbf{x} = \mathbf{R}_m\mathbf{y}_2.
$$
つまり、$\mathbf{x} \in S_m$であることと、$\mathbf{0}$ではない任意のベクトル$\mathbf{y}_2$に対して$\mathbf{x} = \mathbf{R}_m\mathbf{y}_2$が成り立つことは同値である。

今、$\mathbf{x} \in S_m$であるとする。$\mathbf{R}'_m\mathbf{R}_m = \mathbf{I}$より、
$$
\min _{\mathbf{x} \in S_m} \frac{\mathbf{x}'\mathbf{A}\mathbf{x}}{\mathbf{x}'\mathbf{x}} = \min _{\mathbf{y}_2 \neq \mathbf{0}} \frac{(\mathbf{R}_m\mathbf{y}_2)'\mathbf{A}\mathbf{R}_m\mathbf{y}_2}{(\mathbf{R}_m\mathbf{y}_2)'\mathbf{R}_m\mathbf{y}_2} = \min _{\mathbf{y}_2 \neq \mathbf{0}} \frac{\mathbf{y}'_2(\mathbf{R}'_m\mathbf{A}\mathbf{R}_m)\mathbf{y}_2}{\mathbf{y}'_2\mathbf{y}_2}.
$$
定義より、$\mathbf{R}'_m\mathbf{A}\mathbf{R}_m = \operatorname{diag}(d_m, d_{m + 1}, \cdots, d_n)$である。従って、
$$
\min _{\mathbf{x} \in S_m} \frac{\mathbf{x}'\mathbf{A}\mathbf{x}}{\mathbf{x}'\mathbf{x}} = d_m
$$
となる。$\max _{\mathbf{x} \in T_m} \frac{\mathbf{x}'\mathbf{A}\mathbf{x}}{\mathbf{x}'\mathbf{x}} = d_m$についても、同様に示すことができる。

## 18.

$\mathbf{A}$を$n \times n$対称行列とし, $21.5 \mathrm{f}$節と同じ記号を用いる.

> $\mathbf{A}=\sum_{j=1}^k \lambda_j \mathbf{E}_j$ 　　　 (5.5)

$\mathbf{(a)}$ $\mathbf{A}$のスペクトル分解$(5.5)$に現れる行列$\mathbf{E}_1, \ldots, \mathbf{E}_k$は, 次の性質をもつことを示せ.

$\mathbf{(1)}$ $\mathbf{E}_1+\cdots+\mathbf{E}_k=\mathbf{I}$.
$\mathbf{(2)}$ $\mathbf{E}_1, \ldots, \mathbf{E}_k$は$\mathbf{0}$でなく, 対称, 幂等である.
$\mathbf{(3)}$ $t \neq j=1, \ldots, k$に対して, $\mathbf{E}_t \mathbf{E}_j=\mathbf{0}$である.
$\mathbf{(4)}$ $\operatorname{rank}\left(\mathbf{E}_1\right)+\cdots+\operatorname{rank}\left(\mathbf{E}_k\right)=n$.

$\mathbf{(b)}$ $\mathbf{F}_1, \ldots, \mathbf{F}_r$を$\mathbf{0}$でない$n \times n$冪等行列で$\mathbf{F}_1+\cdots+\mathbf{F}_r=\mathbf{I}$を満たすものとする. そして相異なるスカラー$\tau_1, \ldots, \tau_r$が存在して,

$$
\mathbf{A}=\tau_1 \mathbf{F}_1+\cdots+\tau_r \mathbf{F}_r
$$

と仮定する. このとき, $r=k$であり, 最初の$r$個の正の整数の順列$t_1, \ldots, t_r$で, $(j=1, \ldots, r$に対して$) \tau_j=\lambda_{t_j}, \mathbf{F}_j=\mathbf{E}_{t_j}$を満たすものが存在することを示せ.

----
解. (a) (1)
$$
\mathbf{E}_1+\cdots+\mathbf{E}_k=\sum_{j=1}^k \sum_{i \in S_j} \mathbf{q}_i \mathbf{q}_i^{\prime}=\sum_{i=1}^n \mathbf{q}_i \mathbf{q}_i^{\prime}=\mathbf{Q} \mathbf{Q}^{\prime}=\mathbf{I} .
$$
(2) $\mathbf{E}_j=\mathbf{Q}_j \mathbf{Q}_j^{\prime}$ から明らかに$\mathbf{E}_j$は対称である。$\mathbf{Q}_j$は非零なので（系5.3.2により）$\mathbf{E}_j$も非零。

> 系 5.3.2. 任意の$m \times n$行列$\mathbf{A}$に対して, $\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{A}=\mathbf{0}$のときかつそのときに限って, $\mathbf{A}=\mathbf{0}$である.

さらに、$\mathbf{E}_j^2=\mathbf{Q}_j \mathbf{Q}_j^{\prime} \mathbf{Q}_j \mathbf{Q}_j^{\prime}=\mathbf{Q}_j \mathbf{I} \mathbf{Q}_j^{\prime}=\mathbf{Q}_j \mathbf{Q}_j^{\prime}=\mathbf{E}_j$なので、$\mathbf{E}_j$は冪等である。

(3)と(4)は模範解答では定理18.4.1から直ちに導かれると書かれているが、18章を飛ばしたので別の証明を記載する。

(3) $t \neq j$に対して, $\mathbf{E}_t \mathbf{E}_j=\mathbf{Q}_t \mathbf{Q}_t^{\prime} \mathbf{Q}_j \mathbf{Q}_j^{\prime}=\mathbf{Q}_t\mathbf{0}\mathbf{Q}_j=\mathbf{0}$である。

(4) 幾何学的重複度$\nu_j$は$j$番目の固有空間の次元として定義されているから、$\nu_j=\operatorname{rank}\left(\mathbf{E}_j\right)$である。系21.5.8により$\sum_{i=1}^k \nu_i=n$ であるから、題意は示された。

> 系 21.5.8. $\mathbf{A}$ を $n \times n$ 対称行列で, それぞれ代数的重複度 $\gamma_1, \ldots, \gamma_k$ と幾何学的重複度 $\nu_1, \ldots, \nu_k$ の $k$ 個の相異なる固有值 $\lambda_1, \ldots, \lambda_k$ をもつとする. このとき, $\sum_{i=1}^k \gamma_i=\sum_{i=1}^k \nu_i=n,（i=1, \ldots, k$に対して）$\nu_i=\gamma_i$ である.

(b) スペクトル分解の一意性から明らか…と思ったのですが、模範解答では正攻法で証明しているようです。（おそらくスペクトル分解以外にも題意の条件を満たす$\tau_1, \ldots, \tau_r, \mathbf{F}_1, \ldots, \mathbf{F}_r$が存在するんじゃないかという疑念を排除するため。）

定理18.4.1により、$t \neq j=1, \ldots, r$に対して$\mathbf{F}_t \mathbf{F}_j=\mathbf{0}$である。

> 定理 18.4.1. $\mathbf{A}_1, \ldots, \mathbf{A}_k$ を $n \times n$ 行列とし, $\mathbf{A}=\mathbf{A}_1+\cdots+\mathbf{A}_k$ と置く. $\mathbf{A}$ を冪等と仮定する. このとき, 次の 3 つの条件は同值である.
(1) $(j \neq i=1, \ldots, k$ に対して $) \mathbf{A}_i \mathbf{A}_j=\mathbf{0}$ でかつ $(i=1, \ldots, k$ に対して $)$ $\operatorname{rank}\left(\mathbf{A}_i^2\right)=\operatorname{rank}\left(\mathbf{A}_i\right)$.
(2) $(i=1, \ldots, k$ に対して $) \mathbf{A}_i^2=\mathbf{A}_i$.
(3) $\operatorname{rank}\left(\mathbf{A}_1\right)+\cdots+\operatorname{rank}\left(\mathbf{A}_k\right)=\operatorname{rank}(\mathbf{A})$.

そして、$j=1, \ldots, r$に対して
$$
\mathbf{A} \mathbf{F}_j=\tau_1 \mathbf{F}_1 \mathbf{F}_j+\cdots+\tau_r \mathbf{F}_r \mathbf{F}_j=\tau_j \mathbf{F}_j^2=\tau_j \mathbf{F}_j
$$
となる。これは、$\tau_j$が$\mathbf{A}$の固有値で、$\mathbf{F}_j$の非零の列が全て$\tau_j$に対応する固有ベクトルであることを意味している。従って、整数の集合$\left\{1, \ldots, k \right\}$の部分集合$T=\left\{t_1, \ldots, t_r\right\}$であって、（$j=1, \ldots, r$に対して） $\tau_j=\lambda_{t_j}$であるものが存在する（従って、$r \leq k$である）。さらに、

$$
\mathcal{C}\left(\mathbf{E}_{t_j}\right)=\mathcal{C}\left(\mathbf{Q}_{t_j} \mathbf{Q}_{t_j}^{\prime}\right)=\mathcal{C}\left(\mathbf{Q}_{t_j}\right)=\mathcal{N}\left(\mathbf{A}-\lambda_{t_j} \mathbf{I}\right)=\mathcal{N}\left(\mathbf{A}-\tau_j \mathbf{I}\right),
$$

> 系 7.4.5. 任意の行列 $\mathbf{A}$ に対して, $\mathcal{C}\left(\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{A}\right)=\mathcal{C}\left(\mathbf{A}^{\prime}\right), \mathcal{R}\left(\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{A}\right)=\mathcal{R}(\mathbf{A})$, $\operatorname{rank}\left(\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{A}\right)=\operatorname{rank}(\mathbf{A})$ が成り立つ.

であるから、$\mathcal{C}(\mathbf{F}_j) \subset \mathcal{C}(\mathbf{E}_{t_j})$である。従って、ある$n \times n$行列 $\mathbf{L}_j$が存在して、$\mathbf{F}_j =\mathbf{E}_{t_j} \mathbf{L}_j$である。
これを元の式に代入して、
$$
\mathbf{A}=\lambda_{t_1} \mathbf{E}_{t_1} \mathbf{L}_1+\cdots+\lambda_{t_r} \mathbf{E}_{t_r} \mathbf{L}_r,
$$
である。これは、問題(a)と(5.5)式を使うと、($j=1, \ldots, r$に対して )
$$
\lambda_{t_j} \mathbf{E}_{t_j}=\lambda_{t_j} \mathbf{E}_{t_j}^2=\mathbf{E}_{t_j} \mathbf{A}=\lambda_{t_j} \mathbf{E}_{t_j}^2 \mathbf{L}_j=\lambda_{t_j} \mathbf{E}_{t_j} \mathbf{L}_j=\lambda_{t_j} \mathbf{F}_j
\tag{S.3}
$$
を意味している。よって、 $\lambda_{t_j}=0$または$\mathbf{F}_j=\mathbf{E}_{t_j}$であると分かる。

さらに、$j \notin T$であるような $j$ に対しては、
$$
\lambda_j \mathbf{E}_j=\lambda_j \mathbf{E}_j^2=\mathbf{E}_j \mathbf{A}=\mathbf{0},
$$
であり、（$\mathbf{E}_j \neq \mathbf{0}$なので）$\lambda_j=0$である (従って$k \leq r+1$である )と分かる。
証明を完成させるためには、 $r=k$であることと $($ for $j=1, \ldots, r$ に対して) $\mathbf{F}_j=\mathbf{E}_{t_j}$であることを示せば十分である。以下の2つに場合分けして考える。
(1) $j=1, \ldots, r$に対して、$\lambda_{t_j} \neq 0$
(2) ある整数$s(1 \leq s \leq r)$に対して、$\lambda_{t_s}=0$

(1)の場合、(S.3)式より( $j=1, \ldots, r$ に対して) $\mathbf{F}_j=\mathbf{E}_{t_j}$であり、$r=k$である。（そうでないと、$\lambda_s=0$となる整数$s \notin T$に対して、問題(a)を用いると
$$
\mathbf{E}_s=\mathbf{I}-\sum_{j=1}^r \mathbf{E}_{t_j}=\mathbf{I}-\sum_{j=1}^r \mathbf{F}_j=\mathbf{I}-\mathbf{I}=\mathbf{0},
$$
となり、問題 (a)で導いた, $\mathbf{E}_s \neq \mathbf{0}$ と言う性質に矛盾する。）
(2)の場合は明らかに、$r=k$であり、（(S.3)式と問題(a)から）$j \neq s$に対して $\mathbf{F}_j=\mathbf{E}_{t_j}$であり、
$$
\mathbf{F}_s=\mathbf{I}-\sum_{j \neq s} \mathbf{F}_j=\mathbf{I}-\sum_{j \neq s} \mathbf{E}_{t_j}=\mathbf{E}_{t_s} .
$$

## 19.

$\mathbf{A}$を$n \times n$対称行列, $d_1, \ldots, d_n$を$\mathbf{A}$の (必ずしも相異ならない) 固有値とする.$i=1, \ldots, k$に対して$\left|d_i\right|<1$のときかつそのときに限って, $\lim _{k \rightarrow \infty} \mathbf{A}^k=\mathbf{0}$であることを示せ.

----
解.()

## 20.

$\mathbf{(a)}$ もし$0$が必ずしも対称でない$n \times n$行列$\mathbf{A}$の固有値ならば, それは$\mathbf{A}^{+}$の固有値であり, $0$を$\mathbf{A}^{+}$の固有値と見なしたときの幾何学的重複度は$0$を$\mathbf{A}$の固有値と見なしたときと一致することを示せ.
$\mathbf{(b)}$ 正方非対称行列$\mathbf{A}$の$0$でない固有値の逆数は必ずしも$\mathbf{A}^{+}$の固有値でないことを（例を挙げて）示せ.

----
解.(moriwaki)

$\mathbf{(a)}$ 定理20.5.1の$(1)$から任意の行列$\mathbf{A}$に対して$\operatorname{rank}\left(\mathbf{A}^{+}\right)=\operatorname{rank}(\mathbf{A})$が成立する。また定理21.1.1より、$0$が行列$\mathbf{A}$の固有値ならば、$(1.1)$と合わせて$\operatorname{rank}(\mathbf{A}) = n-\dim[\mathcal{N}(\mathbf{A})]$であるため、合わせると$\operatorname{rank}\left(\mathbf{A}^{+}\right)=\operatorname{rank}(\mathbf{A}) \lt n$が成立する。したがって$\mathbf{A}^{+}$もフルランクでないため、$0$を固有値に持つことが示される。

さらに、

$$
n-\dim[\mathcal{N}(\mathbf{A})] = \operatorname{rank}(\mathbf{A}) = \operatorname{rank}(\mathbf{A}^{+})
$$

> 補助定理21.1.1.$n \times n$行列$\mathbf{A}$が特異なときかつそのときに限って, スカラー$0$は$\mathbf{A}$の固有値であり, この場合には, 固有値$0$の幾何学的重複度は$n-\operatorname{rank}(\mathbf{A})$であり, 言い換えると$\operatorname{rank}(\mathbf{A})$は$n$から固有値$0$の幾何学的重複度を引いたものである.

$\mathbf{(b)}$ $n\times n$行列の$\mathbf{A} = \left(\mathbf{1}_{n}, \mathbf{0}\right)$を例として考える（$n\ge 2$）（これは1列目のすべての要素が$1$で、残りの列が$0$の行列である）。これは$\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{A}= \operatorname{diag}(n, 0,0, \ldots, 0)$であり、$n \times n$対角行列$\mathbf{D}=\left\{d_i\right\}$に対して$\mathbf{D}^{+}=\operatorname{diag}\left(d_1^{+}, d_2^{+}, \ldots, d_n^{+}\right)$となることを用いると（下巻P.193）、$\left(\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{A}\right)^{+}=\operatorname{diag}(1 / n, 0,0, \ldots, 0)$である。これより系20.5.5に照らして

$$
\mathbf{A}^{+}=\left(\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{A}\right)^{+} \mathbf{A}^{\prime}=\left(\begin{array}{c}
(1 / n) \mathbf{1}_n^{\prime} \\
0
\end{array}\right) .
$$

が得られる。ここで、$\mathbf{A}$と$\mathbf{A}^{+}$はともに三角行列になっているため、系21.2.2より$\mathbf{A}$の固有値は$0$または$1$である。一方で$\mathbf{A}^{+}$の固有値は$0$と$1 / n$となる。明らかに、$1 / n$は（$n \ge 2$において）$1$の逆数ではない。以上より、題意が示された。

> 系20.5.5. 任意の行列$\mathbf{A}$に対して,$$\mathbf{A}^{+}=\mathbf{A}^{\prime}\left(\mathbf{A} \mathbf{A}^{\prime}\right)^{+}=\left(\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{A}\right)^{+} \mathbf{A}^{\prime}$$である.

> 系21.2.2. 任意の$n \times n$（上あるいは下）三角行列$\mathbf{A}=\left\{a_{i j}\right\}$に対して, 次のことが成り立つ.
(1) $\mathbf{A}$の特性多項式は,$p(\lambda)=(-1)^n \prod_{i=1}^n\left(\lambda-a_{i i}\right)$である.
(2) スカラー$\lambda$が$\mathbf{A}$の対角要素$a_{11}, \ldots, a_{nn}$の少なくとも1つに等しい, すなわち, $\mathbf{A}$のスペクトルが$\mathbf{A}$の対角要素の相異なるスカラーから成るときかつそのときに限って, $\lambda$は$\mathbf{A}$の固有値である.
(3) $\mathbf{A}$の固有値$\lambda$の代数的重複度は, $\mathbf{A}$の対角要素の$\lambda$の個数に等しい.
(4) $\mathbf{A}$の（必ずしも相異ならない) 固有値は, $\mathbf{A}$の対角要素である.

## 21.

$2$で割り切れる任意の整数$n$に対して，固有値をもたない$n \times n$直交行列が存在することを示せ.
（ヒント：固有値をもたない$2 \times 2$直交行列$\mathbf{Q}$を見つけ, 次いでブロック対角行列$\operatorname{diag}(\mathbf{Q}, \mathbf{Q}, \ldots, \mathbf{Q})$を考えよ.)

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解.(Yamashita)
$\mathbf{Q}=\left(\begin{array}{rr}0 & 1 \\ -1 & 0\end{array}\right)$ とする. 明らかに, $\mathbf{Q}$ は直交であり, (21.1 章で示したように) 固有値を持たない. 今, $n \times n$ ブロック対角行列 $\operatorname{diag}(\mathbf{Q}, \mathbf{Q}, \ldots, \mathbf{Q})$ ($n / 2$ 個の対角ブロックを持つ) を考える. この行列は容易に直交することが確認でき, 補助定理 21.2.1 (2) の結果からこれは固有値を持たない.

## 22.

$\mathbf{Q}$を$n \times n$直交行列, $p(\lambda)$を$\mathbf{Q}$の特性多項式とする.$(\lambda \neq 0$に対して$)$

$$
p(\lambda)=\pm \lambda^n p(1 / \lambda)
$$

を示せ.

----
解.(齋藤)
$\lambda$を非零のスカラーとする。このとき、
$$
\mathbf{Q}-\lambda \mathbf{I} = \mathbf{Q}-\lambda \mathbf{Q}\mathbf{Q}^{\prime} = -\lambda \mathbf{Q}[\mathbf{Q}^{\prime}-(1/\lambda) \mathbf{I} ]= -\lambda \mathbf{Q}[\mathbf{Q}-(1/\lambda) \mathbf{I} ]^{\prime}
$$
が成り立つ。

> **定理13.2.1**
> 任意の$n\times n$行列$\mathbf{A}$に対して、
> $|\mathbf{A}^{\prime}| = |\mathbf{A}|$

> **定理13.2.4**
> 任意の$n\times n$行列$\mathbf{A}$と任意のスカラー$k$に対して、
> $|k \mathbf{A}| = k^n |\mathbf{A}|$

> **定理13.3.4**
> 任意の$n\times n$行列$\mathbf{A},\mathbf{B}$に対して、
> $|\mathbf{A}\mathbf{B}| = |\mathbf{A}||\mathbf{B}|$

> **定理13.3.6**
> 直交行列$\mathbf{P}$に対して、
> $|\mathbf{P}| = \pm 1$

以上の定理を用いて
$$
p(\lambda) = |\mathbf{Q}-\lambda \mathbf{I} | = |-\lambda \mathbf{Q}||[\mathbf{Q}-(1/\lambda) \mathbf{I} ]^{\prime}| = (-\lambda)^n |\mathbf{Q} | |\mathbf{Q}-(1/ \lambda) \mathbf{I} | = (-\lambda)^n (\pm 1) p(1/\lambda)
$$
よって題意が満たされた。

## 23.

$\mathbf{A}$を$n \times n$行列とし, スカラー 1 を幾何学的重複度$\nu$の$\mathbf{A}$の固有値と仮定す る.$\nu \leq \operatorname{rank}(\mathbf{A})$であり, もし$\nu=\operatorname{rank}(\mathbf{A})$ならば$\mathbf{A}$は幂等なことを示せ.

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解.(kumada)

系$21.3.8$より、$\nu\leq\operatorname{rank}(\mathbf{A})$は示される。
ここで$\nu=\operatorname{rank}(\mathbf{A})$とすると、$\mathbf{A}$は1以外の非零固有値を持たない。
系$21.5.4$より、$\mathbf{A}$は対角化可能であることが分かる。
従って、定理$21.8.3$の帰結として、$\mathbf{A}$はべき乗であることが分かる。

> **系21.3.8**
> $\mathbf{A}$を $n \times n$ 行列で, 幾何学的重複度がそれぞれ $\nu_1, \ldots, \nu_k$の$k$ 個 の相異なる固有值 $\lambda_1, \ldots, \lambda_k$ をもつとする. このとき, $(\mathbf{A}$の）（ $k$ 個あるいは $k-1$ 個の）0でない相異なる固有值の幾何学的重複度の和は$\operatorname{rank}(\mathbf{A})$以下であり,等号は$\sum_{i=1}^k \nu_i=n$のときかつそのときに限って成り立つ.

> **系21.5.4**
> $n \times n$行列$\mathbf{A}$で， スベクトルがそれぞれ幾何学的重複度$ν_1，...，ν_k$ をもつ$k$個の固有值から成るものは, $\sum_{i=1}^k\nu_i=n$のときかつそのときに限って,すなわち,(A の)$k$個あるいは$k-1$個の0でない相異なる固有值の幾何学的重複度の和が $\operatorname{rank}(\mathbf{A})$のときかつそのときに限って,対角化可能である.

> **定理21.8.3**
> $n \times n$対称行列$\mathbf{A}$, あるいはもっと一般に, $n \times n$対角化可能 な行列$\mathbf{A}$ は, 0あるいは1以外のいかなる固有值ももたないときかつそのときに限って, 冪等行列である.

## 24.

$\mathbf{A}$を$n \times n$非特異行列とする. そして$\lambda$を$\mathbf{A}$の固有値, $\mathbf{x}$を$\lambda$に対応する$\mathbf{A}$の固有ベクトルとする.$|\mathbf{A}| / \lambda$が$\operatorname{adj}(\mathbf{A})$の固有値であり, $\mathbf{x}$が$|\mathbf{A}| / \lambda$に対応す る$\operatorname{adj}(\mathbf{A})$の固有ベクトルであることを示せ.

----
解. (Hamada)

補助定理21.1.3(2)より $1 / \lambda$ は $\mathbf{A}^{-1}$ の固有値であり、それに対応する固有ベクトルは $\mathbf{x}$ である。また系13.5.4より $\text{adj}(\mathbf{A})=|\mathbf{A}| \mathbf{A}^{-1}$ だから、$|\mathbf{A}| / \lambda$ は $\text{adj}(\mathbf{A})$ の固有値であり、それに対応する固有ベクトルは $\mathbf{x}$ である。

> 補助定理21.1.3(2) $\lambda$ を $n \times n$ 行列 $\mathbf{A}$ の固有值, $\mathbf{x}$ を $\lambda$ に対応する $(\mathbf{A}$ の) 任意の固有ベクトルとする. もし $\mathbf{A}$ が非特異ならば（この場合には $\lambda \neq 0$ である), $1 / \lambda$ は $\mathbf{A}^{-1}$ の固有值であり, $\mathbf{x}$ は $1 / \lambda$ に対応する $\mathbf{A}^{-1}$ の固有ベクトルである.

> 系13.5.4 $\mathbf{A}$ が非特異行列ならば $\operatorname{adj}(\mathbf{A})=|\mathbf{A}| \mathbf{A}^{-1}$ である.

## 25.

$\mathbf{A}$を$n \times n$行列, $p(\lambda)$を$\mathbf{A}$の特性多項式とする. そして$\lambda_1, \ldots, \lambda_k$を$\mathbf{A}$の相 異なる固有値, $\gamma_1, \ldots, \gamma_k$をそれらのそれぞれの代数的重複度とする. すなわち, いかなる実根ももたない (次数$n-\sum_{j=1}^k \gamma_j$の) ある多項式$q(\lambda)$に対して,（す ベての$\lambda$に対して)

$$
p(\lambda)=(-1)^n q(\lambda) \prod_{j=1}^k\left(\lambda-\lambda_j\right)^{\gamma_j}
$$

となるとする. 更に, $\mathbf{U}=\left(\mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_{\gamma_1}\right)$を$n \times \gamma_1$行列で, 列$\mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_{\gamma_1}$が$\lambda_1$に対応する$\mathbf{A}$の（必ずしも線形独立でない）固有ベクトルであるもの, $\mathbf{V}=\left(\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_{\gamma_1}\right)$を$n \times \gamma_1$行列で, $\mathbf{V}^{\prime} \mathbf{U}$が対角行列であるものとして, $\mathbf{B}=$$\mathbf{A}-\lambda_1 \mathbf{U V}^{\prime}$と定義する.

$\mathbf{(a)}$ $\mathbf{B}$の特性多項式$r(\lambda)$は，(すべての$\lambda$に対して)

$$
r(\lambda)=(-1)^n q(\lambda) \prod_{i=1}^{\gamma_1}\left[\lambda-\left(1-\mathbf{v}_i^{\prime} \mathbf{u}_i\right) \lambda_1\right] \prod_{j=2}^k\left(\lambda-\lambda_j\right)^{\gamma_j}
$$

であることを示せ.
(ヒント：等式 (E.1) の左辺と右辺は$(\lambda$に関する) 多項式なので, これら が$\lambda_1, \ldots, \lambda_k$以外のすべての$\lambda$に対して等しいことを示せば十分である.)

$\mathbf{(b)}$ 特に, あるスカラー$c \neq 0$に対して$\mathbf{U}^{\prime} \mathbf{V}=c \mathbf{I}$の場合には, $\mathbf{B}$の相異 なる固有値は (ある$s(2 \leq s \leq k)$に対して$(1-c) \lambda_1=\lambda_s$か否かに よって）それぞれ代数的重複度$\gamma_2, \ldots, \gamma_{s-1}, \gamma_s+\gamma_1, \gamma_{s+1}, \ldots, \gamma_k$をもつ$\lambda_2, \ldots, \lambda_{s-1}, \lambda_s, \lambda_{s+1}, \lambda_k$であるか, あるいはそれぞれ代数的重複度$\gamma_1, \gamma_2, \ldots, \gamma_k$をもつ$(1-c) \lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_k$であるかのどちらかであることを示せ.

$\mathbf{(c)}$ 特に$\gamma_1=1$の場合には, 次のことが成り立つことを示せ. (1)$\mathbf{u}_1$は固有値$\left(1-\mathbf{v}_1^{\prime} \mathbf{u}_1\right) \lambda_1$に対応する B の固有ベクトルである．(2)$\left(\left(1-\mathbf{v}_1^{\prime} \mathbf{u}_1\right) \lambda_1\right.$以 外の）固有値$\lambda$に対応する$\mathbf{B}$の任意の固有ベクトル$\mathbf{x}$に対して, ベクトル

$$
\mathbf{x}-\lambda_1\left(\lambda_1-\lambda\right)^{-1}\left(\mathbf{v}_1^{\prime} \mathbf{x}\right) \mathbf{u}_1
$$

は$\lambda$に対応する$\mathbf{A}$の固有ベクトルである.

----
解.(tomita)

(a) $\lambda$ を $\lambda_1, \ldots, \lambda_k$ 以外の任意の実数とする. すると,
$$
(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I}) \mathbf{U}=\mathbf{A} \mathbf{U}-\lambda \mathbf{U}=\left(\lambda_1-\lambda\right) \mathbf{U},
$$
このことから $(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I})^{-1} \mathbf{U}=-\left(\lambda-\lambda_1\right)^{-1} \mathbf{U}$ であることもわかる. 系$18.1 .2$ ( $\left|\mathbf{I}_n+\mathbf{S U}\right|=\left|\mathbf{I}_m+\mathbf{U S}\right|$ ) を用いて,

\begin{aligned}
r(\lambda) & =\left|\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I}-\lambda_1 \mathbf{U V}^{\prime}\right| \\
& =|\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I}|\left|\mathbf{I}-\lambda_1(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I})^{-1} \mathbf{U V}^{\prime}\right|
\end{aligned}

\begin{aligned}
& =p(\lambda)\left|\mathbf{I}_n+\lambda_1\left(\lambda-\lambda_1\right)^{-1} \mathbf{U} \mathbf{V}^{\prime}\right| \\
& =p(\lambda)\left|\mathbf{I}_{\gamma_1}+\lambda_1\left(\lambda-\lambda_1\right)^{-1} \mathbf{V}^{\prime} \mathbf{U}\right| \\
& =p(\lambda) \prod_{i=1}^{\gamma_1}\left[1+\lambda_1\left(\lambda-\lambda_1\right)^{-1} \mathbf{v}_i^{\prime} \mathbf{u}_i\right] \\
& =p(\lambda)\left(\lambda-\lambda_1\right)^{-\gamma_1} \prod_{i=1}^{\gamma_1}\left(\lambda-\lambda_1+\lambda_1 \mathbf{v}_i^{\prime} \mathbf{u}_i\right) \\
& =(-1)^n q(\lambda) \prod_{i=1}^{\gamma_1}\left[\lambda-\left(1-\mathbf{v}_i^{\prime} \mathbf{u}_i\right) \lambda_1\right] \prod_{j=2}^k\left(\lambda-\lambda_j\right)^{\gamma_j}
\end{aligned}

(b) (a) の等式の特殊なケースとして処理できて,
$$
\prod_{i=1}^{\gamma_1}\left[\lambda-\left(1-\mathbf{v}_i^{\prime} \mathbf{u}_i\right) \lambda_1\right]=\left[\lambda-(1-c) \lambda_1\right]^{\gamma_1} .
$$
このことから$\mathbf{B}$の相異 なる固有値は, $(1-c) \lambda_1= \lambda_s$ のとき代数的重複度$\gamma_2, \ldots, \gamma_{s-1}, \gamma_s+\gamma_1, \gamma_{s+1}, \ldots, \gamma_k$をもつ$\lambda_2, \ldots, \lambda_{s-1}, \lambda_s, \lambda_{s+1}, \lambda_k$となり, $\lambda_1 \neq \lambda_s$ のとき代数的重複度$\gamma_1, \gamma_2, \ldots, \gamma_k$をもつ$(1-c) \lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_k$である.

(c) (1)
$$
\mathbf{B u}_1=\mathbf{A} \mathbf{u}_1-\lambda_1 \mathbf{u}_1 \mathbf{v}_1^{\prime} \mathbf{u}_1=\lambda_1 \mathbf{u}_1-\lambda_1\left(\mathbf{v}_1^{\prime} \mathbf{u}_1\right) \mathbf{u}_1=\left(1-\mathbf{v}_1^{\prime} \mathbf{u}_1\right) \lambda_1 \mathbf{u}_1
$$
(2) $\gamma_1=1$ と仮定して, $d=\lambda_1\left(\lambda_1-\lambda\right)^{-1} \mathbf{v}_1^{\prime} \mathbf{x}$とおく. 定義から $\mathbf{B x}=\lambda \mathbf{x}$なので,
$$
\left(\mathbf{A}-\mathbf{A} \mathbf{u}_1 \mathbf{v}_1^{\prime}\right) \mathbf{x}=\left(\mathbf{A}-\lambda_1 \mathbf{u}_1 \mathbf{v}_1^{\prime}\right) \mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}
$$
よって
$$
\mathbf{A}\left[\mathbf{x}-\left(\mathbf{v}_1^{\prime} \mathbf{x}\right) \mathbf{u}_1\right]=\lambda \mathbf{x}
$$
したがって,最終的に求めたい固有ベクトルの式形にして,
$$
\mathbf{A}\left(\mathbf{x}-d \mathbf{u}_1\right)=\mathbf{A}\left[\mathbf{x}-\left(\mathbf{v}_1^{\prime} \mathbf{x}\right) \mathbf{u}_1+\left(\mathbf{v}_1^{\prime} \mathbf{x}\right) \mathbf{u}_1-d \mathbf{u}_1\right]=\lambda \mathbf{x}-\left(d-\mathbf{v}_1^{\prime} \mathbf{x}\right) \lambda_1 \mathbf{u}_1 .
$$
さらに, $\lambda_1 d-\lambda d=\left(\lambda_1-\lambda\right) d=\lambda_1 \mathbf{v}_1^{\prime} \mathbf{x}$, であるから $\left(d-\mathbf{v}_1^{\prime} \mathbf{x}\right) \lambda_1=\lambda d$ といえる. したがって
$$
\mathbf{A}\left(\mathbf{x}-d \mathbf{u}_1\right)=\lambda\left(\mathbf{x}-d \mathbf{u}_1\right) .
$$
また, $\mathbf{x}-d \mathbf{u}_1 \neq \mathbf{0}$ ($\mathbf{x}$ と $\mathbf{u}_1$ は異なる固有値に対応するBの固有ベクトルであることから、定理21.4.1に照らし合わせると, $\mathbf{x}$ と $\mathbf{u}_1$ は線形独立であり, $\mathbf{x}-d \mathbf{u}_1$ は $\mathbf{A}$ の $\lambda$　に対する固有ベクトルである.

## 26.

$\mathbf{A}$を階数$r$の$m \times n$行列とする. そして, $\mathbf{P}$を$m \times m$直交行列, $\mathbf{D}_1$を$r \times r$非特異対角行列で,

$$
\mathbf{P}^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{A}^{\prime} \mathbf{P}=\left(\begin{array}{cc}
\mathbf{D}_1^2 & \mathbf{0} \\
\mathbf{0} & \mathbf{0}
\end{array}\right)
$$

を満たす任意のものとする. 更に, $\mathbf{P}=\left(\mathbf{P}_1, \mathbf{P}_2\right)$と分割し, $\mathbf{P}_1$は$r$個の列をもつとする. また, $\mathbf{Q}_1=\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{P}_1 \mathbf{D}_1^{-1}$と置き, $\mathbf{Q}_2$は$n \times(n-r)$行列で$\mathbf{Q}_1^{\prime} \mathbf{Q}_2=\mathbf{0}$を満たすものとして, $\mathbf{Q}=\left(\mathbf{Q}_1, \mathbf{Q}_2\right)$と置く. このとき,

$$
\mathbf{P}^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{Q}=\left(\begin{array}{cc}
\mathbf{D}_1 & \mathbf{0} \\
\mathbf{0} & \mathbf{0}
\end{array}\right)
$$

を示せ.

----
解. (Ogura)

定理21.12.1の$\mathbf{A}$を$\mathbf{A}'$に、$n$を$m$に、$\mathbf{Q}$を$\mathbf{P}$に、$\mathbf{P}$を$\mathbf{Q}$にそれぞれ置き換えることで、
$$
\mathbf{Q}'\mathbf{A}'\mathbf{P} = \left(\begin{array}{cc}
\mathbf{D}_1 & \mathbf{0} \\
\mathbf{0} & \mathbf{0}
\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}
\mathbf{D}_1 & \mathbf{0} \\
\mathbf{0} & \mathbf{0}
\end{array}\right)' = (\mathbf{Q}'\mathbf{A}'\mathbf{P})' = \mathbf{P}'\mathbf{A}\mathbf{Q}
$$
を示すことができる。

## 27.

分解 (12.7) に現れる行列$\mathbf{U}_1, \ldots, \mathbf{U}_k$は, $(j=1, \ldots, k$に対して$) \mathbf{U}_j \mathbf{U}_j^{\prime} \mathbf{U}_j=$$\mathbf{U}_j$で, $(t \neq j=1, \ldots, k$に対して$) \mathbf{U}_t^{\prime} \mathbf{U}_j=\mathbf{0}, \mathbf{U}_t \mathbf{U}_j^{\prime}=\mathbf{0}$であることを示せ.

----
解.()

## 28.

$\mathbf{A}$を$m \times n$行列とする. そして, 定理 21.12.3におけるように, $\mathbf{P}$を$m \times m$直交行列, $\mathbf{Q}$を$n \times n$直交行列, $\mathbf{D}_1$を$r \times r$非特異対角行列で,

$$\mathbf{P}^{\prime} \mathbf{A Q}=\begin{pmatrix}\mathbf{D}_1 & \mathbf{0} \\\mathbf{0} & \mathbf{0}\end{pmatrix} \tag{12.8}$$

を満たすものとする. 更に, $\mathbf{P}=\left(\mathbf{P}_1, \mathbf{P}_2\right), \mathbf{Q}=\left(\mathbf{Q}_1, \mathbf{Q}_2\right)$と分割し, 行列$\mathbf{P}_1$, $\mathbf{Q}_1$の各々は$r$個の列をもつとする.このとき, $\mathcal{C}(\mathbf{A})=\mathcal{C}\left(\mathbf{P}_1\right), \mathcal{N}(\mathbf{A})=\mathcal{C}\left(\mathbf{Q}_2\right)$を示せ.

> 定理21.12.3 $\mathbf{A}$ を $m \times n$ 行列とする. また, $\mathbf{P}$ を $m \times m$ 直交行列, $\mathbf{Q}$ を $n \times n$ 直交行列, $\mathbf{D}_1$ を $r \times r$ 非特異対角行列で,$$\mathbf{P}^{\prime} \mathbf{A Q}=\begin{pmatrix}\mathbf{D}_1 & \mathbf{0} \\\mathbf{0} & \mathbf{0}\end{pmatrix} \tag{12.8}$$を満たすものとする. 更に, $\mathbf{P}=\left(\mathbf{P}_1, \mathbf{P}_2\right), \mathbf{Q}=\left(\mathbf{Q}_1, \mathbf{Q}_2\right)$ と分割し, 行列$\mathbf{P}_1$, $\mathbf{Q}_1$の各々は$r$個の列をもつとする. このとき$$r=\operatorname{rank}(\mathbf{A})\tag{12.9}$$$$\mathbf{Q}^{\prime} \mathbf{A}^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{Q}=\begin{pmatrix}\mathbf{D}_1^2 & \mathbf{0} \\\mathbf{0} & \mathbf{0}\end{pmatrix}\tag{12.10}$$ $$\mathbf{P}^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{A}^{\prime} \mathbf{P}=\begin{pmatrix}\mathbf{D}_1^2 & \mathbf{0} \\\mathbf{0} & \mathbf{0}\end{pmatrix} \tag{12.11}$$ $$\mathbf{P}_1=\mathbf{A} \mathbf{Q}_1 \mathbf{D}_1^{-1}\tag{12.12}$$ $$\mathbf{Q}_1=\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{P}_1 \mathbf{D}_1^{-1}\tag{12.13}$$である.

----
解.(moriwaki)

$\mathcal{C}(\mathbf{A})=\mathcal{C}\left(\mathbf{P}_1\right)$を示すためには$\mathcal{C}(\mathbf{A})\subset\mathcal{C}\left(\mathbf{P}_1\right)$と$\mathcal{C}(\mathbf{A})\supset\mathcal{C}\left(\mathbf{P}_1\right)$が両方成立することを示せば良い。前半は問題文から（あるいは$(12.4)$と$(12.5)$と同じく）

$$
\mathbf{A}=\mathbf{P}\begin{pmatrix}
\mathbf{D}_1 & \mathbf{0} \\
\mathbf{0} & \mathbf{0}
\end{pmatrix} \mathbf{Q}^{\prime}=\mathbf{P}_1 \mathbf{D}_1 \mathbf{Q}_1^{\prime},
$$

であるから、補助定理4.2.2から$\mathcal{C}(\mathbf{A}) \subset \mathcal{C}\left(\mathbf{P}_1\right)$である。さらに、後半は$(12.12)$の結果を用いると同様に$\mathcal{C}\left(\mathbf{P}_1\right) \subset \mathcal{C}(\mathbf{A})$であることが導ける。よって$\mathcal{C}(\mathbf{A})=\mathcal{C}\left(\mathbf{P}_1\right)$が示された。

$\mathcal{N}(\mathbf{A})=\mathcal{C}\left(\mathbf{Q}_2\right)$の証明について、まず$\mathbf{Q}^{\prime} \mathbf{Q} = \begin{pmatrix}\mathbf{Q}^{\prime}_{1} \\ \mathbf{Q}^{\prime}_{2}\end{pmatrix}(\mathbf{Q}_{1}, \mathbf{Q}_{2})$について、$\mathbf{Q}$は$n \times n$直交行列であるから$\mathbf{Q}^{\prime} \mathbf{Q} = \mathbf{I}_{n}$なので

$$
\mathbf{I}_n=\mathbf{Q}^{\prime} \mathbf{Q} =
\begin{pmatrix}
\mathbf{Q}_1^{\prime} \mathbf{Q}_1 & \mathbf{Q}_1^{\prime} \mathbf{Q}_2 \\
\mathbf{Q}_2^{\prime} \mathbf{Q}_1 & \mathbf{Q}_2^{\prime} \mathbf{Q}_2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\mathbf{I}_r & \mathbf{0} \\
\mathbf{0} & \mathbf{I}_{n-r}
\end{pmatrix}
$$

つまり$\mathbf{Q}_1^{\prime} \mathbf{Q}_2=\mathbf{0}$となる（また$\operatorname{rank}(\mathbf{Q}_{2})=n-r$である）。これより,

$$
\mathbf{A} \mathbf{Q}_2=\mathbf{P}_1 \mathbf{D}_1 \mathbf{Q}_1^{\prime} \mathbf{Q}_2=\mathbf{0}
$$

これと$(12.9)$の結果を用いて、

$$
\operatorname{rank}\left(\mathbf{Q}_2\right)=n-r=n-\operatorname{rank}(\mathbf{A})
$$

以上で、補助定理11.4.1の(2)を用いて$\mathcal{N}(\mathbf{A})=\mathcal{C}\left(\mathbf{Q}_2\right)$が得られる。

> 補助定理 11.4.1. $\mathbf{A}$を$m \times n$ 行列, $\mathbf{X}$を$n \times p$行列とする. このとき, (1) もし$\mathbf{A X}=\mathbf{0}$ならば, $\mathcal{C}(\mathbf{X}) \subset \mathcal{N}(\mathbf{A})$である. (2) もし$\mathbf{A X}=\mathbf{0}$かつ$\operatorname{rank}(\mathbf{X})= n- \operatorname{rank}(\mathbf{A})$ならば, $\mathcal{C}(\mathbf{X}) = \mathcal{N}(\mathbf{A})$である。

## 29.

$\mathbf{A}_1, \ldots, \mathbf{A}_k$は必ずしも対称でない$n \times n$行列で各々が対角化可能とする. もし$\mathbf{A}_1, \ldots, \mathbf{A}_k$が対として可換ならば, $\mathbf{A}_1, \ldots, \mathbf{A}_k$は同時対角化可能なことを示せ.

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解.()

## 30.

$\mathbf{V}$を$n \times n$対称非負定値行列, $\mathbf{X}$を階数$r$の$n \times p$行列, $\mathbf{d}$を$p$次元列ベクトルとする．練習問題$19.11$の結果（あるいは他のもの）を用いて，あらゅる$\mathbf{d} \in \mathcal{C}\left(\mathbf{X}^{\prime}\right)$に対して, $\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{a}=\mathbf{d}$の下で$\left(\mathbf{a}\right.$に関する）二次形式$\mathbf{a}^{\prime} \mathbf{V a}$を最小にする問題について, 次の3つの条件の各々はベクトル$\mathbf{X}\left(\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{X}\right)^{-} \mathbf{d}$が解であるために必要十分であることを示せ.

$\mathbf{(a)}$ $\mathbf{V}, \mathbf{P}_{\mathbf{x}}$を同時に対角化する直交行列が存在する.
$\mathbf{(b)}$ $\mathbf{V}$の正規直交固有ベクトルの$r$個の部分集合で$\mathcal{C}(\mathbf{X})$の基底を成すものが存在する.
$\mathbf{(c)}$ $\mathbf{V}$の固有ベクトルの$r$個の部分集合で$\mathcal{C}(\mathbf{X})$の基底を成すものが存在する.

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(a) 定理12.3.4 (3) から$\mathbf{P}_{\mathbf{X}}$ は対称である. このとき系$21.13 .2$の結果から, $\mathbf{P}_{\mathbf{X}} \mathbf{V}=\mathbf{V}\mathbf{P}_{\mathbf{X}}$ であるときかつその時に限って$\mathbf{V}$ と $\mathbf{P}_{\mathbf{X}}$を同時に対角化する直行行列が存在する. また練習問題$19.11$の結果(c)から$\mathbf{V}$ と $\mathbf{P}_{\mathbf{X}}$を同時に対角化する直行行列が存在することは$\mathbf{X}\left(\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{X}\right)^{-} \mathbf{d}$があらゆる$\mathbf{d} \in \mathcal{C}\left(\mathbf{X}^{\prime}\right)$に対して, $\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{a}=\mathbf{d}$の下で$\left(\mathbf{a}\right.$に関する）二次形式$\mathbf{a}^{\prime} \mathbf{V a}$を最小にする問題の解となるための必要十分条件である．

> 定理(12.3.4)
(3) $\mathbf{X}$ を任意の $n \times p$ 行列とする. このとき$\mathbf{P}_{\mathbf{X}}^{\prime}=\mathbf{P}_{\mathbf{X}}$, すなわち, $\mathbf{P}_{\mathbf{X}}$ は対称である. つまり, $\mathbf{X}\left[\left(\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{X}\right)^{-}\right]^{\prime} \mathbf{X}^{\prime}=$ $\mathbf{X}\left(\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{X}\right)^{-} \mathbf{X}^{\prime}$ である.

> 系 21.13.2.
もし 2 つの $n \times n$ 行列 $\mathbf{A}, \mathbf{B}$ が同時対角化可能ならば, これらは可換, すなわち, $\mathbf{B A}=\mathbf{A B}$ である. もし 2 つの $n \times n$ 対称行列 $\mathbf{A}, \mathbf{B}$ が可 換（すなわち, これらの積 $\mathbf{A B}$ が対称）ならば, これらは直交行列で同時対角化可能, すなわち, $n \times n$ 直交行列 $\mathbf{P}$ が存在して, 適当な対角行列 $\mathbf{D}_1, \mathbf{D}_2$ に対して, $\mathbf{P}^{\prime} \mathbf{A P}=\mathbf{D}_1, \mathbf{P}^{\prime} \mathbf{B P}=\mathbf{D}_2$ となる.

> 11. $\mathbf{V}$ を $n \times n$ 対称非負定值行列, $\mathbf{X}$ を $n \times p$ 行列, $\mathbf{d}$ を $p$ 次元列ベクトルとする. あらゆる $\mathbf{d} \in \mathcal{C}\left(\mathbf{X}^{\prime}\right)$ に対して, $\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{a}=\mathbf{d}$ の下で ( $\mathbf{a}$ に関する) 二次形式 $\mathbf{a}^{\prime} \mathbf{V a}$ を最小にする問題について, 次の 6 つの条件の各々はベクトル $\mathbf{X}\left(\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{X}\right)^{-} \mathbf{d}$ が解 であるために必要十分であることを示せ.
(a) $\mathcal{C}(\mathbf{V X}) \subset \mathcal{C}(\mathbf{X})$ (すなわち, ある行列 $\mathbf{Q}$ に対して $\mathbf{V X}=\mathbf{X} \mathbf{Q}$ ）.
(b) $\mathbf{P}_{\mathbf{x}} \mathbf{V}\left(\mathbf{I}-\mathbf{P}_{\mathbf{x}}\right)=\mathbf{0}$ (すなわち, $\mathbf{P}_{\mathbf{x}} \mathbf{V}=\mathbf{P}_{\mathbf{x}} \mathbf{V} \mathbf{P}_{\mathbf{x}}$ ).
(c) $P_{\mathbf{x}} \mathbf{V}=\mathbf{V P}_{\mathbf{x}}$ (すなわち, $\mathbf{P}_{\mathbf{x}} \mathbf{V}$ は対称).
(d) $\mathcal{C}(\mathbf{V P} \mathbf{x}) \subset \mathcal{C}(\mathbf{P} \mathbf{x})$
(e) $\mathcal{C}(\mathbf{V P} \mathbf{x})=\mathcal{C}(\mathbf{V}) \cap \mathcal{C}(\mathbf{P} \mathbf{x})$.
(f) $\mathcal{C}(\mathbf{V X})=\mathcal{C}(\mathbf{V}) \cap \mathcal{C}(\mathbf{X})$.

## 31.

$\mathbf{A}$を$n \times n$対称行列, $\mathbf{B}$を$n \times n$対称正定値行列とする. そして$\lambda_{\max }, \lambda_{\min }$が それぞれ$|\mathbf{A}-\lambda \mathbf{B}|$の最大, 最小の根とする.$\mathcal{R}^n$のあらゆるベクトル$\mathbf{x} \neq 0$に対して

$$
\lambda_{\min } \leq \frac{\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{x}}{\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{B x}} \leq \lambda_{\max }
$$

を示せ.

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解.(Yamashita)
$\mathbf{S}$ は $\mathbf{B}=\mathbf{S}^{\prime} \mathbf{S}$ を満たす $n \times n$ 非特異行列とし, ($\mathbf{B}^{-1}=\mathbf{R}^{\prime} \mathbf{R}$ となるように) $\mathbf{R}=\left(\mathbf{S}^{-1}\right)^{\prime}$, $\mathbf{C}=\mathbf{R A} \mathbf{R}^{\prime}$ とする. このとき, 式 (14.7) の結果より, $\lambda_{\max }$ と $\lambda_{\min }$ はそれぞれ最大, 最小の $\mathbf{C}$ の固有値である.
また, 定理 21.5.6 より, $\mathcal{R}^n$ 上の任意の非零ベクトル $y$ に対して,
$$
\lambda_{\min } \leq \frac{\mathbf{y}^{\prime} \mathbf{C} \mathbf{y}}{\mathbf{y}^{\prime} \mathbf{y}} \leq \lambda_{\max }
$$
が成り立つ.
ここで, $\mathbf{x}$ は $\mathcal{R}^n$ 上の任意の非零ベクトルを表し, $\mathbf{y}=\mathbf{S x}$ とする. このとき, $\mathbf{y}$ 非零であり, また,
$$
\frac{\mathbf{y}^{\prime} \mathbf{C y}}{\mathbf{y}^{\prime} \mathbf{y}}=\frac{\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{S}^{\prime} \mathbf{C S x}}{\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{S}^{\prime} \mathbf{S x}}=\frac{\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{A x}}{\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{B x}} .
$$
である. ゆえに,
$$
\lambda_{\min } \leq \frac{\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{A x}}{\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{B x}} \leq \lambda_{\max }
$$
を得る.
> 式 (14.7)
$$|\mathbf{A}-\lambda \mathbf{B}|=|\mathbf{R}|^{-2}|\mathbf{C}-\lambda \mathbf{I}|=|\mathbf{B}|\left|\mathbf{A} \mathbf{B}^{-1}-\lambda \mathbf{I}\right|=|\mathbf{B}|\left|\mathbf{B}^{-1} \mathbf{A}-\lambda \mathbf{I}\right|$$

>定理 21.5.6.
$\mathbf{A}$ を $n \times n$ 行列とする. このとき, ベクトル $\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2 \neq 0$ が存在して, $\mathcal{R}^n$ の中のあらゆるべクトル $\mathbf{x} \neq 0$ に対して
$$
\frac{\mathbf{x}_1^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{x}_1}{\mathbf{x}_1^{\prime} \mathbf{x}_1} \leq \frac{\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{x}}{\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{x}} \leq \frac{\mathbf{x}_2^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{x}_2}{\mathbf{x}_2^{\prime} \mathbf{x}_2}
$$
(すなわち, $\mathbf{x}_1^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{x}_1 / \mathbf{x}_1^{\prime} \mathbf{x}_1=\min _{\mathbf{x} \neq \mathbf{0}} \mathbf{x}^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{x} / \mathbf{x}^{\prime} \mathbf{x}, \mathbf{x}_2^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{x}_2 / \mathbf{x}_2^{\prime} \mathbf{x}_2=\max _{\mathbf{x} \neq \mathbf{0}} \mathbf{x}^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{x} / \mathbf{x}^{\prime} \mathbf{x}$ ) となる. 更に, もし $\mathbf{A}$ が対称ならば, $\mathbf{x}_1^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{x}_1 / \mathbf{x}_1^{\prime} \mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{x}_2 / \mathbf{x}_2^{\prime} \mathbf{x}_2$ は $\mathbf{A}$ の固有値であり, 実際, これらはそれぞれ $\mathbf{A}$ の最小と最大の固有値である. そして $\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2$ は, それぞれ $\mathbf{x}_1^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{x}_1 / \mathbf{x}_1^{\prime} \mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{x}_2 / \mathbf{x}_2^{\prime} \mathbf{x}_2$ に対応する固有べクトルである.

## 32.

$\mathbf{A}$を$n \times n$対称行列, $\mathbf{B}$を$n \times n$対称正定値行列とする.$\mathbf{A}-\mathbf{B}$は, $|\mathbf{A}-\lambda \mathbf{B}|$の$n$個の（必ずしも相異ならない）根がすべて 1 以上のときかつそのときに限って, 非負定値であり, $n$個の根がすべて 1 より（狭義に）大きいときかつそのときに限って, 正定値であることを示せ.

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解.(齋藤)
$d_1, \cdots d_n$を$|\mathbf{A}-\lambda \mathbf{B}|$の$n$個の（必ずしも相異ならない）根とする。そして、$\mathbf{S}$を、$\mathbf{B} = \mathbf{S}^{\prime}\mathbf{S}$となる$n \times n$の非特異行列とし、$\mathbf{R}= (\mathbf{S}^{-1})^{\prime}$、つまり$\mathbf{B}^{-1} = \mathbf{R}^{\prime}\mathbf{R}$とし、$\mathbf{C} = \mathbf{R}^{\prime}\mathbf{A}\mathbf{R}$とする。

そして、(14.7)の結果から、$\mathbf{C}$（の必ずしも相異ならない）