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title: "TNSI: Filtres lineaires stationnaires"
date: 2021-12-01 09:00
categories: [Image S9, TNSI]
tags: [Image, S9, TNSI]
math: true
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Lien de la [note Hackmd](https://hackmd.io/@lemasymasa/Sk3z8p4tF)

# Filtres lineaires stationnaires

TODO


## La causalite

$$
\mathcal H\{x[n]\} = \sum_{p=-\infty}^{+\infty}h[p]x[n-p]\to h[p]=0\text{ pour } p\lt 0
$$


## La stabilite

$$
\vert\mathcal H\{x[n]\}\vert\le \sum_{p=-\infty}^{+\infty}\vert h[p]\Vert x[n-p]\Vert\le\sup_{n\in\mathbb Z}\vert x[n]\vert\sum_{p=-\infty}^{+\infty}\vert h[p]\vert
$$

:::danger
On parle de **BIBO**
:::

## Types de filtres

- Filtre a reponse impulsionnelle finie (RIF)
- Filtres a reponse impulsionelle infinie (RII)
- Filtre causal
- Filtre non causal

:::warning
La TF joue une role fondamentale dans l'analyse des operateurs stationnaires
:::

$$
\hat y(\omega) = \hat h(\omega)\hat x(\omega)\quad \omega=2i\pi f\quad\omega\in[-\pi,\pi]]\\
\color{red}{\hat h(\omega)\text{ est TODO}}
$$

2 effets:
- amplitude: amplification $(\vert\hat h(\omega)\vert\gt 1)$ ou attenuation $(\vert\hat h(\omega)\vert\lt 1)$
- phase: decalage et deformation de $x$

### Exemple

Soit $x[n]\to x_b[n] = x[n] + b[n]$

Filtre moyenneur:

$$
h_{\Pi}[n]=\begin{cases}
1&\text{pour }\Pi\text{ echantillons}\\
0
\end{cases}
$$

Retour aux types:

- filtres a phase nulle
- Filtres a phase lineaire (implique un decalage en temps)
- Filtre a phase non lineaire

$$
\hat h(\omega) TODO
$$

On classe surtout les filtres en fonction des plages de frequences qu'ils laissent passer:
- Passe-bas
- Passe-haut
- Passe-bande

# Passe ideaux
## Passe-bas ideal


$$
\begin{aligned}
\hat h(\omega)&=\begin{cases}
1&\forall \vert\omega\vert\le \omega_0\\
0
\end{cases}\\
&= \Pi(\frac{\omega}{2\omega_0})\quad\text{ou }\Pi(x) = \begin{cases}
1&\forall \vert x\vert\le\frac{1}{2}\\
0
\end{cases}\\
\end{aligned}
$$

TODO

### Reponse impulsionnelle d'un filtre passe-bas ideal

TDtd inverse

$$
\begin{aligned}
h[n]&= \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\hat h(\omega)e^{i\omega n}d\omega\\
&= \frac{1}{2\pi}\int_{-\omega_c}^{\omega_c}e^{i\omega n}d\omega\\
&= \frac{1}{2\pi}\frac{1}{in}(e^{i\omega_cn}-e^{-i\omega_cn})\\
&=\frac{1}{\pi n}\sin(\omega_c n)\\
&= \frac{\omega_c}{\pi}\sin c(\frac{\omega_c\cdot n}{\pi})
\end{aligned}
$$

Inconvenients:
- Reponses impulsionnelle a support infini
- Oscillation TODO

## Passe-haut ideal


$$
\hat h_h(\omega) = 1-\hat h_p(\omega)\\
h[n] = \delta (n) TODO
$$

## Passe-bande ideal


$$
\hat h_b(\omega)=\begin{cases}
1&\vert \omega\pm w_0\vert\le \omega_c\\
0
\end{cases}\\
h_b[n] = 2\cos(\omega_0n)\frac{\omega_c}{\pi}\sin c(\frac{\omega_c\cdot n}{\pi})\\
TFtd\to \hat h_p(\omega)*(\frac{1}{2}(\delta TODO))
$$

## Construire un filtre

1ere idee: approximer un filtre ideal
- On tronque la reponse impulsionnelle d'un filtre ideal

$\tilde h$ le filtre $h$ tronque de longueur $\Pi=2N+1$

$$
\tilde h[n]=\begin{cases}
\frac{\omega_c}{\pi}\sin c(\frac{}{})
\end{cases}
$$

TODO

:::info
Lobe principal: pente de coupure (trnsition abrupte au niveau de la coupure)
Lobe secondaire: effets non souhaitable
:::

On souhaite:
- Lobe principal etroit
- Lobes secondaires faibles
- Fenetre avec un peu d'echantillons
- Pente raide

# Equations recurrentes a coefficients constants

On souhaite resoudre une equation de forme:

$$
\sum_{k=0}^{N-1}a_k y[n-k]=\sum_{k=0}^{n-1}b_kx[n-k]
$$

- $a_k$ equivalent a construire un filtre en passant par l'espace de Fourier
- $b_k$ controle l'entree pour eviter les effets indesirables

*Comment calculer ces coefficients ?*
> Et la fonction de tranfert de filtre ?
> Fourier ?

$$
\frac{\hat y(\omega)}{\hat x(\omega)}=\frac{\sum_{k=0}^{M-1}b_le^{-ik\omega}}{\sum_{k=0}^{N-1}a_le^{-ik\omega}} = \hat h (\omega)
$$

:::warning
Mais pour des systemes complexes, ca devient vite delicat
:::

## La transformee en $Z$

:::success
Transformee en $Z$
:::

La TZ d'un signal discret $x[n]$

$$
X(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]z^{-n}\quad\text{avec } R_1\le\vert z\vert\le R_2
$$

Avec la TFtd $z=\exp(i\omega f)$

:::danger
La TFtd est egale a la TZ sur le cercle unite
:::

- Pour nos filtres, il faut donc que le cercle unite appartienne au domaine de convergence

Si on reprend l'equation de depart, sa TZ:


:::danger
Le domaine de convergence correspond a la couronne du plan ne contenant aucun pole et le cercle unite
:::



:::info
**Domaine de convergence**
- Les points du domaine de convergence ou $X(z)=0$, s'appelle les **zeros**
- Les points du domaine de convergence ou $\vert X(z)\vert = +\infty$, s'appelle les **pole**
:::

:::danger
Le domaine de convergence ne peut inclure les poles
:::

Si $x$ est a support fini alors le domaine de convergence est le plan tout entier (sauf pour $z=0$ et $z=+\infty$)