---
title: PODA - Egzamin
description: Opracowanko do betonu
...

[toc]

# Punkty równowagi, charakterystyki statyczne

- Rozwiązać układ w zależności od u

# Nieliniowy model statyczny

$\dot{x_1} =ax_1(t) + bx_2(t) + cu(t)$
$\dot{x_2} =dx_1(t) + ex_2(t) + fu(t)$
$y(t)=f(x_1, x_2)$

Rozwiązujemy układ równań
$ax_1 + bx_2 + cu=0$
$dx_1 + dx_2 + fu=0$

Uzależniając $x_1, x_2, y$ od $u$

# Charakterystyka statyczna zlinearyzowana
Podstawiamy tu $f(u)$, tam gdzie jest $x_0$ wstawiamy po prostu $u_0$, pochodną też liczymy po $u$.

$f(x)=f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$

# Macierze modelu liniowego
$\dot{x_1} =ax_1(t) + bx_2(t) + cu(t)$
$\dot{x_2} =dx_1(t) + ex_2(t) + fu(t)$
$y(t) =gx_1(t) + hx_2(t) + iu(t)$

$\dot{x}(t) = \textbf{A}x(t) + \textbf{B}u(t)$
${y}(t) = \textbf{C}x(t) + \textbf{D}u(t)$

$\textbf{A} = \begin{bmatrix}
a & b\\
d & e
\end{bmatrix}$

$\textbf{B} = \begin{bmatrix}
c\\
f
\end{bmatrix}$

$\textbf{C} = \begin{bmatrix}
g & h
\end{bmatrix}$

$\textbf{D} = \begin{bmatrix}
i
\end{bmatrix}$

# Transmitancja operatorowa

$G(s) = \pmb{C}(s\pmb{I}-\pmb{A})^{-1}\pmb{B}+\pmb{D}$

$\pmb{I}$ - macierz jednostkowa

$s$ - jakaś tam zmienna

> Takie coś ale nwm gdzie wrzucić, może się przyda
> $\mathscr{L}[e^{\pmb{A}t}](s) = (s\pmb{I}-\pmb{A})^{-1} = \frac{L(s)}{M(s)}$

## Odwrotność macierzy 2x2
$\begin{bmatrix}
a & b\\
c & d
\end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}
d & -b \\
-c & a
\end{bmatrix}$

> _Jebanie małych dzieci to nie tylko przyjemność ale też obowiązek._
> [name=Jan Paweł II] [time=21:37]

# Odpowiedź impulsowa

$G(s)$ - [transmitancja operatorowa](#Transmitancja-operatorowa)

$g(t) = \mathscr{L}^{-1}[G(s)](t)$

# Odpowiedź skokowa

$G(s)$ - [transmitancja operatorowa](#Transmitancja-operatorowa)

$h(t) = \mathscr{L}^{-1}[\frac{G(s)}{s}](t)$

# Wzmocnienie statyczne

$K_{st} = \displaystyle{\lim_{s \to 0}}\space G(s)$ - na podstawie transmitancji

$K_{st} = \displaystyle{\lim_{s \to \infty}}\space h(s)$ - na podstawie odpowiedzi skokowej

# Transmitancja zastępcza

## Połączenie szeregowe


## Połączenie równoległe


## Sprzężenie zwrotne

## Przesuwanie węzłów

# Kryterium Kurwitza

$G(s) = \frac{L(s)}{M(S)}$

Bierzemy mianownik transmitancji zastępczej (wielomian $M(s)$)

$M(s)=a_ms^m + ... + a_2s^2+a_1s+a_0$

* Każdy współczynnik wielomianu musi być dodatni
* Tworzymy macierz Kurwitza:
* Dla $m = 2$
$\textbf{H} = \begin{bmatrix}
a_1 & a_2\\
0 & a_0
\end{bmatrix}$

* Dla $m = 3$
$\textbf{H} = \begin{bmatrix}
a_2 & a_3&0\\
a_0 & a_1 & a_2\\
0 & 0 & a_0
\end{bmatrix}$

* Każdy minor główny (wyznacznik podmacierzy z lewego górnego rogu) musi być równy 0
* Dla $m = 2$
1. $\det{\textbf{H}} = a_1a_0 > 0$

* Dla $m = 3$:
1. $\Delta_1 = a_2a_1 - a_3a_0 > 0$
2. $\Delta_0 = a_0 \cdot \Delta_1 > 0$

# Uchyb

Liczymy ile jest całkowań w układzie (w regulatorze i obiekcie)
Całkowanie występuje tam, gdzie występuje współczynnik $\frac{1}{s}$


Potem, w zależności od liczby całkowań, liczymy uchyb na pałę wg wzoru w tabeli:


> $n = 0$ - wymuszenie skokowe
> $n = 1$ - wymuszenie liniowo zmienne w czasie, tzw. prędkościowe

> W zależności od zadanego $y_{zad}$, tylko jedno $l + r$ ma sens w zadaniu, więc jest de facto znane już w samej treści
> [name=Oluś :heart: :gaycouple:]
>

Dla regulatora PI (tylko taki znamy chyba):

$k = 1$

$k_r = \frac{k_p}{T_i}$

# Charakterystyki Bodego

Np.

$G(s) = \frac{1}{s(s+1)(0.1s+1)}$

Rozbijamy na iloczyn ułamków:

$G(s) = \frac{1}{s} \cdot \frac{1}{s+1} \cdot \frac{1}{0.1s+1} = G_1(s)\cdot G_2(s) \cdot G_3(s)$

## Warianty wykresów

Rysujemy sobie wykresiki $G_n(s)$, a potem $G(s)$ to już sumowańsko na pałę i elo

### Człon całkujący

#### Ułamek w postaci

$G(s)=\frac{k}{s}$

#### Wzorki
$|G(j\omega)|=\frac{k}{\omega}$

$\phi(\omega) = -\frac{\pi}{2}$

#### Wykresy

##### Amplitudowa


> Uwaga: wykres zaczyna się w $0.1k$, nie w $0$.

Prosta przechodząca przez punkty $(0.1k, 20dB)$ i $(k, 0dB)$

##### Częstotliwościowa
Prosta $\phi(\omega) = -\frac{\pi}{2}$

### Człon inercyjny z opóźnieniem

#### Ułamek w postaci

$G(s)=\frac{k}{sT + 1}e^{-sT_0}$

#### Wzorki

$|G(j\omega)|=\frac{k}{\sqrt{1 + T^2\omega^2}}$

$\phi(\omega) = -\operatorname{arctg}{T\omega} - T_0\omega$

#### Wykresy

##### Amplitudowa


##### Częstotliwościowa


# Równania różnicowe

Mamy coś podane w stylu

$R(s) = \frac{U(s)}{E(s)} = 70\cdot \frac{s+2}{s+10}$

Przekształcamy do postaci:

$a\cdot U(s) + b\cdot U(s)s = c\cdot E(s) + d\cdot E(s)s$

Następnie:

$b\cdot \frac{u[k]-u[k-1]}{T_p} + au[k] = d\cdot \frac{e[k]-e[k-1]}{T_p} + c\cdot e[k]$

Wyciągamy $u[k]$ i gituwa $6pkt$ ez wpadło

## Transmitancja dyskretna
Jak już mamy

$u(k)=a \cdot u[k-1] + b\cdot e[k] + c\cdot e[k-1]$

To:

$U(z)=a\cdot U(z)z^{-1} + b\cdot E(z) + c\cdot E(z)z^{-1}$

$U(z)(1-az^{-1})=E(z)(b+cz^{-1})$

$G(z)=\frac{U(z)}{E(z)}=\frac{(1-az^{-1})}{(b+cz^{-1})}$

## Dyskretyzacja metoda Eulera

$R(s) = \frac{U(s)}{E(s)}$

$U(s)\cdot s = \frac{du(t)}{dt}$

$U(s) = u(t)$

$\frac{du(t)}{dt} = \frac{u(k) - u(k-1)}{Tp}$

podobnie E(s)

## Dyskretyzacja metoda Tustina (trapezów)

$\frac{1}{s} = \frac{Tp}{2} \cdot \frac{1+z^{-1}}{1-z^{-1}}$

$s = \frac{2}{Tp} \cdot \frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$

# Zapas fazy i amplitudy

$90^\circ$