# 微積分（二）期末整理
## 13.1 多變數函數
$$
\begin{split}
z &=& f(x,y)\\
D &=& \{(x,y)|x,y\in \mathbb{R}\}\\
R &=& \{z|z\in f(x,y)\}
\end{split}
$$

- $D$：定義域(domin)，注意分母不為 $0$、根號裡面 $\ge0$
- $R$：值域(range)，所有可能的 $z$

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## 13.2 極限與連續性
$f$ 在 $(a,b)$ 上連續 $\Rightarrow$ $\lim\limits_{(x,y)\rightarrow(a,b)} f(x,y)=f(a,b)$

- 連續性質：
1. 多項式、分式、根式在**定義域**中連續
2. 如 $f,g$ 在 $(a,b)$ 連續，則 $f\pm g$、$fg$、$cf$、$\frac{f}{g}$ 皆連續
3. 如 $f$ 在 $(a,b)$ 連續，$g$ 在 $f(a,b)$ 連續，則 $g\circ f = g(f(a,b))$ 連續

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## 13.3 偏微分
$\frac{\partial}{\partial x}$：對 $x$ 偏微，把 $y$ 看作常數

$\frac{\partial}{\partial y}$：對 $y$ 偏微，把 $x$ 看作常數

$f_{xy}=f_{yx}$：先微 $x$ 再微 $y$ $=$ 先微 $y$ 再微 $x$

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## 13.5 連鎖律
$w = f(x,y)$ 其中 $x=g(t),y=h(t)$ （$x$、$y$ 都是 $t$ 的函式）
$$\frac{dw}{dt}=\frac{\partial w}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial w}{\partial y}\frac{dy}{dt}$$
$$w\ 對\ x\ 的微分 = w\ 對\ x\ 偏微\ \cdot\ x\ 對\ t\ 微分\ +\ w\ 對\ y\ 偏微\ \cdot\ y\ 對\ t\ 微分$$

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$w = f(x,y)$ 其中 $x=g(u,v),y=h(u,v)$ （$x$、$y$ 都是 $t$ 的函式）

$w$ 對 $u$，計算 $u$
$$\frac{dw}{du}=\frac{\partial w}{\partial x}\frac{dx}{du}+\frac{\partial w}{\partial y}\frac{dy}{du}$$

$w$ 對 $v$，計算 $v$
$$\frac{dw}{dv}=\frac{\partial w}{\partial x}\frac{dx}{dv}+\frac{\partial w}{\partial y}\frac{dy}{dv}$$

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- 隱函式 (implicit) 微分 $w=F(x,y)=0$
$$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}$$
$$y\ 對\ x\ 微分=-\frac{F\ 對\ x\ 偏微}{F\ 對\ y\ 偏微}$$

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## 13.6 方向導數與梯度向量
- 方向導數 (Directional Derivative)
$z=f(x,y),u=u_1\hat\imath+u_2\hat\jmath$ ==$u$ 的長度須為 $1$==
$$D_uf(x,y)=f_x(x,y)u_1+f_y(x,y)u_2$$

- 梯度 (Gradient)
$$\nabla f(x,y)=f_x(x,y)\hat\imath+f_y(x,y)\hat\jmath$$

- $D_uf(x,y)=\nabla f(x,y)\cdot u$

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## 13.7 切平面與法線
(1) 題目給 $F(x,y,z), p=(a,b,c)$
    (i)代入 $F(a,b,c)$，求值
    (ii)對 $F$ 分別做 $x,y,z$ 偏微，代 $p$ 點求值 $\Rightarrow$ 得法向量 $(d,e,f)$
    (iii)切平面公式：
$$d(x-a)+e(y-b)+f(z-c)=0$$
         法線公式:
$$\frac{x-a}{d}=\frac{y-b}{e}=\frac{z-c}{f}$$

(2) 題目給 $z=f(x,y), p=(a,b,c)$
    (i) 令 $F(x,y,z)=f(x,y)-z=0$
    (ii), (iii) 同上

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## 13.8 極值
- 臨界點 (critical point) $(a,b)$ 發生在
1. $f(a,b)$ 不可微
2. $f_x(a,b)=0=f_y(a,b)$

- 極值 (extrema value) $\rightarrow$ 一定是臨界點
- 利用公式判斷
$$D(a,b)=f_{xx}(a,b)\cdot_{yy}(a,b)-f^2_{xy}(a,b)$$

1. $D>0, f_{xx}>0 \rightarrow$ 極大
2. $D>0, f_{xx}<0 \rightarrow$ 極小
3. $D<0 \rightarrow$ 鞍點 (saddle point)
4. $D=0$ 啥都不是

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## 13.9 拉格朗日乘數
1. $f(x,y)$ 與 二元等式（如 $ax^2+by^2=0$），求最大/小
i. 令二元等式為 $g(x,y)$，求 $\nabla f,\nabla g$
ii. 解 $(x,y)$
$$
\begin{cases}
\nabla f=\lambda\nabla g\\
g(x)
\end{cases}
$$
iii. 將 ii. 點代入 $f$ 求值，得最大/小
2. 如給的 $g$ 為不等式（如 $g(x)\le0$），則在 iii. 多算 $f$ 的臨界點，並判斷是否滿足不等式，如滿足則同時加入比較。

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## 14.1 二重積分
積分性質
1. $\iint\limits_Dcf(x,y)dA=c\iint\limits_Df(x,y)dA$

2. $\iint\limits_D[f(x,y)\pm g(x,y)]dA=\iint\limits_Df(x,y)dA\pm\iint\limits_Dg(x,y)dA$

3. If $f(x,y)\ge0$ on $D$, then $\iint\limits_Df(x,y)dA\ge0$

4. If $f(x,y)\ge g(x,y)$ on $D$, then $\iint\limits_Df(x,y)dA\ge\iint\limits_Dg(x,y)dA$

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## 14.2 多重積分
- 二重積分可交換性
$$\int^b_a\int^d_cf(x,y)dydx=\int^d_c\int^b_af(x,y)dxdy$$

- 如有一變數的範圍是另一變數的函式，則積分==須先算==
$$\int^b_a\int^{g_2(x)}_{g_1(x)}f(x,y)dydx$$
(不可交換)

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## 14.8 多重積分中的變數變換
1. 求 $T$，令 $x=au+bv$，代入右圖兩點對應左圖兩點，求出 $a,b$
2. 同理令 $y=au+bv$ 求 $a,b$
3.
$$
J=\left|\begin{array}{cccc}
\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\
\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}\\
\end{array}\right| =j
$$
3.
$$
\iint\limits_Rf(x,y)dA=\iint\limits_Sf(g(u,v),h(u,v))\cdot jdudv
$$
$S$ 利用右圖判斷 $u,v$ 的範圍，$g(u,v),h(u,v)$ 則將 $x,y$ 改成 $u,v$（第 1 步求的式子）

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