# 財務演算法

### Basic Financial Mathematics 基礎財務數學
- 複利(Compounding)公式：$FV=PV(1+r)^n~\rightarrow~FV=PV(1+r/m)^{nm}$
- 折現(Discounted)公式：$~~~~~PV=FV(1+r)^{-n}$
- $r：年利率。~~~m：複利頻率。$
- 房貸：$m=12$，一年後$(1+\frac{r}{12})^{12}$
- 公債：$m=2$，一年後$(1+\frac{r}{2})^{2}$
- $m=\infty$，一年後$e^r$
- Annuty年金：每年支付C元，持續n年
- $FV=\sum\limits_{i=0}^{nm-1} C(1+r/m)^i=C\frac{(1+r/m)^{nm}-1}{r/m}$
- $PV=\sum\limits_{i=1}^{nm} C(1+r/m)^{-i}=C\frac{1-(1+r/m)^{-nm}}{r/m}$
- Mortgage房貸
- 可以看成每期償還：本金 principal / 利息 interest。
- 貸款loan元，n年還清，每年利率 r%，則每期要還金額C為
- $c=loan\times \frac{r/m}{1-(1+r/m)^{-nm}}$ = 該期本金+該期利息
- 在第k期時，想付完remaing principal
- $\sum\limits_{i=1}^{nm-k} C(1+r/m)^{-i}$
- Yield 殖利率
- MEY：房價等價報酬率
- BEY：債券等價報酬率
- IRR：內部報酬率
- 算根的方式
- 方法一：Bisection Method
- 方法二：Newton-Raphson Method
- 方法三：Secant Method
- 雙變數：Jacobian
- 實務上：解跟很麻煩，直接使用套件操作。
- Bond 債券
- Zero-Coupon Bonds 零息債券
- n 期後付 F 元
- 理論現值 P = $\frac{F}{(1+r/m)^n}$
- Level-Coupon Bonds 平息債券
- n 期後付 F 元，且每期付 C 元 **(C=F $\times$ coupon rate / m)**
- 理論現值 P = $\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{C}{(1+r/m)^i}~+~\frac{F}{(1+r/m)^n}$
    = $C\frac{1-(1+r/m)^{-n}}{r/m}~+~\frac{F}{(1+r/m)^n}$
- 該公式中F,C,m都為給定的，因此可以得知 P 和 r 的關係
- YTM 到期收益率：滿足債券現值、F、C的那一個報酬率 r
- 給定P越大，YTM越小，其圖形為凸向原點
- **在市場均衡的情況下，可以由債券價格判斷coupon rate跟市場利率的關係**
- Par Bonds：P=F時，coupon rate=市場利率
- Premium Bonds：P>F時，coupon rate>市場利率
- Discount Bonds：P<F時，coupon rate<市場利率
- DayCount
- Actual/Actual：實際有幾天
- 30/360：
- 360×(y2−y1) + 30×(m2−m1) + (d2−d1)
- 360×(y2−y1) + 30×(m2−m1−1) + max(30−d1,0) + min(d2,30).
- 應計利息
- 假設離付息日還有 w % 天。
- Accured interest = C $\times$ (1-w)
- &emsp;**Full price
= Clean Price + Accrued Interest
= $\sum\limits_{i=0}^{n-1}\frac{C}{(1+r/m)^{w+i}}~+~\frac{F}{(1+r/m)^{w+n-1}}$**
### Bond Price Volatility 債券價格波動性
- Price Volatility價格波動性 = $-\frac{\frac{\partial P}{\partial y}}{P}$
- 負號：價格和利率變化是負向波動，但希望是正值
- $-\frac{\frac{\partial P}{\partial y}}{P}=-\frac{(C/y)n-(C/y^2)((1+y)^{n+1}-(1+y))-nF}{(C/y)((1+y)^{n+1}-(1+y))+F(1+y)}\gt 0$
- $Macaulay Duration(MD)=\frac{1}{P}\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{C_i}{(1+y)^i}i=-(1+y)\frac{\partial P}{\partial y}\frac{1}{P}$
- 代表存續期間(零息債券：MD=n，含息債券：MD<n)
- 也代表波動性
- 只有建立在C，F，n都和yield 互相 independent 的前提下
- $Modified~Duration=-\frac{\partial P}{\partial y}\frac{1}{P}=\frac{MD}{(1+y)}$
- **價錢變化量 = - Modified Duration * 利率變化量**
- $Effective~Duration=\frac{P_--P_+}{P_0~(y_+-y_-)}$
- 某些商品無法代公式，只能用近似值
- 也可能只帶入$\frac{P_0-P_+}{P_0~\Delta y}$
- $Dollar~Duration=Modified~Duration * P$
- 可以用來衡量利率變動如何影響價錢變動
- 把部位的大小考慮進來
- $Convexity=\frac{\partial^2P}{\partial y^2}\frac{1}{P}$
- 高凸性適合投資
- 但理論上不能套利(因為理論中都假設利率變化是瞬間)
- $convexity~in~years=\frac{convexity~in~ periods}{k^2}$
- **價錢變化量 = -Duration\*利率變化量 + $\frac{1}{2}$convexity$\Delta y^2$**
- $D_{\%}=D,~~C_\%=C/100$
- $Effective~Convexity=\frac{P_++P_--2P_0}{P_0(0.5\times(y_+-y_-))^2}$
- 實務上如何選擇$\Delta y$是一件困難的事情。
### Term Structure Of Interest Rate 利率期限結構
- Term Structure Of Interest Rate
- 評估資產價值的第一步驟，核心為看不同到期日下的YTM變化
- Spot Rate(即期利率)
- $S(i)$：i期零息債券的YTM
- $d(i)=[1+S(i)]^{-i}$：貼現因子
- 如何得到spot rate：
- 定義：藉由i期零息債券，$P=\frac{F}{[1+S(i)]^i}$，算出S(i)
- 變化：藉由1期到n期含息債券，依序算出S(1),...S(n)
- 稱為bootstraping，存在O(n)算完所有spot rate的演算法。
- 利率會隨著時間波動，第i期現金流量要用S(i)折現
- $P=\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{C}{[1+S(i)]^{i}}}+{\frac{F}{[1+S(n)]^n}}=\sum\limits_{i=1}^{n}C_id(i)$
- Yield Spread報酬率價差
- risk和riskless債券，YTM的差異。
- $P<\sum\limits_{t=1}^{n}\frac{C_t}{[1+S(t)]^t}$
- Static Spread零波動率價差
- 滿足$P=\sum\limits_{t=1}^{n}\frac{C_t}{[1+s+S(t)]^t}$ 的那個s
- Forward Rate遠期利率
- The maturity strategy：$[1+S(j)]^j$
- The rollover strategy：$[1+S(i)]^i[1+S(i,j)]^{j-i}$
- i期後S(i,j)多少時，可以兩策略報酬率相同
- $f(i,j)=[\frac{[1+S(j)]^j}{[1+S(i)]^i}]^{1/(j-i)}-1$
- Instantancous forward rate
- $S(i,i+1)$的forward rate
- 
- yield curve表示用含息債券算出的YTM
- spot rate curve表示用零息債券算出的YTM
- forward rate curve是給定spot rate後算出
- Forward Rate和Spot Rate關係為$[1+S(n)]^n=[1+S(1)][1+f(1,2)]...[1+f(n-1,n)]$
- spot rate是forward rate的幾何平均
- Forward Loan未來貸款
- 買：n期現值$1/(1+S(n))^n$元債券， (一張)
- n期後可得到$1$元
- 賣：m期現值$1/(1+S(n))^n$元債券， ($(1+S(m))^m/(1+S(n))^n$張)
- m期後要還$(1+S(m))^m/(1+S(n))^n$元
- 相當於未來貸款，第n~m期有$f(n,m)$的報酬率
- spot rate curve必須滿足，所有$f(n,m)\geq0$，否則可以套利。
- Synthetic Bond合成債券
- 當買不到特定期限的零息債券時可以使用
- n-period zero - m-period zero $\rightarrow$ forward loan
- n-period zero + forward loan $~\rightarrow$ m-period zero
- 連續複利模型
- $P=\sum\limits_{i=1}^{n}Ce^{-iS(i)}+Fe^{-nS(n)}$
- 貼現因子：$d(n)=e^{-nS(n)}$

- $nS(n)=f(0,1)+f(1,2)+...+f(n-1,n)$
- $f(i,j)=\frac{jS(j)-iS(i)}{j-i}$
- $f(j,j+1)=ln\frac{d(j)}{d(j+1)}$

- Unbiased Expectations Theory
- $f(a,b)=E[S(a,b)]$
- 很直觀，但實務上不對

- $E[\frac{1}{1+S(1,2)}]=\frac{1}{E[1+S(1,2)]}$
### Fundamental Statical
- 動差
- $~~~~~Var[X]=E[(X-\mu_X)^2]$
- $Cov[X,Y]=E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)]$

- 相關
- $\sigma_x=\sqrt{Var[X]}$
- $\rho_{X,Y}=\frac{Cov[X,Y]}{\sigma_X~~\sigma_Y}$

- 線性組合變異數
- $Var[\sum a_iX_i]=\sum\sum a_ia_jCov[X_i,x_j]$

- 條件期望值
- $E[X]=E[~E[X|I]~]$
- 如果$I_1\subset I_2$ ，則 $E[X|I_1]=E[~E[X|I_2]~|I_1]$

- 常態分佈 ： $X\sim N(\mu,\sigma^2)$
- PDF：$\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2}$
- MGF：$\theta_X(t)=exp[\mu t+\frac{\sigma^2t^2}{2}]$

- There are some methods that can generate Normal Distribution.
- 多變數常態分佈 ：
- $\sum\limits_iX_i\sim N(\sum\limits_i\mu_i,\sum\limits_i\sigma_i^2)$
- $\sum t_iX_i\sim N(\sum t_i\mu_i,\sum\sum t_it_jCov[X_i,X_j])$

- There are some methods that can generate Bivariate Normal Distribution.
- 對數常態分佈 $lnY\sim N(\mu,\sigma^2)$
- $\mu_y=e^{\mu+\sigma^2/2}$
- $\sigma^2_y=e^{2\mu+\sigma^2}(e^{\sigma^2}-1)$

- $E[lnY]=ln(\mu/\sqrt{1+(\sigma/\mu)^2})$
- $Var[lnY]=ln(1+(\sigma/\mu)^2)$
### Option Basics
- Call 買權
- 可以有在到期日，用strike price(X)買回股票的權利
- Call value = C = max(S-X,0)，可以代表intrinstic value
- Put 賣權
- 可以有在到期日，用strike price(X)賣出股票的權利
- Put value = P = max(X-S,0)，可以代表intrinstic value
- Option Premium 合約價
- 現在交易的價格
- 選擇權價格 = 內在價格 + 時間價格
- Premium = Instrinctive Value + Time Value
- 種類
- 美式選擇權：可以提早履約
- 歐式選擇權：不行提早履約
- In the money：價內，可賺錢。
- At the money：價平。
- Out of money：價外，會賠錢。
- 
- Dividend 股利
- 現金股利 Cash Dividend
- 發現金股利之後，股價下跌
- 對call不利
- 對put有利
- 股票股利 Stock Split and Stock Dividend
- 不考慮對option的影響
- 一般option會再股票股利後調整
- Covered Position 掩護性策略：
- Hedge
- Covered Call：買股票 + short call
- Protective put：買股票 + long put
- Spread
- 買權多頭價差：買低call + 賣高call
- 賣權多頭價差：買低put + 賣高put
- 買權空頭價差：買高call + 賣低call
- 賣權空頭價差：買高put + 賣低put
- Butterfly call spread：買低call + 買高call + 賣2中call
- Combination
- Straddle：買call + 買put
- Arbitrage套利理論
- 報酬率為零的商品，現值必為零
- 兩個商品的報酬率相同，現值必相同
- Theorem 1：PV Formula的折現必為正確的。
- Theorem 2：選擇權價值必為非負的。
- 買權賣權等價理論( Put-Call Parity )
- 對同一標的資產、同一履約價格、同一到期日之買權與賣權來說
- C - P = S - PV(X)
- Lemma 3：美式買權和歐式買權，如果沒有股息發放，不會比內在價值貴。
- Lemma 4：歐式賣權中，$P\ge max(PV(X)-S,0)$
- Theroem 5：美式買權中，如果沒有股息發放，不會提早履約
- Theroem 6：美式買權，如果提早履約，只會在發放股息日獲前一日。
- Theroem 7：Piecewise Linear的獲利，必可用買權和賣權組合出相同的收益函數。
- Corollay 8：任何well behaved的獲利，可用Piecewise Linear逼近。
### Option Pricing Models
- Notation
- $C$：買權價值
- $P$：賣權價值
- $X$：履約價
- $S$：股價
- $\hat{r}$：一期無風險利率
- $R=e^\hat{r}$：一期總收益
- Binomial Option Pricing Model (BOPM)二項期權定價模型
- 時間是離散的
- 現在股價是$S$
- 有 $q$ 的機率變成 $Su$
- 有 $1-q$ 的機率變成 $Sd$
- 必定有關係式 $d < R < u$
- 
- **單期無股息，買權模型**
- 如果股價 moves to $Su$，買權價值為 $C_u=max(0,Su-X)$
- 如果股價 moves to $Sd$，買權價值為 $C_d=max(0,Sd-X)$
- 
- 複製模型 (用 portfolio 來複製 call)
- 已知$C_u$和$C_d$，如何用股票和債券來定價出C值
- 用 $hS + B$ 元來買
-  股股票，**又稱為hedge ratio、 delta**
-  &emsp;元債券
- 如果股價漲：$hSu + RB = C_u$
- 如果股價跌：$hSd + RB = C_d$
- **因此，根據無套利理論： $C = hS + B$ (投資組合等價)**
- 美式買權中，考慮提早履約：
- $C = max(hS + B, S − X)$

- $hS + B$: 買權本身的價值
- $S − X$: 履約之後的獲利
- 註：定理五說，如果沒有股息，提早履約沒有好處。
- **單期無股息，賣權模型**
- 用 $hS + B$ 元來買
- $h=$ 股股票
- 元債券
- $P_u = max(0,X − Su)$
- $P_d = max(0,X − Sd)$
- 歐式賣權價值： $hS + B$
- 美式賣權價值： $max(hS + B,X − S)$
- 註：美式賣權，每一期都有可能提早履約
- **選擇權的價值，只與 $u~和~d$ 有關，和 $q$ 沒有關連性**
- **Pseudo Probability** 
- 
- $R$: 折現

-  **為人工機率**
- 
- Risk-Neutral Probability 風險中立測度
- $p$: 風險中立測度
- 投資組合報酬率的期望值 must be 無風險利率
- 
- **多期無股息，不考慮提早履約**
-  
- 演算法：Backward Induction
- (1) 
- (2) $C =$
- $~~C$
- 一般性：
- 
- 
- 如果我們定義
- **稱為state price**
- 則
- Binomial Distribution
- 
- $b(j; n, p)$ 是出現 j 次正面的機率。
- **First fundamental theorem of asset pricing**
- 風險中立測度存在 $\Leftrightarrow$ 沒有套利的可能性
- Self-Financing 自我融資
- 動態的在portfolio中，改變資產配置
- 動態的改變Delta
- The Binomial Option Pricing Formula
- 其實，，有很多項一開始就為0了。
- 是最小的非負整數，滿足
- 則$C$
- 價內：
- 價外：0
- Binomial Tree Algorithms
- European Options
- Time：$O(n)$、Memory：$O(1)$
- American Options
- Time：$O(n^2)$、Memory：$O(n)$
- 因為每一期都有可能提早履約
- Toward the Black-Scholes Formula **???QAQ**
- The binomial model 有兩個不實際的假設
- 一期後股價只會有兩種價格
- 只會在離散點的時間上交易
- Notation
- $T$: 幾年到期
- $r$: 年利率
- $n$: 期數 ( 每一期間格$\frac{T}{n}$年 )
- $\hat{r} = r \times \frac{T}{n}$ 一期利率
- $R = e^{\hat{r}}$ 一期總報酬
- **CRR binomial model**
- 定義
- 
- 
- In BOPM
- 
- stock’s true continuously compounded
- $n\hat{\mu}=μT$
- $n\hat{\sigma}^2=σ^2 T$
- $σ$為stock’s (annualized) volatility
- 目標：使 
- 假設 $ud = 1$
- **結果：**
- 
- 中央極限定理
- $\ln{(\frac{S_T}{S})} \sim N(\mu T, \sigma^2 T)$
- $\ln{(S_T)} \sim N(\mu T + \ln{S}, \sigma^2 T)$
- $S_T \sim \ln{N}$
- 註：$X \sim N$, $Y = e^X \sim \ln{N}$
- Lemma 11： $\ln{(\frac{S_T}{S})} \sim N((r - \frac{\sigma^2}{2}) T, \sigma^2 T)$
- 股價到期日的期望值為$S e^{rT}$
- 股價年利率的期望值為$r$.
- **Thm 12：The Black-Scholes Formula**
- 
- BOPM and Black-Scholes 的比較
- Black-Scholes : $S$, $X$, $σ$, $τ$, $r$.
- BOPM : $S$, $X$, $u$, $d$, $r$, $n$.
- 關聯為 ： 
- Implied Volatility隱含波動率
- 用市場上的交易價格以及 Black-Scholes formula 去計算 $\sigma$
- 根據過去歷史資料
- 問題：微笑曲線 (the Smile)
- 解決方式：volatilities are often combined to produce a composite implied volatility (CIV)
- Bermudan Options 百慕大期權
- 只能在特定離散時間點履約的選擇權
- Time-Dependent Volatility 波動性和時間有關
- 波動性隨時間改變, 取決於 $σ(t)$ 而不是 $σ$.
- Variance of $ln(Sτ/S)$ ： 
- The annualized volatility ： 
- For the binomial model, $u$ and $d$ depend on time:
- 

## 其他
- [HW2 亞式選擇權+barrier+美式](https://hackmd.io/6NHqq9_NQt2H0WzE9kbN8w)
- [HW3 Least-squares Monte Carlo](https://hackmd.io/q2HSTckpRHW2XtVjU7J_og)