# BOOM: Fourier

# Theoreme de superposition
*Comment s'appelle le theoreme a l'origine de la transformee de Fourier ?*
Tous les signaux peuvent etre reconstruits a partir de *sinusoides*.

:::danger
**Theoreme de superposition**: tous les signaux compliques sont une superposition de signaux simples.
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## Exemples
- La musique
- Le son
- Les rides sur l'eau
- premier signal decompose de cette maniere: la lumiere blanche
- somme de toutes les longueurs d'ondes des differentes couleurs
- on a tous les memes recepteurs en theorie, on est + ou - sensibles en pratique

# Being discrete but looking continuous
Inside some audio file:

Partie rouge: la note de musique qu'on entend depuis le debut du cours:
- abscisses: frequence
- ordonnee: hauteur

## Sampling the real world
:::info
Physical phenomena are continous by nature (light, sound pressure, temperature, current, voltage, etc) and must somehow be discretized in order to be digitally handled and stored on computers.
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:::danger
**Theoreme de Shannon**: pour echantilloner sans pertes, on doit echantilloner a une frequence 2x superieure a celle du signal.
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Quand on echantillone un son, on veut avoir le meme son que dans la vraie vie mais on veut pas un fichier de 3To. Le but d'echantillonage est de trouver le meilleur echantillonage possible pour reconstruire un son mais pas avoir un fichier enorme.

:::info
Fourier: trouver la frequence **fondamentale** d'un signal.
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Pas assez precis $\rightarrow$ sous echantillonage

Trop precis $\rightarrow$ sur echantillonage

## How fast is a signal varying ?
Consider the sample signal $x(t) = A_0\cos(2\pi f_0t)$

:::warning
On parle de **serie de Fourier** et **transformee de Fourier**, repectivement pour les signaux periodiques purs et les autres.
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:::info
Decomposition en serie de Fourier: trouver les coefficients pour decomposer un signal periodique.
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# Phenomene de Gibbs

:::info
Au niveau des discontinuites d'un signal: l'approximation oscille beaucoup, c'est un **effet de bord** lors des transformees et series de Fourier.
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# Decomposition en Series de Fourier (SF)
## Exemple
:::info
Offset: amplitude moyenne du signal ($A_0$)
:::

On va prendre une premiere sinusoide, regarder l'erreur par rapport au signal d'origine et recommencer jusqu'a avoir le signal voulu.

$b_N$: coefficient des series de Fourier associes au sinus
$a_N$: coefficient associes aux cosinus

Dans ce cas il n'y a que des $b_N$ car on a que des sinus.

:::danger
*Dans le cas d'une fonction paire ?*
Que des coefficients $b_N$

*Dans le cas d'une fonction impaire ?*
Que des coefficients $a_N$
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Avec l'offset notre fonction $\widetilde{f}(t)$ n'est ni paire ni impaire.

:::success
Pour savoir si une fonction est paire ou impaire, on la centre sur l'axe des abcisses (on lui enleve sa moyenne).
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:::warning
Nos sinus ont une periodicite $\frac{n}{T}$
:::

## Definition
- $T \equiv$ periode
- $f = \frac{1}{T} \equiv$ frequence
- $nf = n \times \frac{1}{T} \equiv$ harmonique de rang $n$

:::info
$$
x(t) = a_0 + \sum^{+\infty}_{n = 1} \biggr(a_n\cos(2\pi\frac{n}{T}t) + b_n\sin(2\pi\frac{n}{T}t) \biggr)
$$
en tout point de continuite de $x\in \mathcal{C}^1$ par morceaux d'apres le theoreme de *DIRICHLET*.
:::
- $a_0 =$ moyenne sur une periode $= \biggr(\int_0^Tx(t)dt\biggr)\times\frac{1}{T} \equiv$ offset $(\big\updownarrow)$
- $\forall n \ge 1 \begin{cases}a_n &= \frac{2}{T}\int^T_0x(t)\cos(2\pi\frac{n}{T}t)dt\\b_n &= \frac{2}{T}\int^T_0x(t)\sin(2\pi\frac{n}{T}t)dt\end{cases}$

## Phenomene de Gibbs
Si $x$ est discontinu en $t$, la serie converge vers $\frac{1}{2}(x(t^-)+x(t^+))$.

:::info

$\Delta(x(t_0)) = \vert x(t_0^-) - x(t_0^+)\vert \Rightarrow$ le sursaut en $x(t_0^-)$ et $x(t_0^+)$de la somme partielle $S_n(t)$ est de l'ordre de $0,09\Delta x(t_0)$
:::

## Proprietes
- Si $x$ est pair, $b_n = 0 \forall n \in \mathbb{N}^*$
- Si $x$ est impair, $a_n = 0 \forall n \in \mathbb{N}^*$
$\Rightarrow$ parite "modulo l'offset"

## Vive les nombres complexes !
:::info
$$
x(t)=\underbrace{a_0+\sum^{+\infty}_{n=1}\biggr(a_n\cos(2\pi\frac{n}{T}t) + b_n\sin(2\pi\frac{n}{T}t)\biggr)}_{\text{coeffs reels}} = \underbrace{\sum^{+\infty}_{n=-\infty}C_ne^{i2\pi\frac{n}{T}t}}_{\text{coeffs complexes}}
$$
:::
$$
\forall n \in\mathbb{Z}, C_n = \frac{1}{T}\int^T_0x(t)e^{-i2\pi\frac{n}{T}t}
$$
- $\{\vert C_n\vert, n\in\mathbb{Z}\}$ s'appelle le spectre du signal.
- $\forall n \ge 1, C_n = \overline{C_{-n}}$

## Egalite de Parseval
:::danger
L'energie d'un signal est ce qui va caracteriser le signal, elle sera conservee entre temporel et frequenciel.
:::
:::info
$$
\frac{1}{T}\int^T_0\vert x(t)\vert^2dt = \sum^{+\infty}_{n = -\infty}\vert C_n\vert^2 = a_0^2 + \frac{1}{2}\sum^{+\infty}_{n=1}(a_n^2+b_n^2)
$$
:::

# Transformee de Fourier (TF)
## Definition
$$
\begin{aligned}
X:\mathbb{R} &\to \mathbb{C}\\
\nu&\mapsto\int_{\mathbb{R}}x(t)e^{-i2\pi\nu t}dt
\end{aligned}
$$
$\begin{aligned}\nu&\equiv\text{ frequence}\\&\equiv\frac{n}{T}\end{aligned}$
:::info
Tansformee de Fourier (TF pour les intimes) $\equiv$ decomposition en serie de Fourier ou les harmoniques varient de maniere continue
:::

## TF inverse
$$
x(t)=\int_{\mathbb{R}}X(\nu)e^{+i2\pi\nu t}d\nu
$$

## Proprietes de la TF
- $x$ est reel et pair $\Leftrightarrow X$ reel et pair
- $x$ est reel et impair $\Leftrightarrow X$ imaginaire pur et impair
- $\begin{aligned}X(\nu) &= \Re e (X(\nu)) + i\Im m(X(\nu))\\ &= \vert \underbrace{X}_{\text{module}}(\nu)\vert e ^{i\underbrace{\phi}_{\text{phase}}(X(\nu))}\end{aligned}$
- spectre $= \vert X(\nu)\vert\equiv$ l'amplitude des frequences dans $x$
- phase $\equiv$ position des frequences dans le signal

## Theoreme de Plancherel
:::info
$$
\mathcal{F}(x*y) = \mathcal{F}(x) \times \mathcal{F}(y)\\
\mathcal{F}(x\times y) = \mathcal{F}(x) * \mathcal{F}(y)
$$
:::
$z = x\times y \Rightarrow Z(\nu) = X(\nu)Y(\nu)$
$x* y = \mathcal{F}^{-1}(X(\nu)\times Y(\nu))$

# Dirac
:::info
$$
\delta(t)
\begin{cases}
= 0 &\text{si } t \neq 0\\
=+\infty & \text{si } t = 0
\end{cases}
\text{et}
\int_{\mathbb{R}}\delta(t)dt = 1
$$
:::

## Peigne de Dirac
$$
\begin{aligned}
Ш_T : \mathbb{R} &\to \mathbb{R}\\
t &\mapsto \sum_{n\in\mathbb{Z}}\delta(t-nT)
\end{aligned}
$$

:::success
Signal echantillonne: $x_e(t) = x(t) \times Ш_{Te}(t)$
:::
$\Rightarrow$ Theoreme de Shannon: $\nu e \ge 2\nu_{max}$ (pour eviter la perte d'information)