# 銀河円盤による重力
宮本永井モデルのポテンシャル
${\displaystyle \Phi _{\mathrm {DISK} }(R,z)=-{\frac {GM_{\mathrm {d} }}{\sqrt {R^{2}+\left(a_{\mathrm {d} }+{\sqrt {z^{2}+b_{\mathrm {d} }^{2}}}\right)^{2}}}}}$
$\frac{\partial \Phi_{DISK} (R,z)}{\partial R}=\frac{GM_d R}{\left(R^{2}+\left(a_{\mathrm {d} }+{\sqrt {z^{2}+b_{\mathrm {d} }^{2}}}\right)^{2}\right)^{3/2}}$
$\frac{\partial \Phi_{DISK} (R,z)}{\partial z}=\frac{GM_d R \left(a_{\mathrm {d} }+{\sqrt {z^{2}+b_{\mathrm {d} }^{2}}}\right)z}{\sqrt {z^{2}+b_{\mathrm {d}}^2}\left(R^{2}+\left(a_{\mathrm {d} }+{\sqrt {z^{2}+b_{\mathrm {d} }^{2}}}\right)^{2}\right)^{3/2}}$
z方向の重力
$g_z=-\frac{\partial \Phi_{DISK} (R,z)}{\partial z}$
松井さんの銀河モデル　$M_d=4.0\times 10^{10}M_{\odot}, a_d=3.5kpc, b_d=0.4kpc$
を代入すると下図のようになる。
左：z方向スケール長($b_d$)まで　右：1kpcまで
スケール長まではほぼzに比例とみなせる
<img src="https://i.imgur.com/z9NqIZL.png" width="50%"><img src="https://i.imgur.com/72xvmpu.png" width="50%">