# 第9章 練習問題

## 1.

$\mathbf{A}$を任意の$m \times n$行列，$\mathbf{B}$を$m \times p$行列とする.もし適当な$n \times m$行列$\mathbf{H}$に対して$\mathbf{AHB} = \mathbf{B}$ならば，$\mathbf{A}$のあらゆる一般逆行列$\mathbf{G}$に対して$\mathbf{AGB} = \mathbf{B}$であることを示せ.

----

解.
$\mathbf{AHB} = \mathbf{B}$を仮定すると、$\mathbf{A}$のあらゆる一般逆行列$\mathbf{G}$に対して$\mathbf{AGA}=\mathbf{A}$であることを用いると、$\mathbf{A G B}=\mathbf{A G A H B}=\mathbf{A H B}=\mathbf{B}$となる。

## 2.

$\mathbf{(a)}$$\mathbf{A}$を$m \times n$行列とする.$\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{X}=\mathbf{A}^{\prime}$を満たす任意の$n \times m$行列$\mathbf{X}$が$\mathbf{A}$の一般逆行列であり，同様に$\mathbf{AA^{\prime}Y^{\prime}} = \mathbf{A}$を満たす任意の$n\times m$行列$\mathbf{Y}$が$\mathbf{A}$の一般逆行列であることを示せ.
$\mathbf{(b)}$$\mathbf{(a)}$と系7.4.2を共に用いて系9.1.4と同じ結論を導け.

----

解.
定義より$\mathbf{X}$が$\mathbf{A}$の一般逆行列であるということは、$\mathbf{AXA} = \mathbf{A}$が成立することである。同様に$\mathbf{Y}$についても$\mathbf{AYA} = \mathbf{A}$である。

$\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{X}=\mathbf{A}^{\prime}$を仮定する時、$\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{A}\mathbf{X}\mathbf{A}$を計算すると

$$
\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{A}\mathbf{X}\mathbf{A} = \mathbf{A}^{\prime}\mathbf{A}
$$

である。ここで系5.3.3

>系5.3.3. (1) 任意の$m \times n$行列$\mathbf{A}$と$n \times p$行列$\mathbf{B}, \mathbf{C}$に対して,$\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{A B}= \mathbf{A}^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{C}$であるときかつそのときに限って,$\mathbf{A B}=\mathbf{A} \mathbf{C}$である. (2) 同様に, 任意の$m \times n$行列$\mathbf{A}$と$p \times n$行列$\mathbf{B}, \mathbf{C}$に対して,$\mathbf{B A}^{\prime} \mathbf{A}=\mathbf{C A}^{\prime} \mathbf{A}$であるときかつそのときに限って,$\mathbf{B A}^{\prime}=\mathbf{C A}^{\prime}$である.

から$\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{A}\mathbf{X}\mathbf{A} = \mathbf{A}^{\prime}\mathbf{A}$であるときかつその時に限って、$\mathbf{AXA}=\mathbf{A}$、すなわち、$\mathbf{X}$が$\mathbf{A}$の一般逆行列である。以上から示された。

同様にして$\mathbf{AA}^{\prime}\mathbf{Y}^{\prime} = \mathbf{A}$を仮定して$\mathbf{AA}^{\prime}\mathbf{Y}^{\prime}\mathbf{A}^{\prime}$を計算すると、$\mathbf{AA}^{\prime}\mathbf{Y}^{\prime}\mathbf{A}^{\prime} = \mathbf{AA}^{\prime}$と変形でき、系5.3.3より、これが成立する時かつその時に限って

$$
\mathbf{A}^{\prime}\mathbf{Y}^{\prime}\mathbf{A}^{\prime} = \mathbf{A}^{\prime}
$$

となる。これは両辺の転置を取れば$\mathbf{AYA} = \mathbf{A}$であるから、$\mathbf{Y}$は$\mathbf{A}$は一般逆行列である。以上から示された。

$\mathbf{(b)}$

系7.4.2の主張

> 系7.4.2. 任意の行列$\mathbf{A}$に対して，($\mathbf{X}$に関する)線形系$\mathbf{A}^{\prime}\mathbf{AX} = \mathbf{A}^{\prime}$は無矛盾である.

から、$\mathbf{A}^{\prime}\mathbf{AX} = \mathbf{A}^{\prime}$を満たす$\mathbf{X}$は少なくとも1つの解を持つことが示される。$\mathbf{(a)}$の結果からこの$\mathbf{X}$は$\mathbf{A}$の一般逆行列であることが示されているので、

> 系9.1.4 あらゆる行列は少なくとも1つの一般逆行列をもつ.

の結論が得られる。

$\mathbf{AA^{\prime}Y^{\prime}} = \mathbf{A}$の場合、系5.3.3より

$$
\begin{aligned}
\mathbf{AA^{\prime}Y^{\prime}} = \mathbf{A} &\iff (\mathbf{AA^{\prime}Y^{\prime}})^{\prime} = (\mathbf{A})^{\prime} \\
&\iff \mathbf{YAA}^{\prime} = \mathbf{A}^{\prime} \\
&\iff \mathbf{A}^{\prime}\mathbf{AYAA}^{\prime} = \mathbf{A}^{\prime}\mathbf{AA}^{\prime} \\
&\iff \mathbf{A}^{\prime}\mathbf{AY} = \mathbf{A}^{\prime}
\end{aligned}
$$

であるから、$\mathbf{A}^{\prime}\mathbf{AX} = \mathbf{A}^{\prime}$と同型になるので、系7.4.2に当てはめれば同じ結論が得られる。

## 3.

$\mathbf{A}$を$\mathbf{0}$でない$m \times n$行列，$\mathbf{B}$を最大列階数の行列，$\mathbf{T}$を$\mathbf{A} = \mathbf{BT}$を満たす最大行階数の行列，$\mathbf{L}$を$\mathbf{B}$の左逆行列，$\mathbf{R}$を$\mathbf{T}$の右逆行列とする.
$\mathbf{(a)}$行列$\mathbf{R}\left(\mathbf{B}^{\prime} \mathbf{B}\right)^{-1} \mathbf{R}^{\prime}$が行列$\mathbf{A^{\prime}A}$の一般逆行列であり，行列$\mathbf{L}\left(\mathbf{T}^{\prime} \mathbf{T}\right)^{-1} \mathbf{L}^{\prime}$が行列$\mathbf{AA}^{\prime}$の一般逆行列であることを示せ.
$\mathbf{(b)}$もし$\mathbf{A}$が対称ならば，行列$\mathbf{R}\left(\mathbf{T}\mathbf{B}\right)^{-1} \mathbf{L}$が行列$\mathbf{A}^{2}$の一般逆行列であることを示せ. (もし$\mathbf{A}$が対称ならば，$\mathbf{TB}$が非特異であることが練習問題8.3の結果より導かれる.).

----

題意より、$\mathbf{A=BT}$、$\mathbf{LB=I}$、$\mathbf{TR=I}$である。
愚直に計算しても計算量はあまり変わらないが、せっかくなので本文中の補助定理を用いる。

> 補助定理9.2.8. $\mathbf{A}$を最大列階数をもつ行列，$\mathbf{B}$を最大行階数をもつ行列とする.このとき，次のことが成り立つ. (1) 行列$\mathbf{G}$は，$\mathbf{G}$が$\mathbf{A}$の左逆行列のときかつそのときに限って，$\mathbf{A}$の一般逆行列である. (2)行列$\mathbf{G}$は，$\mathbf{G}$が$\mathbf{B}$の右逆行列のときかつそのときに限って，$\mathbf{B}$の一般逆行列である.

> 補助定理9.2.9. もし$\mathbf{A}$が最大列階数をもつならば，行列$(\mathbf{A}^{\prime}\mathbf{A})^{-1}\mathbf{A}^{\prime}$は$\mathbf{A}$の左逆行列である.同様に，もし$\mathbf{A}$が最大行階数をもつならば，$\mathbf{A}^{\prime}(\mathbf{AA}^{\prime})^{-1}$は$\mathbf{A}$の右逆行列である.

* (a)の前半部分の証明

$\mathbf{B}$が最大列階数なので、補助定理9.2.8と補助定理9.2.9により、$(\mathbf{B'B})^{-1}\mathbf{B}'$は$\mathbf{B}$の一般逆行列になる。

$$
\begin{aligned}
&\mathbf{B}(\mathbf{B}'\mathbf{B})^{-1}\mathbf{B}'\mathbf{B}=\mathbf{B}
\end{aligned}
$$

$\mathbf{T}$を右から掛けると、

$$
\begin{aligned}
&\mathbf{B}(\mathbf{B}'\mathbf{B})^{-1}\mathbf{B}'\mathbf{BT}=\mathbf{BT}\\
\Leftrightarrow
&\mathbf{B}
\cdot \mathbf{I} \cdot
(\mathbf{B}'\mathbf{B})^{-1}
\cdot \mathbf{I} \cdot
\mathbf{B}'\mathbf{BT}=\mathbf{BT}\\
\Leftrightarrow
&\mathbf{B}
\cdot \mathbf{TR} \cdot
(\mathbf{B}'\mathbf{B})^{-1}
\cdot \mathbf{R'T'} \cdot
\mathbf{B}'\mathbf{BT}=\mathbf{BT}\\
\Leftrightarrow
&\mathbf{AR}
(\mathbf{B}'\mathbf{B})^{-1}
\mathbf{R'A'A}=\mathbf{A}\\
\end{aligned}
$$

$\mathbf{A'}$を左から掛けると、

$$
\begin{aligned}
\mathbf{A'AR}
(\mathbf{B}'\mathbf{B})^{-1}
\mathbf{R'A'A}=\mathbf{A'A}\\
\end{aligned}
$$

* (a)の後半部分の証明

$\mathbf{T}$が最大行階数なので、補助定理9.2.8と補助定理9.2.9により、$\mathbf{T}'(\mathbf{TT'})^{-1}$は$\mathbf{T}$の一般逆行列になる。

$$
\begin{aligned}
&\mathbf{T}\mathbf{T}'(\mathbf{T}\mathbf{T}')^{-1}\mathbf{T}=\mathbf{T}
\end{aligned}
$$

$\mathbf{B}$を左から掛けると、

$$
\begin{aligned}
&\mathbf{BTT'}(\mathbf{TT'})^{-1}\mathbf{T}=\mathbf{BT}\\
\Leftrightarrow
&\mathbf{BTT'}
\cdot \mathbf{I} \cdot
(\mathbf{TT'})^{-1}
\cdot \mathbf{I} \cdot
\mathbf{T}=\mathbf{BT}\\
\Leftrightarrow
&\mathbf{BTT'}
\cdot \mathbf{B'L'} \cdot
(\mathbf{TT'})^{-1}
\cdot \mathbf{LB} \cdot
\mathbf{T}=\mathbf{BT}\\
\Leftrightarrow
&\mathbf{AA'L'}
(\mathbf{TT'})^{-1}
\mathbf{LA}=\mathbf{A}\\
\end{aligned}
$$

$\mathbf{A'}$を右から掛けると、

$$
\begin{aligned}
&\mathbf{AA'L'}
(\mathbf{TT'})^{-1}
\mathbf{LAA'}=\mathbf{AA'}\\
\end{aligned}
$$

* (b)の証明

$$
\begin{aligned}
\mathbf{A}^{2}\left[\mathbf{R}(\mathbf{T B})^{-1} \mathbf{L}\right] \mathbf{A}^{2} &=\mathbf{B T B T R}(\mathbf{T B})^{-1} \mathbf{L B T B T} \\
&=\mathbf{B T B I}(\mathbf{T B})^{-1} \mathbf{I T B T}\\
&=\mathbf{B T B T}\\
&=\mathbf{A}^{2}
\end{aligned}
$$

## 4.

公式$(2.3)$を用いて，行列

$$
\mathbf{A}=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 2 \\ 0 & -2 & -1 \\ 0 & 3 & 3 \\ 0 & 8 & 4\end{pmatrix}
$$

の一般逆行列を求めよ。

----

解.
教科書P.133の一般化逆行列の作成手順を記する。

$(1)$ $\mathbf{A}$の階数$r$を求める（例えば、$\mathbf{A}$の行あるいは列から作れる最大の線形独立な集合のサイズを求める）
$(2)$ $i_{1}, \ldots, i_{r}$と$j_{1}, \ldots, j_{r}$の値を求める。すなわち、$\mathbf{A}$の$r$個の線形独立な行と$r$個の線形独立な列の位置を突き止める。
$(3)$ $\mathbf{A}$の第$i_{1}, \ldots, i_{r}$行と第$j_{1}, \ldots, j_{r}$列を残して、他の行と列を全て削除して$\mathbf{A}$の部分行列を作る。この行列を$\mathbf{B}_{11}$とする。
$(4)$ $\mathbf{B}_{11}$の逆行列$\mathbf{B}_{11}^{-1}$を作る。
$(5)$ $\mathbf{G}$の第$j_{s} i_{t}$要素が、$\mathbf{B}_{11}^{-1}$の第$st$要素であるようにとり、($s = 1,...r ; t=1...,r$),$\mathbf{G}$のその他の要素を$0$とし、$\mathbf{A}$の一般化逆行列$\mathbf{G}$を書き出す。

上記手順で問題の行列$\mathbf{A}$の一般化逆行列を求める。

$(1)$ $\mathbf{A}$の第$2,3$列は線形独立なので$\mathbf{A}$の$\operatorname{rank}$は$2$となる。
$(2)$ 線形独立な行と列を求める。行に関しては、$i_{1}=2$ と $i_{2}=4$、列に関しては$j_{1}=2$ と$j_{2}=3$になる。
$(3)$ $2,3$列と、$2,4$行を残して、他の行と列を全て削除するAの部分行列を$\mathbf{B}_{11}$作る。

$$
\mathbf{B}_{11}=\begin{pmatrix}
4 & 2 \\
3 & 3
\end{pmatrix}
$$

$(4)$ $\mathbf{B}_{11}$の逆行列$\mathbf{B}_{11}^{-1}$を作る。

$$
\mathbf{B}_{11}^{-1}=(1 / 6)\begin{pmatrix}
3 & -2 \\
-3 & 4
\end{pmatrix}
$$

$(5)$の手順を使うと一般化逆行列$\mathbf{G}$を求めることができる。

$$
\mathbf{G}=(1 / 6)\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 0 & -2 & 0 \\
0 & -3 & 0 & 4 & 0
\end{pmatrix}
$$

## 5.

$\mathbf{A}$を階数$r$の$\mathbf{0}$でない$m\times n$行列とする.$\mathbf{B}, \mathbf{K}$を

$$
\mathbf{A}=\mathbf{B}\begin{pmatrix}\mathbf{I}_{r} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0}\end{pmatrix} \mathbf{K} \tag{E.1}
$$

を満たす(それぞれ次数$m,n$の)非特異行列となるようにとる(この存在は定理4.4.9 により保証されている) .このとき，次のことを示せ.

$\mathbf{(a)}$$n \times m$行列$\mathbf{G}$は，$\mathbf{G}$が適当な$r \times (m-r)$行列$\mathbf{U}$，$(n-r) \times r$行列$\mathbf{V}$，$(n-r)\times (m-r)$行列$\mathbf{W}$を用いて

$$
\mathbf{G}=\mathbf{K}^{-1}\begin{pmatrix}\mathbf{I}_{r} & \mathbf{U} \\ \mathbf{V} & \mathbf{W}\end{pmatrix} \mathbf{B}^{-1}
$$

の形で表せるときかつそのときに限って，$\mathbf{A}$の一般逆行列である.

$\mathbf{(b)}$ $\mathbf{U,V,W}$の選び方が異なれば異なる一般逆行列が得られる.

----

解.(moriwaki)

> 定理 4.4.9. $\mathbf{A}$を階数$r$の$\mathbf{0}$でない$m \times n$行列とする. このとき$$\mathbf{A}=\mathbf{B}\begin{pmatrix}\mathbf{I}_{r} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0}\end{pmatrix} \mathbf{K}$$を満たす$m\times m$非特異行列$\mathbf{B}$と$n\times n$非特異行列$\mathbf{K}$が存在する。

$\mathbf{(a)}$ $\displaystyle \mathbf{G}=\mathbf{K}^{-1}\begin{pmatrix}\mathbf{I}_{r} & \mathbf{U} \\ \mathbf{V} & \mathbf{W}\end{pmatrix} \mathbf{B}^{-1}$であるときかつその時に限って、$\mathbf{AGA} = \mathbf{A}$であることを示せば良い。$(E.1)$を用いて$\mathbf{AGA}$を変形すると

$$
\mathbf{AGA} = \mathbf{B}\begin{pmatrix}\mathbf{I}_{r} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0}\end{pmatrix} \mathbf{KGB} \begin{pmatrix}\mathbf{I}_{r} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0}\end{pmatrix}\mathbf{K} \tag{5.1}
$$

である。ここで$\mathbf{H} = \mathbf{KGB}$とし、$\displaystyle \mathbf{H} = \begin{pmatrix}\mathbf{H}_{11} & \mathbf{H}_{12} \\ \mathbf{H}_{21} & \mathbf{H}_{22}\end{pmatrix}$とする。

$(i)$: $\displaystyle \mathbf{G}=\mathbf{K}^{-1}\begin{pmatrix}\mathbf{I}_{r} & \mathbf{U} \\ \mathbf{V} & \mathbf{W}\end{pmatrix} \mathbf{B}^{-1}$を仮定したとき、$(5.1)$に代入すると、容易に

$$
\begin{aligned}
\mathbf{AGA} &= \mathbf{B}\begin{pmatrix}\mathbf{I}_{r} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0}\end{pmatrix} \mathbf{KGB} \begin{pmatrix}\mathbf{I}_{r} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0}\end{pmatrix}\mathbf{K} \\
&= \mathbf{B}\begin{pmatrix}\mathbf{I}_{r} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\mathbf{I}_{r} & \mathbf{U} \\ \mathbf{V} & \mathbf{W}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\mathbf{I}_{r} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0}\end{pmatrix}\mathbf{K} \\
&= \mathbf{B}\begin{pmatrix}\mathbf{I}_{r} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0}\end{pmatrix}\mathbf{K} \\
&= \mathbf{A}
\end{aligned}
$$

であることが示される。

$(ii)$: $\mathbf{AGA} = \mathbf{A}$を仮定したとき、$\mathbf{B}$と$\mathbf{K}$は非特異行列なので（一意な逆行列$\mathbf{B}^{-1}$, $\mathbf{K}^{-1}$が必ず存在するので）この同値変形

$$
\begin{aligned} \ &\mathbf{AGA} = \mathbf{A} \\
\iff &\mathbf{B} \begin{pmatrix}\mathbf{I}_{r} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\mathbf{H}_{11} & \mathbf{H}_{12} \\ \mathbf{H}_{21} & \mathbf{H}_{22}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\mathbf{I}_{r} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0}\end{pmatrix} \mathbf{K}= \mathbf{B}\begin{pmatrix}\mathbf{I}_{r} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0}\end{pmatrix} \mathbf{K} \\
\iff & \begin{pmatrix}\mathbf{I}_{r} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\mathbf{H}_{11} & \mathbf{H}_{12} \\ \mathbf{H}_{21} & \mathbf{H}_{22}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\mathbf{I}_{r} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\mathbf{I}_{r} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0}\end{pmatrix} \\
\iff & \begin{pmatrix}\mathbf{I}_{r}\mathbf{H}_{11} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\mathbf{I}_{r} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0}\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$

から、$\mathbf{H}_{11} = \mathbf{I}_{r}$となり、$\mathbf{H}_{12}$,$\mathbf{H}_{21}$,$\mathbf{H}_{22}$は任意の（適切なサイズの）行列とすることができるので$\displaystyle \mathbf{H} = \begin{pmatrix}\mathbf{I}_{r} & \mathbf{U} \\ \mathbf{V} & \mathbf{W}\end{pmatrix}$と書き表せて、$\mathbf{H} = \mathbf{KGB}$と一意に存在する逆行列$\mathbf{B}^{-1}$, $\mathbf{K}^{-1}$を利用して

$$
\mathbf{G}=\mathbf{K}^{-1}\begin{pmatrix}\mathbf{I}_{r} & \mathbf{U} \\ \mathbf{V} & \mathbf{W}\end{pmatrix} \mathbf{B}^{-1}
$$

と表せる。以上の$(i)(ii)$から題意が示された。

$\mathbf{(b)}$ 2つの$\mathbf{G}$を$\mathbf{G}_{1}=\mathbf{K}^{-1}\begin{pmatrix}\mathbf{I}_{r} & \mathbf{U}_{1} \\ \mathbf{V}_{1} & \mathbf{W}_{1}\end{pmatrix} \mathbf{B}^{-1}$と$\mathbf{G}_{2}=\mathbf{K}^{-1}\begin{pmatrix}\mathbf{I}_{r} & \mathbf{U}_{2} \\ \mathbf{V}_{2} & \mathbf{W}_{2}\end{pmatrix} \mathbf{B}^{-1}$として書き表したとき（ここで$\mathbf{U}_{1}$と$\mathbf{U}_{2}$は$r \times(m-r)$行列, $\mathbf{V}_{1}$と$\mathbf{V}_{2}$は$(n-r) \times r$行列, $\mathbf{W}_{1}$と$\mathbf{W}_{2}$は$(n-r) \times(m-r)$行列である）、$\mathbf{G}_{1} = \mathbf{G}_{2}$が成立するのは、$\mathbf{(a)}$での議論から$\mathbf{K} \mathbf{G}_{1} \mathbf{B}=\mathbf{K G}_{2} \mathbf{B}$、すなわち

$$
\begin{pmatrix}\mathbf{I}_{r} & \mathbf{U}_{1} \\ \mathbf{V}_{1} & \mathbf{W}_{1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\mathbf{I}_{r} & \mathbf{U}_{2} \\ \mathbf{V}_{2} & \mathbf{W}_{2}\end{pmatrix}
$$

を満たすときかつその時に限ってである。言い換えれば、$\mathbf{U,V,W}$の選び方が異なれば異なる一般逆行列$\mathbf{G}$を得る。以上で題意が示された。

## 6.

$\mathbf{A}$を$m \times n$行列，$\mathbf{B}$を$m\times p$行列，$\mathbf{C}$を$q \times n$行列，$k$を$0$でないスカラーとする.このとき，次のことを示して補助定理9.3.1を一般化せよ. $\mathbf{(a)}$分割行列$(\mathbf{A}, \mathbf{B})$の任意の一般逆行列$\begin{pmatrix}\mathbf{G}_{1} \\ \mathbf{G}_{2}\end{pmatrix}$に対して（ここで$\mathbf{G}_{1}$は次元$n\times m$とする）,$\begin{pmatrix}\mathbf{G}_{1} \\ k^{-1} \mathbf{G}_{2}\end{pmatrix}$が$(\mathbf{A}, k\mathbf{B})$の一般逆行列である。$\mathbf{(b)}$分割行列の任意の一般逆行列に対して（ここで$\mathbf{H}_{1}$は次元$n\times m$とする）、$(\mathbf{H}_{1}, k^{-1}\mathbf{H}_{2})$が$\begin{pmatrix}\mathbf{A} \\ k\mathbf{C}\end{pmatrix}$の一般逆行列である。

----

解.

$\mathbf{(a)}$分割行列$(\mathbf{A}, k \mathbf{B})$について

$$
(\mathbf{A}, k \mathbf{B})=(\mathbf{A}, \mathbf{B})\begin{pmatrix}\mathbf{I}_{n} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & k \mathbf{I}_{p}\end{pmatrix}
$$

と書けるから、分割行列$(\mathbf{A}, \mathbf{B})$の任意の一般逆行列$\begin{pmatrix}\mathbf{G}_{1} \\ \mathbf{G}_{2}\end{pmatrix}$に対して、補助定理9.2.4の(2)を利用すると、この補助定理において$\mathbf{B} \to (\mathbf{A}, \mathbf{B}), \mathbf{C} \to \begin{pmatrix}\mathbf{I}_{n} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & k \mathbf{I}_{p}\end{pmatrix}, \mathbf{H} \to \begin{pmatrix}\mathbf{G}_{1} \\ \mathbf{G}_{2}\end{pmatrix}$と対応させれば

$$
\begin{pmatrix}\mathbf{I}_{n} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & k \mathbf{I}_{p}\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}\mathbf{G}_{1} \\ \mathbf{G}_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\mathbf{I}_{n} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & k^{-1} \mathbf{I}_{p}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\mathbf{G}_{1} \\ \mathbf{G}_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\mathbf{G}_{1} \\ k^{-1} \mathbf{G}_{2}\end{pmatrix}
$$

は$(\mathbf{A}, k\mathbf{B})$の一般逆行列であることが導かれる。

$\mathbf{(b)}$

$$
\begin{pmatrix}\mathbf{A} \\ k \mathbf{C}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\mathbf{I}_{m} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & k \mathbf{I}_{q}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\mathbf{A} \\ \mathbf{C}\end{pmatrix}
$$

と書けるから、補助定理9.2.4の(1)を利用すると、この補助定理において$\mathbf{A} \to \begin{pmatrix}\mathbf{I}_{m} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & k \mathbf{I}_{q}\end{pmatrix}, \mathbf{B} \to \begin{pmatrix}\mathbf{A} \\ \mathbf{C}\end{pmatrix}, \mathbf{G} \to \left(\mathbf{H}_{1}, k^{-1} \mathbf{H}_{2}\right), \mathbf{H} \to \left(\mathbf{H}_{1}, \mathbf{H}_{2}\right)$と対応させれば

$$
\left(\mathbf{H}_{1}, \mathbf{H}_{2}\right)\begin{pmatrix}\mathbf{I}_{m} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & k \mathbf{I}_{q}\end{pmatrix}^{-1}=\left(\mathbf{H}_{1}, \mathbf{H}_{2}\right)\begin{pmatrix}\mathbf{I}_{m} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & k^{-1} \mathbf{I}_{q}\end{pmatrix}=\left(\mathbf{H}_{1}, k^{-1} \mathbf{H}_{2}\right)
$$

となるので、$(\mathbf{H}_{1}, k^{-1}\mathbf{H}_{2})$は$\begin{pmatrix}\mathbf{A} \\ k\mathbf{C}\end{pmatrix}$の一般逆行列である。

> 補助定理9.2.4. $\mathbf{B}$を$m\times n$行列， $\mathbf{G}$を$n\times m$行列とする.このとき，任意の$m\times m$非特異行列$\mathbf{A}$と$n\times n$非特異行列$\mathbf{C}$に対して，次のことが成り立つ. (1) $\mathbf{B}$の適当な一般逆行列$\mathbf{H}$に対して$\mathbf{G} = \mathbf{HA}^{-1}$のときかつそのときに限って，$\mathbf{G}$は$\mathbf{AB}$の一般逆行列である. (2) $\mathbf{B}$の適当な一般逆行列$\mathbf{H}$に対して$\mathbf{G} = \mathbf{C}^{-1}\mathbf{H}$のときかつそのときに限って，$\mathbf{G}$は$\mathbf{BC}$の一般逆行列である.(3) $\mathbf{B}$の適当な一般逆行列$\mathbf{H}$に対して$\mathbf{G} = \mathbf{C}^{-1}\mathbf{H}\mathbf{A}^{-1}$のときかつそのときに限って，$\mathbf{G}$は$\mathbf{ABC}$の一般逆行列である.

## 7.

$\mathbf{T}$を$m\times p$行列，$\mathbf{W}$を$n\times q$行列とする.

$\mathbf{(a)}$$\mathbf{T}, \mathbf{W}$が共に非特異でない限り，$\begin{pmatrix}\mathbf{T}^{-} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{W}^{-}\end{pmatrix}$の形でない$\begin{pmatrix}\mathbf{T} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{W}\end{pmatrix}$の一般逆行列が存在することを示せ. (ヒント:結果$(2.7)$を用いよ.)

$\mathbf{(b)}$$\mathcal{C}(\mathbf{U}) \subset \mathcal{C}(\mathbf{T})$かつ$\mathcal{R}(\mathbf{V}) \subset \mathcal{R}(\mathbf{T})$となるように$m \times q$行列$\mathbf{U}$と$n\times p$行列$\mathbf{V}$をとる.行列$\mathbf{T}, \mathbf{Q}=\mathbf{W}-\mathbf{V} \mathbf{T}^{-} \mathbf{U}$が共に非特異でない限り，$(6.2)$の形でない$\begin{pmatrix}\mathbf{T} & \mathbf{U} \\ \mathbf{V} & \mathbf{W}\end{pmatrix}$の一般逆行列の存在を示すことによって$\mathbf{(a)}$の結果を一般化せよ. (ヒント:補助定理9.2.4 と共に$\mathbf{(a)}$を用いよ.)

----

解.

$\mathbf{(a)}$ 結果$(2.7)$

> $\mathbf{A}$を$m \times n$行列，$\mathbf{G}$を$\mathbf{A}$の特定の一般逆行列とする.このとき，$n\times m$行列$\mathbf{G}^{\star}$は，$n\times m$行列$\mathbf{T}$,$\mathbf{S}$があって$$\mathbf{G}^{\star} = \mathbf{G} + (\mathbf{I} - \mathbf{GA})\mathbf{T} + \mathbf{S}(\mathbf{I} - \mathbf{AG}) \tag{2.7}$$のときかつそのときに限って，$\mathbf{A}$の一般逆行列である.

を利用して、この$(2.7)$式中で$\displaystyle \mathbf{G} \to \begin{pmatrix}\mathbf{T}^{-} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{W}^{-}\end{pmatrix}, \mathbf{A} \to \begin{pmatrix}\mathbf{T} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{W}\end{pmatrix}$として$(2.7)$で得られる$\mathbf{G}^{\star}$が$\begin{pmatrix}\mathbf{T} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{W}\end{pmatrix}$の一般逆行列であることを示せば良い。$p\times n$の行列$\mathbf{X}$と$q \times m$の行列$\mathbf{Y}$を用いて, $\mathbf{T} \to \begin{pmatrix}\mathbf{0} & \mathbf{X} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0}\end{pmatrix}$, $\mathbf{S} \to \begin{pmatrix}\mathbf{0} & \mathbf{0} \\ \mathbf{Y} & \mathbf{0}\end{pmatrix}$を当てはめると

$$
\begin{aligned}
&\quad \begin{pmatrix}\mathbf{T}^{-} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{W}^{-}\end{pmatrix}
+\left[\begin{pmatrix}\mathbf{I}_{p} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{I}_{q}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\mathbf{T}^{-} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{W}^{-}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\mathbf{T} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{W}\end{pmatrix}\right]
\begin{pmatrix}\mathbf{0} & \mathbf{X} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0}\end{pmatrix} \\
& +\begin{pmatrix}\mathbf{0} & \mathbf{0} \\ \mathbf{Y} & \mathbf{0}\end{pmatrix}\left[\begin{pmatrix}\mathbf{I}_{m} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{I}_{n}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\mathbf{T} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{W}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\mathbf{T}^{-} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{W}^{-}\end{pmatrix}\right] \\
& =\begin{pmatrix}\mathbf{T}^{-} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{W}^{-}\end{pmatrix} +
\begin{pmatrix}\mathbf{I}_{p} - \mathbf{T}^{-}\mathbf{T} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{I}_{q} - \mathbf{W}^{-}\mathbf{W} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\mathbf{0} & \mathbf{X} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0}\end{pmatrix} \\
& +\begin{pmatrix}\mathbf{0} & \mathbf{0} \\ \mathbf{Y} & \mathbf{0}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\mathbf{I}_{m} - \mathbf{TT}^{-} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{I}_{n} - \mathbf{WW}^{-} \end{pmatrix} \\
& =\begin{pmatrix}\mathbf{T}^{-} & \left(\mathbf{I}_{p}-\mathbf{T}^{-} \mathbf{T}\right) \mathbf{X} \\ \mathbf{Y}\left(\mathbf{I}_{m}-\mathbf{T T}^{-}\right) & \mathbf{W}^{-}\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$

と書ける。もし$\mathbf{I}_{p}-\mathbf{T}^{-} \mathbf{T} \neq \mathbf{0}$または$\mathbf{I}_{m}-\mathbf{T T}^{-} \neq \mathbf{0}$であれば、$\begin{pmatrix}\mathbf{T}^{-} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{W}^{-}\end{pmatrix}$の形でない一般逆行列が存在することになるが、それは系8.1.2から$\mathbf{T}$が特異行列のときに限られる。

> 系8.1.2 行列$\mathbf{A}$は，$\mathbf{A}$が(正方)非特異行列のときかつそのときに限って，右逆行列と左逆行列の両方をもつ.

同様にして、今度は$\mathbf{S} \to \begin{pmatrix}\mathbf{0} & \mathbf{X} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0}\end{pmatrix}$, $\mathbf{T} \to \begin{pmatrix}\mathbf{0} & \mathbf{0} \\ \mathbf{Y} & \mathbf{0}\end{pmatrix}$を当てはめると

$$
\begin{aligned}
&\quad \begin{pmatrix}\mathbf{T}^{-} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{W}^{-}\end{pmatrix}
+\left[\begin{pmatrix}\mathbf{I}_{p} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{I}_{q}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\mathbf{T}^{-} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{W}^{-}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\mathbf{T} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{W}\end{pmatrix}\right]
\begin{pmatrix}\mathbf{0} & \mathbf{0} \\ \mathbf{Y} & \mathbf{0}\end{pmatrix} \\
& +\begin{pmatrix}\mathbf{0} & \mathbf{X} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0}\end{pmatrix}\left[\begin{pmatrix}\mathbf{I}_{m} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{I}_{n}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\mathbf{T} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{W}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\mathbf{T}^{-} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{W}^{-}\end{pmatrix}\right] \\
& =\begin{pmatrix}\mathbf{T}^{-} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{W}^{-}\end{pmatrix} +
\begin{pmatrix}\mathbf{I}_{p} - \mathbf{T}^{-}\mathbf{T} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{I}_{q} - \mathbf{W}^{-}\mathbf{W} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\mathbf{0} & \mathbf{0} \\ \mathbf{Y} & \mathbf{0}\end{pmatrix} \\
& +\begin{pmatrix}\mathbf{0} & \mathbf{X} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\mathbf{I}_{m} - \mathbf{TT}^{-} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{I}_{n} - \mathbf{WW}^{-} \end{pmatrix} \\
& =\begin{pmatrix}\mathbf{T}^{-} & \mathbf{X} \left(\mathbf{I}_{n} - \mathbf{WW}^{-}\right) \\ (\mathbf{I}_{q} - \mathbf{W}^{-}\mathbf{W})\mathbf{Y} & \mathbf{W}^{-}\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$

となるので、もし$\mathbf{I}_{q}-\mathbf{W}^{-} \mathbf{W} \neq \mathbf{0}$または$\mathbf{I}_{n}-\mathbf{WW}^{-} \neq \mathbf{0}$であれば、$\begin{pmatrix}\mathbf{T}^{-} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{W}^{-}\end{pmatrix}$の形でない一般逆行列が存在することになるが、それは系8.1.2から$\mathbf{W}$が特異行列のときに限られる。つまり、$\mathbf{T}$,$\mathbf{W}$のどちらか一方が特異行列であれば、$\begin{pmatrix}\mathbf{T}^{-} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{W}^{-}\end{pmatrix}$の形でない$\begin{pmatrix}\mathbf{T} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{W}\end{pmatrix}$の一般逆行列が存在することが示された。

$\mathbf{(b)}$

背理法を用いて示す．$\mathbf{T}$と$\mathbf{Q}$の少なくとも一方が特異で，$\begin{pmatrix}\mathbf{T} & \mathbf{U} \\ \mathbf{V} & \mathbf{W}\end{pmatrix}$の全ての一般逆行列が

$$
\left(\begin{array}{cc}
\mathbf{T}^{-}+\mathbf{T}^{-} \mathbf{U} \mathbf{Q}^{-} \mathbf{V T}^{-} & -\mathbf{T}^{-} \mathbf{U Q}^{-} \\
-\mathbf{Q}^{-} \mathbf{V T}^{-} & \mathbf{Q}^{-}\tag{6.2}
\end{array}\right)
$$

の形でかけると仮定する．

このとき定理9.3.5を用いて

$$
\left(\begin{array}{ll}
\mathbf{T} & \mathbf{0} \\
\mathbf{0} & \mathbf{Q}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
\mathbf{I} & \mathbf{0} \\
-\mathbf{V T}^{-} & \mathbf{I}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
\mathbf{T} & \mathbf{U} \\
\mathbf{V} & \mathbf{W}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
\mathbf{I} & -\mathbf{T}^{-} \mathbf{U} \\
\mathbf{0} & \mathbf{I}
\end{array}\right)
$$

であり補助定理8.5.2

> 補助定理8.5.2. 任意の$n \times m$行列$\mathbf{V}$に対して，$(m+n)\times (m+n)$分割行列$\begin{pmatrix}\mathbf{I}_{m} & \mathbf{0} \\ \mathbf{V} & \mathbf{I}_{n}\end{pmatrix}$と$\begin{pmatrix}\mathbf{I}_{n} & \mathbf{V} \\ \mathbf{0} & \mathbf{I}_{m}\end{pmatrix}$は非特異であり$$\begin{aligned}\begin{pmatrix}\mathbf{I}_{m} & \mathbf{0} \\ \mathbf{V} & \mathbf{I}_{n}\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}\mathbf{I}_{m} & \mathbf{0} \\ -\mathbf{V} & \mathbf{I}_{n}\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}\mathbf{I}_{n} & \mathbf{V} \\ \mathbf{0} & \mathbf{I}_{m}\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}\mathbf{I}_{n} & -\mathbf{V} \\ \mathbf{0} & \mathbf{I}_{m}\end{pmatrix} \end{aligned}$$である。

から行列$\left(\begin{array}{cc}\mathbf{I} & \mathbf{0} \\ -\mathbf{V T}^{-} & \mathbf{I}\end{array}\right)$ と $\left(\begin{array}{cc}\mathbf{I} & -\mathbf{T}^{-} \mathbf{U} \\ \mathbf{0} & \mathbf{I}\end{array}\right)$は非特異である．ここで補助定理9.2.4

>(3) $\mathbf{B}$ の適当な一般逆行列 $\mathbf{H}$ に対して $\mathbf{G}=\mathbf{C}^{-1} \mathbf{H} \mathbf{A}^{-1}$ のときかつそのときに 限って, $\mathbf{G}$ は $\mathbf{A B C}$ の一般逆行列である. (補助定理9.2.4)

および系8.5.6

> 系8.5.6. 三角行列は，その対角要素がいずれも$\mathbf{0}$でないときかつそのときに限って，非特異である.

を用いて$\left(\begin{array}{ll}\mathbf{T} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{Q}\end{array}\right)$の全ての一般逆行列は以下の形で書くことができる．

$$
\begin{aligned}
&\begin{pmatrix}
\mathbf{I} & -\mathbf{T}^{-} \mathbf{U} \\
\mathbf{0} & \mathbf{I}
\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}
\mathbf{T}^{-}+\mathbf{T}^{-} \mathbf{U} \mathbf{Q}^{-} \mathbf{V T}^{-} & -\mathbf{T}^{-} \mathbf{U} \mathbf{Q}^{-} \\
-\mathbf{Q}^{-} \mathbf{V T}^{-} & \mathbf{Q}^{-}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\mathbf{I} & \mathbf{0} \\
-\mathbf{V T} & \mathbf{I}
\end{pmatrix}^{-1} \\
&=\begin{pmatrix}
\mathbf{I} & \mathbf{T}^{-} \mathbf{U} \\
\mathbf{0} & \mathbf{I}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\mathbf{T}^{-}+\mathbf{T}^{-} \mathbf{U} \mathbf{Q}^{-} \mathbf{V T} & -\mathbf{T}^{-} \mathbf{U Q}^{-} \\
-\mathbf{Q}^{-} \mathbf{V T}^{-} & \mathbf{Q}^{-}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\mathbf{I} & \mathbf{0} \\
\mathbf{V T} &
\end{pmatrix} \\
&=\begin{pmatrix}
\mathbf{T}^{-} & \mathbf{0} \\
\mathbf{0} & \mathbf{Q}^{-}
\end{pmatrix},
\end{aligned}
$$

これは$\mathbf{(a)}$の結果に矛盾する．したがって$\mathbf{T}$と$\mathbf{Q}$がともに非特異でない限り(6.2)の形でない$\begin{pmatrix}\mathbf{T} & \mathbf{U} \\ \mathbf{V} & \mathbf{W}\end{pmatrix}$の一般逆行列が存在する．

## 8.

$\mathbf{T}$を$m \times p$行列，$\mathbf{U}$を$m \times q$行列，$\mathbf{V}$を$n \times p$行列，$\mathbf{W}$を$n\times q$行列とし，$\mathbf{A}=\begin{pmatrix}\mathbf{T} & \mathbf{U} \\ \mathbf{V} & \mathbf{W}\end{pmatrix}$と置き，$\mathbf{Q} = \mathbf{W}-\mathbf{VT^{-}U}$と定義する.

$\mathbf{(a)}$ $(1)$ $\left(\mathbf{I}-\mathbf{T}^{-} \mathbf{T}^{-}\right) \mathbf{U}\left(\mathbf{I}-\mathbf{Q}^{-} \mathbf{Q}\right)=\mathbf{0}$かつ
$(2)$ $\left(\mathbf{I}-\mathbf{Q} \mathbf{Q}^{-}\right) \mathbf{V}\left(\mathbf{I}-\mathbf{T}^{-} \mathbf{T}\right)=\mathbf{0}$かつ
$(3)$ $\left(\mathbf{I}-\mathbf{T}\mathbf{T}^{-}\right) \mathbf{U} \mathbf{Q}^{-} \mathbf{V}\left(\mathbf{I}-\mathbf{T}^{-} \mathbf{T}\right)=\mathbf{0}$のときかつそのときに限って，行列

$$
\mathbf{G}=\begin{pmatrix}\mathbf{T}^{-}+\mathbf{T}^{-} \mathbf{U} \mathbf{Q}^{-} \mathbf{V} \mathbf{T}^{-} & -\mathbf{T}^{-} \mathbf{U} \mathbf{Q}^{-} \\ -\mathbf{Q}^{-} \mathbf{V} \mathbf{T}^{-} & \mathbf{Q}^{-}\end{pmatrix}
$$

が行列$\mathbf{A}$の一般逆行列であることを示せ.

$\mathbf{(b)}$ 定理 9.6.1 の条件$(\mathcal{C}(\mathbf{U}) \subset \mathcal{C}(\mathbf{T})$かつ$\mathcal{R}(\mathbf{V}) \subset \mathcal{R}(\mathbf{T}))$より$\mathbf{(a)}$の条件$(1)-(3)$が導かれることを証明せよ
$\mathbf{(c)}$ $\mathbf{(a)}$の条件$(1)-(3)$を（一般逆行列$\mathbf{T}^{-}, \mathbf{Q}^{-}$をどのように選ぶかによらず）満たすが, 定理9.6.1の条件を（共には）満たさない行列$\mathbf{T}, \mathbf{U}, \mathbf{V}, \mathbf{W}$を挙げよ。

----

解.(Yamashita)
$\mathbf{(a)}$
$$
\mathbf{A G A}=\left(\begin{array}{cc}
\mathbf{T}+\left(\mathbf{I}-\mathbf{T T}^{-}\right) \mathbf{U Q ^ { - }} \mathbf{V}\left(\mathbf{I}-\mathbf{T}^{-} \mathbf{T}\right) & \mathbf{U}-\left(\mathbf{I}-\mathbf{T T}^{-}\right) \mathbf{U}\left(\mathbf{I}-\mathbf{Q}^{-} \mathbf{Q}\right) \\
\mathbf{V}-\left(\mathbf{I}-\mathbf{Q} \mathbf{Q}^{-}\right) \mathbf{V}\left(\mathbf{I}-\mathbf{T}^{-} \mathbf{T}\right) & \mathbf{W}
\end{array}\right)
$$
よって, $\mathbf{A G A}=\mathbf{A}$ は, $(1) - (3)$ を全て満たすことと同値である.

$\mathbf{(b)}$
$\mathcal{C}(\mathbf{U}) \subset \mathcal{C}(\mathbf{T})$ かつ $\mathcal{R}(\mathbf{V}) \subset \mathcal{R}(\mathbf{T})$ と仮定する. 補助定理 9.3.5 より, $\left(\mathbf{I}-\mathbf{T T}^{-}\right) \mathbf{U}=\mathbf{0}$ および $\mathbf{V}\left(\mathbf{I}-\mathbf{T}^{-} \mathbf{T}\right)=\mathbf{0}$ が成り立つ. よって, (a) の条件 (1) - (3) が導かれる.

> 補助定理 9.3.5. $\mathbf{A}$を$m \times n$行列とする. このとき, 任意の$m \times p$行列$\mathbf{B}$に対して,$\mathbf{B}=\mathbf{A A}^{-} \mathbf{B}$ のときかつそのときに限って, すなわち, $\left(\mathbf{I}-\mathbf{A} \mathbf{A}^{-}\right) \mathbf{B}=\mathbf{0}$のときかつそのときに限って, $\mathcal{C}(\mathbf{B}) \subset \mathcal{C}(\mathbf{A})$である. そして, 任意の$q \times n$行列$\mathbf{C}$に対して,$\mathbf{C}=\mathbf{C A}^{-} \mathbf{A}$のときかつそのときに限って,すなわち,$\mathbf{C}\left(\mathbf{I}-\mathbf{A}^{-}\mathbf{A}\right)=\mathbf{0}$のときかつそのときに限って,$\mathcal{R}(\mathbf{C}) \subset \mathcal{R}(\mathbf{A})$である。

$\mathbf{(c)}$
$\mathbf{T}=\mathbf{0}$ および $\mathbf{U}=\mathbf{0}$ とする. また, $\mathbf{W}$ と $\mathbf{V}$ は $\mathcal{C}(\mathbf{V}) \subset \mathcal{C}(\mathbf{W})$ を満たす任意の $\mathbf{0}$ でない行列とする. 条件 $(1)$ と $(3)$ を明らかに満たす. さらに, $\mathbf{Q}=\mathbf{W}$ および補助定理 9.3.5 より, $\left(\mathbf{I}-\mathbf{Q Q}^{-}\right) \mathbf{V}=\mathbf{0}$ から 条件 $(2)$ も満たす. 一方, $\mathcal{R}(\mathbf{V}) \subset \mathcal{R}(\mathbf{T})$ を満たさない.

## 9.

$\mathbf{(a)}$ 行列$\mathbf{A}$が

$$
\mathbf{A}=\left(\begin{array}{lll}
\mathbf{A}_{11} & \mathbf{A}_{12} & \mathbf{A}_{13} \\
\mathbf{A}_{21} & \mathbf{A}_{22} & \mathbf{A}_{23} \\
\mathbf{A}_{31} & \mathbf{A}_{32} & \mathbf{A}_{33}
\end{array}\right)
$$

と分割され, $\mathcal{C}\left(\mathbf{A}_{12}\right) \subset \mathcal{C}\left(\mathbf{A}_{11}\right)$ かつ $\mathcal{R}\left(\mathbf{A}_{21}\right)\subset\mathcal{R}\left(\mathbf{A}_{11}\right)$ と仮定する.$\mathbf{Q}$を $\mathbf{A}_{11}^{-}$に対応する$\mathbf{A}$に関する$\mathbf{A}_{11}$のシューアの補元となるようにとり，$\mathbf{Q}$を

$$
\mathbf{Q}=\begin{pmatrix}
\mathbf{Q}_{11} & \mathbf{Q}_{12} \\
\mathbf{Q}_{21} & \mathbf{Q}_{22}
\end{pmatrix}
$$

と分割する（ここで $\mathbf{Q}_{11}, \mathbf{Q}_{12}, \mathbf{Q}_{21}, \mathbf{Q}_{22}$ はそれぞれ $\mathbf{A}_{22}, \mathbf{A}_{23}, \mathbf{A}_{32}, \mathbf{A}_{33}$ と同じ次元とする). このとき, $\mathbf{Q}_{11}=\mathbf{A}_{22}-\mathbf{A}_{21} \mathbf{A}_{11}^{-} \mathbf{A}_{12}, \mathbf{Q}_{12}=\mathbf{A}_{23}-$ $\mathbf{A}_{21} \mathbf{A}_{11}^{-} \mathbf{A}_{13}, \mathbf{Q}_{21}=\mathbf{A}_{32}-\mathbf{A}_{31} \mathbf{A}_{11}^{-} \mathbf{A}_{12}, \mathbf{Q}_{22}=\mathbf{A}_{33}-\mathbf{A}_{31} \mathbf{A}_{11}^{-} \mathbf{A}_{13}$ である.

$$
\mathbf{G}=\begin{pmatrix}
\mathbf{A}_{11}^{-}+\mathbf{A}_{11}^{-} \mathbf{A}_{12} \mathbf{Q}_{11}^{-} \mathbf{A}_{21} \mathbf{A}_{11}^{-} & -\mathbf{A}_{11}^{-} \mathbf{A}_{12} \mathbf{Q}_{11}^{-} \\
-\mathbf{Q}_{11}^{-} \mathbf{A}_{21} \mathbf{A}_{11}^{-} & \mathbf{Q}_{11}^{-}
\end{pmatrix}
$$

とする. $\mathbf{T}=\begin{pmatrix}\mathbf{A}_{11} & \mathbf{A}_{12} \\ \mathbf{A}_{21} & \mathbf{A}_{22}\end{pmatrix}, \mathbf{U}=\begin{pmatrix}\mathbf{A}_{13} \\ \mathbf{A}_{23}\end{pmatrix}, \mathbf{V}=\left(\mathbf{A}_{31}, \mathbf{A}_{32}\right)$ と定義する. すなわち, $\mathbf{T}, \mathbf{U}, \mathbf{V}$が

$$
\mathbf{A}=\begin{pmatrix}
\mathbf{T} & \mathbf{U} \\
\mathbf{V} & \mathbf{A}_{33}
\end{pmatrix}
$$

を満たすように定義する.このとき，次のことを示せ.

$\mathbf{(1)}$ $\mathbf{G}$は$\mathbf{T}$の一般逆行列である.

$\mathbf{(2)}$ $\mathbf{Q}_{11}^{-}$に対応する $\mathbf{Q}$ に関する $\mathbf{Q}_{11}$のシューアの補元$\mathbf{Q}_{22}-\mathbf{Q}_{21} \mathbf{Q}_{11}^{-} \mathbf{Q}_{12}$は, $\mathbf{G}$ に対応する $\mathbf{A}$ に関する $\mathbf{T}$のシューアの補元$\mathbf{A}_{33}-\mathbf{VGU}$に等しい。

$\mathbf{(3)}$ $\mathbf{G U} =\begin{pmatrix}\mathbf{A}_{11}^{-} \mathbf{A}_{13}-\mathbf{A}_{11}^{-} \mathbf{A}_{12} \mathbf{Q}_{11}^{-} \mathbf{Q}_{12} \\ \mathbf{Q}_{11}^{-} \mathbf{Q}_{12}\end{pmatrix}$ かつ $\mathbf{V G} =\left(\mathbf{A}_{31} \mathbf{A}_{11}^{-}-\mathbf{Q}_{21} \mathbf{Q}_{11}^{-} \mathbf{A}_{21} \mathbf{A}_{11}^{-}, \mathbf{Q}_{21} \mathbf{Q}_{11}^{-}\right)$である。

$\mathbf{(b)}$ $\mathbf{A}$を$n \times n$ 行列 (ここで $n \geq 2$ とする), $n_{1}, \ldots, n_{k}$を$n_{1}+\cdots+n_{k}=n$ (ここで $k \geq 2$ とする) を満たす正の整数とし,（$i=1, \ldots, k$に対して)$n_{i}^{*}=n_{1}+\cdots+n_{i}$と置く. （$i=1, \ldots, k$に対して) $\mathbf{A}_{i}$ を次数 $n_{i}^{*}$ の $\mathbf{A}$ の 首座部分行列と定義し, $(i=1, \ldots, k-1$ に対して $) \mathbf{U}_{i}$ を最初の $n_{i}^{*}$個の行と最後の $n-n_{i}^{*}$ 個の列を残して $\mathbf{A}$の他の行と列をすべて削除することで得られる $n_{i}^{*} \times\left(n-n_{i}^{*}\right)$ 行列, $\mathbf{V}_{i}$ を最後の $n-n_{i}^{*}$ 個の行と最初の $n_{i}^{*}$ 個の列を残して$\mathbf{A}$の他の行と列をすべて削除することで得られる$(n - n_{i}^{*}) \times n_{i}^{*}$行列, $\mathbf{W}_{i}$ を最後の $n-n_{i}^{*}$ 個の行と列を残して $\mathbf{A}$ の他の行と列をすべて削除することで得られる $\left(n-n_{i}^{*}\right) \times\left(n-n_{i}^{*}\right)$ 部分行列と定義する.このとき, $(i=1, \ldots, k$ に対して)

$$
\mathbf{A}=\begin{pmatrix}
\mathbf{A}_{i} & \mathbf{U}_{i} \\
\mathbf{V}_{i} & \mathbf{W}_{i}
\end{pmatrix}
$$

となる. $\left(i=1, \ldots, k-1\right.$ に対して) $\mathcal{C}\left(\mathbf{U}_{i}\right) \subset \mathcal{C}\left(\mathbf{A}_{i}\right)$ かつ $\mathcal{R}\left(\mathbf{V}_{i}\right) \subset \mathcal{R}\left(\mathbf{A}_{i}\right)$ と仮定する. ($i=1, \ldots, k-1$ に対して)

$$
\mathbf{B}^{(i)}=\begin{pmatrix}
\mathbf{B}_{11}^{(i)} & \mathbf{B}_{12}^{(i)} \\
\mathbf{B}_{21}^{(i)} & \mathbf{B}_{22}^{(i)}
\end{pmatrix}
$$

とし,$\mathbf{B}^{(k)}=\mathbf{B}_{11}^{(k)}$と置く. ここで,$\mathbf{B}_{11}^{(1)}=\mathbf{A}_{1}^{-}, \mathbf{B}_{12}^{(1)}=\mathbf{A}_{1}^{-} \mathbf{U}_{1}, \mathbf{B}_{21}^{(1)}= \mathbf{V}_{1} \mathbf{A}_{1}^{-}, \mathbf{B}_{22}^{(1)}=\mathbf{W}_{1}-\mathbf{V}_{1} \mathbf{A}_{1}^{-} \mathbf{U}_{1}$であり, ($i \geq 2$に対して)$\mathbf{B}_{11}^{(i)}, \mathbf{B}_{12}^{(i)} \mathbf{B}_{21}^{(i)}, \mathbf{B}_{22}^{(i)}$は$\mathbf{B}_{12}^{(i-1)}, \mathbf{B}_{21}^{(i-1)}, \mathbf{B}_{22}^{(i-1)}$を（$\mathbf{X}_{1}^{(i-1)}$が$n_{i}$個の列をもち,$\mathbf{Y}_{1}^{(i-1)}$が$n_{i}$個の行をもち,$\mathbf{Q}_{11}^{(i-1)}$が次元$n_{i} \times n_{i}$となるように）

$$
\mathbf{B}_{12}^{(i-1)}=\left(\mathbf{X}_{1}^{(i-1)}, \mathbf{X}_{2}^{(i-1)}\right), \quad \mathbf{B}_{21}^{(i-1)}=\begin{pmatrix}
\mathbf{Y}_{1}^{(i-1)} \\
\mathbf{Y}_{2}^{(i-1)}
\end{pmatrix}
$$

と

$$
\mathbf{B}_{22}^{(i-1)}=\begin{pmatrix}
\mathbf{Q}_{11}^{(i-1)} & \mathbf{Q}_{12}^{(i-1)} \\
\mathbf{Q}_{21}^{(i-1)} & \mathbf{Q}_{22}^{(i-1)}
\end{pmatrix}
$$

に分解し,$（\mathbf{Q}_{11}^{(i-1)}$の一般逆行列を表すのに$\mathbf{Q}_{11}^{-(i-1)}$を用いると）

$$
\begin{aligned}
\mathbf{B}_{11 \mid}^{(i)}&=\begin{pmatrix}\mathbf{B}_{11}^{(i-1)}+\mathbf{X}_{1}^{(i-1)} \mathbf{Q}_{11}^{-(i-1)} \mathbf{Y}_{1}^{(i-1)} -\mathbf{X}_{1}^{(i-1)} \mathbf{Q}_{11}^{-(i-1)} \\ -\mathbf{Q}_{11}^{-(i-1)} \mathbf{Y}_{1}^{(i-1)}\end{pmatrix} \\
\mathbf{B}_{12}^{(i)}&=\begin{pmatrix}\mathbf{X}_{2}^{(i-1)}-\mathbf{X}_{1}^{(i-1)} \mathbf{Q}_{11}^{-(i-1)} \mathbf{Q}_{12}^{(i-1)} \\
\mathbf{Q}_{11}^{-(i-1)} \mathbf{Q}_{12}^{(i-1)}\end{pmatrix} \\
\mathbf{B}_{21}^{(i)}&=\left(\mathbf{Y}_{2}^{(i-1)}-\mathbf{Q}_{21}^{(i-1)} \mathbf{Q}_{11}^{-(i-1)} \mathbf{Y}_{1}^{(i-1)}, \mathbf{Q}_{21}^{(i-1)} \mathbf{Q}_{11}^{-(i-1)}\right) \\
\mathbf{B}_{22}^{(i)}&=\mathbf{Q}_{22}^{(i-1)}-\mathbf{Q}_{21}^{(i-1)} \mathbf{Q}_{11}^{-(i-1)} \mathbf{Q}_{12}^{(i-1)} \end{aligned}
$$

ととることによって漸化的に定義する.このとき，次のことを示せ.

$\mathbf{(1)}$$\mathbf{B}_{11}^{(i)}$は$\mathbf{A}_{i}$の一般逆行列である$(i=1, \ldots, k)$
$\mathbf{(2)}$$\mathbf{B}_{22}^{(i)}$は$\mathbf{B}_{11}^{(i)}$に対応する$\mathbf{A}$に関する$\mathbf{A}_{i}$のシューアの補元である$(i=1, \ldots, k-1)$
$\mathbf{(3)}$$\mathbf{B}_{12}^{(i)}=\mathbf{B}_{11}^{(i)} \mathbf{U}_{i}$かつ$\mathbf{B}_{21}^{(i)}=\mathbf{V}_{i} \mathbf{B}_{11}^{(i)}$である$(i=1, \ldots, k-1)$

> (註: $\mathbf{(b)}$で与えられた行列の列$\mathbf{B}^{(1)}, \ldots, \mathbf{B}^{(k-1)}, \mathbf{B}^{(k)}$の漸化式により，$\mathbf{B}^{(k-1)}$を$k-1$ステップで生成，あるいは$\mathbf{B}^{(k)}$を$k$ステップで生成できる––$\mathbf{B}^{(i-1)}$から$\mathbf{B}^{(i)}$を生成する公式は$n_{i}\times n_{i}$行列$\mathbf{Q}_{11}^{i-1}$の一般逆行列を含んでいる.$\mathbf{B}^{(k-1)}$の種々の部分は$\mathbf{A}_{k-1}$の一般逆行列$\mathbf{B}_{11}^{(k-1)}$と,$\mathbf{B}_{11}^{(k-1)}$に対応する$\mathbf{A}$に関する$\mathbf{A}_{k-1}$のシューアの補元$\mathbf{B}_{22}^{(k-1)}$と,($\mathbf{X}$に関する) 線形系$\mathbf{A}_{k-1}\mathbf{X}=\mathbf{U}_{k-1}$の解$\mathbf{B}_{12}^{(k-1)}$と, ($\mathbf{Y}$に関する) 線形系$\mathbf{Y}\mathbf{A}_{k-1}=\mathbf{V}_{k-1}$の解$\mathbf{B}_{21}^{(k-1)}$から成る. 行列$\mathbf{B}^{(k)}$は$\mathbf{A}$の一般逆行列である. 特に$n_{i}=1$の場合には,$n \times n$行列$\mathbf{B}^{(k-1)}$の要素から$n \times n$行列$\mathbf{B}^{(i)}$の要素を生成する過程を掃き出し操作(sweep operation)と呼ぶ––たとえば, Goodnight(1979) 参照. )

----

(齋藤)

(a)(1) p. 144の定理9.6.1の6.2a式は、
$\mathcal{C}\left(\mathbf{U}\right) \subset \mathcal{C}\left(\mathbf{T}\right)$ かつ $\mathcal{R}\left(\mathbf{V}\right)\subset\mathcal{R}\left(\mathbf{T}\right)$の時、

$$
\begin{pmatrix}
\mathbf{T}^{-}+\mathbf{T}^{-} \mathbf{U} \mathbf{Q}^{-} \mathbf{V} \mathbf{T}^{-} & -\mathbf{T}^{-} \mathbf{U} \mathbf{Q}^{-} \\
-\mathbf{Q}^{-} \mathbf{V} \mathbf{T}^{-} & \mathbf{Q}^{-}
\end{pmatrix}
$$

が

$$
\begin{pmatrix}\mathbf{T}&\mathbf{U} \\\mathbf{V}& \mathbf{W}\end{pmatrix}
$$

の一般逆行列であることを示している。これに代入すると、$\mathbf{G}$は、$\mathbf{T} = \mathbf{A}_{11}$、 $\mathbf{U} = \mathbf{A}_{12}$、$\mathbf{V} = \mathbf{A}_{21}$、$\mathbf{W}= \mathbf{A}_{22}$の場合とみることが出来る。よって、 $\mathcal{C}\left(\mathbf{A}_{12}\right) \subset \mathcal{C}\left(\mathbf{A}_{11}\right)$ かつ $\mathcal{R}\left(\mathbf{A}_{21}\right)\subset\mathcal{R}\left(\mathbf{A}_{11}\right)$より、$\mathbf{G}$は$\mathbf{T}$の一般逆行列である.

$(2)$

$\mathbf{Q}_{11}^{-}$に対応する$\mathbf{Q}_{11}$に関する$\mathbf{Q}_{11}$のシューアの補元$\mathbf{Q}_{22} - \mathbf{Q}_{21}\mathbf{Q}_{11}^{-}\mathbf{Q}_{12}$を計算すると$\mathbf{G}$に対応する$\mathbf{A}$に関する$\mathbf{T}$のシューアの補元になることを示せば良い。

$$
\begin{aligned}
\mathbf{Q}_{22} - \mathbf{Q}_{21}\mathbf{Q}_{11}^{-}\mathbf{Q}_{12} &= \mathbf{A}_{33}-\mathbf{A}_{31} \mathbf{A}_{11}^{-} \mathbf{A}_{13}-\left(\mathbf{A}_{32}-\mathbf{A}_{31} \mathbf{A}_{11}^{-} \mathbf{A}_{12}\right) \mathbf{Q}_{11}^{-}\left(\mathbf{A}_{23}-\mathbf{A}_{21} \mathbf{A}_{11}^{-} \mathbf{A}_{13}\right) \\&= \mathbf{A}_{33}-\mathbf{A}_{31}\left(\mathbf{A}_{11}^{-}+\mathbf{A}_{11}^{-} \mathbf{A}_{12} \mathbf{Q}_{11}^{-} \mathbf{A}_{21} \mathbf{A}_{11}^{-}\right) \mathbf{A}_{13} \\ & \quad-\mathbf{A}_{31}\left(-\mathbf{A}_{11}^{-} \mathbf{A}_{12} \mathbf{Q}_{11}^{-}\right) \mathbf{A}_{23}-\mathbf{A}_{32}\left(-\mathbf{Q}_{11}^{-} \mathbf{A}_{21} \mathbf{A}_{11}^{-}\right) \mathbf{A}_{13}-\mathbf{A}_{32} \mathbf{Q}_{11}^{-} \mathbf{A}_{23} \\&= \mathbf{A}_{33}-\mathbf{V G U}
\end{aligned}
$$

$(1)$で示したように$\mathbf{G}$は$\mathbf{T}^{-}$であるから、確かに$\mathbf{A}$に関する$\mathbf{T}$のシューアの補元になっている。

$(3)$ $\mathbf{G U}$を$\mathbf{G U}=\left(\begin{array}{l}\mathbf{X}_{1} \\ \mathbf{X}_{2}\end{array}\right)$となるように、$\mathbf{V G}$を$\mathbf{V G}=\left(\mathbf{Y}_{1}, \mathbf{Y}_{2}\right)$ となるように分割する。(ただし、$\mathbf{X}_{1}$、$\mathbf{X}_{2}$、$\mathbf{Y}_{1}$、$\mathbf{Y}_{2}$は$\mathbf{A}_{13}$、$\mathbf{A}_{23}$,$\mathbf{A}_{31}$、$\mathbf{A}_{32}$と同じ次元である。)いま、題意に従って、$\mathbf{G U}$を計算すると、

$$
\begin{aligned} \mathbf{X}_{1} &=\left(\mathbf{A}_{11}^{-}+\mathbf{A}_{11}^{-} \mathbf{A}_{12} \mathbf{Q}_{11}^{-} \mathbf{A}_{21} \mathbf{A}_{11}^{-}\right) \mathbf{A}_{13}+\left(-\mathbf{A}_{11}^{-} \mathbf{A}_{12} \mathbf{Q}_{11}^{-}\right) \mathbf{A}_{23} \\ &=\mathbf{A}_{11}^{-} \mathbf{A}_{13}-\mathbf{A}_{11}^{-} \mathbf{A}_{12} \mathbf{Q}_{11}^{-}\left(\mathbf{A}_{23}-\mathbf{A}_{21} \mathbf{A}_{11}^{-} \mathbf{A}_{13}\right) \\ &=\mathbf{A}_{11}^{-} \mathbf{A}_{13}-\mathbf{A}_{11}^{-} \mathbf{A}_{12} \mathbf{Q}_{11}^{-} \mathbf{Q}_{12}
\end{aligned}
$$

and

$$
\mathbf{X}_{2}=\left(-\mathbf{Q}_{11}^{-} \mathbf{A}_{21} \mathbf{A}_{11}^{-}\right) \mathbf{A}_{13}+\mathbf{Q}_{11}^{-} \mathbf{A}_{23}=\mathbf{Q}_{11}^{-}\left(\mathbf{A}_{23}-\mathbf{A}_{21} \mathbf{A}_{11}^{-} \mathbf{A}_{13}\right)=\mathbf{Q}_{11}^{-} \mathbf{A}_{12}
$$

同様に、
$\mathbf{Y}_{1}=\mathbf{A}_{31} \mathbf{A}_{11}^{-}-\mathbf{Q}_{21} \mathbf{Q}_{11}^{-} \mathbf{A}_{21} \mathbf{A}_{11}^{-}$ 、$\mathbf{Y}_{2}=\mathbf{Q}_{21} \mathbf{Q}_{11}^{-}$も成り立つ。

$\mathbf{(b)}$ (1), (2), and (3)は数学的帰納法によって導く. 定義より、$\mathbf{B}_{11}^{(1)}$は、 $\mathbf{A}_{1}$の一般逆行列であり、 $\mathbf{B}_{22}^{(1)}$は、$\mathbf{A}$の$\mathbf{B}_{11}^{(1)}$に対応する$\mathbf{A}_{1}$ のシューアの補元である。そして、$\mathbf{B}_{12}^{(1)}=\mathbf{B}_{11}^{(1)}\mathbf{U}_{1}$と、$\mathbf{B}_{21}^{(1)}=\mathbf{V}_{1}\mathbf{B}_{11}^{(1)}$も成り立つ。

$\mathbf{B}_{11}^{(i-1)}$が$\mathbf{A}_{i-1}$の一般逆行列であり、 $\mathbf{B}_{22}^{(i-1)}$が、 $\mathbf{B}_{11}^{(i-1)}$に対応する$\mathbf{A}$に関する$\mathbf{A}_{i-1}$のシューアの補元であり、 $\mathbf{B}_{12}^{(i-1)}=\mathbf{B}_{11}^{(i-1)}\mathbf{U}_{i-1}$、$\mathbf{B}_{21}^{(i-1)}=\mathbf{V}_{i-1}\mathbf{B}_{11}^{(i-1)}$ ($2 \leq i \leq k-1$)と仮定する。 そして、$\mathbf{A}_{i}, \mathbf{U}_{i}$, and $\mathbf{V}_{i}$の分割行列をそれぞれ、

$$
\mathbf{A}_{i}=\begin{pmatrix}\mathbf{A}_{i-1} & \mathbf{A}_{12}^{(i-1)} \\ \mathbf{A}_{21}^{(i-1)} & \mathbf{A}_{22}^{(i-1)}\end{pmatrix}, \quad \mathbf{U}_{i}=\begin{pmatrix}\mathbf{A}_{13}^{(i-1)} \\ \mathbf{A}_{23}^{(i-1)}\end{pmatrix}, \quad \text { and } \mathbf{V}_{i}=\left(\mathbf{A}_{31}^{(i-1)}, \mathbf{A}_{32}^{(i-1)}\right)
$$
とする。

(ただし、$\mathbf{A}_{13}^{(i-1)}$は$n_{i-1}^{*}$ 行であり、$\mathbf{A}_{31}^{(i-1)}$は、 $n_{i-1}^{*}$ 列である。) すると、明らかに、

$$
\mathbf{U}_{i-1}=\left(\mathbf{A}_{12}^{(i-1)}, \mathbf{A}_{13}^{(i-1)}\right) \quad \text { and } \quad \mathbf{V}_{i-1}=\begin{pmatrix}\mathbf{A}_{21}^{(i-1)} \\ \mathbf{A}_{31}^{(i-1)}\end{pmatrix}
$$

が成り立つ。今、$\mathbf{B}_{12}^{i-1} = \mathbf{B}_{i-1}\mathbf{U}_{i-1} = (\mathbf{B}_{i-1}\mathbf{A}_{12}^{i-1}, \mathbf{B}_{i-1}\mathbf{A}_{12}^{i-1})$が成り立つ。よって、$\mathbf{X}_{1}^{(i-1)}, \mathbf{X}_{2}^{(i-1)}$の定義から、$\mathbf{X}_{1}^{(i-1)}=\mathbf{B}_{11}^{(i-1)}\mathbf{A}_{12}^{(i-1)}$, $\mathbf{X}_{2}^{(i-1)}=\mathbf{B}_{11}^{(i-1)}\mathbf{A}_{13}^{(i-1)}$, $\mathbf{Y}_{1}^{(i-1)}=\mathbf{A}_{21}^{(i-1)}\mathbf{B}_{11}^{(i-1)}$, and $\mathbf{Y}_{2}^{(i-1)}=\mathbf{A}_{31}^{(i-1)}\mathbf{B}_{11}^{(i-1)}$も成り立つ。

今、$(a)(1)$の一般逆行列の式と見比べると、$\mathbf{A}_{11}^{-} = \mathbf{B}_{11}^{i-1}$、$\mathbf{A}_{11}^{-}\mathbf{A}_{12} = \mathbf{X}_{1}^{(i-1)}$、$\mathbf{Q}_{11}^{-1}=\mathbf{Q}_{11}^{-(i-1)}$、$\mathbf{A}_{21}\mathbf{A}_{11}^{-} = \mathbf{Y}_{1}^{(i-1)}$となる場合である。よって、$\mathbf{B}_{11}^{(i)}$ は、 $\mathbf{A}_{i}$の一般逆行列である。

次に、$(a)(2)$より、$\mathbf{B}_{22}^{(i)}$ は、 $\mathbf{B}_{11}^{(i)}$に対応する$\mathbf{A}$に関する$\mathbf{A}_{i}$ のシューアの補元である。

そして、同様に$(a)(3)$より、$\mathbf{B}_{12}^{(i)}=\mathbf{B}_{11}^{(i)}\mathbf{U}_{i}$ と$\mathbf{B}_{21}^{(i)}=\mathbf{V}_{i}\mathbf{B}_{11}^{(i)}$が成り立つ。

数学的帰納法から、 $\mathbf{B}_{11}^{(i)}$は、$\mathbf{A}_{i}$の一般逆行列であり、$\mathbf{B}_{22}^{(i)}$は、$\mathbf{B}_{11}^{(i)}$に対応する$\mathbf{A}$における$\mathbf{A}_{i}$のシューアの補元であり、$\mathbf{B}_{12}^{(i)}=\mathbf{B}_{11}^{(i)} \mathbf{U}_{i}$と$\mathbf{B}_{21}^{(i)}=\mathbf{V}_{i} \mathbf{B}_{11}^{(i)}$が成り立つ
。そして, $\mathbf{Q}_{11}^{(k-1)}=\mathbf{B}_{22}^{(k-1)}$なので$\mathbf{B}_{11}^{(k-1)}$ は、$\mathbf{A}_{k-1}$の一般逆行列であり、$\mathbf{X}_{1}^{(k-1)}=\mathbf{B}_{12}^{(k-1)}=\mathbf{B}_{11}^{(k-1)} \mathbf{U}_{k-1}$ and $\mathbf{Y}_{1}^{(k-1)}= \mathbf{B}_{21}^{(k-1)}=\mathbf{V}_{k-1} \mathbf{B}_{11}^{(k-1)}$、$\mathbf{A}_{k}=\mathbf{A}$なので、$\mathbf{B}_{22}^{(k-1)}$ は、$\mathbf{B}_{11}^{(k-1)}$に対応する$\mathbf{A}$ に関する$\mathbf{A}_{k-1}$のシューアの補元であり、 $\mathbf{T}=\mathbf{A}_{k-1}$、$\mathbf{U}=\mathbf{U}_{k-1}$、$\mathbf{V}=\mathbf{V}_{k-1}$、 and 定理9.6.1の6.2a式$\mathbf{W}=\mathbf{W}_{k-1}$から、$\mathbf{B}_{11}^{(k)}$は $\mathbf{A}_{k}$の一般逆行列である。

## 10.

$\mathbf{T}$を$m \times p$行列，$\mathbf{W}$を$n \times q$行列，$\mathbf{G}=\begin{pmatrix}\mathbf{G}_{11} & \mathbf{G}_{12} \\ \mathbf{G}_{21} & \mathbf{G}_{22}\end{pmatrix}$（ここで$\mathbf{G}_{11}$は$p\times m$次元とする）を$(m+n) \times (p+q)$ブロック対角行列$\mathbf{A}=\begin{pmatrix}\mathbf{T} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{W}\end{pmatrix}$の任意の一般逆行列とする.$\mathbf{G}_{11}$が$\mathbf{T}$の一般逆行列であり,$\mathbf{G}_{22}$が$\mathbf{W}$の一般逆行列であることを示せ. また$\mathbf{T} \mathbf{G}_{12} \mathbf{W}=\mathbf{0}$と$\mathbf{W G}_{21} \mathbf{T}=\mathbf{0}$が成り立つことを示せ.

----

解. (kumada)

$\mathbf{G}$が$\mathbf{A}$の一般逆行列より、以下の展開が成り立つ。

$$
\left(\begin{array}{cc}
\mathbf{T} & \mathbf{0} \\
\mathbf{0} & \mathbf{W}
\end{array}\right)=\mathbf{A}=\mathbf{A} \mathbf{G A}=\left(\begin{array}{ll}
\mathbf{T G}_{11} & \mathbf{T G}_{12} \\
\mathbf{W G}_{21} & \mathbf{W G}
\end{array}\right) \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ll}
\mathbf{T G}_{11} \mathbf{T} & \mathbf{T G}_{12} \mathbf{W} \\
\mathbf{W G}_{21} \mathbf{T} & \mathbf{W G}_{22} \mathbf{W}
\end{array}\right)
$$

ブロック成分$(1,1)$に着目して、$\mathbf{T G}_{11} \mathbf{T}=\mathbf{T}$より、$\mathbf{G}_{11}$は$\mathbf{T}$の一般逆行列である。
ブロック成分$(2,2)$に着目して、$\mathbf{W G}_{22} \mathbf{W}=\mathbf{W}$より、$\mathbf{G}_{22}$は$\mathbf{W}$の一般逆行列である。
ブロック成分$(1,2),(2,1)$に着目して、$\mathbf{T} \mathbf{G}_{12} \mathbf{W}=\mathbf{0}$と$\mathbf{W} \mathbf{G}_{21} \mathbf{T}=\mathbf{0}$が成り立つ。

## 11.

$\mathbf{T}$を$m \times p$行列,$\mathbf{U}$を$m \times q$行列,$\mathbf{V}$を$n \times p$行列,$\mathbf{W}$を$n \times q$行列とし, $\mathbf{Q}=\mathbf{W}-\mathbf{V} \mathbf{T}^{-} \mathbf{U}$と置く.$\mathcal{C}(\mathbf{U}) \subset \mathcal{C}(\mathbf{T})$と$\mathcal{R}(\mathbf{V}) \subset(\mathbf{T})$が成り立つと仮定する.

$$
\begin{pmatrix}\mathbf{I} & \mathbf{0} \\ -\mathbf{V T}^{-} & \mathbf{I}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\mathbf{T} & \mathbf{U} \\ \mathbf{V} & \mathbf{W}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\mathbf{I} & -\mathbf{T}^{-} \mathbf{U} \\ \mathbf{0} & \mathbf{I}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\mathbf{T} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{Q}\end{pmatrix}
$$

を示し, 次いで補助定理9.2.4と練習問題10の結果を用いて, 分割行列$\begin{pmatrix}\mathbf{T} & \mathbf{U} \\ \mathbf{V} & \mathbf{W}\end{pmatrix}$の任意の一般逆行列$\mathbf{G}=\begin{pmatrix}\mathbf{G}_{11} & \mathbf{G}_{12} \\ \mathbf{G}_{21} & \mathbf{G}_{22}\end{pmatrix}$に対して,$q \times n$部分行列$\mathbf{G}_{22}$が$\mathbf{Q}$の一般逆行列であることを示して, 定理9.6.5 の最初の部分の別証明を導け.

----

解. (Hamada)

$\mathbf{G}_{22}$が$\mathbf{Q}$の一般逆行列であるという主張が定理9.6.5の前半の主張そのものである。以下これを示す。

補助定理9.3.5（$\mathbf{B}=\mathbf{A}\mathbf{A}^-\mathbf{B} \Leftrightarrow \mathcal{C}(\mathbf{B}) \subset \mathcal{C}(\mathbf{A}), \quad
\mathbf{C}=\mathbf{C}\mathbf{A}^-\mathbf{A} \Leftrightarrow \mathcal{R}(\mathbf{C}) \subset \mathcal{R}(\mathbf{A})$）より、
$\mathbf{U}=\mathbf{T}\mathbf{T}^-\mathbf{U},\mathbf{V}=\mathbf{V}\mathbf{T}^-\mathbf{T}$である。

よって、

$$
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
\mathbf{I} & \mathbf{0} \\
-\mathbf{V T}^{-} & \mathbf{I}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\mathbf{T} & \mathbf{U} \\
\mathbf{V} & \mathbf{W}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\mathbf{I} & -\mathbf{T}^{-} \mathbf{U} \\
\mathbf{0} & \mathbf{I}
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
\mathbf{T} & \mathbf{U} \\
\mathbf{-VT}^-\mathbf{T} + \mathbf{V} & \mathbf{-VT}^-\mathbf{U} + \mathbf{W}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\mathbf{I} & -\mathbf{T}^{-} \mathbf{U} \\
\mathbf{0} & \mathbf{I}
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
\mathbf{T} & \mathbf{U} \\
\mathbf{0} & \mathbf{Q}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\mathbf{I} & -\mathbf{T}^{-} \mathbf{U} \\
\mathbf{0} & \mathbf{I}
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
\mathbf{T} & \mathbf{-TT}^-\mathbf{U} + \mathbf{U} \\
\mathbf{0} & \mathbf{Q}
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
\mathbf{T} & \mathbf{0} \\
\mathbf{0} & \mathbf{Q}
\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$

である。

補助定理9.2.4(3)（$\mathbf{A}$と$\mathbf{C}$が非特異行列のとき、
$\mathbf{G}$が$\mathbf{ABC}$の一般逆行列$\Leftrightarrow \mathbf{B}$ の適当な一般逆行列 $\mathbf{H}$ に対して $\mathbf{G}=\mathbf{C}^{-1}\mathbf{HA}^{-1}$）
より、
分割行列$\begin{pmatrix}\mathbf{T} & \mathbf{U} \\ \mathbf{V} & \mathbf{W}\end{pmatrix}$の任意の一般逆行列$\mathbf{G}=\begin{pmatrix}\mathbf{G}_{11} & \mathbf{G}_{12} \\ \mathbf{G}_{21} & \mathbf{G}_{22}\end{pmatrix}$に対して

$$
\begin{pmatrix}
\mathbf{I} & \mathbf{-T}^{-}\mathbf{U} \\
\mathbf{0} & \mathbf{I}
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}
\mathbf{G}_{11} & \mathbf{G}_{12} \\
\mathbf{G}_{21} & \mathbf{G}_{22}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\mathbf{I} & \mathbf{0} \\
\mathbf{-VT}^{-} & \mathbf{I}
\end{pmatrix}^{-1}
$$

は$\begin{pmatrix}\mathbf{T} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{Q}\end{pmatrix}$の一般逆行列である。問10の結果からこの行列の右下ブロックは$\mathbf{Q}$の一般逆行列であるから、あとは右下ブロックが$\mathbf{G}_{22}$であることを示せばよい。この行列を計算すると

$$
\begin{aligned}
&
\begin{pmatrix}
\mathbf{I} & \mathbf{-T}^{-}\mathbf{U} \\
\mathbf{0} & \mathbf{I}
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}
\mathbf{G}_{11} & \mathbf{G}_{12} \\
\mathbf{G}_{21} & \mathbf{G}_{22}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\mathbf{I} & \mathbf{0} \\
\mathbf{-VT}^{-} & \mathbf{I}
\end{pmatrix}^{-1} \\
&=
\begin{pmatrix}
\mathbf{I} & \mathbf{T}^{-}\mathbf{U} \\
\mathbf{0} & \mathbf{I}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\mathbf{G}_{11} & \mathbf{G}_{12} \\
\mathbf{G}_{21} & \mathbf{G}_{22}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\mathbf{I} & \mathbf{0} \\
\mathbf{VT}^{-} & \mathbf{I}
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
\mathbf{G}_{11} + \mathbf{T}^{-}\mathbf{U}\mathbf{G}_{21} & \mathbf{G}_{12} + \mathbf{T}^{-}\mathbf{U}\mathbf{G}_{22} \\
\mathbf{G}_{21} & \mathbf{G}_{22}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\mathbf{I} & \mathbf{0} \\
\mathbf{VT}^{-} & \mathbf{I}
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
\mathbf{G}_{11} + \mathbf{T}^{-}\mathbf{U}\mathbf{G}_{21} + \mathbf{G}_{12}\mathbf{VT}^{-} + \mathbf{T}^{-}\mathbf{UG}_{22}\mathbf{VT}^{-} & \mathbf{G}_{12} + \mathbf{T}^{-}\mathbf{U}\mathbf{G}_{22} \\
\mathbf{G}_{21} + \mathbf{G}_{22}\mathbf{VT}^{-} & \mathbf{G}_{22}
\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$

となり、右下ブロックは$\mathbf{G}_{22}$である。よって示された。

## 12.

$\mathbf{T}$を$m\times p$行列，$\mathbf{U}$を$m \times q$行列，$\mathbf{V}$を$n \times p$行列，$\mathbf{W}$を$n \times q$行列とし，$\mathbf{A} = \begin{pmatrix}\mathbf{T} & \mathbf{U} \\ \mathbf{V} & \mathbf{W}\end{pmatrix}$と置く.

$\mathbf{(a)}$ $\mathbf{Q}^{\prime}=\mathbf{W}-\mathbf{V} \mathbf{T}^{-} \mathbf{U}$と定義し,$\mathbf{G}_{11}=\mathbf{T}^{-}+\mathbf{T}^{-} \mathbf{U} \mathbf{Q}^{-} \mathbf{V}^{-}, \mathbf{G}_{12}= -\mathbf{T}^{-} \mathbf{U} \mathbf{Q}^{-}, \mathbf{G}_{21}=-\mathbf{Q}^{-} \mathbf{V} \mathbf{T}^{-}, \mathbf{G}_{22}=\mathbf{Q}^{-}$として,$\mathbf{G}=\left(\begin{array}{cc}\mathbf{G}_{11} & \mathbf{G}_{12} \\ \mathbf{G}_{21} & \mathbf{G}_{22}\end{array}\right)$と置く. 行列

$$\mathbf{G}_{11}-\mathbf{G}_{12} \mathbf{G}_{22}^{-} \mathbf{G}_{21}$$

が$\mathbf{T}$の一般逆行列であることを示せ. (註:もし定理9.6.1 の条件($\mathcal{C}(\mathbf{U}) \subset \mathcal{C}(\mathbf{T})$かつ$\mathcal{R}(\mathbf{V}) \subset \mathcal{R}(\mathbf{T})$) が満たされるならば，あるいはもっと一般に，もし練習問題8の条件$\mathbf{(1)-(3)}$が満たされるならば，$\mathbf{G}$は$\mathbf{A}$の一般逆行列である.)

$\mathbf{(b)}$ $\mathbf{T}$, $\mathbf{U}$, $\mathbf{V}$, $\mathbf{W}$のある値に対して，行列

$$\mathbf{G}_{11}-\mathbf{G}_{12} \mathbf{G}_{22}^{-} \mathbf{G}_{21}$$

が$\mathbf{T}$の一般逆行列でないような$\mathbf{A}$の一般逆行列$\mathbf{G}=\left(\begin{array}{ll}\mathbf{G}_{11} & \mathbf{G}_{12} \\ \mathbf{G}_{21} & \mathbf{G}_{22}\end{array}\right)$の例を示せ. (ここで$\mathbf{G}_{11}$は$p \times m$次元,$\mathbf{G}_{12}$は$p \times n$次元,$\mathbf{G}_{21}$は$q \times m$次元,$\mathbf{G}_{22}$は$q \times n$次元とする.)

----

$\mathbf{(a)}$

$$
\begin{aligned} \mathbf{G}_{11}-\mathbf{G}_{12} \mathbf{G}_{22}^{-} \mathbf{G}_{21} &=\mathbf{T}^{-}+\mathbf{T}^{-} \mathbf{U} \mathbf{Q}^{-} \mathbf{V} \mathbf{T}^{-}-\mathbf{T}^{-} \mathbf{U} \mathbf{Q}^{-}\left(\mathbf{Q}^{-}\right)^{-} \mathbf{Q}^{-} \mathbf{V} \mathbf{T}^{-} \\ &=\mathbf{T}^{-}+\mathbf{T}^{-} \mathbf{U} \mathbf{Q}^{-} \mathbf{V} \mathbf{T}^{-}-\mathbf{T}^{-} \mathbf{U} \mathbf{Q}^{-} \mathbf{V} \mathbf{T}^{-} \\ &=\mathbf{T}^{-} \end{aligned}
$$

$\mathbf{(b)}$

$\mathbf{T}=\left(\begin{array}{ll}\mathbf{I} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0}\end{array}\right), \mathbf{U}=\mathbf{0}, \mathbf{V}=\mathbf{0}$, $\mathbf{W}=\mathbf{0}$, の場合を考える.

このとき、

$$
\mathbf{G}=\left(\begin{array}{ll}
\mathbf{G}_{11} & \mathbf{G}_{12} \\
\mathbf{G}_{21} & \mathbf{G}_{22}
\end{array}\right) .
$$

において、
$\mathbf{G}_{11}=\mathbf{T}^{-}, \mathbf{G}_{22}=\mathbf{0}$, であり$\mathbf{G}_{12}$ と $\mathbf{G}_{21}$は任意の値をとる(愚直にAGAを計算)。このとき、$\mathbf{G}$は$\mathbf{A}$の一般化逆行列になっている.
さらに、$\mathbf{T}\left(\mathbf{G}_{11}-\mathbf{G}_{12} \mathbf{G}_{22}^{-} \mathbf{G}_{21}\right) \mathbf{T}=\mathbf{T}-\mathbf{T G}_{12} \mathbf{G}_{22}^{-} \mathbf{G}_{21} \mathbf{T}$であることから、$\mathbf{G}_{11}-\mathbf{G}_{12} \mathbf{G}_{22}^{-} \mathbf{G}_{21}$が$\mathbf{T}$の一般化逆行列になるのは$\mathbf{T G}_{12} \mathbf{G}_{22}^{-} \mathbf{G}_{21} \mathbf{T}=\mathbf{0}$であるときのみである. 例えば,$\mathbf{G}_{12}, \mathbf{G}_{22}^{-}$, $\mathbf{G}_{21}$の(1,1)成分が0でないとき、$\mathbf{T G}_{12} \mathbf{G}_{22}^{-} \mathbf{G}_{21} \mathbf{T}$の(1,1)成分は0ではなくなり$\mathbf{T G}_{12} \mathbf{G}_{22}^{-} \mathbf{G}_{21} \mathbf{T}$は0ではなくなるため、$\mathbf{G}_{11}-\mathbf{G}_{12} \mathbf{G}_{22}^{-} \mathbf{G}_{21}$は$\mathbf{T}$の一般化逆行列ではない.