# Bonnor-Ebert理論(等温ガス球のレーン・エムデン方程式)

## 等温ガス球のレーン・エムデン方程式導出
静水圧平衡、球対称、等温、理想気体を仮定

$\frac{dP}{dr} = -\frac{\rho G M(r)}{r^2}=-g(r)\rho$： hydrostatic equilibrium (1)
$M(r)=\int^r_0 4\pi r'^2 \rho dr'$：equation of continuity (2)
$P=\frac{nRT}{V}=\frac{\rho kT}{\mu}=c^2\rho$：equation of state (3)　c:isothermal sound speed
(3)より
$dP=c^2 d\rho$ (4)
(4)を(1)に代入
$c^2\frac{d\rho}{dr}=-g(r)\rho$
$\frac{d\rho}{\rho}=-\frac{g(r)}{c^2}dr$
$\frac{ln \rho}{dr}=-\frac{g(r)}{c^2}$
$\therefore \frac{\rho}{\rho_c}=exp[-\frac{1}{c^2}\int^r_0 g(r')dr]$ (5)
ここで$\rho_c$は中心(r=0)における密度

また(1)の両辺に$r^2$をかけてrで微分すると、(2)より
$\frac{d}{dr}(\frac{r^2}{\rho}\frac{dP}{dr})=-G\frac{dM(r)}{dr}=-4\pi Gr^2 \rho$ (6)
さらに以下の$\xi,\Psi$を導入して半径と密度を無次元化すると、
$r=\alpha\xi\quad:\alpha=\sqrt{\frac{c^2}{4\pi G\rho_c}}$
$\frac{\rho}{\rho_c}=exp(-\Psi)\quad$：$\Psi=\frac{1}{c^2}\int^r_0 g(r')dr$

$dr=\alpha d\xi$
$d\rho=-\rho_c exp(-\Psi) d\Psi$
$\frac{dP}{dr}=c^2\frac{d\rho}{dr}=-c^2\frac{\rho_c exp(-\Psi)}{\alpha}\frac{d\Psi}{d\xi}$
これらを(6)に代入
$\frac{d}{dr}(\frac{r^2}{\rho}\frac{dP}{dr})=\frac{d}{d\xi}
(-c^2\xi^2\frac{d\Psi}{d\xi})=-4\pi G\alpha^2\xi^2\rho_c exp(-\Psi)=-c^2\xi^2exp(-\Psi)$
$\therefore \frac{1}{\xi^2}\frac{d}{d\xi}(\xi^2\frac{d\Psi}{d\xi})=exp(-\Psi)$　(7)
これは等温ガス球に対するレーン・エムデン方程式である。
(polytropeの場合は右辺を$\theta^n$とおく。nはpolytropic indexである)

## 特異等温球(singular isothermal sphere)

レーン・エムデン方程式の境界条件は通常、中心での物理量が発散しないよう
* 中心($r=\xi=0$)での密度が有限➡$\Psi=0$
* 中心での圧力勾配(等温ならば密度勾配も)が0

とすることが多い。
もしこの境界条件を考えなければ、
$\frac{\rho}{\rho_c}=exp(-\Psi)=2\xi^{-2}=\frac{c^2r^2}{2\pi G\rho_c}\quad$：(8)
もまたレーン・エムデン方程式の解である。なぜならばこのとき、
$\Psi=-ln(2\xi^{-2})=2ln\xi-ln2$
$\frac{d\Psi}{d\xi}=\frac{2}{\xi}$
従って(7)式の左辺は
$\frac{1}{\xi^2}\frac{d}{d\xi}(\xi^2\frac{d\Psi}{d\xi})=2\xi^{-2}$
となり(8)式と一致する。従って(8)式は確かにレーン・エムデン方程式の解である。これを**特異等温球**と呼ぶ。
特異等温球はr=0で密度、圧力が発散する。またr→$\infty$で$M(r)$が発散する。物理的にはあり得ないが、式が簡単で(rの範囲を選べば)分子雲や銀河ハローの中心付近の密度構造を比較的よく近似できる(本当か???)のでよく用いられる。

特異等温球がある半径$r_o$で外圧$P_o$のもとにあると仮定する。この状況でガスの自己圧力による膨張を、外圧で抑えられるような安定解が存在するかどうかを調べる。
外部境界における密度は、
$\rho_o=P_o/c^2$
球の質量は、
$M(r)=4\pi\int^{r_o}_0 \rho r'^2 dr'=4\pi\int^{\xi_o}_0 \rho_c exp(-\Psi)\cdot(\frac{c^2}{4\pi G\rho_c})^{3/2}\xi^2 d\xi$
$=(4\pi\rho_c)^{-1/2}G^{-3/2}c^3\int^{\xi_o}_0\frac{d}{d\xi}(\xi^2\frac{d\Psi}{d\xi})d\xi$
$=(4\pi\rho_c)^{-1/2}G^{-3/2}c^3 \xi_o^2\frac{d\Psi}{d\xi}|_{\xi=\xi_o}\quad$：(9)
ここで$\xi_o=r_o\sqrt{\frac{4\pi G\rho_c}{c^2}}$