# 2017q3 Homework1(ternary)

contributed by <`loolofen`>

>太久未動工，請追上進度
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## Balanced Ternary 簡介

Balanced Ternary 是一種 ternary numeral system (Base 3) ， 以 {$-1$,$0$,$1$} 表示，和 Base 2 系統差別在於 Balanced Ternary中每個trit皆可表示負值，若有需要使用到負數就不必以補數或其他方式，可以直接計算trit上的數值即可，減少計算複雜度。

其實在歷史上有出現過第一台現代的三進制電腦 [Setun](https://en.wikipedia.org/wiki/Setun)，是由前蘇聯莫斯科大學 [Nikolay Brusentsov](https://en.wikipedia.org/wiki/Nikolay_Brusentsov)，比當時的 二進制電腦造價更低、耗能更少，但礙於當時蘇聯環境影響只能結束這項計畫，或許以後有甚麼新科技時，三進制電腦又會出現吧！

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## Balanced Ternary 特點

將三進位數值轉換為十進位數值通式為：$\displaystyle \sum_{n=∞}^{∞} a_n \times 3^{n}$, $a_n$$∈$ { $1$, $0$, $-1$}
* e.g. $\ 1T.1_{bal3}=(1)\times 3^1 + (-1)\times 3^0 + 1 \times 3^{-1} =-{\dfrac{7}{3}}_{dec}$

下表為 Balanced Ternary 轉換為十進制以及二進制(負數以 $2'complement$ 表示)對照表，可看出 Balanced Ternary，與 Binary 相較之下使用較少位元數，以及在負數表示時，只需要做個 inverse 的動作。
|Balanced Ternary|T1|T|0|1|1T|
|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|
|Decimal|-2|-1|0|1|2|
|Binary|1110|1111|0000|0001|0010|

根據 economical radix 爭對 radix 及 width 測量(下圖)，在所有數字系統中以 $e$ 經濟效益最高，不過在現實中要如何在表示 Base $e$ 是很困難的，所以只能找相近的數字，其中以 Base 3最接近，所以其實 Base 3是比 Base 2還來得更有經濟效益的。

>中英文字間前後都要記得空白！
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## Balanced Ternary 邏輯

AND
|AND|$-$|0|$+$|
|:-:|:-:|:-:|:-:|
|$-$|$-$|$-$|$-$|
|**0**|$-$|0|0|
|$+$|$-$|0|$+$|

OR
|OR|$-$|0|$+$|
|:-:|:-:|:-:|:-:|
|$-$|$-$|0|$+$|
|**0**|0|0|$+$|
|$+$|$+$|$+$|$+$|

XOR
|XOR|$-$|0|$+$|
|:-:|:-:|:-:|:-:|
|$-$|$-$|0|$+$|
|**0**|0|0|0|
|$+$|$+$|0|$-$|

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## Balanced Ternary 運算

加法
|Sum|$-$|0|$+$|
|:-:|:-:|:-:|:-:|
|$-$|$+$|$-$|$0$|
|**0**|$-$|0|$+$|
|$+$|0|$+$|$-$|
進位
|Carry|$-$|0|$+$|
|:-:|:-:|:-:|:-:|
|$-$|$-$|0|0|
|**0**|0|0|0|
|$+$|0|0|$+$|
乘法
|×|$-$|0|$+$|
|:-:|:-:|:-:|:-:|
|$-$|$+$|0|$-$|
|**0**|0|0|0|
|$+$|$-$|0|$+$|
除法
|÷|$-$|0|$+$|
|:-:|:-:|:-:|:-:|
|$-$|$+$|$-∞$|$-$|
|**0**|0|NAN|0|
|$+$|$-$|$∞$|$+$|

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## 在GitHub 找到的應用案例

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## 對既有工具進行修改

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## 參考資料
* [Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Setun)
* [ResearchGate](https://www.researchgate.net/figure/308417722_fig1_Figure-21-Most-economical-radix-for-a-numbering-system-is-e-about-2718-when-economy)