# 差分方程(数组求通项公式)知识点梳理

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## 1.1 差分的定义

**假设** $f(x)$ 的定义域为非负整数集 $N^+$ (离散域), 则

当自变量从 $x_{k}$ 变到 $x_{k+1}$ 时，函数 $y=f(x)$ 的改变量为
$$
\Delta y_{k}=f\left(x_{k+1}\right)-f\left(x_{k}\right), \quad k=0,1, \cdots
$$
我们称 $\Delta y_{k}$ 为$f(x)$ 在 $x_{k}$处的 **1阶差分**.

类似的, $f(x)$ 在 $x_{k}$处的

**二阶差分**: $\Delta^{2} f_{k}=\Delta f_{k+1}-\Delta f_{k}$

**n阶差分:** $\Delta^{n} f_{k}=\Delta^{n-1} f_{k+1}-\Delta^{n-1} f_{k}$

## 1.2 差分的运算法则

对于函数 $y=f(x)$ 和 $z=g(x)$, 记 $y_{k}=f\left(x_{k}\right), z_{k}=g\left(x_{k}\right)$
(1) $\Delta(c)=0 . c$ 为常数。即常数的差分为零;
(2) $\Delta\left(c y_{k}\right)=c \Delta y_{k}$;
(3) $\Delta\left(c_{1} y_{k} \pm c_{2} z_{k}\right)=c_{1} \Delta y_{k} \pm c_{2} \Delta z_{k}, c_{1}, c_{2}$ 为常数;
(4) $\Delta\left(y_{k} \cdot z_{k}\right)=y_{k+1} \Delta z_{k}+z_{k} \Delta y_{k}=y_{k} \Delta z_{k}+z_{k+1} \Delta y_{k}$
(5) $\Delta\left(\frac{y_{k}}{z_{k}}\right)=\frac{z_{k} \Delta y_{k}-y_{k} \Delta z_{k}}{z_{k} \cdot z_{k+1}}=\frac{z_{k+1} \Delta y_{k}-y_{k+1} \Delta z_{k}}{z_{k} \cdot z_{k+1}}$

## 1.3 差分方程的概念

顾名思义, 含有差分的方程就是差分方程.

例如: $\Delta^{4} y_{x}-6 y_{x+2}+4 y_{x+1}-y_{x}+1=0$

**<u>差分方程的阶</u>:** 差分方程中所含未知函数的差分的实际最高阶数.

## 1.4 常系数线性差分方程

**$n$ 阶常系数线性差分方程**:
$$
a_{n} y_{x+n}+a_{n-1} y_{x+n-1}+\cdots+a_{1} y_{x+1}+a_{0} y_{x}=F(x)
$$
其中:

- $a_{i}(i=0,1, \cdots, n)$ 为常数
- $a_{0} \cdot a_{n} \neq 0$

- 如果 $F(x) \equiv 0$, 则称之为 $\mathbf{n}$ 阶==齐次==常系数线, 否则成为 ==非齐次==

## 1.5 齐次常系数线性差分方程的（通）解的结构

**<u>齐次常系数线性差分方程解的叠加原理:</u>**

如果 函数 $y_{x}^{(1)}, y_{x}^{(2)}, \cdots, y_{x}^{(k)}$ 都 是 $n$ 阶 齐次常系数线性差分方程
$$
a_{n} y_{x+n}+a_{n-1} y_{x+n-1}+\cdots+a_{1} y_{x+1}+a_{0} y_{x}=0
$$
的解，则这 $k$ 个函数的线性组合
$$
y_{x}=C_{1} y_{x}^{(1)}+C_{2} y_{x}^{(2)}+\cdots+C_{k} y^{(k)}
$$
也是方程的解，其中 $C_{1}, C_{2}, \cdots, C_{k}$ 为任意常数。

**<u>齐次常系数线性差分方程通解的结构:</u>**

如果函数y $_{x}^{(1)}, y_{x}^{(2)}, \cdots, y_{x}^{(n)}$ 是 $n$ 阶齐次 常系数线性差分方程的 $n$ 个**==线性无关==**特解，那么
$$
Y_{x}=C_{1} y_{x}^{(1)}+C_{2} y_{x}^{(2)}+\cdots+C_{n} y^{(n)}
$$
就是 $n$ 阶齐次常系数线性差分方程的**通解**，其中 $C_{1}, C_{2}, \cdots, C_{n}$ 为任意常数。

## 1.6 非齐次常系数线性差分方程的（通）解的结构

**<u>非齐次常系数线性差分方程通解的结构</u>**

方程1: $a_{n} y_{x+n}+a_{n-1} y_{x+n-1}+\cdots+a_{1} y_{x+1}+a_{0} y_{x}=k, \quad k \neq 0$

如果 $y_{x}^{*}$ 是 $n$ 阶非齐次常系数线性差 分方程 $(8.9)$ 的一个特解， $Y_{x}$ 是非齐次方程 $(8.9)$ 对应的齐次常系数线性差分方程 $(8.10)$ 的 通解，那么非齐次方程(8.9)的**通解**为
$$
y_{x}=Y_{x}+y_{x}^{*}
$$
即为 **==齐次的通解 + 非齐次的1个特解==**

**<u>非齐次常系数线性差分方程特解的叠加原理</u>**

如果函数 $y_{x}^{(1)^{*}}, y_{x}^{(2)^{*}}$ 分别 是 $n$ 阶非齐次常系数线性差分方程
$$
\begin{aligned}
&a_{n} y_{x+n}+a_{n-1} y_{x+n-1}+\cdots+a_{1} y_{x+1}+a_{0} y_{x}=F_{1}(x) \\
&a_{n} y_{x+n}+a_{n-1} y_{x+n-1}+\cdots+a_{1} y_{x+1}+a_{0} y_{x}=F_{2}(x)
\end{aligned}
$$
的特解，那么函数 $y_{x}^{*}=y_{x}^{(1)^{*}}+y_{x}^{(2)^{*}}$ 就是方程
$$
a_{n} y_{x+n}+a_{n-1} y_{x+n-1}+\cdots+a_{1} y_{x+1}+a_{0} y_{x}=F_{1}(x)+F_{2}(x)
$$
的1个特解。

## 2.1 求"一阶齐次"常系数线性差分方程的通解

形如: $y_{k+1}=p \cdot y_{k}$

**方法1: 等比数列公式法**

可知$q = p$, 则 $y_{k}=p^{k} \cdot y_{0}$. 其中$y_{0}$为任意常数, 令$C = y_{0}$, 则$y_{k} = C p^{k}$, 即为方程的通解

**方法2: 特征值法**
$$
y_{m} \longrightarrow r^{m}
$$

=> $y_{k} = r^{k}, y_{k+1} = r^{k+1}$, 代入方程:
$$
r^{k+1} = p \cdot r^{k}
$$

=> $r = p$,

=> $y_{k} = p^{k}$

=> $Y_{k}=C \cdot p^{k}$, $C$为任意常数, 为通解

## 2.2 求"一阶非齐次"常系数线性差分方程的通解

> 结论1: **==齐次的通解 + 非齐次的1个特解==**

形如: $y_{k+1}=p y_{k}+f(x)$

1. 若$f(x) = m$ 为常数

- 若 $p=1$, 则为等差数列

$y_{k+1}=y_{k}+m$
$\Rightarrow y_{k}=y_{0}+k \cdot m$

- 若 $p \neq 1$, 则利用结论1

2. 若$f(x)$ 不为常数

若 $f(x) \neq k$, 利用迭代关系可知:
$$
\begin{aligned}
&y_{1}=p y_{0}+f(0) \\
&y_{2}=p y_{1}+f(1)=p\left(p y_{0}+f(0)\right)+f(1)=p^{2} y_{0}+p f(0)+f(1)
\end{aligned}
$$
利用数学归纳法可知方程的通解为
$$
y_{x}=c p^{x}+\sum_{j=1}^{x} p^{j-1} f(x-j)
$$
$c$ 为任意常数，当 $c=y_{0}$ 时取到特解。

## 2.3 求"二阶齐次"常系数线性差分方程的通解

形如: $y_{k+2}+p y_{k+1}+q y_{k}=0$

**方法1: 特征值法**

令 $\left\{\begin{array}{l}y_{k}=r^{k} \\ y_{k+1}=r^{k+1} \\ y_{k+2}=r^{k+2}\end{array}\right.$, 代入原方程得:
$$
r^{2}+p r+q=0
$$

- $r_{1,2}=\frac{-p \pm \sqrt{p^{2}-4 q}}{2}$

则通解为: $Y_{k}=C_{1} r_{1}^{k}+C_{2} r_{2}^{k}$, $C_{1}, C_{2}$ 为任意常数

- $r_{1}=r_{2}=\frac{-p}{2}$

则通解为: $\begin{aligned} Y_{k} &=\left(C_{1}+C_{2} k\right) r_{1}{ }^{k} \\ &=C_{1} \cdot r_{1}{ }^{k}+C_{2} k \cdot r_{1}{ }^{k} \end{aligned}$

- $r_{1,2}=a \pm b \cdot i$

用三角表达式: $r_{1,2}=R(\cos \theta \pm i \cdot \sin \theta)$, $R=\sqrt{a^{2}+b^{2}}, \quad \tan \theta=\frac{b}{a}$

则通解为:

$Y_{k}=R^{k}\left(C_{1} \cos \theta k+C_{2} \cdot \sin \theta k\right)$
$=C_{1} \cdot R^{k} \cos \theta k+C_{2} R^{k} \sin \theta k$

## 2.4 求"二阶非齐次"常系数线性差分方程的通解

> 结论1: **==齐次的通解 + 非齐次的1个特解==**

形如: $y_{k+2}+p y_{k+1}+q y_{k}=f(k)$ ... (1)

**记该方程对应齐次的通解为 $Y_{k}$. 只需求得该方程的一个特解$y_{k}^{*}$, 则通解为 $Y_{k} + y_{k}^{*}$**

1. 若$f(x) = m$ 为常数

特征方程: $r^{2}+p r+q=m$

- 若 $r = 1$ 不是特征根:

则原方程有一个**常值特解:** $y_{k}^{*}=c$, 代入(1)得 $c=\frac{m}{1+p+q}$

- 若 $r = 1$ 为单根

设原方程的一个特解为 $$y_{k}^{*}=\sigma \cdot k$$, $\sigma$ 为待定系数, 代入(1)得$\sigma=\frac{m}{2+p}, y_{k}^{*}=\frac{m}{2+p} \cdot k$

- 若 $ r = 1$ 为双重根

设原方程的一个特解为 $y_{k}^{*}=\sigma \cdot k^{2}$, 代入(1)得 $\sigma=\frac{m}{2}, \quad y_{k}^{*}=\frac{m}{2} \cdot k^{2}$

2. 若 $f(x)$ 不为常数

假设特征方程有两个互异的根（实根或者复根都可以） $r_{1}$ 和 $r_{2}$ ，现在取方 程 $(8.27)$ 的两个线性无关解
$$
y_{x}^{(1)}=\frac{r_{2} r_{1}^{x}-r_{1} r_{2}^{x}}{r_{2}-r_{1}}, \quad y_{x}^{(2)}=\frac{r_{2}^{x}-r_{1}^{x}}{r_{2}-r_{1}}
$$
显然以上两解满足
$$
y_{0}^{(1)}=1, \quad y_{1}^{(1)}=0 ; \quad y_{0}^{(2)}=0, \quad y_{1}^{(2)}=1
$$
这样, 齐次方程(8.27)的通解还可以写为
$$
Y_{x}=C_{1} y_{x}^{(1)}+C_{2} y_{x}^{(2)}
$$
其中, $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 为任意常数。可以证明方程(8.26)的通解为
$$
y_{x}=C_{1} y_{x}^{(1)}+C_{2} y_{x}^{(2)}+\sum_{j=0}^{x-2} y_{x-j-1}^{(2)} f(j)
$$