--- tags: TrRun5 id: Cont-B04_bundle-map.md --- # 檜山トレラン5 B04 ファミリー／バンドル／マップ $\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1} } \newcommand{\Iff}{\Leftrightarrow } \newcommand{\In}{\text{ in } } \newcommand{\id}{\mathrm{id} } \require{color}% \newcommand{\Keyword}[1]{ \textcolor{green}{ \bf \text{#1} } }% \newcommand{\For}{\Keyword{For }}% \newcommand{\Let}{\Keyword{Let }}% \newcommand{\WeWillDefine}{\Keyword{WeWillDefine }}% \newcommand{\WeDefine}{\Keyword{WeDefine }}% \newcommand{\Notation}{\Keyword{Notation }}% %$ [B04-2 続 ファミリー／バンドル／マップ](https://hackmd.io/@m-hiyama/S1xMMiq85c) に続編あり。 ## はじめに (1) 形式的な概念定義、(2) 概念を名指す用語法、(3) 概念にまつわる気持ち／イメージ／習慣／典型例など、の三者を分離して、それぞれを確実に理解しよう、という話をした。分離して理解するトレーニングとして、本セミナーの主要テーマである「ファミリー／バンドル／マップ」を**自力で**解釈・分析してみよう。（ファミリー＝コンテナ＝多項式） ファミリー／バンドル／マップ という3つの概念は==ほとんど差がなく==て、相互に変換可能である。ほぼ同じ概念に用語が山ほどあるのは、それだけ重要であることの証左でもある。 ## 指標（形式的概念定義） ```desc description basics signature Map within Set { 0-mor A 0-mor B 1-mor f: A → B } ``` ↑集合圏を前提に写像概念を定義しても循環論法／同語反復のように思えるが、あとで参照するために Map という指標を定義しておく。 ```desc continue description basics signature Bundle within Set { 0-mor E 0-mor B 1-mor p: E → B } ``` ↑指標を書いてみると、バンドルとマップの差はない、形式的・抽象的には==まったく同じ概念==である。にも関わらず用語法（後述）がガラッと変わるのはメンタルモデルが違うから。 ```desc continue description basics signature Family { 0-mor I in Set 1-mor F: I → |Set| in SET } ``` ↑もうお馴染みファミリーの定義。コンテナとも多項式とも呼ぶ。 ```desc continue description basics signature Schema { 0-mor K in Set 1-mor F: K → |Set| in SET } ``` ↑おまけにスキーマ。スキーマも形式的にはファミリーと==まったく同じ==。 ## 用語定義 プレーンテキストで書けるように、次の記法を使う。 - InvImgOfPoint(-, -) ： 点〈要素〉に対する写像の逆像集合 [3/ B12 「逆」のオーバーロード](https://hackmd.io/@m-hiyama/B1eADLqkY) 参照。 TeX記法との対応は： $\For f:A \to B \In {\bf Set}\\ \For y \in B\\ \quad \text{InvImgOfPoint}(f, y) := f^{-1}(y) \;\in \mrm{Pow}(A) %$ ```term terminology basics vocabulary Bundle { bundle :=> basics.Bundle // 概念としてのバンドル、冠詞なし "a bundle" :=> a model of basics.Bundle "the projection of a bundle" :=> the p of (a model of basics.Bundle) "the base {set | space} of a bundle" :=> the B of (a model of basics.Bundle) "a {fiber | fibre} of a bundle" :=> // ここの冠詞は a でよい the InvImgOfPoint(p, x) for ( an element x of ( the B of (a model of basics.Bundle) ) ) "the total {set | space} of a bundle" :=> the E of (a model of basics.Bundle) } vocabulary Map { map :=> basics.Map // 概念としてのマップ、冠詞なし "a map" :=> a model of basics.Map "the codomain of a map" :=> the B of (a model of basics.Map) "the domain of a map" :=> the A of (a model of basics.Map) } vocabulary Family { family :=> basics.Family // 概念としてのファミリー、冠詞なし "a family" :=> a model of basics.Family "the indexing set of a family" :=> the I of (a model of basics.Family) } vocabulary Schema { schema :=> basics.Schema // 概念としてのスキーマ、冠詞なし "a schema" :=> a model of basics.Schema "the set of keys of a schema" :=> the K of (a model of basics.Schema) "a key of a schema" :=> an element of ( the K of (a model of basics.Schema) ) } ``` 次は日本語の呼び名、ウンザリしたら解釈・分析に頑張る必要はない。むしろ、==ドーデモイイという悟り==をひらいてもらいたい。（バンドルの全空間をバンドルと呼ぶ習慣は根強いので注意。） ```term continue terminology basics context バンドル for Bundle { バンドル := bundle バンドル := "a bundle" {バンドルの}?射影 := "the projection of a bundle" {バンドルの}?{ベース | 底}{集合 | 空間} := "the base {set | space} of a bundle" {バンドルの}?フィイバー := "a {fiber | fibre} of a bundle" {バンドルの}?全{集合 | 空間} := "the total {set | space} of a bundle" バンドル := "the total {set | space} of a bundle" // この曖昧性に注意 束 = バンドル // これは翻訳語としての同義語 } context マップ for Map { {マップ | マッピング | 写像 | 関数} := map {マップ | マッピング | 写像 | 関数} := "a map" {マップの}?{余域 | 終域 | コドメイン} := "the codomain of a map" {マップの}?{域 | 始域 | ドメイン} := "the domain of a map" } context ファミリー for Family { ファミリー := family ファミリー := "a family" {インデックス{付き | 付けられた}}?集合{の}?族 := family {インデックス{付き | 付けられた}}?集合{の}?族 := "a family" {ファミリーの}?{インデックス | インデキシング}{集合 | セット} := "the indexing set of a family" } context スキーマ for Schema { スキーマ := schema スキーマ := "a schema" 型定義 = スキーマ // 同義語 {スキーマの}?{キー | フィールド名 | カラム名 | 属性名 | プロパティ名}の集合 := "the set of keys of a schema" {スキーマの}?{キー | フィールド名 | カラム名 | 属性名 | プロパティ名} := "a key of a schema" } ``` ## 相互変換 ファミリー／バンドル／マップ という3つの概念は相互に変換可能であることは、次の構成手続き〈construction procedure〉で分かる。 プレーンテキストで書けるように、次の記法を使う。 - Sigma(-, -) ： ファミリーのシグマ構成（無限かも知れない足し算） - Union(-, -) ： ファミリーの無限かも知れない合併、コメント内でしか使ってないが TeX記法との対応は： $\For (I,\, F:I \to |{\bf Set}|) \in \text{ the 0-class of Family}\\ \quad \text{Sigma}(I, F) = \Sigma(F) := \sum_I F = \sum_{i\in I}F(i)\\ \quad \text{Union}(I, F) := \bigcup_{I}(F) = \bigcup_{i\in I}F(i)\\ %$ ```desc continue description basics procedure bundleFromMap from a Map map produces a Bundle bun { bun.E := map.A bun.B := map.B bun.p := map.f } procedure mapFromBundle from a Bundle bun produces a Map map { map.A := bun.E map.B := bun.B map.f := bun.p } procedure familyFromMap from a Map map produces a Family fam { fam.I := map.B fam.F := λy∈map.B.( InvImgOfPoint(map.f, y) ∈|Set| ) } procedure mapFromFamily from a Family fam produces a Map map { map.A := Sigma(fam.I, fam.F) map.B := fam.I map.f := λ(i, y)∈Sigma(fam.I, fam.F).( i ∈fam.I ) // Sigma(fam.I, fam.F) ⊆ fam.I × Union(fam.I, fam.F) } ``` これで、バンドル←→マップ、マップ←→ファミリー が1：1対応するのが分かった、当然に バンドル ←→ ファミリー も1：1対応し、三者は相互変換可能。 <b>[追記]</b>「1：1対応」という言い方は不正確。[B04-2 続 ファミリー／バンドル／マップ](https://hackmd.io/@m-hiyama/S1xMMiq85c) を見よ。<b>[/追記]</b> 様々な用語やメンタルモデルの奥には、単純な3つの概念があり、それら3つの概念も事実上同じであり、つまりは単純なひとつの概念を扱っているだけ、ということを強く意識する。そうすれば、「要するに単純なひとつの概念」という悟りがひらけ、大幅な時間節約になる。 ==構文的注意：== 構成手続きを簡潔に書きたいなら次のようでもよい。簡潔がいいかどうかはちょっと判断に苦しむ。 ```desc procedure mapFromFamily from a Family produces a Map { A := Sigma(I, F) B := I f := λ(i, y)∈Sigma(I, F).( i ∈I ) } ``` ==語学的注意：== 記号の読み方。手続き内の := は、is-defined-by と読むとよい。bun.E := map.A は次のように読める。 ``` the E of (a model bun of Bundle) is-defined-by the A of (a model map of Map) (指標 Bundle の任意のモデル bun) の E は、 (指標 Map の任意のモデル map) の A により定義される。 ``` <b>[追記]</b>ここの「任意の」の用法はちょっとおかしい。[B04-2 続 ファミリー／バンドル／マップ](https://hackmd.io/@m-hiyama/S1xMMiq85c) を見よ。<b>[/追記]</b> ==メンタル的注意：== ほとんど同じ3つの概念を、メンタルに〈気持ちとして、感覚として、実感として〉納得するには、絵を描くのが有効。各自で絵を描くべきではあるが、参考例を挙げる。左からマップのイメージ（要素→要素 対応）、バンドルのイメージ（ファイバーを考える）、ファミリーのイメージ（向きが逆）。 ![map-bun-fam.png](https://www.chimaira.org/img-sem/map-bun-fam.png) 正確に言えば、バンドルのファイバーはタギングされている（依存ペアだ）し、ファミリーの値である集合達は重なる可能性がある。あくまで最初のイメージを作るための絵。 [B04-2 続 ファミリー／バンドル／マップ](https://hackmd.io/@m-hiyama/S1xMMiq85c) に続編あり。