# 電腦視覺

## Ch2 Thresholding and Segmentation
- Thresholding
- 把亮度 0-255 的灰階照片，用 Threshold (e.g. T = 128) 轉換成黑白照片
- Histogram：$h(m)=\#\{(r,c)|I(r,c)=m\}$：亮度為 $m$ 的 pixel 有 $h(m)$ 個
- $P(I)=\frac{h(I)}{R\times C}$
- 好的 Threshold 可以把 input image 恰好分成物體與背景
- 方法：Minimizing Within-Group Variance
- $\sigma^2=q_1(t)\sigma_1^2(t)+q_2(t)\sigma_2^2(t)$
- 分別為 $value\le 和 \gt~t$ 的機率與變異數
- 方法：Minimize Kullback Information Distance
- Connected Components Labeling
- 4-connected / 8-connected
- Rosenfeld 證明 binary 的 image 中，若 $C$ 是 component of 1， $D$ 是 component of 0 且是 $C$ 的鄰居，如果一個用 4-connected 另一個用 8-connected，則 $C$ 和 $D$ 必定一個包含另一個
- 四種演算法：
- An Iterative Algorithm

            把每個 pixel 設成 unique ID;
            while(not change){
                從左上到右下，A[i][j] = min(A[i][j],A[i+-1][j],A[i][j+-1]);
                從右下到左上，A[i][j] = min(A[i][j],A[i+-1][j],A[i][j+-1]);
            }

- The Classical Algorithm (Transitive Closure)

            id = 0
            從左上到右下，如果該 pixel 有值
                如果有鄰居 ： A[i][j] = min(A[i-1][j],A[i][j-1]);
                如果沒鄰居 ： A[i][j] = id ++
            過程中紀錄 equivalence class ( 直接用 disjoint set )
            掃過整張圖，把 equivalence class 設成同樣 ID

- A Space-Efficient Two-Pass Algorithm That Uses a Local Equivalence Table

            id = 0
            從上到下：
                建一個 local equivalence table
                從左到右：
                    如果該 pixel 有值
                        如果沒鄰居 ： A[i][j] = id ++
                        如果有鄰居 ： A[i][j] = min(A[i-1][j],A[i][j-1])，並把 ID 不同的鄰居，加入 equivalence table
                從左到右：
                    如果該 pixel 有值
                        設成把該 pixel 設成同一 equivalence 的 ID
            過程中紀錄 equivalence class ( 直接用 disjoint set )
            從下到上：
                做相同的事情

- An Efficient Run-Length Implementation of the Local Table Method

            while( P<PLAST && Q<QLAST ){
                if(EndP<StartQ)    P = P+1
                if(EndQ<StartP)    Q = Q+1
                if(overlap)        //do something
            }

- Signature Segmentation and Analysis
- 根據投影在不同線上，觀測是甚麼圖形
- 
## Ch3 Region Analysis
- Region properties
- 面積算法、質心算法、矩算法
- 根據 region intensity histogram 來判斷對比度
- 對比度越強，長條圖分布越平均
- 邊界：
- $P4=\{(r,c)\in R|N_8(r,c)-R\ne\phi\}$：八個鄰居有一個點在外
- $P8=\{(r,c)\in R|N_4(r,c)-R\ne\phi\}$：四個鄰居有一個點在外
- 
- 注意邊界是指在 $P4$ 或 $P8$ 上走出一個 cycle(path)，(**怎麼找邊界長度**)
- 相鄰點是垂直或水平長度計為 $1$，若是斜角則計為 $\sqrt{2}$
- 中心到邊界距離：
- 平均距離：$\mu_R$
- 距離變異數：$\sigma^2_R$
- Haralick property：
- 越接近圓形，$\frac{\mu_R}{\sigma_R}$ 越大
- 相似的形狀，$\frac{\mu_R}{\sigma_R}$ 會相似
- 旋轉和縮放不會影響 $\frac{\mu_R}{\sigma_R}$
- 亮度：
- 平均亮度：$\mu$
- 亮度變異數：$\sigma^2$
- $\mu_{rg}=\frac{1}{A}\sum\limits_{(r,c)\in R}(r-\bar{r})(I(r,c)-\mu)$
- $\mu_{cg}=\frac{1}{A}\sum\limits_{(r,c)\in R}(c-\bar{c})(I(r,c)-\mu)$
- Gray-Level Co-occurrence Matrix 灰度共生矩陣
- 共可分成 0 度、 45 度、 90 度、 135 度，四個矩陣 $P_H,~P_{SD},~P_V,~P_{LD}$
- 假設原圖的亮度是 0~10，則每個矩陣為 10*10
- 矩陣的每個元素，代表原圖中對應(兩亮度)再對應角度，共出現幾次
-  
- **可以用來判斷紋理**
- Texture Second Moment：$M=\sum\limits_{g_1,g_2}P^2(g_1,g_2)$
- Texture Entropy：$E=-\sum\limits_{g_1,g_2}P(g_1,g_2)logP(g_1,g_2)$
- Texture Contrast：$C=\sum\limits_{g_1,g_2}|g_1-g_2|P(g_1,g_2)$
- Texture Homogeneity：$H=\sum\limits_{g_1,g_2}\frac{P(g_1,g_2)}{k+|g_1-g_2|}$ 其中 $k$ 是某個小常數
- 極限點 Extremal point
- 八個極限點：上左、上右、下左、下右、左上、左下、右上、右下
- 不同的圖形中，可能某些點會重疊再一起
- 對面的兩點可以決定一條對角線，可以算其長度及角度
- 兩點的距離：
- 中心的距離：$\sqrt{(r_1-r_2)^2+(c_1-c_2)^2}$
- 最遠距離：$\sqrt{(r_1-r_2)^2+(c_1-c_2)^2}$+1.12
- Signature segmentation properties
- 投影：在哪一條線上的點有幾個 ?
- 水平：$P_H(r)=\#\{c|(r,c)\in R\}$
- 垂直：$P_V(c)=\#\{r|(r,c)\in R\}$
- 主對角線：$P_D(d)=\#\{(r,c)\in R|r+c=d\}$
- 次對角線：$P_E(e)=\#\{(r,c)\in R|r-c=e\}$
- 公式：
- $\bar{r}=\frac{1}{A}\sum\limits_rrP_H(r)$
- $\bar{c}=\frac{1}{A}\sum\limits_ccP_V(c)$
- $\bar{d}=\frac{1}{A}\sum\limits_ddP_D(d)$
- $\bar{e}=\frac{1}{A}\sum\limits_eeP_E(e)$
- 旋轉性質：
- $\begin{equation} {\left[ \begin{array}{ccc}
cos\theta & sin\theta \\
-sin\theta & cos\theta
\end{array} \right ]} \times{\left[ \begin{array}{ccc}
x\\
y
\end{array} \right ]} = {\left[ \begin{array}{ccc}
x_{rot}\\
y_{rot}
\end{array} \right ]}\end{equation}$
## Ch4 Statical Pattern Recognition
- 基於統計及自己定義的 feature, error 來做分類問題，包含了：
- Feature selection and extraction
- Decision rule
- Estimating decision rule error
- 決定決定法則
- **當觀測到一文件測量類別 $d$ 時，判定為類別 $a$，希望和真正的類別 $t$ 越接近越好**
- 每一個文件包含三種 attribute
- t : 真正的類別
- a : 演算法判定的類別
- d : 測量類別
- 舉例而言，我們給定兩張表
- 文件分布表： 經濟收益表：
- 根據這兩張表，決定某一種對應關係 $f:(d_1,d_2,d_3)\rightarrow(a_1,a_2,a_3)$
- 一些性質：
- 經濟收益矩陣 Economic Gain Matrix
- 把每一個 $(t,a)=(真正, 判定)$，量化成分數
- Identity gain matrix： 判定正確得到 1 分，錯誤則得到 0 分
- 期望分數 (Expected Profit) ： $\sum\sum e(t,a)P(t,a)$
- $P(t,a)=\sum_dP(t,a,d)$
- False alarm：實際上沒發生，卻假警報響起判斷成有發生
- Mis detection：實際上有發生，卻被判斷錯誤成沒發生
- 公正賽局假設：$P(a|d)=P(a|t,d)$
- 當決定要把文件判定成哪一種類別 $a$ 時，只需考慮他的測量類別 $d$，而跟該文件的真正類別 $t$ 無關
- 計算上，我們會先決定某一種對應關係 $f:d\rightarrow a$，根據此對應關係算出決策情形分布 $P(t,a)$。
- 接著可以算出期望分數，或是最大錯誤率，來決定該對應關係的好壞
- **貝式決定法則：找一個期望收益最大的 $f$**
- **知道事前文件機率 $p(c_1)$ 和 $p(c_2)$ 時適用**
- 寫成式子即為 $\forall g,~E[e;f]\ge E[e;g]$
- 文件分布表： 經濟收益表：
- $f:(d_1,d_2,d_3)\rightarrow(c_2,c_1,c_1)$ ： 期望收益為 $.2+.18+.3=.68$
- $g:(d_1,d_2,d_3)\rightarrow(c_1,c_2,c_1)$ ： 期望收益為 $.12+.16+.3=.58$
- **最大化最小值決定法則：找一個期望收益最小值最大化的 $f$**
- **不知事前文件機率 $p(c_1)$ 和 $p(c_2)$ 時適用**
- 當文件是某一個真實類別 $t_i$ 時，都有一個文件期望收益，我們希望最小值最大
- 文件分布表： 經濟收益表：
- $f:(d_1,d_2,d_3)\rightarrow(c_2,c_1,c_1)$
- $c_1$ 的文件期望收益為 $.3+.5=.8$
- $c_2$ 的文件期望收益為 $.5$
- $g:(d_1,d_2,d_3)\rightarrow(c_1,c_2,c_1)$
- $c_1$ 的文件期望收益為 $.2+.5=.7$
- $c_2$ 的文件期望收益為 $.4$
- 我們會做兩張圖來分析
-  
- **Decision Error**
- Miss Detection $\alpha_k$：答成別類錯誤的比例
- False Alarm $\beta_k$：誤答成該類的比例
- 
- 選擇錯誤率最小的 $f$ 也是一種決定法則
- 其他決策方法：
- Nearest Neighbor Rule
- Binary Decision Tree Classifier
- Neural Network
## Ch5 Mathematical Morphology
- [數學形態學](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%BD%A2%E6%80%81%E5%AD%A6)
- 圖案 ←→ 點座標的集合
- Operation：腐蝕和膨脹、開運算和閉運算
- 二元圖形
- Dilation
- $A\oplus B=\{c~|~c=a+b\text{ for some }a\in A,~b\in B\}$
- 對點做擴張：$A_t=\{c~|~c=a+t\text{ for some }a\in A\}$
- Erosion
- $A\ominus B=\{x~|~x+b\in A,~\forall b\in B\}$
- $A\ominus B=\{x~|~B_x\subseteq A\}$
- $A$ 的哪個位置，可以擺入 $B$
- Minkowski subtraction : $\cap A_{b\in B}$
- Hit and Miss
- $A\otimes(J,K)=(A\ominus J)\cap(A^C\ominus K)$ ，其中滿足 $J\cap K\ne\phi$
- e.x. 找到所有的右上角邊界
- 
- Opening
- $A\circ K=(A\ominus K)\oplus K$
- 找出 $A$ 中可以放入 $K$ 的位置，並保留
- Closing
- $A\bullet K=(A\oplus K)\ominus K$
- 找出 $A$ 中不可放入 $K$ 的位置，其他部分保留
- 其他性質
- $A^C=\{x~|~x\notin A\}$
- $\check{B}=\{x~|~x=-b\text{ for some }b\in B\}$
- Theorem 5.1: Erosion Dilation Duality
- $(A\ominus B)^C=A^C\oplus\check{B}$
- $(A\oplus B)^C=A^C\ominus\check{B}$
- 只要實作 erosion 或是 dilation 其中一種，另一種 operation 就可以透過補圖來達到
- Duality ： 一個 operator 的結果，恰好是另一個 operator 在補圖上的結果，再取補圖
- Genus g(I) ： 連通元件數量減去洞數量，可以表示成 Erosion 式子
- 必須先決定背景和前景哪一個是 4/8-connected
- 
- Conditional Dilation
- 
- $J\oplus |_I D$
- 上圖中 $D$ 是一個上下左右中，五個 pixel 的 mask
- 一直重複把圖片對 $D$ 做 dilation 在交集 $I$ ，直到照片不再改變
- 灰階圖形
- 每個 $a\in A$ 及 $b\in B$ 都可以表示成 $(x,~y,~亮度)$
- 二元：只考慮座標，來決定 $A~\text{op}~B$
- 灰階：除了座標，$A~\text{op}~B$ 是所有滿足的點之中，亮度最大或是最小的
- Dilation $A\oplus B=\{c~|~c=a+b\text{ for some }a\in A,~b\in B\}$，滿足的點中，亮度最大的
- Erosion $A\ominus B=\{x~|~x+b\in A,~\forall b\in B\}$，滿足的點中，亮度最小的
- Opening $A\circ K=(A\ominus K)\oplus K$
- Closing $A\bullet K=(A\oplus K)\ominus K$
- Morphological Skeleton 形態骨架
- 給定圖形：
- 形態骨架：
- 形態骨架的每個點，擴張該點所存值的次數，即可以得到原圖
- 得到型態骨架的方法：
- $A-A\circ K$ ：
- $A\ominus K-(A\ominus K)\circ K$ ：
- $A\ominus^2 K-(A\ominus^2 K)\circ K$ ：
- 仔細想想蠻合理的 XD
## Ch6 Neighborhood Operators
- 目標：將原圖中的每一個位置，判斷其鄰居是否有某種 pattern， 決定新圖的長相。
- $N(r,c)$ 表示 $(r,c)$ 的鄰居集合，通常只討論 4-connected / 8 connected
- Recursive Operator：新圖的結果，跟操作順序 (從上到下，從左到右) 有關
- Linear Operator：新圖的結果，為原圖上鄰居的線性組合 (係數可能和絕對位置有關)
- Shift Invarient Operator：新圖的結果，跟絕對位置完全無關
- $g(r,c)=\Phi[r,c,f(r',c')|(r',c')\in N(r,c)]$
- 
- Region Growing Operator
- 
- Nearest Neighbor Sets and Influence Zones
- Recursive 的使用 region growing operation，直到整個圖的背景都被 label
- Region Shrinking Operator
- 
- Euclidean-distance
- 
- 用 4-connected 會高估距離，而用 8-connected 會低估距離，因此實務上會一層用 4-connected，一層用 8-connected ，當作兩點距離的量測
- Mark Interior/Border Pixel Operator
- 
- Connectivity Number Operator
- Yokoi Connectivity Number，以 4-connectivity 為例：
- 先計算四個角落，屬於 $q、r、s$ 哪一類
- 
- 該位置的 Yokoi Connectivity Number 由以下公式決定
- 
- Rutovitz Connectivity Number
- 另一種定義方式，比較複雜因此不提
- 
- Connected Shrink Operator
- Recursive 的由上至下由左至右，刪除 Yokoi Connectivity Number 為 1 的點
- Yokoi Connectivity Number 為 1 的點，保證刪除後仍為 connected
- 
- Pair Relationship Operator
- 將 boarder 中有和 interior 相鄰的位置標成 $p$，其他位置標成 $q$
- 
- Thinning Operator
- Recursive
- 為了避免 Connected Shrink 直接操作會造成圖形不對稱，我們每一輪先把圖形的邊界標記成目標，每一輪只刪除最外圍的點
- 1.用 Mark Interior/Border Pixel Operator 標記邊界
- 2.用 Pair Relationship Operator 標記目標
- 3.用 Connected Shrink Operator 由上至下由左至右，刪除目標當中 Yokoi Connectivity Number 為 1 的點
- 4.重複 1、2、3 步驟直到圖形不再變化
- 
- Distance Transformation Operator
- 
- 方法一：每個迴圈決定一個數字
- 如果迴圈 $i$ 時，將 $i-1$ 旁邊尚未標記的 pixel 標記成 $i$
- 方法二：把背景設成 0
- 從上到下，從左到右：每個 pixel 設定成左邊和上面較小值 +1
- 從下到上，從右到左：每個 pixel 設定成右邊和下面較小值 +1
- Radius of Fusion
- 每個 connected componet 向外至少擴張多少 pixel 後，會有某些連在一起
- 該半徑等價於，最小的 $n$ 使得擴張 $n$ 次、收縮 $n+1$ 次後，新圖包含了原圖的某些背景點
- Number Of Shortest Paths
- 
- 把原圖中的點設成 1，每個迴圈中，如果舊的圖該位置四周有數字，則新圖設定該位置成那些數字總和
- Non-Minima-Maxima Operator
- 標註圖中每個點和周圍的關係，是 flat，minimum，maximum，transition 哪一種
- 
- Relative Extrema Operator
- 標註圖中每個點，只往遞增的方向走，最大可以走到的數字為何
- 
- 1.從上到下，從左到右：每個 pixel 和左邊和上面比較，如果可以傳遞則傳遞
- 2.從下到上，從右到左：每個 pixel 和右邊和下面比較，如果可以傳遞則傳遞
- 重複 1、2 步驟直到圖形不再變化
- Reachability Operator
- 標記圖中每個點，只往遞增的方向走，最大可以走到的數字相同的標為同一區域，並把邊界挑出來
- 
- Convolution and Correlation
- Linear，Shift-Invariant
- Correlation : $(f\otimes w)(r,c)=\sum f(r+r',c+c')w(r',c')$
- Convolution : $(f * w)(r,c)=\sum f(r-r',c-c')w(r',c')$
- Separability
- 
- 透過把 mask 拆成兩個 sub mask 相乘，可以有效降低計算量
- 原圖 1000\*1000，Mask 10\*10，新圖 990\*990
- 原方法：
- 新圖的每個 pixel 需要 10\*10 個乘法的計算量
- 總時間需要 990\*990\*10\*10
- 拆解方法：
- 先把原圖用 1\*10 submask 運算成 1000\*990 圖
- 每個 pixel 需要 1\*10 個乘法的計算量
- 總時間需要 1000\*990\*1\*10
- 再把 1000\*990 圖用 10\*1 submask 運算成新圖
- 每個 pixel 需要 10\*1 個乘法的計算量
- 總時間需要 990\*990\*10\*1
- 算一個點不會比較快，但算整張圖比較快
## Ch7 Conditioning And Labeling
- 用一些例子介紹 conditioning 及 labeling
- Conditioning : Noise cleaning、Sharpening
- Labeling : Edge detection、Line detection
- Noise cleaning
- 使用 3\*3 的 box filter 或是 5\*5 的 box filter
- 一般都設定成相同的權重，可以猜成 row 和 column 以降低計算量
- 在做 convolution 時可以作一些優化
- Separable : 等價於先和 1\*3 做 convolution，再和 3\*1 做 convolution
- Nonlinear 的 filter：$w(r,c)=e^{-\frac{1}{2}\frac{r^2+c^2}{\sigma^2}}$
- 其他：
-   
- 移除 Outlier or Peak Noise
- 
- 2.算出鄰居的平均及標準差，看距離幾個標準差
- 3.用 平均 和 $y$，去某種加權平均
- 5.這個方法沒有設定 threshold
- 
- 
- 中心的 mask 佔 1/2
- 剩下的每個點先算 $g(r,c)=\frac{1}{max\{2,~|f(r,c)-y|~\}}$
- 每個點的 mask 平分 1/2
- 
- 7.算出鄰居的平均及四分位距 $Q=Q_3-Q_1$，看距離幾個四分位距
- 8.去除最大和最小的 k 個後取平均
- 9.最亮加上最暗的去除以二
- 10.算出鄰居的平均及標準差，只取出兩倍標準差內的來取平均
- 
- Hysteresis Smoothing
- 如果上升階段遇到小小的下降，則 smooth 他，反之亦然
- Selected-Neighborhood Averaging
- 有 9 種區域鄰居，挑標準差最小的來取平均
- SNR (signal to noise ratio)
- 訊號雜訊比
- 
- Sharpening
- 方法一：
- 
- 方法二：
- 
- 看看 f(r,c) 比較靠近最大值或是最小值，就將其設定成那個值
- Edge detection
- **Gradient Edge Detectors**
- Roberts operators：
-  
- Prewitt edge detector：
- 
- Sobel edge detector：
- 
- Frei and Chen edge detector：
- 
- Kirsch edge detector：
- 
- Robinson edge detector：
- 
- Nevatia and Babu： 5\*5，六個方向
- 前四個要取 L2 Norm，後三個要取 max(abs())，取完後看是否有超過一 threshold。
- **Zero-Crossing Edge Detectors**
- 先對原圖取二次微分，可以用和底下兩個 mask 做 convolution 來近似
- 
- 找出二次微分等於零的點，一階微分的極值，即為原圖亮度劇烈變化的位置
- 因為直接找是沒有意義的，因此用以下兩種找法
- 自己比 t 大而且鄰居有點比 -t 小
- 自己比 -t 小而且鄰居有點比 t 大
- 滿足兩性值的其中一個，表示二次微分穿過零點
- 設定 threshold 是避免太容易把 noise 當作 edge
- Line detection
- 
## Ch8 The Facet Model
- 找出相對極大值
- 該點一階微分為零，二階微分為負
- 可以用[最小平方法](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%80%E5%B0%8F%E4%BA%8C%E4%B9%98%E6%B3%95)求出
- 如果給定三點 $f(n-1)、f(n)、f(n+1)$，要用二次曲線 $cm^2+bm+a$ 來近似，則可解微分等於零得到以下結果
- $a=f(n)$
- $b=\frac{f(n+1)-f(n-1)}{2}$
- $c=\frac{f(n+1)+f(n-1)-2f(n)}{2}$
- Sloped Facet Parameter and Error Estimation
- 假設原圖由 $𝑔(𝑟,𝑐)=𝛼𝑟+𝛽𝑐+𝛾+𝜂(𝑟,𝑐)$ 產生，先由 $\hat{\alpha}r+\hat{\beta}c+\gamma$ 來近似原圖
- $𝜂(𝑟,𝑐)$ 平均為 0 ，標準差為 $\sigma^2$
- 最小平方法誤差為 $\sum\limits_{r\in R}\sum\limits_{c\in C}[\hat{a}𝑟+\hat{𝛽}𝑐+\hat{𝛾}-g(r,c)]^2$ ，找出誤差最小 $\hat{𝛼}$ 、 $\hat{𝛽}$ 、 $\hat{𝛾}$
- 在  座標底下， $\sum r = \sum c = 0$
- $\hat{\alpha}=\frac{\sum\sum rg(r,c)}{\sum\sum r^2}$
- $\hat{\beta}=\frac{\sum\sum cg(r,c)}{\sum\sum c^2}$
- $\hat{\gamma}=\frac{\sum\sum g(r,c)}{\sum\sum 1}$
- 代入 $𝑔(𝑟,𝑐)=𝛼𝑟+𝛽𝑐+𝛾+𝜂(𝑟,𝑐)$
- $\hat{\alpha}=\frac{\sum\sum r[𝛼𝑟+𝛽𝑐+𝛾+𝜂(𝑟,𝑐)]}{\sum\sum r^2}=\alpha+\frac{\sum\sum r𝜂(r,c)}{\sum\sum r^2}$ ，平均數為 $\alpha$，變異數為 $\frac{\sigma^2}{\sum\sum r^2}$
- $\hat{\beta}=\frac{\sum\sum c[𝛼𝑟+𝛽𝑐+𝛾+𝜂(𝑟,𝑐)]}{\sum\sum c^2}=\beta+\frac{\sum\sum c𝜂(𝑟,𝑐)}{\sum\sum c^2}$ ，平均數為 $\beta$，變異數為 $\frac{\sigma^2}{\sum\sum c^2}$
- $\hat{\gamma}=\frac{\sum\sum 𝛼𝑟+𝛽𝑐+𝛾+𝜂(𝑟,𝑐)}{\sum\sum 1}=\gamma+\frac{\sum\sum 𝜂(𝑟,𝑐)}{\sum\sum 1}$ ，平均數為 $\gamma$，變異數為 $\frac{\sigma^2}{\sum\sum 1}$
- 最小平方法的誤差 $\epsilon=\sum\limits_{r\in R}\sum\limits_{c\in C}[\hat{𝛼}𝑟+\hat{𝛽}𝑐+\hat{𝛾}-(𝛼𝑟+𝛽𝑐+𝛾+𝜂(𝑟,𝑐))]^2$
- $=\sum\limits_{r\in R}\sum\limits_{c\in C}~[~𝜂^2(𝑟,𝑐)-(\hat{𝛼}-𝛼)^2𝑟^2-(\hat{𝛽}-𝛽)^2𝑐^2-(\hat{𝛾}-𝛾)^2~]~$
- 可以推論出 $\frac{\epsilon^2}{\sigma^2}$ 的自由度為 $\sum\limits_{r\in R}\sum\limits_{c\in C} 1-3$，故 $Y=\frac{\epsilon^2}{\sigma^2}\sim \chi_{\#N-3}^2$
- $\sum\sum\frac{𝜂^2(𝑟,𝑐)}{\sigma^2}$ 是一個自由度為 $\sum\sum 1$ 的卡方分布
- $\sum\sum\frac{(\hat{𝛼}-𝛼)^2𝑟^2}{\sigma^2}$ 是一個自由度為 $1$ 的卡方分布
- $\sum\sum\frac{(\hat{𝛽}-𝛽)^2𝑐^2}{\sigma^2}$ 是一個自由度為 $1$ 的卡方分布
- $\sum\sum\frac{(\hat{𝛾}-𝛾)^2}{\sigma^2}$ 是一個自由度為 $1$ 的卡方分布
- **卡方檢定**
- 若 $k$ 個隨機變數 $Z_1,...,Z_k$，為彼此獨立的標準常態分佈 $\sim N(0,1)$
- 則這些隨機變數的平方和 $Y=Z_1^2+...+Z_k^2$，稱為 **"自由度為 k 的卡方分布"**，即 $Y\sim \chi_k^2$
- **T 分布**
- 給定 $Z\sim N(0,1)$ 以及 $Y\sim \chi_n^2$
- 則 $T=\frac{Z}{\sqrt{\frac{Y}{n}}}$ 是自由度為 $n$ 的 t-distribution，即 $T\sim t_n$
- Facet-Based Peak Noise Removal
- 先用周圍預估中間，如果中間真正值和預估值差異太大則為 noise 需要 remove
- $g(0,0)-\hat{\gamma}~~\sim~~N(0,\sigma^2(1+\frac{1}{\#N}))$
- $Z=\frac{g(0,0)-\hat{\gamma}}{\sigma\sqrt{1+\frac{1}{\#N}}}~~\sim~~N(0,1)$
- $Y=\frac{\epsilon^2}{\sigma^2}\sim \chi_{\#N-3}^2$
- 則 $t=\frac{Z}{\sqrt{\frac{Y}{\#N-3}}}=\frac{(g(0,0)-\hat{\gamma})\sqrt{\#N-3}}{\sqrt{1+\frac{1}{\#N}}\epsilon}$ 是自由度為 $\#N-3$ 的 t-distribution
- 可以查 t-distribution 的表來決定是否為 noise 的機率
- Iterated Facet Model
- 物體是由一系列慢慢改變斜率的小平面所構成
- Gradient-Based Facet Edge Detection
- 可以用小平面的斜率當作 gradient，來判斷 edge 為 gradient 大於某 threshold 的標準
- 
- 可以查卡方分布得到是否為 edge 的機率
- Bayesian Approach to Gradient Edge Detection
- 𝑃(𝑒𝑑𝑔𝑒│𝐺)>𝑃(𝑛𝑜𝑛𝑒𝑑𝑔𝑒|𝐺)
- 𝑃(𝐺│𝑒𝑑𝑔𝑒)𝑃(𝑒𝑑𝑔𝑒)>𝑃(𝐺│𝑛𝑜𝑛𝑒𝑑𝑔𝑒)𝑃(𝑛𝑜𝑛𝑒𝑑𝑔𝑒)
- Discrete Orthogonal Polynomials
- $1$
- $x$
- $2x^2-1$
- $4x^3-3x$
- $8x^4-8x^2-1$
- Directional Derivative Edge Finder
- An edge pixel
- $f_α^{′′′}(ρ)<0$
- $f_α^{′′}(ρ)=0$
- $f_α^{′}(ρ)≠0$
- Corner Detection
- 
- Topographic Primal Sketch
- Peak : 梯度等於零，兩個方向凹口向下
- Pit : 梯度等於零，兩個方向凹口向上
- Ridge :
- 梯度不等於零，一個方向凹口向下且斜率為零
- 梯度等於零，一個方向凹口向下，另一個方向凹口轉折處
- Ravine :
- 梯度不等於零，一個方向凹口向上且斜率為零
- 梯度等於零，一個方向凹口向上，另一個方向凹口轉折處
- Saddle : 梯度等於零，一個方向凹口向上，另一個方向凹口向下
- Flat : 梯度等於零，兩個方向凹口都是轉折處
- Hillside : 梯度不為零的其他 case
## Ch9 Texture
- Texture Analysis Issues
- 1.Pattern recognition：做分類問題
- 2.Generative model：做描述
- 3.Texture segmentation：區分一圖上的不同部分
- “Texel” v.s. “Texture Primitive”
- Texel : 組成 texture 的基本元素，可以重複排列出整個圖
- Texture Primitive : 有相似特性的 connected pixel set
- 一個影像的 texture 大致可以用三項來描述：
- primitives 種類
- primitives 個數
- primitives 空間分布
- Statistical Approaches
- Gray Level Co-Occurrence Matrix
- 描述某兩個亮度出現在相對位置的數量有幾個
- 算完後還可計算 Gray level difference probability
- 亮度相差 $d$ 的 pair 有多少個，來區分不同性質的 texture
- Strong Texture Measures and Generalized Co-occurrence
- 1.建立 texture primitive
- Connected components
- Ascending\descending components
- Saddle components
- 2.分析不同 primitive 之間的關係
- Autocorrelation function
- 大的 primitive 可能表示材質比較 coarse
- Coarse texture → function drops off slowly
- Fine texture → function drops off rapidly
- Model Based Technique
- Auto-regression
- Markov random fields
- Random Mosaic models
## Ch10 Segmentation
- 後面其實都不太重要
## Ch11 Arc Extraction
- 前面其實也不太重要

## 其他
- [課程網頁](http://cv2.csie.ntu.edu.tw/CV/index.html#intro)
- [期中考試筆記](https://hackmd.io/bXMlc5gCSJigmkzuI2UJOg)
- [期末考試筆記](https://hackmd.io/CbfqvoNaS7e7U9WgEinEoQ)