# Corrections des exercices - CQFD 5e 6h

## Limites

@npettiaux
- 12 page xx : $\lim_{x->0} \dfrac{\sin^2(\frac{x}{3})}{x^2}$

Sachant que $\lim_{x->0} \dfrac{\sin(x)}{x} = 1$, on calcule successivement
\begin{align}
\lim_{x->0} \dfrac{\sin^2(\frac{x}{3})}{x^2}
&= \lim_{x->0} \dfrac{\sin^2(\frac{x}{3})}{(3\cdot\frac{x}{3})^2} \mbox{ puis, car une constante est factorisable dans une limite,} \\
&= \dfrac{1}{3^2}\cdot\lim_{x->0} \dfrac{\sin^2(\frac{x}{3})}{(\frac{x}{3})^2} \mbox { puis, en mettant en regroupant sous la même puissance,}\\
&= \dfrac{1}{3^2}\cdot\left(\lim_{x->0} \dfrac{\sin(\frac{x}{3})}{(\frac{x}{3})}\right)^2 \mbox{ puis, car la limite d'un produit est le produit des limites,} \\
&= \dfrac{1}{3^2}\cdot 1^2 \mbox{ puis, par calcul arithmétique,}\\
&= \dfrac{1}{9}
\end{align}

Donc $\lim_{x->0} \dfrac{\sin^2(\frac{x}{3})}{x^2} = \dfrac{1}{9}$

Une seconde méthode utilise la règle de l'Hôpital (RH, voir \url{https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A8gle_de_L%27H%C3%B4pital}), selon laquelle « Si $f$ et $g$ sont deux fonctions définies sur $\left[a,b\right[$, dérivables en $a$, et telles que $f \! \left( a \right)=g \! \left( a \right)=0$ et $g' \! \left( a \right)\ne0$, alors $\lim_{x\to a^+}\dfrac{f \! \left( x \right)}{g \! \left( x \right)}=\dfrac{f' \! \left( a \right)}{g' \! \left( a \right)}$. »

\begin{align}
\lim_{x->0} \dfrac{\sin^2(\frac{x}{3})}{x^2}
&= \lim_{x->0} \dfrac{2\cdot\frac{1}{3}\cdot\sin(\frac{x}{3})\cos(\frac{x}{3})}{2\cdot x} \mbox{ en dérivant numérateur et dénominateur - RH } \\
&= \frac{1}{3} \lim_{x->0} \dfrac{\sin(\frac{2x}{3})}{2x} \mbox{ par application de la formule du sinus de l'angle double,} \\
&= \frac{1}{3} \lim_{x->0} \dfrac{\sin(\frac{2x}{3})}{3 \cdot \frac{2x}{3}} \mbox{ car une constante est factorisable dans une limite,
} \\
&= \frac{1}{3^2} \lim_{x->0} \dfrac{\sin(\frac{2x}{3})}{\frac{2x}{3}} \mbox{
}, \mbox{ puis, en utilisant la limite de sin(x)/x en 0,} \\
&= \frac{1}{9} \cdot 1 = \frac{1}{9}
\end{align}

# Outils - exemples de mise en forme

\begin{align}
B' &=-\nabla \times E,\\
E' &=\nabla \times B - 4\pi j
\end{align}