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# System prepended metadata

title: 抽卡期望值
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# 抽卡期望值
###### tags: `game`
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### 題旨

某抽卡遊戲抽中SSR的機率是2%，SSR共有17張(平分2%機率)，如果想要蒐集完所有SSR，請問抽卡次數的期望值是?

還沒有完喔，由於一直一直抽不到SSR的玩家會憤而退坑，因此遊戲官方設置了保底機制，前50抽的機率是2%，51到60每次增加2%，61到70每次增加3%，71到80每次增加5%，意味著第八十抽必定會抽到SSR，這種情況下蒐集所有SSR的期望值則是?

關鍵字: Coupon Collector's Problem

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### 基本款解答

令 $E(i)$ 代表擁有了 $i-1$ 張SSR後，抽到第 $i$ 張新卡的期望值

分別計算 $E(1)$ 一抽抽到的機率、二抽抽到的機率、...
$E(1)=1\times 2\%+2\times 98\%\times 2\%+3\times (98\%)^{2}\times 2\%+...+n\times (98\%)^{n-1}\times 2\%$
$E(1)=\sum_{i=1}^{\infty } i \times(98\%)^{i-1}\times 2\%=50$

用同樣的手法處理 $E(2)$ 一抽的機率、二抽、...
這時每抽抽到的機率為 $2\%\times\frac{16}{17}\approx 1.88\%$，抽不到的機率為 $98.12\%$
$E(2)=1\times 1.88\%+2\times 98.12\%\times 1.88\%+3\times (98.12\%)^{2}\times 1.88\%+...+n\times (98.12\%)^{n-1}\times 1.88\%$
$E(2)=\sum_{i=1}^{\infty } i \times(98.12\%)^{i-1}\times 1.88\%=?$

重複類似的計算，最後 $\sum_{i=1}^{17}E(i)$ 就是答案。此外，可以發現這個數列可以整理成通式，因此可以很快用電腦計算出來。

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### 現實抽卡

和基本款是相同的思路，只是在五十抽之後的的機率有改變

假設目前已經擁有 $k-1$ 張SSR
$E(k)=\sum_{i=1}^{50} i \times(2\times\frac{17-(k-1)}{17}\%)^{i-1}\times (1-2\times\frac{17-(k-1)}{17}\%)$
$+\sum_{i=51}^{60} i \times((2+2(i-50))\times\frac{17-(k-1)}{17}\%)^{i-1}\times (1-(2+2(i-50))\times\frac{17-(k-1)}{17}\%)$
$+\sum_{i=61}^{70}?$
$+\sum_{i=71}^{80} ?$

此情況$E(1)\approx35$