Lien de la note Hackmd

Filtres lineaires stationnaires

TODO

La causalite

$$\mathcal{H}\{x[n]\}=\sum _{p=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}h[p]x[n-p]\to h[p]=0\text{ pour }p<0$$

La stabilite

$$|\mathcal{H}\{x[n]\}|\le \sum _{p=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}|h[p]\Vert x[n-p]\Vert \le \underset{n\in \mathbb{Z}}{sup}|x[n]|\sum _{p=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}|h[p]|$$

On parle de BIBO

Types de filtres

• Filtre a reponse impulsionnelle finie (RIF)
• Filtres a reponse impulsionelle infinie (RII)
• Filtre causal
• Filtre non causal

La TF joue une role fondamentale dans l'analyse des operateurs stationnaires

$$\begin{gathered} \hat{y}(\omega )=\hat{h}(\omega )\hat{x}(\omega )\omega =2i\pi f\omega \in [-\pi ,\pi ]] \\ \text{color}red\hat{h}(\omega )\text{ est TODO} \end{gathered}$$

2 effets:

• amplitude: amplification
  $(|\hat{h}(\omega )|>1)$ ou attenuation
  $(|\hat{h}(\omega )|<1)$
• phase: decalage et deformation de
  $x$

Exemple

Soit

$x[n]\to x_b[n]=x[n]+b[n]$

Filtre moyenneur:

$$h_{\mathrm{\Pi }}[n]=\{\begin{array}{ll}1& \text{pour }\mathrm{\Pi }\text{ echantillons}\\ 0\end{array}$$

Retour aux types:

• filtres a phase nulle
• Filtres a phase lineaire (implique un decalage en temps)
• Filtre a phase non lineaire

$$\hat{h}(\omega )TODO$$

On classe surtout les filtres en fonction des plages de frequences qu'ils laissent passer:

• Passe-bas
• Passe-haut
• Passe-bande

Passe ideaux

Passe-bas ideal

$$\begin{array}{rl}\hat{h}(\omega )& =\{\begin{array}{ll}1& \mathrm{\forall }|\omega |\le {\omega }_0\\ 0\end{array}\\ & =\mathrm{\Pi }(\frac{\omega }{2{\omega }_0})\text{ou }\mathrm{\Pi }(x)=\{\begin{array}{ll}1& \mathrm{\forall }|x|\le \frac{1}{2}\\ 0\end{array}\end{array}$$

TODO

Reponse impulsionnelle d'un filtre passe-bas ideal

TDtd inverse

$$\begin{array}{rl}h[n]& =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\hat{h}(\omega )e^{i\omega n}d\omega \\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-{\omega }_c}^{{\omega }_c}{e}^{i\omega n}d\omega \\ & =\frac{1}{2\pi }\frac{1}{in}(e^{i{\omega }_{c}n}-e^{-i{\omega }_{c}n})\\ & =\frac{1}{\pi n}\sin ({\omega }_{c}n)\\ & =\frac{{\omega }_c}{\pi }\sin c(\frac{{\omega }_c\cdot n}{\pi })\end{array}$$

Inconvenients:

• Reponses impulsionnelle a support infini
• Oscillation TODO

Passe-haut ideal

$$\begin{gathered} {\hat{h}}_h(\omega )=1-{\hat{h}}_p(\omega ) \\ h[n]=\delta (n)TODO \end{gathered}$$

Passe-bande ideal

$$\begin{gathered} {\hat{h}}_b(\omega )=\{\begin{array}{ll}1& |\omega \pm w_0|\le {\omega }_c\\ 0\end{array} \\ {h}_b[n]=2\cos ({\omega }_{0}n)\frac{{\omega }_c}{\pi }\sin c(\frac{{\omega }_c\cdot n}{\pi }) \\ TFtd\to {\hat{h}}_p(\omega )\ast (\frac{1}{2}(\delta TODO)) \end{gathered}$$

Construire un filtre

1ere idee: approximer un filtre ideal

• On tronque la reponse impulsionnelle d'un filtre ideal

$\tilde{h}$ le filtre

$h$ tronque de longueur

$\mathrm{\Pi }=2N+1$

$$\tilde{h}[n]=\{\begin{array}{l}\frac{{\omega }_c}{\pi }\sin c(\frac{}{})\end{array}$$

TODO

Lobe principal: pente de coupure (trnsition abrupte au niveau de la coupure)
Lobe secondaire: effets non souhaitable

On souhaite:

• Lobe principal etroit
• Lobes secondaires faibles
• Fenetre avec un peu d'echantillons
• Pente raide

Equations recurrentes a coefficients constants

On souhaite resoudre une equation de forme:

$$\sum _{k=0}^{N-1}{a}_{k}y[n-k]=\sum _{k=0}^{n-1}{b}_{k}x[n-k]$$

• $a_k$ equivalent a construire un filtre en passant par l'espace de Fourier
• $b_k$ controle l'entree pour eviter les effets indesirables

Comment calculer ces coefficients ?

Et la fonction de tranfert de filtre ?
Fourier ?

$$\frac{\hat{y}(\omega )}{\hat{x}(\omega )}=\frac{\sum _{k=0}^{M-1}{b}_l{e}^{-ik\omega }}{\sum _{k=0}^{N-1}{a}_l{e}^{-ik\omega }}=\hat{h}(\omega )$$

Mais pour des systemes complexes, ca devient vite delicat

La transformee en

$Z$

Transformee en

$Z$

La TZ d'un signal discret

$x[n]$

$$X(z)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x[n]z^{-n}\text{avec }{R}_1\le |z|\le R_2$$

Avec la TFtd

$z=\exp (i\omega f)$

La TFtd est egale a la TZ sur le cercle unite

• Pour nos filtres, il faut donc que le cercle unite appartienne au domaine de convergence

Si on reprend l'equation de depart, sa TZ:

Le domaine de convergence correspond a la couronne du plan ne contenant aucun pole et le cercle unite

Domaine de convergence

• Les points du domaine de convergence ou
  $X(z)=0$, s'appelle les zeros
• Les points du domaine de convergence ou
  $|X(z)|=+\mathrm{\infty }$, s'appelle les pole

Le domaine de convergence ne peut inclure les poles

Si

$x$ est a support fini alors le domaine de convergence est le plan tout entier (sauf pour

$z=0$ et

$z=+\mathrm{\infty }$)