# 3 Entanglement and its applications
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* 一個 n-qubit 的量子態，如果**無法被寫成其他量子態的張量積**，稱之為「**糾纏 (entangled)**」：
$$
|\psi\rangle \ne |\varphi_{n-1}\rangle \otimes \cdots \otimes |\varphi_0\rangle
$$
* 範例：Bell states，也叫作 EPR (Einstein, Podolsky, Rosen) states。
$$
|\beta_{00}\rangle = \dfrac{1}{\sqrt{2}} (|00\rangle + |11\rangle)
\\
|\beta_{01}\rangle = \dfrac{1}{\sqrt{2}} (|01\rangle + |10\rangle)
\\
|\beta_{10}\rangle = \dfrac{1}{\sqrt{2}} (|00\rangle - |11\rangle)
\\
|\beta_{11}\rangle = \dfrac{1}{\sqrt{2}} (|01\rangle - |10\rangle)
$$
* 產生 Bell states 的方式 (證明從略)：

## 3.1 Quantum teleportation (量子傳輸)
* 場景：
* Alice 與 Bob 相距很遠，欲透過 **EPR pair** $|\beta_{00}\rangle$ 傳輸訊息。
* 此時 Alice 擁有 $|\beta_{00}\rangle$ 中的第一顆 qubit，而 Bob 擁有第二顆。
* 而現在 Alice 的目標是傳送未知的量子態 $|\psi\rangle$ 給 Bob。
* 假設 $|\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$
* 量子電路圖 (quantum circuit for teleporting)：
* 輸入的量子態 $|\psi\rangle |\beta_{00}\rangle = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \Big(\alpha|0\rangle (|00\rangle + |11\rangle) + \beta|1\rangle (|00\rangle + |11\rangle)\Big)$
* $|\psi_1\rangle$ (經過 CNOT)：$\dfrac{1}{\sqrt{2}} \Big(\alpha|0\rangle (|00\rangle + |11\rangle) + \beta|1\rangle (|10\rangle + |01\rangle)\Big)$
* $|\psi_2\rangle$ (經過 Hadamard:)：
$$
\begin{eqnarray}
|\psi_2\rangle = && \dfrac{1}{2} \Big(\alpha(|0\rangle + |1\rangle) (|00\rangle + |11\rangle) + \beta(|0\rangle - |1\rangle) (|10\rangle + |01\rangle)\Big)
\\
= && \dfrac{1}{2} \Big( |00\rangle(\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle) + |01\rangle(\alpha|1\rangle + \beta|0\rangle) + |10\rangle(\alpha|0\rangle - \beta|1\rangle) + |11\rangle(\alpha|1\rangle - \beta|0\rangle) \Big)
\end{eqnarray}
$$
* $|\psi_3\rangle$ (經過 measurement)：
* 先假設 Alice 觀察到的結果是 $|00\rangle$，此時 $|\psi_2\rangle$ 會波函數崩塌成 $|00\rangle(\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle)$，也就是 $|00\rangle |\psi\rangle$，此時 Bob 成功地在一瞬間收到了 $|\psi\rangle$！
* 但是波函數崩塌會有四種結果 (Alice 量測到的結果 → Bob 收到的量子態)：
$$
|00\rangle \rightarrow \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle \\
|01\rangle \rightarrow \alpha|1\rangle + \beta|0\rangle \\
|10\rangle \rightarrow \alpha|0\rangle - \beta|1\rangle \\
|11\rangle \rightarrow \alpha|1\rangle - \beta|0\rangle \\
$$
* 因此，Alice 需要傳送自己的 **measurement result** (as classical information) 給 Bob，然後 Bob 再依據 Alice 的觀測結果來對自己的 qubit state 進行 Pauli-X gate 或/與 Pauli-Z gate 的操作，最終還原出 $|\psi\rangle$。
* 結論，雖然波函數崩塌是瞬間的 (instantaneous)，但是上述的傳輸仍需要**無法超越光速**的 **classical communication**。

## 3.2 EPR and the Bell inequality (貝爾不等式)

### EPR Paper
* EPR：Einstein、Podolsky、Rosen
* 非常有名的 [EPR paper](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%88%B1%E5%9B%A0%E6%96%AF%E5%9D%A6-%E6%B3%A2%E5%A4%9A%E5%B0%94%E6%96%AF%E5%9F%BA-%E7%BD%97%E6%A3%AE%E4%BD%AF%E8%B0%AC#EPR%E8%AB%96%E6%96%87)：
> **Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete?**
> \- Einstein, Podolsky, and Rosen, 1935
* EPR 三人在此論文中評論了量子力學的不完整，因為量子力學缺少了所謂的「**elements of reality (實體的要素)**」，也就是說我們無法準確地預測一顆 qubit 的特性 (property)。
* 滿足 element of reality 的條件：property (e.g., of a qubit) can be predicted with certainty
* 場景：
* Alice 與 Bob **相距非常非常遠**，共享著一個 **entangled two-qubit state** $|\beta_{11}\rangle$ (也稱作 **[spin-singlet](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E9%87%8D%E6%80%81)**)。
$$
|\beta_{11}\rangle = \dfrac{1}{\sqrt{2}} (|01\rangle - |10\rangle)
$$
* 此時 Alice 擁有 $|\beta_{11}\rangle$ 中的第一顆 qubit，而 Bob 擁有第二顆。
* Alice 與 Bob 先後對各自的 qubit 量測 [the observable (可觀察量)](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E8%A7%80%E5%AF%9F%E9%87%8F) $\vec{v} \cdot \vec{\sigma} = v_1X + v_2Y +v_3Z$ (with $\vec{v} \in \mathbb{R^3}$, $\|\vec{v}\|=1$)。
* $\vec{v} \cdot \vec{\sigma}$ 是 hermitian 且 unitary，此外 eigenvalues 為 $\pm 1$
* Alice 的觀測比 Bob **早那麼一點點**。
* Case 1 (**standard measurement**)：
* $\vec{v} = (0,0,1)$
* **Observable** ($\vec{v} \cdot \vec{\sigma}$) 為 $Z = 1 \cdot |0\rangle\langle0| + (-1) \cdot |1\rangle\langle1|$
* **Orthonormal eigenstates** 為 $|0\rangle$ 與 $|1\rangle$
* Alice 量測 eigenvalue 為 $+1$ 時，波函數崩塌至 $|01\rangle$
* Alice 量測 eigenvalue 為 $-1$ 時，波函數崩塌至 $|10\rangle$
* 我們可以觀察到，Alice 與 Bob 永遠會得到相反的量測結果。
:::info
「量測 eigenvalue 為 $+1$」只是「獲得量測結果 $|0\rangle$」的另一種說法。
"measuring eigenvalue $+1$" is just another name for "obtaining result $|0\rangle$".
:::
* Case 2：
* $\vec{v} = (1,0,0)$
* **Observable** ($\vec{v} \cdot \vec{\sigma}$) 為 $X = 1 \cdot |+\rangle\langle+| + (-1) \cdot |-\rangle\langle-|$
* **Orthonormal eigenstates** 為 $|+\rangle$ 與 $|-\rangle$
* $|\beta_{11}\rangle = \dfrac{1}{\sqrt{2}} (|01\rangle - |10\rangle) = -\dfrac{1}{\sqrt{2}} (|+-\rangle - |-+\rangle)$
* Alice 量測 eigenvalue 為 $+1$ 時，波函數崩塌至 $|+-\rangle$
* Alice 量測 eigenvalue 為 $-1$ 時，波函數崩塌至 $|-+\rangle$
* 如同 Case 1，我們觀察到，Alice 與 Bob 再次得到相反的量測結果。
* General Case：
* 生成一 $\vec{v}$ 與 **Observable** ($\vec{v} \cdot \vec{\sigma}$)
* **Orthonormal eigenstates** 為 $|a\rangle$ 與 $|b\rangle$
* 必存在複數 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ 令：
$$
|0\rangle = \alpha |a\rangle + \beta |b\rangle
\\
|1\rangle = \gamma |a\rangle + \delta |b\rangle
$$
* $|\beta_{11}\rangle = \dfrac{1}{\sqrt{2}} (|01\rangle - |10\rangle) = (\alpha \delta - \beta \gamma) \dfrac{1}{\sqrt{2}} (|ab\rangle - |ba\rangle)$
* 假設一矩陣 $U = \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix}$，因為 $U$ 是基於 orthonormal bases $\begin{Bmatrix} |0\rangle, |1\rangle \end{Bmatrix}$ 與 $\begin{Bmatrix} |a\rangle, |b\rangle \end{Bmatrix}$ 的轉換矩陣，因此 U 為么正矩陣。
* 因為 $U$ 為么正矩陣：
$|\det(U)|^2 = \det(U)^* \det(U) = \det(U^\dagger) \det(U) = \det(U^\dagger U) = \det(I) = 1$。
* 最後，可以寫成 $\det(U) = \mathrm{e}^{i\theta}$
* **最終公式**：$|\beta_{11}\rangle = \dfrac{1}{\sqrt{2}} (|01\rangle - |10\rangle) = \mathrm{e}^{i\theta} \dfrac{1}{\sqrt{2}} (|ab\rangle - |ba\rangle)$
* Alice 量測 eigenvalue 為 $+1$ 時，波函數崩塌至 $|ab\rangle$
* Alice 量測 eigenvalue 為 $-1$ 時，波函數崩塌至 $|ba\rangle$
* 這個 General Case 告訴我們，Alice 與 Bob 總是會得到相反的量測結果。
* 結論：
* Alice 確實可以預測 Bob 的量測結果。
* 但從另一方面來說，Alice 應該根本無法在自己觀測完後，再超越光速馬上去影響 Bob 的觀測結果...。
* EPR 說：
* **obervable (可觀察量)** $\vec{v} \cdot \vec{\sigma}$ 是一顆 qubit 的 **property (特性)**，因此是一種 **element of reality (實體元素)**。
* 但是，量子力學並沒有事先 (a priori) 為所有可能的 $\vec{v}$ 指定這些 property，而是只有指定機率 (probabilities)，因此這是一種對於**實體不完備**的描述 (**incomplete description of reality**)。
* 由此 EPR 提出了**隱變數理論 (hidden variable theory)**，指出一顆 qubit 內必然還藏有一個變數，這個變數決定了 Bob 在所有可能的 $\vec{v}$ 之下，根據 $\vec{v} \cdot \vec{\sigma}$ 的量測結果。

### Bell inequality
* 以實驗來反駁 **local** hidden variable theories。
* 這裡 **local** 代表傳輸無法超越光速的共識。
* 場景：
* Charlie 準備了兩個粒子，分別傳送給 Alice 與 Bob。
* 假設這兩個粒子有著一些抽象的 properties ($Q$、$R$、$S$、$T$)，數值範圍為 $\begin{Bmatrix} \pm 1 \end{Bmatrix}$。
* Alice 與 Bob 各自量測自己收到的粒子：
* Alice 量測的特性為 $P_Q$ 與 $P_R$。
* Bob 量測的特性為 $P_S$ 與 $P_T$。
* 示意圖：
* 假設下述公式：
$$
QS + RS + RT - QT = (Q + R)S + (R - Q)T
$$
* 若 $Q = \pm 1$ 且 $R = \mp 1$，則 $Q + R = 0$ 且 $R - Q = \pm 2$
* 若 $Q = \pm 1$ 且 $R = \pm 1$，則 $Q + R = \pm 2$ 且 $R - Q = 0$
* 於此 2-particle system 測量前，$p(q,r,s,t)$ 表示下列**各個 property 之量子態的機率**：
* $Q=q$、$R=r$、$S=s$、$T=t$
* 因此上述公式的**期望值**為：
$$
\mathbb{E} [QS + RS + RT - QT] = \sum_{q,r,s,t} p(q,r,s,t) \underbrace{(qs + rs + rt - qt)}_{= \pm 2} \le \sum_{q,r,s,t} p(q,r,s,t) \cdot 2 = 2
$$
* 因為 $\mathbb{E}$ 是**線性運算**，因此 **Bell Inequality** 可以寫成：
$$
\mathbb{E} [QS] + \mathbb{E} [RS] + \mathbb{E} [RT] - \mathbb{E} [QT] \le 2
$$
* 上述的 $\mathbb{E} [QS]$、$\mathbb{E} [RS]$、$\mathbb{E} [RT]$、$\mathbb{E} [QT]$ 可以由實驗估算而得，例如：計算 Alice 量測 $P_Q$ 與 Bob 量測 $P_S$ 時各個結果的平均值 (期望值)。
* 現在進入真實範例：
* Charlie 準備了 two qubit (**singlet**) state，傳送第一顆給 Alice，第二顆給 Bob：
$$
|\psi\rangle = |\beta_{11}\rangle = \dfrac{1}{\sqrt{2}} (|01\rangle - |10\rangle)
$$
* 現在來構建量測 (measurement) 的四種 observables，這裡定義如下：
$$
\begin{eqnarray*}
&& Q = Z,\ \ \ S = \dfrac{-Z-X}{\sqrt{2}}
\\
&& R = X,\ \ \ T = \dfrac{Z-X}{\sqrt{2}}
\end{eqnarray*}
$$
* 計算測量的平均值 (此處計算從略，參考 Excercise 5.1(b))：
$$
\begin{eqnarray*}
&& \langle QS \rangle = \dfrac{1}{\sqrt{2}},\ \ \ \langle RS \rangle = \dfrac{1}{\sqrt{2}}
\\
&& \langle RT \rangle = \dfrac{1}{\sqrt{2}},\ \ \ \langle QT \rangle = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}
\end{eqnarray*}
$$
:::info
此處將平均值 $\mathbb{E} [QS]$ 符號寫作 $\langle QS \rangle$。

此外，複習第 2 章節「[特例：Projective Measurements](https://hackmd.io/jdijdRGnT4242YTQ4bikwA?view#%E7%89%B9%E4%BE%8B%EF%BC%9AProjective-Measurements)」中關於平均值的計算：
$$
\mathbb{E}[M] =
\sum_m \lambda_m p(\lambda_m) =
\sum_m \lambda_m \langle \psi|P_m|\psi \rangle =
\langle \psi| \Bigg( \sum_m \lambda_m P_m \Bigg) |\psi \rangle =
\langle \psi| M |\psi \rangle
$$
:::
* 因此，$\langle QS \rangle + \langle RS \rangle + \langle RT \rangle - \langle QT \rangle = 2 \sqrt{2} \nleq 2$，違反了 Bell's inequality！
* 現實世界的實驗 (使用光子) 肯定了量子力學的預測，因此一些關於 Bell inequality 的假設不成立，如下：
* **Realism**：物理性質 $P_Q$、$P_R$、$P_S$、$P_T$ 擁有與觀察 (observation，也就是 measurement) 相互獨立的明確值 (definite values)。
* **Locality**：Alice 或 Bob 的測量互不影響對方。
* 簡而言之，大自然**並非**是「**locally realistic**」的，更通俗得說法就是「**realism**」**不成立**。