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title: 第6章 練習問題

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# 第6章 練習問題

## 1.

線形空間$\mathcal{V}$の中の任意の2 つの行列$\mathbf{A, B}$に対して，

$$
\|\mathbf{A}+\mathbf{B}\| \leq \|\mathbf{A}\|+\|\mathbf{B}\|
$$

であり，この等号は$\mathbf{B} = \mathbf{0}$あるいはある非負のスカラー$k$に対して$\mathbf{A} = k\mathbf{B}$で あるときかつそのときに限って成り立つことを，シュヴァルツの不等式を用いて示せ. (この不等式は三角不等式として知られている.)

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解. (Hamada)

両辺は非負なので、両辺を二乗した不等式

$$
\|\mathbf{A}+\mathbf{B}\|^2 \leq (\|\mathbf{A}\|+\|\mathbf{B}\|)^2
$$

を示せばよい。これを同値変形すると

\begin{align}
(\mathbf{A} + \mathbf{B}) \cdot (\mathbf{A} + \mathbf{B}) &\leq \|\mathbf{A}\|^2 + 2 \|\mathbf{A}\| \|\mathbf{B}\| + \|\mathbf{B}\|^2 \\
\mathbf{A} \cdot \mathbf{A} + 2 \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} + \mathbf{B} \cdot \mathbf{B} &\leq \mathbf{A} \cdot \mathbf{A} + 2 \|\mathbf{A}\| \|\mathbf{B}\| + \mathbf{B} \cdot \mathbf{B} \\
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} &\leq \|\mathbf{A}\| \|\mathbf{B}\| \tag{1}
\end{align}

となる。ここでシュヴァルツの不等式より

\begin{align}
|\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}| \leq \|\mathbf{A}\| \|\mathbf{B}\| \tag{2}
\end{align}

すなわち

\begin{align}
-\|\mathbf{A}\| \|\mathbf{B}\| \leq \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} \leq \|\mathbf{A}\| \|\mathbf{B}\|
\end{align}

が成り立つ。よって式(1)が成り立つ。

式(1)の等号成立条件について考える。式(2)で等号が成り立つことは式(1)で等号が成り立つことの必要条件なので、式(2)の等号成立条件「$\mathbf{B} = \mathbf{0}$ あるいはあるスカラー $k$ に対して$\mathbf{A} = k\mathbf{B}$」を満たす場合に絞って考えればよい。

$\mathbf{B} = \mathbf{0}$ のとき、式(1)は等号で成り立つ。あるスカラー $k$ に対して$\mathbf{A} = k\mathbf{B}$ であるとき、式(1)の左辺は $\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = k \|\mathbf{B}\|^2$ であり、式(1)の右辺は

$$
\begin{array}{rlrl}
\|\mathbf{A}\| \|\mathbf{B}\| = & -k \|\mathbf{B}\|^2 & k < 0\ \textrm{のとき} \\ & k \|\mathbf{B}\|^2 & k \geq 0\ \textrm{のとき}
\end{array}
$$

である。以上から、式(1)の等号成立条件は「$\mathbf{B} = \mathbf{0}$ あるいはある**非負の**スカラー $k$ に対して$\mathbf{A} = k\mathbf{B}$」である。




## 2.

$\mathbf{A, B, C}$を線形空間$\mathcal{V}$の中の任意の行列とするとき，次のことを示せ. ($\mathbf{(c)}$ には練習問題1 の結果，すなわち，三角不等式を用いよ.)
$\mathbf{(a)}$ $\delta(\mathbf{B}, \mathbf{A}) =  \delta(\mathbf{A}, \mathbf{B})$，すなわち，$\mathbf{B}$と$\mathbf{A}$との聞の距離は$\mathbf{A}$と$\mathbf{B}$との問の距離に等しい.
$\mathbf{(b)}$

$$
\begin{array}{rlrl}\delta(\mathbf{A}, \mathbf{B}) & >0 & \mathbf{A} \neq \mathbf{B} \textrm{のとき} \\ & =0 & \mathbf{A}=\mathbf{B} \textrm{のとき}\end{array}
$$
である.すなわち，任意の2つの行列の聞の距離は， 2 つの行列が同じものでない限り，0より大きい.同じものの場合にはそれらの聞の距離は0である.
$\mathbf{(c)}$ $\delta(\mathbf{A}, \mathbf{B}) \leq \delta(\mathbf{A}, \mathbf{C})+\delta(\mathbf{C}, \mathbf{B})$，すなわち，$\mathbf{A}$と$\mathbf{B}$との間の距離は$\mathbf{A}$と$\mathbf{C}$との問の距離と$\mathbf{C}$と$\mathbf{B}$との聞の距離との和以下である.
$\mathbf{(d)}$ $\delta(\mathbf{A}, \mathbf{B})=\delta(\mathbf{A}+\mathbf{C}, \mathbf{B}+\mathbf{C})$，すなわち，距離は「軸」の平行移動によって影響されない.

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解. (tomita)

$\mathbf{(a)}$  $\delta(\mathbf{B}, \mathbf{A})$は $\mathbf{B}-\mathbf{A}$の対角要素の二乗和の平方根なので、$\delta(\mathbf{B}, \mathbf{A}) =  \delta(\mathbf{A}, \mathbf{B})$
\begin{aligned}
\delta(\mathbf{B}, \mathbf{A}) &=\|\mathbf{B}-\mathbf{A}\| \\
&=\|(-1)(\mathbf{A}-\mathbf{B})\|=|-1|\|\mathbf{A}-\mathbf{B}\|=\|\mathbf{A}-\mathbf{B}\|=\delta(\mathbf{A}, \mathbf{B}) .
\end{aligned}
$\mathbf{(b)}$　\begin{aligned} \mathbf{A}-\mathbf{B} \neq \mathbf{0} ,すなわち\mathbf{A} \neq \mathbf{B}のとき, \delta(\mathbf{A}, \mathbf{B})=\|\mathbf{A}-\mathbf{B}\| &>0, \\
\mathbf{A}-\mathbf{B}=\mathbf{0} ,すなわち\mathbf{A}=\mathbf{B}のとき, \delta(\mathbf{A}, \mathbf{B})=\|\mathbf{A}-\mathbf{B}\| =0, & \end{aligned}
$\mathbf{(c)}$ \begin{aligned} \delta(\mathbf{A}, \mathbf{B}) &=\|\mathbf{A}-\mathbf{B}\| \\
&=\|(\mathbf{A}-\mathbf{C})+(\mathbf{C}-\mathbf{B})\| \\
& \leq\|\mathbf{A}-\mathbf{C}\|+\|\mathbf{C}-\mathbf{B}\|  *練習(1)の定理 \\
&=\delta(\mathbf{A}, \mathbf{C})+\delta(\mathbf{C}, \mathbf{B})
\end{aligned}
$\mathbf{(d)}$ \begin{aligned} \delta(\mathbf{A}+\mathbf{C}, \mathbf{B}+\mathbf{C})=\|(\mathbf{A}+\mathbf{C})-(\mathbf{B}+\mathbf{C})\|=\|\mathbf{A}-\mathbf{B}\|=\delta(\mathbf{A}, \mathbf{B})
\end{aligned}
## 3.

$\mathbf{w}_{1}^{\prime}, \mathbf{w}_{2}^{\prime}, \mathbf{w}_{3}^{\prime}$をそれぞれ線形空間$\mathcal{R}^{4}$の中の3個の線形独立な4次元行ベクトル$(6,0,-2,3),(-2,4,4,2),(0,5,-1,2)$とし，内積の通常の定義を採用する.
$\mathbf{(a)}$ 線形空間$\operatorname{sp}\left(\mathbf{w}_{1}^{\prime}, \mathbf{w}_{2}^{\prime}, \mathbf{w}_{3}^{\prime}\right)$の正規直交基底をグラムーシュミットの直交化法 を用いて求めよ.
$\mathbf{(b)}$ $\mathbf{(a)}$ で求めた3 個の正規直交ベクトルを含む$\mathcal{R}^{4}$の正規直交基底を求めよ.それには， ($\mathbf{(a)}$ より])4 番目の線形独立な行ベクトルとしてたとえば$(0, 1, 0, 0)$に対してグラムーシュミットの直交化法の結果を拡張せよ.

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解. (Ogura)

$\mathbf{(a)}$

<u>Step 1</u> 定理6.4.1に従い、$\{\mathbf{w}'_1, \mathbf{w}'_2, \mathbf{w}'_3\}$から、互いに直交するベクトルの集合$\{\mathbf{y}'_1, \mathbf{y}'_2, \mathbf{y}'_3\}$をつくる。

\begin{aligned}
\mathbf{y}'_1 &= \mathbf{w}'_1 = (6, 0, -2, 3) \notag \\
\mathbf{y}'_2 &= \mathbf{w}'_2 - \frac{\mathbf{w}'_2\mathbf{y}_1}{\mathbf{y}'_1\mathbf{y}_1} \mathbf{y}'_1 \notag \\
&= (-2, 4, 4, 2) - \frac{(-14)}{49} (6, 0, -2, 3) \notag \\
&= \frac{1}{7} (-2, 28, 24, 20) \notag \\
\mathbf{y}'_3 &= \mathbf{w}'_3 - \frac{\mathbf{w}'_3\mathbf{y}_2}{\mathbf{y}'_2\mathbf{y}_2} \mathbf{y}'_2 - \frac{\mathbf{w}'_3\mathbf{y}_1}{\mathbf{y}'_1\mathbf{y}_1} \mathbf{y}'_1 \notag \\
&= (0, 5, -1, 2) - \frac{156}{252} \cdot \frac{1}{7} (-2, 28, 24, 20) - \frac{8}{49} (6, 0, -2, 3) \notag \\
&= \frac{1}{147} (-118, 371, -411, -38).
\end{aligned}

<u>Step 2</u> $\{\mathbf{y}'_1, \mathbf{y}'_2, \mathbf{y}'_3\}$を正規化した、ベクトルの集合$\{\mathbf{z}'_1, \mathbf{z}'_2, \mathbf{z}'_3\}$をつくる。

\begin{aligned}
\mathbf{z}'_1 &= \frac{\mathbf{y}'_1}{\|\mathbf{y}'_1\|} = \frac{1}{7} (6, 0, -2, 3) \notag \\
\mathbf{z}'_2 &= \frac{\mathbf{y}'_2}{\|\mathbf{y}'_2\|} = \frac{1}{6} (-2, 28, 24, 20) \notag \\
&= \frac{1}{3} (-1, 14, 12, 10) \notag \\
\mathbf{z}'_3 &= \frac{\mathbf{y}'_3}{\|\mathbf{y}'_3\|} = \frac{1}{\sqrt{321930}} (-118, 371, -411, -38) \notag
\end{aligned} 

$\mathbf{(b)}$

<u>Step 1</u> 定理6.4.1に従い、$\mathbf{y}'_4$を計算する。

\begin{aligned}
\mathbf{y}'_4 &= \mathbf{w}'_4 - \frac{\mathbf{w}'_4\mathbf{y}_3}{\mathbf{y}'_3\mathbf{y}_3} \mathbf{y}'_3 - \frac{\mathbf{w}'_4\mathbf{y}'_2}{\mathbf{y}'_2\mathbf{y}_2} \mathbf{y}'_2 \notag \\
&= (0, 1, 0, 0) - \frac{371}{2190} \cdot \frac{1}{147} (-118, 371, -411, -38) - \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{7} (-2, 28, 24, 20) \notag \\
&= \frac{1}{321930} (53998, 41209, 29841, -88102). \notag
\end{aligned}

<u>Step 2</u> $\mathbf{y}'_4$を正規化した$\mathbf{z}'_4$を計算する。

$$
\mathbf{z}'_4 = \frac{\mathbf{y}'_4}{\|\mathbf{y}'_4\|} = \frac{1}{\sqrt{13266413370}} (53998, 41209, 29841, -88102).
$$




## 4.

$\{ \mathbf{A}_{1},\ldots, \mathbf{A}_{k} \}$を線形空間$\mathcal{V}$の中の空でない(線形従属なものもあり得る)集合とする.

$\mathbf{(a)}$ (次のことを示すことによって)定理6.4.1を一般化せよ. (1) $k$個の行列

$$
\begin{aligned} \mathbf{B}_{1} &=\mathbf{A}_{1} \\ \mathbf{B}_{2} &=\mathbf{A}_{2}-x_{12} \mathbf{B}_{1} \\ \vdots & \\ \mathbf{B}_{j} &=\mathbf{A}_{j}-x_{j-1, j} \mathbf{B}_{j-1}-\cdots-x_{1 j} \mathbf{B}_{1} \\ \vdots & \\ \mathbf{B}_{k} &=\mathbf{A}_{k}-x_{k-1, k} \mathbf{B}_{k-1}-\cdots-x_{1 k} \mathbf{B}_{1} \end{aligned}
$$

から成る集合が直交すること. (2) $j = 1 ,\ldots, k$と$\mathbf{B}_{i} \neq 0$を満たす$i \lt j$に対して，$x_{ij}$が

$$
x_{i j}=\frac{\mathbf{A}_{j} \cdot \mathbf{B}_{i}}{\mathbf{B}_{i} \cdot \mathbf{B}_{i}}
$$

によって一意に与えられること. (3) $\mathbf{B}_{1}, \ldots, \mathbf{B}_{k}$ の聞の$\mathbf{0}$でない行列の数が$\operatorname{dim}\left[\operatorname{sp}\left(\mathbf{A}_{1}, \ldots, \mathbf{A}_{k}\right)\right]$に等しいこと.

$\mathbf{(b)}$ $\operatorname{sp}\left(\mathbf{A}_{1}, \ldots, \mathbf{A}_{k}\right)$の正規直交基底を構築する手順を述べよ.

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`参考`

グラムシュミットの直交化法のイメージ
![](https://i.imgur.com/Ruli0O8.jpg)


`(a)の証明`

数学的帰納法によって(1)と(2)を証明する。$k=1$なら自明。

$j=1,\cdots ,(k-1)$で命題の成立を仮定する。すなわち、問題文で定義されるような$\{\mathbf{B}_j\}_{j=1,\cdots k-1}$に対して、(1) $\mathbf{B}_{1}, \ldots, \mathbf{B}_{k-1}$ が互いに直交することを仮定する。

まずは、(1)$\mathbf{B}_k \cdot \mathbf{B}_i=0 (\forall i)$となることを証明する。$\mathbf{B}_{i}=\mathbf{0}$の場合は(1)は自明に成立するので、$\mathbf{B}_{i}\neq \mathbf{0}$の場合を考える。定理6.4.1の証明と同様に式変形して、
\begin{align}
&\mathbf{B}_k \cdot \mathbf{B}_i\\
=& (\mathbf{A}_{k}-x_{k-1, k} \mathbf{B}_{k-1}-\cdots-x_{1 k} \mathbf{B}_{1} )\cdot \mathbf{B}_i\\ 
=& \mathbf{A}_{k} \cdot \mathbf{B}_{i}-x_{i k}\left(\mathbf{B}_{i} \cdot \mathbf{B}_{i}\right)
\end{align}
の第3式がゼロとなればよい。$\mathbf{B}_k \cdot \mathbf{B}_i=0$は、
$$
x_{i k}=\frac{\mathbf{A}_{k} \cdot \mathbf{B}_{i}}{\mathbf{B}_{i} \cdot \mathbf{B}_{i}} .
$$
の時、かつそのときに限って成立する。以上より(1)の証明が完了し、(2)$x_{ij}$の一意性（$\mathbf{B}_{i}\neq \mathbf{0}$の場合）も証明できた。

次に、(3)を証明する。$\mathbf{B}_{1}, \ldots, \mathbf{B}_{k}$ は$\mathbf{A}_{1}, \ldots, \mathbf{A}_{k}$ の線型結合で表せるので$\operatorname{sp}\left(\mathbf{B}_{1}, \ldots, \mathbf{B}_{k}\right) \subset \operatorname{sp}\left(\mathbf{A}_{1}, \ldots, \mathbf{A}_{k}\right)$である。さらに、$\mathbf{A}_{1}, \ldots, \mathbf{A}_{k}$ は$\mathbf{B}_{1}, \ldots, \mathbf{B}_{k}$ の線型結合で表せるので、$\operatorname{sp}\left(\mathbf{B}_{1}, \ldots, \mathbf{B}_{k}\right)\supset \operatorname{sp}\left(\mathbf{A}_{1}, \ldots, \mathbf{A}_{k}\right)$である。従って、$\operatorname{sp}\left(\mathbf{B}_{1}, \ldots, \mathbf{B}_{k}\right)=\operatorname{sp}\left(\mathbf{A}_{1}, \ldots, \mathbf{A}_{k}\right)$である。

$\mathbf{B}_{1}, \ldots, \mathbf{B}_{k}$が互いに直交することから、$\mathbf{B}_{1}, \ldots, \mathbf{B}_{k}$のうちゼロでない行列の集合は、補助定理6.2.1により互いに線型独立である。従って、$\mathbf{B}_{1}, \ldots, \mathbf{B}_{k}$のうちゼロでない行列の集合は$\operatorname{sp}\left(\mathbf{B}_{1}, \ldots, \mathbf{B}_{k}\right)$の基底（＝$\operatorname{sp}\left(\mathbf{A}_{1}, \ldots, \mathbf{A}_{k}\right)$の基底）を成す。従って、基底の数は線型空間の次元に等しいので、題意は示された。


`(b)の証明`

(a)の方法で構成した$\mathbf{B}_{1}, \ldots, \mathbf{B}_{k}$のうち、ゼロでない行列のみを選べば良い。

## 5.

$\mathbf{A}$を階数$r$の$m \times k$行列とする(ここで$r$は$k$より小さいこともある). 次の$\mathbf{A} = \mathbf{QR}_{1}$の形の分解を得るのに練習問題4の結果を用いて，結果(4.3) を一般化せよ.ここで$\mathbf{Q}$は正規直交列をもつ$m \times r$行列であり，また$\mathbf{R}_{1}$は，行が$r$個の正の対角要素と$k-r$個の$\mathbf{0}$行をもつ$k\times k$上三角行列$\mathbf{R}$の$r$個の$\mathbf{0}$でない行から成る$r \times k$部分行列である.

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行列$\mathbf{A}$の1〜$k$番目の列ベクトルをそれぞれ$\mathbf{a}_{1}, \ldots, \mathbf{a}_{k}$とする。

練習問題4に従って、漸化的に定義される$k$個の列ベクトル$\mathbf{b}_{1}, \ldots, \mathbf{b}_{k}$を成す
スカラー$x_{i j}(i<j=1, \ldots, k)$が存在する。


$\mathbf{b}_{1}=\mathbf{a}_{1}$,
$\mathbf{b}_{2}=\mathbf{a}_{2}-x_{12} \mathbf{b}_{1}$,
$\vdots$
$\mathbf{b}_{j}=\mathbf{a}_{j}-x_{j-1, j} \mathbf{b}_{j-1}-\cdots-x_{1 j} \mathbf{b}_{1}$,
$\vdots$
$\mathbf{b}_{k}=\mathbf{a}_{k}-x_{k-1, k} \mathbf{b}_{k-1}-\cdots-x_{1 k} \mathbf{b}_{1}$

すなわち、等式

$\mathbf{a}_{1}=\mathbf{b}_{1}$
$\mathbf{a}_{2}=\mathbf{b}_{2}+x_{12} \mathbf{b}_{1}$,
$\vdots$
$\mathbf{a}_{j}=\mathbf{b}_{j}+x_{j-1, j} \mathbf{b}_{j-1}+\cdots+x_{1 j} \mathbf{b}_{1}$
$\vdots$
$\mathbf{a}_{k}=\mathbf{b}_{k}+x_{k-1, k} \mathbf{b}_{k-1}+\cdots+x_{1 k} \mathbf{b}_{1}$

となり、$\mathbf{b}_{1}, \ldots, \mathbf{b}_{k}$は直交系を成す。
$\mathbf{b}_{1}, \ldots, \mathbf{b}_{k}$の中で、r個が非ゼロのベクトルで、それぞれのベクトルを$s_{1}$〜$s_{r}$でラベルする。

また、$i<j$において$x_{i j}$は

$x_{i j}=\frac{\mathbf{a}_{j} \cdot \mathbf{b}_{i}}{\mathbf{b}_{i} \cdot \mathbf{b}_{i}}$

によって一意に表すことができる。（グラムシュミットの直交化法）

ここで、行列$\mathbf{B}$は$m \times k$行列で1〜$k$番目の列ベクトルを$\mathbf{b}_{1}, \ldots, \mathbf{b}_{k}$とする。

また、$\mathbf{X}$を$k \times k$の上三角行列で$i j$番目要素$($ $i<j=1, \ldots, k)$を$x_{i j}$とする。

この時$\mathbf{B X}$の第一列ベクトルは$\mathbf{b}_{1}$、$j$番目の列ベクトル$($$j=2, \ldots, k)$は

$\mathbf{b}_{j}+x_{j-1, j} \mathbf{b}_{j-1}+\cdots+x_{1 j} \mathbf{b}_{1}$となる。

(2.2.9)　の結果を用いると以下になる。

$\mathbf{A}=\mathbf{B} \mathbf{X}=\mathbf{B}_{1} \mathbf{X}_{1}$

$\mathbf{B}_{1}$は$m \times r$の$\mathbf{B}$の部分行列で各ベクトルは
$\mathbf{B}$の$S_{1}$番目〜$S_{r}$番目の列ベクトルである。

$\mathbf{X}_{1}$は$r \times k$の$\mathbf{X}$の部分行列で各ベクトルは
$\mathbf{X}$の$S_{1}$番目〜$S_{r}$番目の列ベクトルである。

そして、行列分解$\mathbf{A}=\mathbf{B}_{1} \mathbf{X}_{1}$は以下にも表現できる。

$\mathbf{A}=\mathbf{Q} \mathbf{R}_{1}$

ここで、$\mathbf{Q}=\mathbf{B}_{1} \mathbf{D}$,$\mathbf{D}=\operatorname{diag}\left(\left\|\mathbf{b}_{s_{1}}\right\|^{-1}, \ldots,\left\|\mathbf{b}_{s_{r}}\right\|^{-1}\right)$

また、$\mathbf{R}_{1}=\mathbf{E X _ { 1 }}$,$\mathbf{E}=\operatorname{diag}\left(\left\|\mathbf{b}_{s_{1}}\right\|, \ldots,\left\|\mathbf{b}_{s_{r}}\right\|\right)$

ここで、$\mathbf{Q}$は$m \times r$行列で、$j$番目の列ベクトルは$\left\|\mathbf{b}_{s_{j}}\right\|^{-1} \mathbf{b}_{s_{j}}$となる。

また、$\mathbf{R}_{1}=\left\{r_{i j}\right\}$は$r \times k$行列で

$r_{i j}= \begin{cases}\left\|\mathbf{b}_{s_{i}}\right\| x_{s_{i} j}, & \text { for } j>s_{i} \\ \left\|\mathbf{b}_{s_{i}}\right\|, & \text { for } j=s_{i} \\ 0, & \text { for } j<s_{i}\end{cases}$

となる。

ここで$\mathbf{Q}$は正規直交列をもつ$m \times r$行列であり，また$\mathbf{R}_{1}$は，行が$r$個の正の対角要素と$k-r$個の$\mathbf{0}$行をもつ$k\times k$上三角行列$\mathbf{R}$の$r$個の$\mathbf{0}$でない行から成る$r \times k$部分行列である.


