BOOM: Fourier

Theoreme de superposition

Comment s'appelle le theoreme a l'origine de la transformee de Fourier ?
Tous les signaux peuvent etre reconstruits a partir de sinusoides.

Theoreme de superposition: tous les signaux compliques sont une superposition de signaux simples.

Exemples

• La musique
• Le son
• Les rides sur l'eau
• premier signal decompose de cette maniere: la lumiere blanche
  • somme de toutes les longueurs d'ondes des differentes couleurs
  • on a tous les memes recepteurs en theorie, on est + ou - sensibles en pratique

Being discrete but looking continuous

Inside some audio file:

Partie rouge: la note de musique qu'on entend depuis le debut du cours:

• abscisses: frequence
• ordonnee: hauteur

Sampling the real world

Physical phenomena are continous by nature (light, sound pressure, temperature, current, voltage, etc) and must somehow be discretized in order to be digitally handled and stored on computers.

Theoreme de Shannon: pour echantilloner sans pertes, on doit echantilloner a une frequence 2x superieure a celle du signal.

Quand on echantillone un son, on veut avoir le meme son que dans la vraie vie mais on veut pas un fichier de 3To. Le but d'echantillonage est de trouver le meilleur echantillonage possible pour reconstruire un son mais pas avoir un fichier enorme.

Fourier: trouver la frequence fondamentale d'un signal.

Pas assez precis

$\to$ sous echantillonage

Trop precis

$\to$ sur echantillonage

How fast is a signal varying ?

Consider the sample signal

$x(t)=A_0\cos (2\pi f_{0}t)$

On parle de serie de Fourier et transformee de Fourier, repectivement pour les signaux periodiques purs et les autres.

Decomposition en serie de Fourier: trouver les coefficients pour decomposer un signal periodique.

Phenomene de Gibbs

Au niveau des discontinuites d'un signal: l'approximation oscille beaucoup, c'est un effet de bord lors des transformees et series de Fourier.

Decomposition en Series de Fourier (SF)

Exemple

Offset: amplitude moyenne du signal (

$A_0$)

On va prendre une premiere sinusoide, regarder l'erreur par rapport au signal d'origine et recommencer jusqu'a avoir le signal voulu.

$b_N$: coefficient des series de Fourier associes au sinus

$a_N$: coefficient associes aux cosinus

Dans ce cas il n'y a que des

$b_N$ car on a que des sinus.

Dans le cas d'une fonction paire ?
Que des coefficients

$b_N$

Dans le cas d'une fonction impaire ?
Que des coefficients

$a_N$

Avec l'offset notre fonction

$\tilde{f}(t)$ n'est ni paire ni impaire.

Pour savoir si une fonction est paire ou impaire, on la centre sur l'axe des abcisses (on lui enleve sa moyenne).

Nos sinus ont une periodicite

$\frac{n}{T}$

Definition

• $T\equiv$ periode
• $f=\frac{1}{T}\equiv$ frequence
• $nf=n\times \frac{1}{T}\equiv$ harmonique de rang
  $n$

$$x(t)=a_0+\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}(a_n\cos (2\pi \frac{n}{T}t)+b_n\sin (2\pi \frac{n}{T}t))$$
en tout point de continuite de

$x\in {\mathcal{C}}^1$ par morceaux d'apres le theoreme de DIRICHLET.

• $a_0=$ moyenne sur une periode
  $=({\int }_0^{T}x(t)dt)\times \frac{1}{T}\equiv$ offset
  $(\updownarrow )$
• $\mathrm{\forall }n\ge 1\{\begin{array}{ll}{a}_n& =\frac{2}{T}{\int }_0^{T}x(t)\cos (2\pi \frac{n}{T}t)dt\\ b_n& =\frac{2}{T}{\int }_0^{T}x(t)\sin (2\pi \frac{n}{T}t)dt\end{array}$

Phenomene de Gibbs

Si

$x$ est discontinu en

$t$, la serie converge vers

$\frac{1}{2}(x(t^{-})+x(t^{+}))$.

$\mathrm{\Delta }(x(t_0))=|x(t_0^{-})-x(t_0^{+})|\Rightarrow$ le sursaut en

$x(t_0^{-})$ et

$x(t_0^{+})$de la somme partielle

$S_n(t)$ est de l'ordre de

$0,09\mathrm{\Delta }x(t_0)$

Proprietes

• Si
  $x$ est pair,
  $b_n=0\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$
• Si
  $x$ est impair,
  $a_n=0\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$
  
  $\Rightarrow$ parite "modulo l'offset"

Vive les nombres complexes !

$$x(t)=\underset{\text{coeffs reels}}{\underbrace{a_0+\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}(a_n\cos (2\pi \frac{n}{T}t)+b_n\sin (2\pi \frac{n}{T}t))}}=\underset{\text{coeffs complexes}}{\underbrace{\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{C}_n{e}^{i2\pi \frac{n}{T}t}}}$$

$$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{Z},C_n=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}x(t)e^{-i2\pi \frac{n}{T}t}$$

• $\{|C_n|,n\in \mathbb{Z}\}$ s'appelle le spectre du signal.
• $\mathrm{\forall }n\ge 1,C_n=\overline{C_{-n}}$

Egalite de Parseval

L'energie d'un signal est ce qui va caracteriser le signal, elle sera conservee entre temporel et frequenciel.

$$\frac{1}{T}{\int }_0^T|x(t){|}^{2}dt=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}|C_n{|}^2=a_0^2+\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}(a_n^2+b_n^2)$$

Transformee de Fourier (TF)

Definition

$$\begin{array}{rl}X:\mathbb{R}& \to \mathbb{C}\\ \nu & \mapsto {\int }_{\mathbb{R}}x(t)e^{-i2\pi \nu t}dt\end{array}$$

$\begin{array}{rl}\nu & \equiv \text{ frequence}\\ & \equiv \frac{n}{T}\end{array}$

Tansformee de Fourier (TF pour les intimes)

$\equiv$ decomposition en serie de Fourier ou les harmoniques varient de maniere continue

TF inverse

$$x(t)={\int }_{\mathbb{R}}X(\nu )e^{+i2\pi \nu t}d\nu$$

Proprietes de la TF

• $x$ est reel et pair
  $\iff X$ reel et pair
• $x$ est reel et impair
  $\iff X$ imaginaire pur et impair
• $\begin{array}{rl}X(\nu )& =\mathrm{\Re }e(X(\nu ))+i\mathrm{\Im }m(X(\nu ))\\ & =|\underset{\text{module}}{\underbrace{X}}(\nu )|e^{i\underset{\text{phase}}{\underbrace{\varphi }}(X(\nu ))}\end{array}$
• spectre
  $=|X(\nu )|\equiv$ l'amplitude des frequences dans
  $x$
• phase
  $\equiv$ position des frequences dans le signal

Theoreme de Plancherel

$$\begin{gathered} \mathcal{F}(x\ast y)=\mathcal{F}(x)\times \mathcal{F}(y) \\ \mathcal{F}(x\times y)=\mathcal{F}(x)\ast \mathcal{F}(y) \end{gathered}$$

$z=x\times y\Rightarrow Z(\nu )=X(\nu )Y(\nu )$

$x\ast y={\mathcal{F}}^{-1}(X(\nu )\times Y(\nu ))$

Dirac

$$\delta (t)\{\begin{array}{ll}=0& \text{si }t\ne 0\\ =+\mathrm{\infty }& \text{si }t=0\end{array}\text{et}{\int }_{\mathbb{R}}\delta (t)dt=1$$

Peigne de Dirac

$$\begin{array}{rl}{Ш}_T:\mathbb{R}& \to \mathbb{R}\\ t& \mapsto \sum _{n\in \mathbb{Z}}\delta (t-nT)\end{array}$$

Signal echantillonne:

$x_e(t)=x(t)\times {Ш}_{Te}(t)$

$\Rightarrow$ Theoreme de Shannon:

$\nu e\ge 2{\nu }_{max}$ (pour eviter la perte d'information)