【數學理論】 08. 比無限大還大的無限大 — 希爾伯特旅館悖論 (Hilbert Hotel Paradox)

--- title: 【數學理論】 08. 比無限大還大的無限大 — 希爾伯特旅館悖論 (Hilbert Hotel Paradox) tags: - 【數學理論】 - 悖論 url: https://hackmd.io/@lewisjjj800/r1U-OQefxl lastSync: 2025-05-25T08:45:57.906Z hackmd: url: https://hackmd.io/@lewisjjj800/r1U-OQefxl title: 【數學理論】 08. 比無限大還大的無限大 — 希爾伯特旅館悖論 (Hilbert Hotel Paradox) lastSync: 2025-05-25T05:17:48.973Z --- 比無限大還大的無限大 === 希爾伯特旅館悖論 (Hilbert Hotel Paradox) ---  按照慣例，開頭先來說一個故事。 高中在學到循環小數的時候，一定會學到一個經典的問題： $$ 1 = 0.\overline{9} $$ >也就是 $1=0.999\dots$ 當時老師問了班上同學：「大家覺得 $1$ 跟 $0.\overline{9}$ 是相等的嗎？」 班上有些人認為相等，有些人認為不相等。 有些人覺得是棋盤，有些人覺得是稿紙，有些人覺得是綠豆糕。 扯遠了，回來這個話題。當時我認為好像都對又好像都怪怪的，如果說相等的話，那感覺 $0.\overline{9}$ 永遠比 $1$ 還要**小那麼一丁點**，但如果不相等的話，那**小那麼一丁點**是多小？小到等於 $0$ 嗎？那不就相等了嗎？ 到了高三學到了**極限**，我們會接觸到**無限**的概念，舉一個簡單的極限題目。 $$ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{n}=0 $$ 我們會說 $\frac{1}{n}$ 的極限值是 $0$，但我們不能說 $\frac{1}{\infty}$ 是 $0$，當時實在是把我腦袋cpu給幹燒了。可見**無限**的概念並沒有這麼直觀理解。 關於無限你一定聽過一個故事：**阿基里斯與烏龜**。 >[!Important] **阿基里斯與烏龜** >1. 假設阿基里斯的速度比烏龜快 10 倍。 >2. 比賽開始時，烏龜為了補償其速度慢的劣勢，獲得了 **100 米的起跑優勢**。 >3. 當阿基里斯跑完這 100 米時，烏龜已經向前移動了 **10 米**。 >4. 當阿基里斯跑完這額外的 10 米時，烏龜又前進了 **1 米**。 >5. 如此類推，每當阿基里斯抵達烏龜之前的位置，烏龜都會進一步向前移動一段距離。 >6. 由於這個過程可以無限分割，阿基里斯似乎永遠無法追上烏龜。 >就是咒術迴戰中，五條悟的無下限術式 古希臘人當時並沒有**無限**的概念，但聰明的你一定知道：**無限分割不等於無限時間**，雖然阿基里斯的追趕過程可以分成無限多個步驟，但每一步所需的時間都越來越短，時間總和是有限的，加上分割距離的等比級數會收斂，所以距離也是有限的，因此阿基里斯完全有可能追上烏龜。 **無限**跟**機率**一樣，都會有反直覺的悖論，因為它們都不那麼直觀好理解，過去我們講過兩個有關**機率**的悖論，[**蒙提霍爾悖論**](https://hackmd.io/@lewisjjj800/r1yyOQgfxx)以及[**生日悖論**](https://hackmd.io/@lewisjjj800/B1a1dQlfgg)。 1924年，被譽為是「現代數學之父」之一的德國數學家大衛·希爾伯特（David Hilbert）提出了一個有趣的思想實驗，來說明「無限」的數學概念及其反直覺性，就是鼎鼎大名的**希爾特旅館**，這不是真實存在的旅館，而是一種用於解釋無限集合特性的抽象模型。 在講解主題之前，必須先說說**希爾伯特**這位數學家，他對於數學的貢獻不計其數，他解決了很多數學問題，但是也提出了很多數學問題，當中最著名的就是**希爾伯特綱領**以及其後面衍生出的**哥德爾不完備定理**，因為非常晦澀艱深，之後會用大概三到四篇的專欄篇幅特別講述何為**希爾伯特綱領**以及**哥德爾不完備定理**。 先說回主題：**希爾特旅館**。 --- ## 希爾特旅館希爾特旅館的核心概念如下： >[!Note] **希爾特旅館** >1. 這是一家擁有**無限多間房間**的旅館，房間編號為 $1, 2, 3, \dots$。 >2. 每間房間都已經滿了，而且房間內都有一位客人入住。 >3. 即使旅館是「滿的」，仍可以接待新的客人，甚至無限多的新客人。 你可能會覺得，這說得到底都是個啥？我們先來考慮以下幾種情況： 首先，假設今天來了一位新的客人想要入住，可是房間是滿的，怎麼辦？ >[!Tip] **如何接待一位新客人？** >- 將房間 $n$ 的客人移到房間 $n+1$： > - $1 \to 2,\ 2 \to 3,\ 3 \to 4, \dots$ >- 如此一來，房間 $1$ 便空了出來，這樣新客人就可以入住房間 $1$。 這是非常合理的，因為有無限多間空房，所以想怎麼請客人移都沒問題。 接下來，假設又來了10位新的客人想要入住，可是房間還是滿的，怎麼辦？ >[!Tip] **如何接待有限多位新客人？** >- 假設有 $10$ 位新客人到來： > - 將房間 $n$ 的客人移到房間 $n+10$： > - $1 \to 11, 2 \to 12, \dots$ > - 前10個房間空出來，新客人便可以分別入住前10個房間。 這是非常合理的，因為有無限多間空房，所以想怎麼請客人移都沒問題。 我想聰明的你一定想到了，那既然可以這樣想怎麼移就怎麼移，是不是也可以接待**無限多位新客人**？ >[!Tip] **如何接待無限多位新客人？** >- 將房間 $n$ 的客人移到房間 $2n$（偶數房間）： > - $1 \to 2, 2 \to 4, 3 \to 6, \dots$ >- 所有奇數房間 $1,\ 3,\ 5, \dots$ 空出來，新客人按照順序入住。 當然是可以而且非常合理的，因為有無限多間空房，所以想怎麼請客人移都沒問題。 這就奇怪了，明明都已經滿了，可是竟然還可以多接待無限多位客人？ --- 藉由上面的幾個例子我們會發現，這個悖論矛盾的點在於**無限多間**跟**滿的**是牴觸的。因為我們的想法會是 **「滿」就代表沒有多餘的空間**，但 **「無限多間」代表可以無限擴張**。 $$ \xrightarrow{「滿」代表沒有多餘的空間}\ 矛盾 \xleftarrow{「無限多間」代表可以無限擴張} $$ 會有這樣的矛盾是因為，我們對於**滿的概念**來自於這個充滿著有限的世界，例如 >[!Tip] **有限世界中，「滿」的概念** >- 一個水杯裝滿了水，表示水的體積已經達到杯子容積的邊界，無法再加入更多水。 >- 一個盒子裝滿了球，表示球的數量已經達到盒子容積的邊界，無法再放入更多球。 >- 你的肚子裝滿了食物，表示食物的數量已經達到肚子容積的邊界，再吃就會吐出來了。 我們日常經驗中的「滿」，依賴於有限的邊界和容量。 然而，在無限的情況中，已經脫離我們對於滿的認知了，因此「滿」和「可擴展」並不矛盾，原因在於 **無限集合的性質與邏輯不同於有限集合**。 我們先來看看一個我們都很熟悉的無限集合： >[!Note] **無限集合** >- 自然數集合 $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$ 已經是「滿」的，因為它包含所有自然數。 >- 但是，如果我們加上一些新元素，例如 $0$ 以及所有的負整數集合，來構成新的整數集合 $\mathbb{Z}$，整數集合 $\mathbb{Z}$ 仍然是一個無限集合，雖然 $\mathbb{N} \ne \mathbb{Z}$，並不改變 $\mathbb{Z}$ 無限的性質，$\mathbb{Z}$ 還是「滿」的。 我們會發現，在無限集合中，「滿」代表包含**某個範圍的所有可能元素**，例如說自然數 $\mathbb{N}$ 、有理數 $\mathbb{Q}$ 以及實數 $\mathbb{R}$，它們各自代表 **包含著自己範圍中所有可能元素**的集合，所以在這種情況下我們可以說這些集合都是「滿」的，也可以說是具有**完備性(Completeness)**。 而就算自然數集合 $\mathbb{N}$ 因為它包含所有的自然數，被認為是滿的(完備的)，但它的結構仍然允許嵌入其他數，例如剛剛的例子，如果再加上 $0$ 以及所有的負整數集合，來構成新的整數集合 $\mathbb{Z}$，整數集合 $\mathbb{Z}$ 還是滿的(完備的)，因為它包含了所有的**整數**。 事實上，**無限**最特別的地方在於**沒有邊界**，所以我們在面對有關無限的計算時要特別注意，例如我們不能說 $n \le \infty$，因為**無限沒有邊界**，所以只能說 $n < \infty$，這同時也回答了一個問題，「為什麼 $\frac{1}{n}$ 的極限值是 $0$，但我們不能說 $\frac{1}{\infty}$ 是 $0$ ？」，因為無限是一種**趨勢**，沒有邊界、不可被約束，所以只能說 $\frac{1}{n}$ 的極限值是 $0$ 或是趨近於 $0$。 也因為**無限沒有邊界**，所以跟我們在有限世界中的邏輯不同，在有限世界中 **「滿」就等於到邊界了**，而就算無限集合已經放滿了所有應該屬於它的東西，還是可以繼續放，**雖然它滿，但是它沒有邊界**。 接下來，我們回頭看看我一開始舉的例子，**如何接待有限多位新客人？** 以及 **如何接待無限多位新客人？**，現在我來將這兩間接待客人的希爾伯特旅館各自編號成**希爾伯特旅館A**以及**希爾伯特旅館B** >[!Tip] **希爾伯特旅館A (接待有限多位新客人)** >- 假設有 $k$ 位新客人到來： > - 將房間 $n$ 的客人移到房間 $n+k$： > - $1 \to 1+k, 2 \to 2+k, \dots$ > - 前 $k$ 個房間空出來，新客人分別入住。 >[!Tip] **希爾伯特旅館B (接待無限多位新客人)** >- 將房間 $n$ 的客人移到房間 $2n$（偶數房間）： > - $1 \to 2, 2 \to 4, 3 \to 6, \dots$ >- 所有奇數房間 $1, 3, 5, \dots$ 空出來，新客人按照順序入住。 會有一種直觀想法是，**希爾伯特旅館B**會比**希爾伯特旅館A**還要**大間**，因為**希爾伯特旅館B**多接待了無限多位客人，但是事實上這兩間旅館都是無限多間，我們都知道無限是沒辦法比大小的。 而數學家**康托爾**已經想過這個問題了，他了解到無限雖然沒有辦法比大小，但是無限集合是有**層級**之分的，例如「直觀上來說實數集合 $\mathbb{R}$ 感覺會比整數集合 $\mathbb{Z}$ 還要**大**」，因為我們知道任兩個正整數中間可以存在無限多個實數。 為了分清楚無限集合的層級，康托爾定義了**可數無窮集合**、**阿列夫零** $\aleph_0$ 以及 **不可數無窮集合**。 接下來我們一一解釋這幾個名詞。 ## **可數無窮集合** 首先我們先談談**基數**。 **基數**則是用來衡量集合大小的一種數學概念。 >[!Note] **基數** > **有限集合**的基數是其元素的個數，例如集合 $\{1, 2, 3\}$ 的基數為 $3$，也就是這個集合有 $3$ 個元素。 > **無窮集合**的基數描述集合的「無窮程度」，使用 $\aleph$ 符號來表示。 >這邊要注意，**無窮集合**的基數並不代表元素的個數，而是代表無窮程度。 至於常見的**可數無窮集合**如下： >[!Note] **可數無窮集合** **可數無窮集合**包含下列幾個： > - 自然數集合 $\mathbb{N}=\{1, 2, 3, \dots\}$ > - 整數集合 $\mathbb{Z} =\{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}$ > - 有理數集合 $\mathbb{Q} = \left\{ \frac{p}{q} \mid p, q \in \mathbb{Z}, q \neq 0 \right\}$ 這些集合的基數都是 $\aleph_0$，因為它們是**可數的無窮集合**。 而 $\aleph_0$ 有以下定義： >[!Note] **阿列夫零** **阿列夫零** $\aleph_0$ 是集合論中用來描述最小的**無窮基數**的符號。 >- $\aleph_0$ 是希伯來字母 Aleph 的轉寫。 >- $\aleph_0$ 專指**可數無窮集合的基數**，即與自然數集合 $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$ 一樣大小的集合。 **有限集合**的基數包含具體的元素數量，而 $\aleph_0$ 描述了無窮集合的「最小無窮程度」。 可能有人會好奇，明明可數無窮集合的基數是 $\aleph_0$ ，而 $\aleph_0$ 又是自然數集合 $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$ 的基數，所以 $\mathbb{N}$ 、 $\mathbb{Z}$ 以及 $\mathbb{Q}$ 的基數都跟 $\mathbb{N}$ 一樣嗎？ 仔細想想不太合理，因為直觀上感覺，自然數集合 $\mathbb{N}$ 的基數會小於整數集合 $\mathbb{Z}$ 的基數，而整數集合 $\mathbb{Z}$ 的基數又會小於有理數集合 $\mathbb{Q}$ 的基數，也就是 $$ \mathbb{N}<\mathbb{Z}<\mathbb{Q} $$ 畢竟整數還包含了 $0$ 跟負整數，有理數還包含了有限小數，怎麼想都覺得它們的基數都會大於自然數集合，接下來我們來證明一下。 首先先來說說為什麼「為什麼**自然數集合 $\mathbb{N}$、整數集合 $\mathbb{Z}$、有理數集合 $\mathbb{Q}$** 都是**可數無窮集合**，基數是 $\aleph_0$ ？」 --- ## 整數集合的基數我們希望找到一個 **雙射 (bijection)** $f: \mathbb{N} \to \mathbb{Z}$ ，使得自然數集合 $\mathbb{N}$ （即 $\{ 0, 1, 2, 3, \dots \}$）與整數集合 $\mathbb{Z}$（即 $\{ \dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots \}$）能夠一一對應。 ### 構造函數 $f(n)$ 我們可以定義如下的函數 $f(n)$ 來建立這樣的對應關係： $$ f(n) = \begin{cases} \frac{n}{2}, & \text{若 $ n $ 為偶數} \\ -\frac{n+1}{2}, & \text{若 $ n $ 為奇數} \end{cases} $$ 這樣的定義會對應如下： | $n$ | $f(n)$ | $n$ | $f(n)$ | |---|---|---|---| | 0 | 0 | 5 | -3 | | 1 | -1 | 6 | 3 | | 2 | 1 | 7 | -4 | | 3 | -2 | 8 | 4 | | 4 | 2 | $\vdots$ | $\vdots$ | 這種方式確保了： 1. 每個自然數 $\mathbb{N}$ 都對應到唯一的整數 $f(n)$。 2. 每個整數 $\mathbb{Z}$ 也恰好被某個 $n$ 唯一對應到，確保雙射的成立。 這個構造證明了整數集合 $\mathbb{Z}$ 與自然數集合 $\mathbb{N}$ 具有相同的基數 $\aleph_0$，也就是 **可數無窮**。 接下來看看有理數 $\mathbb{Q}$ 與自然數 $\mathbb{N}$ 的基數為什麼是一樣的。 --- ## 有理數集合的基數有理數指的是所有可以表示成分數的數，即： $$ \mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} \mid a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{N}, b \neq 0 \right\} $$ 我們可以使用 **康托爾對角線方法 (Cantor’s diagonal argument)** 或 **列舉法 (enumeration method)** 來建立對應。 ### **方法：排列所有正有理數 $\mathbb{Q}^+$** 我們先只考慮所有的 **正有理數**，也就是形如 $\frac{a}{b}$ 的分數，其中 $a, b$ 為正整數。可以用 **有限步驟排列出所有分數**，方法如下： 1. 先列出所有可能的正有理數 $\frac{a}{b}$。 2. 按照 **分子 + 分母 = 固定值** 來排列，形成一個表格： $$ \begin{array}{c|cccccc} a \backslash b & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 1 & \frac{1}{1} & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} \\ 2 & \frac{2}{1} & \frac{2}{2} & \frac{2}{3} & \frac{2}{4} & \frac{2}{5} & \frac{2}{6} \\ 3 & \frac{3}{1} & \frac{3}{2} & \frac{3}{3} & \frac{3}{4} & \frac{3}{5} & \frac{3}{6} \\ 4 & \frac{4}{1} & \frac{4}{2} & \frac{4}{3} & \frac{4}{4} & \frac{4}{5} & \frac{4}{6} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{array} $$ 3. **依照從右上到左下的對角線方向來遍歷所有分數**（跳過重複的分數，如 $\frac{2}{2} = 1$），如下圖所示： - 第 1 條對角線：$\frac{1}{1}$ - 第 2 條對角線：$\frac{1}{2}, \frac{2}{1}$ - 第 3 條對角線：$\frac{1}{3}, \frac{3}{1}$ - 第 4 條對角線：$\frac{1}{4}, \frac{2}{3}, \frac{3}{2}, \frac{4}{1}$ 依此類推，這樣可以確保 **每個有理數都會被列舉到，且不會遺漏**。 4. 把 **負有理數** 也加進來，使用類似於 $\mathbb{Z}$ 的方法，將正負數交錯排列： $$ 0, 1, -1, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 2, -2, \frac{1}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{3}{2}, -\frac{3}{2}, \dots $$ 這樣我們就成功建立了 $\mathbb{Q}$ 與 $\mathbb{N}$ 之間的**雙射**，證明了有理數同樣也是**可數無窮**的。 --- 所以我們可以知道： 1. **有理數 $\mathbb{Q}$ 與自然數 $\mathbb{N}$ 之間可以建立一一對應**，因此它們擁有相同的**基數**。 2. 由上可知，**有理數是可數無窮集合**。 3. 這個結果很直觀，因為儘管有理數的數量「看起來」比自然數多很多，但它仍然可以被自然數列舉出來。 這個證明與整數 $\mathbb{Z}$ 的方式不同，因為有理數並不是線性排序的，而是需要透過「對角線遍歷」的方式來確保所有數都被包含。 ## **不可數無窮集合** >[!Note] **不可數無窮集合** **不可數無窮集合**包含下列幾個： > - 實數集合 $\mathbb{R}$：有理數和無理數的聯集。 > - 複數集合 $\mathbb{C} =\{a+bi\mid a, b \in \mathbb{R}, i^2=-1\}$ 有些人可能會好奇，為什麼**自然數集合 $\mathbb{N}$、整數集合 $\mathbb{Z}$、有理數集合 $\mathbb{Q}$** 都是**可數無窮集合**，基數是 $\aleph_0$，而**實數集合 $\mathbb{R}$、複數集合 $\mathbb{C}$** 卻是**不可數無窮**？ 另外一個問題是：**實數集合** $\mathbb{R}$ 是**不可數無窮集合**，其基數是否也是 $\aleph_0$？ 這就要談到**康托爾對角論證**來證明了。 ## 實數集合的基數我們先來看看什麼是**康托爾對角論證**： >[!Important] **康托爾對角論證（Cantor's Diagonal Argument）** >是一種經典的數學論證，用來說明某些無窮集合（例如實數集合 $\mathbb{R}$）的基數大於自然數集合 $\mathbb{N}$ 的基數 $\aleph_0$。這是集合論中的一個關鍵結果，表明存在比可數無窮集合更「大」的無窮集合。 **康托爾的對角論證**也能用來證明：如果可以將實數集合中的每個元素與自然數集合中的元素一一對應，那麼實數集合就是可數的。 --- ### 實數 $\mathbb{R}$ 與自然數 $\mathbb{N}$ 的一一對應首先選擇 $[0, 1)$ 區間內的實數，因為這段區間內的實數數量已足夠大。假設我們已經將 $[0, 1)$ 的實數排列成一個無窮序列，並嘗試證明這種排列會導致矛盾。 我們先假設，$[0, 1)$ 中的所有實數可以列成如下表格形式，每一行代表一個實數的小數表示： $$ \begin{array}{c} r_1 = 0.a_{11}a_{12}a_{13}a_{14}\dots \\ r_2 = 0.a_{21}a_{22}a_{23}a_{24}\dots \\ r_3 = 0.a_{31}a_{32}a_{33}a_{34}\dots \\ \vdots \end{array} $$ 其中 $a_{ij}$ 表示實數第 $i$ 行的小數展開式的第 $j$ 位。 --- 接著康托爾通過構造一個**不在序列中的新實數**，證明假設錯誤： 1. **建立一個新數 $r_d = 0.b_1b_2b_3\dots$**，其中第 $i$ 位的小數 $b_i$ 是根據以下規則構造的： - 如果 $a_{ii} = 1$，令 $b_i = 2$； - 否則，令 $b_i = 1$。 - 這樣，$b_i$ 總是與第 $i$ 行的第 $i$ 位數字不同。 2. **新數 $r_d$ 與列表中的任意數 $r_i$ 都不同**，因為它在第 $i$ 位的數字與 $r_i$ 的第 $i$ 位數字不同。 --- 這時我們會發現： - 根據假設，$[0, 1)$ 的所有實數應該都包含在這個序列中。 - 然而，通過上述構造，我們得到了新數 $r_d$，它不可能在序列中，因為它與序列中的每一個數都不同。 - 這就導致了假設的矛盾。 - 因此，假設 $[0, 1)$ 的所有實數可以排列成一個無窮序列是錯誤的。 - **結論**：$[0, 1)$ 中的實數集合是**不可數的無窮集合**，其基數大於 $\aleph_0$。 --- 既然實數集合 $\mathbb{R}$ 的基數大於 $\aleph_0$，那它的基數到底是什麼？ 答案是：$2^{\aleph_0}$。下面我們來做一些簡單的推導跟解釋： ### 1. 基本概念：$[0,1]$ 區間的二進制表示首先可以將實數與二進制的關係對應起來，取 $[0, 1]$ 區間內所有的實數，就可以將裡面的所有實數以二進制的方式表示如下： $$ 0.a_1a_2a_3\ldots $$ 其中 $a_i \in \{0, 1\}$。例如： * $0.5 = 0.1000...$ (二進制) * $0.25 = 0.0100...$ (二進制) * $0.75 = 0.1100...$ (二進制) ### 2. [0,1] 區間的對應關係那我們都知道，二進制轉換成十進制的方法是： $$ 0.a_1a_2a_3\ldots=2^{-1}+2^{-2}+2^{-3}\ldots $$ 在這個區間內，每個數字對應一個無窮二進制序列： * 例如 0.1011... 代表 $2^{-1} + 0 + 2^{-3} + 2^{-4} + ...$ * 每個位置可以是 0 或 1，這些選擇的組合構成所有可能序列 每個二進制小數唯一對應於 $[0, 1]$ 中的一個實數，除了類似 $0.111\ldots = 1.000\ldots$ (這裡指的是二進位的表示方式，所以當$0.111\ldots$小數點後都是 $1$ 時，就會進位成 $1.000\ldots$) 這種重複表示，這只影響有限個點，對基數無影響。 ### 3. 擴展到全體實數 #### a. 對於大於 1 的正數 * 例如 $5.75$ * 二進制表示為 $101.11$ * $5 = 101$ (二進制) * $0.75 = 0.11$ (二進制) * 可用特殊記號標記小數點位置 #### b. 對於負數 * 例如 $-3.25$ * 可在最前面加入符號位 * 變成 $-11.01$ 二進制 ### 4. 實數的無窮序列表示方法完整的表示包含： * 第一位表示正負 ($0$ 代表正，$1$ 代表負) * 接著用若干位元表示整數部分 * 標記小數點位置 * 最後是無窮多位表示小數部分 ### 5. 重要的對應關係這建立了雙向的一一對應： * **每個實數** ←→ **一個特定的無窮二進制序列** * **每個無窮二進制序列** ←→ **一個特定的實數** ### 6. 基數的結論由此可得： * 實數的數量 $=$ 二進制無窮序列的數量 * 二進制無窮序列的數量是 $2^{\aleph_0}$ * 因此實數集合的基數也是 $2^{\aleph_0}$ 這就像是一個完美的**翻譯系統**： * 可以把任何實數**翻譯**成一個二進制無窮序列。 * 也可以把任何二進制無窮序列**翻譯**回一個實數。 * 這個翻譯是一對一的，不會有重複或遺漏。 因此，雖然我們最初只考慮 $[0,1]$ 區間，但通過適當的編碼方式（加入符號位、整數部分的表示等），我們可以把任何實數都表示成一個無窮二進制序列。這個編碼方式是可逆的，也就是說我們可以從序列反推回原本的實數。這就嚴謹地證明了實數集合 $\mathbb{R}$ 的基數就是 $2^{\aleph_0}$。 --- 最後，我們再來看看複數集合的基數： ## 複數集合的基數 ### 1. 複數的基本結構先來複習一下複數的基本結構： >[!Note] **複數** >- 每個複數 $z$ 可以表示為 $z = a + bi$ >- 其中 $a$ 和 $b$ 都是實數。 >- $i$ 是虛數單位，即 $i² = -1$ 因此複數集合可以寫成： >[!Note] **複數集合** > $\mathbb{C} =\{a+bi\mid a, b \in \mathbb{R}, i^2=-1\}$ ### 2. 複數與平面點的對應關係我們高中學過**複數平面**，就是每個複數都可以用一個有序實數對 $(a,b)$ 來表示： * $a$ 是實部 * $b$ 是虛部 * 例如：$3 + 2i$ 對應到點 $(3,2)$ ### 3. 重要的對應關係因此我們可以建立： * $\mathbb{C}$ ←→ $\mathbb{R}^2$ * 每個複數唯一對應到一個平面上的點 * 這就是為什麼我們也稱之為複平面 ### 4. 基數關係關鍵觀察： * 每個複數需要兩個實數來表示 * 每個實數的基數是 $2^{\aleph_0}$ * 但是！ $2^{\aleph_0} \times 2^{\aleph_0} = 2^{\aleph_0}$ ### 5. 為什麼 $2^{\aleph_0} \times 2^{\aleph_0} = 2^{\aleph_0}$ ？我們可以通過交錯排列證明： * 如果第一個實數的二進制表示是 $a_1a_2a_3...$ * 第二個實數的二進制表示是 $b_1b_2b_3...$ * 我們可以將它們交錯組合成 $a_1b_1a_2b_2a_3b_3...$ * 這樣就把兩個實數編碼成一個新的二進制序列。 * 這個過程是可逆的。 所以： * 雖然複數需要兩個實數來表示。 * 但兩個實數的有序對的集合的基數。 * 仍然等於單個實數集合的基數。因此，我們可以得出結論：複數集合 $\mathbb{C}$ 的基數就是 $2^{\aleph_0}$，與實數集合 $\mathbb{R}$ 的基數相同。這個結果可能看起來有點反直覺，因為複數**看起來**比實數**多**，但在無窮集合的世界裡，我們需要通過一一對應來比較基數，而不是通過直觀的**大小**來判斷。 --- ## 連續統假設（Continuum Hypothesis）現在，我們了解到各個無窮集合的基數如下： >[!Note] **無窮集合的基數** > - 自然數集合 $\mathbb{N}$ ： $\aleph_0$ > - 整數集合 $\mathbb{Z}$ ： $\aleph_0$ > - 有理數集合 $\mathbb{Q}$ ： $\aleph_0$ > - 實數集合 $\mathbb{R}$ ： $2^{\aleph_0}$ > - 複數集合 $\mathbb{C}$ ： $2^{\aleph_0}$ 回到我們本篇的主題**希爾伯特**，於1900年在巴黎舉行的第二屆國際數學家大會上，進行了題為《數學問題》的演講，所提出23道最重要的數學問題。其中第一題就是： >[!Important] **連續統假設（Continuum hypothesis）** >不存在一個基數絕對大於**可數無窮集合**而絕對小於**實數集的集合**。 >也就是說，我們是不是**找不到**一個集合 $S$ 使得 $\aleph_0 < |S| < 2^{\aleph_0}$？ 數學家庫爾特·哥德爾（Kurt Gödel）和保羅·科恩（Paul Cohen）通過證明了解到： - **連續統假設**既無法從**公理化集合論**推導出來，也無法被否定。 - 這表示**連續統假設**既不能被證明為真，也不能被證明為假，它是一個獨立於**公理化集合論**系統的命題。這很有趣，因為這就牽扯到邏輯系統的**完備性**問題： >[!Note] **完備性（Completeness）** >系統中的每個命題，**要嘛可以被證明為真，要嘛可以被證明為假**，沒有「無法證明的命題」。 **完備性**非常重要，因為如果一個系統是**完備的**，就不會有「無法決定的命題」，這讓數學變得可控且可靠，保證了數學推理的有效性，而不會有例外。 這聽起來有一點複雜，我舉個例子： >[!Tip] **假如我設計了一個桌遊...** >這個桌遊有一連串清楚的規則，任何情況發生時，玩家都可以用這些規則來決定接下來該怎麼做。遊戲內不會發生按照規則卻無法處理的情況（比如有些玩家不知道該如何行動）。因此，我們可以說這個遊戲系統是**完備的**，因為它可以涵蓋所有遊戲內可能出現的狀況。 如果今天我的遊戲規則有漏洞或是例外(**不完備**)，可能會發生： 1. **遊戲中出現模糊規則**，讓玩家不知道該怎麼做。 - 「如果兩個玩家同時達到終點，誰算贏？」（如果遊戲規則沒寫，那遊戲就是不完備的） 2. **某些情況無法用遊戲內的規則解釋**。 - 「如果牌庫抽完了，還需要抽牌，應該怎麼辦？」（如果規則沒有明確定義，這就類似數學系統中的「無法證明的命題」） 3. **遊戲存在矛盾規則**，導致不同的解釋可能得出矛盾結果。 - 「當你抽到這張卡時，你必須跳過回合，但這張卡又說你可以額外行動一次。」（這類似於邏輯系統中的「不相容公理」，導致矛盾） 有在玩遊戲的玩家一定都知道遊戲的規則跟機制非常重要，攸關玩家能不能放心、舒服的玩遊戲，那當然數學系統也不例外。 但如果今天有一個定理已經證明：「**所有足夠強的數學系統（如皮亞諾算術公理、公里化集合論）都不可能是完備的。**」，你會怎麼想呢？ 在下一篇專欄裡，我們將會開始介紹我認為最奇妙、最詭異的數學定理：**哥德爾不完備定理 (Gödel's Incompleteness Theorems)** 我是Lewis，我們[**下一篇**](https://hackmd.io/@lewisjjj800/rkXv5Ixzel)專欄見！