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Exercice 9

On etudie une grandeur suivant une loi normale

$\mathcal{N}(m,1)$. Nous disposons de deux observations issues de variables aleatoires independantes

$X_1$ et

$X_2$ et souhaitons tester

$H_0:m=0$ contre

$H_1:m=1$ et prendre une decision avec un risque de premiere espece

$\alpha =5\mathrm{\%}$.

1. Considerons la regle de de decision : Rejeter
   $H_0$ si
   $X_1+X_2>k$.
   1. Quelle loi suit
      $X_1+X_2$ sous l’hypothese
      $H_0$ ?
   2. En deduire la valeur de
      $k$ sachant que
      $\alpha =5\mathrm{\%}$.
   3. Determiner la region critique du test et representer la graphiquement.
   4. Calculer le risque de seconde espece
      $\beta$ et la puissance du test.
2. Considerons un autre test defini par la regle de decision : Rejeter
   $H_0$ si
   $min(X_1,X_2)>l$.
   1. D´eterminer la valeur l sachant que
      $\alpha =5\mathrm{\%}$.
   2. D´eterminer la region critique et representer la graphiquement.
   3. Calculer le risque de seconde espece
      $\beta$ et la puissance du test.

Solution

$X_1$ suit

$\mathcal{N}(m,1)$ et

$X_2$ suit

$\mathcal{N}(m,1)$, on a

$X_1$ indépendant à

$X_2$ donc

$X_1+X_2$ suit

$\mathcal{N}(2m,2)$.

$$\begin{gathered} \alpha =P(\underset{\text{color}red{X}_1+X_2>k}{\underbrace{\text{rejeter }{H}_0}}|\underset{\text{color}red{X}_1+X_2\sim \mathcal{N}(2m,2)}{\underbrace{H_0\text{ vraie}}}) \\ \text{color}red\begin{array}{rl}V(X_1+X_2)& =E((X_1+X_2{)}^2)\\ & =E(X_1^2)+E(X_2^2)+2E(X_1{X}_2)\\ & =\text{color}black\boxed{{\displaystyle \text{color}red2}}+\underset{\text{color}black=0}{\underbrace{2E(X_1)E(X_2)}}\end{array} \end{gathered}$$

$$\text{color}red\begin{array}{rl}\alpha & =P(\text{rejeter }{H}_0|H_1\text{ vraie})\\ & =P(X_1+X_2>k|X_1+X_2\sim \mathcal{N}(0,2))\\ & =P(\frac{X_1+X_2}{\sqrt{2}}>\frac{k}{\sqrt{2}}|X_1+X_2\sim \mathcal{N}(0,2))\end{array}$$

Sous l'hypothese

$(H_0)$

$$\begin{gathered} \frac{X_1+X_2}{\sqrt{2}}\sim \mathcal{N}(0,1) \\ 0,05=\alpha =P(U>\frac{k}{\sqrt{2}}) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \frac{k}{\sqrt{(}2)}=1.64\text{ (par la table normale on cherche 0.95)} \\ \text{Donc, }k=2.32 \end{gathered}$$

On cherche la région critique tq on rejette

$H_0$ soit

$X_1+X_2>2.32$

$$\{(x_1,x_2)\in {\mathbb{R}}^2|x_1+x_2>2.32\}$$

Qu'est-ce qu'on fait en premier ?

On ouvre Geogebra xdd

Comme en ocvx, on trace eq1:

$x_1+x_2-2.32=0$

Rappel : Risque de second espece :

$H_1$ soit vrai alors qu'on garde

$H_0$
On veut donc

$X_1+X_2\le k=2.32$ et

$X_1$ et

$X_2$ suivent

$\mathcal{N}(m=1,1)$
On cherche donc

$\beta =P(\text{accepter}{H}_0|H_{1}vraie)$

$$\begin{gathered} \beta =P(X_1+X_2\le k|m=1) \\ \frac{X_1+X_2-2}{\sqrt{2}}\sim \mathcal{N}(0,1)\text{sou l'hypothese }{H}_1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}\beta & =P(U\le \frac{k-2}{\sqrt{2}})\\ & =P(U\le 0.23)\\ & =0.59\end{array} \\ \text{color}green\boxed{{\displaystyle \beta \simeq 0.59}} \end{gathered}$$

On a fait une erreur majeure du point de vue modelisation: on a prit un

$\alpha$ trop petit

La puissance de test est

$1-0.59=\boxed{{\displaystyle 0.41}}$

2ème partie

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}\alpha & =P(\text{rejeter }{H}_0|H_0\text{ vraie})\\ & =P(min(X_1,X_2)>l|m=0)\\ & =P(\{X_1>l\}\cap \{X_1>l\}|m=0)\\ & =P(U>l{)}^2\text{ou }U\sim \mathcal{N}(0,1)\text{ car }{X}_1\text{ et }{X}_2\sim \mathcal{N}(0,1)\end{array} \\ \text{color}red0.05=P(U>l{)}^2 \\ P(U>l)=\sqrt{0.05}\simeq 0.22 \end{gathered}$$

Donc, d'apres la table:

$$l\simeq 0.77$$

$$\{(X_1,X_2)\in {\mathbb{R}}^2|min(X_1,X_2)>0.77\}$$

On a un probleme:

$P(min(X_1,X_2)\le l)$

$$\begin{array}{rl}\beta & =P(\text{Accepter }{H}_0|H_1\text{ vraie})\\ & =P(min(X_1,X_2)\le l|H_1\text{ vraie})\\ & =1-P(min(X_1,X_2)>l|H_1\text{ vraie})\end{array}$$

$$colorred\begin{array}{rl}\beta & =1-P(\{X_1>l\}\cap \{X_2>l\}|H_1\text{ vraie})\\ & =1-P(X_1>l|H_1\text{ vraie}{)}^2{X}_1\text{ et }{X}_2\sim \mathcal{N}(1,1)\end{array}$$

Sous

$(H_1)$,

$X_1$ et

$X_2$ suivent une loi

$\mathcal{N}(1,1)$

Donc

$U=X_1-1\sim \mathcal{N}(0,1)$ sous

$(H_1)$

$$\begin{array}{rl}\beta & =1-P(X_1-1>0.77-1{)}^2\\ & =1-P(U>-0.23{)}^2\\ & \simeq 1-{0.59}^2\\ & \simeq 0.65\end{array}$$
La puissance du test est

$1-\beta =1-0.65=\boxed{{\displaystyle 0.35}}$