微積分（二）期末整理

13.1 多變數函數

$$\begin{array}{rlr}z& =& f(x,y)\\ D& =& \{(x,y)|x,y\in \mathbb{R}\}\\ R& =& \{z|z\in f(x,y)\}\end{array}$$

• $D$：定義域(domin)，注意分母不為
  $0$、根號裡面
  $\ge 0$
• $R$：值域(range)，所有可能的
  $z$

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13.2 極限與連續性

$f$ 在

$(a,b)$ 上連續

$\Rightarrow$

$\underset{(x,y)\to (a,b)}{lim}f(x,y)=f(a,b)$

• 連續性質：
  1. 多項式、分式、根式在定義域中連續
  2. 如
     $f,g$ 在
     $(a,b)$ 連續，則
     $f\pm g$、
     $fg$、
     $cf$、
     $\frac{f}{g}$ 皆連續
  3. 如
     $f$ 在
     $(a,b)$ 連續，
     $g$ 在
     $f(a,b)$ 連續，則
     $g\circ f=g(f(a,b))$ 連續

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13.3 偏微分

$\frac{\partial }{\partial x}$：對

$x$ 偏微，把

$y$ 看作常數

$\frac{\partial }{\partial y}$：對

$y$ 偏微，把

$x$ 看作常數

$f_{xy}=f_{yx}$：先微

$x$ 再微

$y$

$=$ 先微

$y$ 再微

$x$

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13.5 連鎖律

$w=f(x,y)$ 其中

$x=g(t),y=h(t)$ （

$x$、

$y$ 都是

$t$ 的函式）

$$\frac{dw}{dt}=\frac{\partial w}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial w}{\partial y}\frac{dy}{dt}$$

$$w\mathrm{對}x\mathrm{的}\mathrm{微}\mathrm{分}=w\mathrm{對}x\mathrm{偏}\mathrm{微}\cdot x\mathrm{對}t\mathrm{微}\mathrm{分}+w\mathrm{對}y\mathrm{偏}\mathrm{微}\cdot y\mathrm{對}t\mathrm{微}\mathrm{分}$$

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$w=f(x,y)$ 其中

$x=g(u,v),y=h(u,v)$ （

$x$、

$y$ 都是

$t$ 的函式）

$w$ 對

$u$，計算

$u$

$$\frac{dw}{du}=\frac{\partial w}{\partial x}\frac{dx}{du}+\frac{\partial w}{\partial y}\frac{dy}{du}$$

$w$ 對

$v$，計算

$v$

$$\frac{dw}{dv}=\frac{\partial w}{\partial x}\frac{dx}{dv}+\frac{\partial w}{\partial y}\frac{dy}{dv}$$

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• 隱函式 (implicit) 微分
  $w=F(x,y)=0$
  $$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}$$
  $$y\mathrm{對}x\mathrm{微}\mathrm{分}=-\frac{F\mathrm{對}x\mathrm{偏}\mathrm{微}}{F\mathrm{對}y\mathrm{偏}\mathrm{微}}$$

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13.6 方向導數與梯度向量

• 方向導數 (Directional Derivative)

  $z=f(x,y),u=u_1\hat{ı}+u_2\hat{ȷ}$
  $u$ 的長度須為
  $1$
  $$D_{u}f(x,y)=f_x(x,y)u_1+f_y(x,y)u_2$$

• 梯度 (Gradient)

  $$\mathrm{\nabla }f(x,y)=f_x(x,y)\hat{ı}+f_y(x,y)\hat{ȷ}$$

• $D_{u}f(x,y)=\mathrm{\nabla }f(x,y)\cdot u$

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13.7 切平面與法線

(1) 題目給

$F(x,y,z),p=(a,b,c)$     (i)代入

$F(a,b,c)$，求值     (ii)對

$F$ 分別做

$x,y,z$ 偏微，代

$p$ 點求值

$\Rightarrow$ 得法向量

$(d,e,f)$     (iii)切平面公式：

$$d(x-a)+e(y-b)+f(z-c)=0$$          法線公式:

$$\frac{x-a}{d}=\frac{y-b}{e}=\frac{z-c}{f}$$

(2) 題目給

$z=f(x,y),p=(a,b,c)$     (i) 令

$F(x,y,z)=f(x,y)-z=0$     (ii), (iii) 同上

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13.8 極值

• 臨界點 (critical point)

  $(a,b)$ 發生在
  1. $f(a,b)$ 不可微
  2. $f_x(a,b)=0=f_y(a,b)$

• 極值 (extrema value)

  $\to$ 一定是臨界點
  • 利用公式判斷
    $$D(a,b)=f_{xx}(a,b){\cdot }_{yy}(a,b)-f_{xy}^2(a,b)$$

1. $D>0,f_{xx}>0\to$ 極大
2. $D>0,f_{xx}<0\to$ 極小
3. $D<0\to$ 鞍點 (saddle point)
4. $D=0$ 啥都不是

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13.9 拉格朗日乘數

1. $f(x,y)$ 與 二元等式（如
   $a{x}^2+b{y}^2=0$），求最大/小 i. 令二元等式為
   $g(x,y)$，求
   $\mathrm{\nabla }f,\mathrm{\nabla }g$ ii. 解
   $(x,y)$
   $$\{\begin{array}{l}\mathrm{\nabla }f=\lambda \mathrm{\nabla }g\\ g(x)\end{array}$$ iii. 將 ii. 點代入
   $f$ 求值，得最大/小
2. 如給的
   $g$ 為不等式（如
   $g(x)\le 0$），則在 iii. 多算
   $f$ 的臨界點，並判斷是否滿足不等式，如滿足則同時加入比較。

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14.1 二重積分

積分性質

1. $\underset{D}{\iint }cf(x,y)dA=c\underset{D}{\iint }f(x,y)dA$

2. $\underset{D}{\iint }[f(x,y)\pm g(x,y)]dA=\underset{D}{\iint }f(x,y)dA\pm \underset{D}{\iint }g(x,y)dA$

3. If

   $f(x,y)\ge 0$ on
   $D$, then
   $\underset{D}{\iint }f(x,y)dA\ge 0$

4. If

   $f(x,y)\ge g(x,y)$ on
   $D$, then
   $\underset{D}{\iint }f(x,y)dA\ge \underset{D}{\iint }g(x,y)dA$

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14.2 多重積分

• 二重積分可交換性
  

  $${\int }_a^b{\int }_c^{d}f(x,y)dydx={\int }_c^d{\int }_a^{b}f(x,y)dxdy$$

• 如有一變數的範圍是另一變數的函式，則積分須先算

  $${\int }_a^b{\int }_{g_1(x)}^{g_2(x)}f(x,y)dydx$$ (不可交換)

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14.8 多重積分中的變數變換

1. 求
   $T$，令
   $x=au+bv$，代入右圖兩點對應左圖兩點，求出
   $a,b$
2. 同理令
   $y=au+bv$ 求
   $a,b$
3. $$J=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial u}& \frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v}\end{array}\right|=j$$
4. $$\underset{R}{\iint }f(x,y)dA=\underset{S}{\iint }f(g(u,v),h(u,v))\cdot jdudv$$
   $S$ 利用右圖判斷
   $u,v$ 的範圍，
   $g(u,v),h(u,v)$ 則將
   $x,y$ 改成
   $u,v$（第 1 步求的式子）

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