# Bonnor-Ebert sphereの構造(1)
KrumHoltz p.143 Problem Set 2 (a)
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## (a)A relationship between external pressure $P_s$ and the cloud radius R (virial theorem)
雲内の圧力をP、体積をV(=$\frac{4}{3}\pi R^3$)とする。密度は一定とする。等温より
$P=c_s^2\rho=c_s^2\frac{3M}{4\pi R^3}$
ビリアル定理
$\frac{d^2L}{dt^2}=2(T-T_s)+W$
ビリアル平衡ならば左辺は0
$T=\frac{3}{2}PV=\frac{3}{2}c_s^2 M$
$T_s=\frac{3}{2}P_sV=2\pi P_s R^3$
$W=-\frac{3}{5}\frac{GM^2}{R}$
$2(T-T_s)+W=3c_s^2 M-4\pi P_s R^3-\frac{3}{5}\frac{GM^2}{R}=0$
$\therefore P_s=\frac{3c_s^2 M}{4\pi R^3}-\frac{3GM^2}{20\pi R^4}$
Mを一定としRを変化させた場合、グラフの概形は以下のようになり、最大値が存在する。

最大値を取るのは
$\frac{dP_s}{dR}=\frac{3GM^2}{5\pi R^5}-\frac{9c_s^2 M}{4\pi R^4}=0$
$12GM^2-45c_s^2 MR=0$
すなわち$R=\frac{4GM}{15c_s^2}$のときで
$P_{s,max}=\frac{3c_s^8}{4\pi G^3 M^2}(\frac{15}{4})^3-\frac{3c_s^8}{20\pi G^3 M^2}(\frac{15}{4})^4=(\frac{15}{4})^4\frac{c_s^8}{G^3 M^2}(\frac{1}{5}-\frac{3}{20})$
$=\frac{9c_s^8}{400\pi G^3 M^2}(\frac{15}{4})^4$