# 2024-09-14 ML

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## 相關筆記
- [shaoeChen - 李宏毅_ML_Lecture_1](https://hackmd.io/@shaoeChen/B1CoXxvmm/https%3A%2F%2Fhackmd.io%2Fs%2FHJU9aUY7Q)

## 課後問題討論

## 子翰對 ChatGPT 的提問

### 兩個損失相加後平均？

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關於線性回歸的loss function
我可以 先針對 L1=(y-w1x1-b)^2
再針對L2=(y-w2x2-b)^2
最後 (L1+L2)/2當作會後的loss function嗎?
:::

你提到的方式實際上是將兩個特徵 $x_1$ 和 $x_2$ 分開來計算各自的損失 $L_1$ 和 $L_2$，然後將這兩個損失相加後平均來作為最終的損失函數。但==這種方式並不是標準的線性回歸損失函數的做法==。

#### 標準的線性回歸損失函數

對於多個特徵的線性回歸問題，我們通常會將所有特徵的線性組合一起考慮，並針對整個模型的輸出計算損失，而不是分別計算每個特徵對應的損失。標準的線性回歸模型是：

$$
y = w_1 x_1 + w_2 x_2 + b
$$

對應的損失函數（如均方誤差，MSE）是針對整個模型輸出和目標值之間的誤差進行計算：

$$
L = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (y_i - (w_1 x_{i1} + w_2 x_{i2} + b))^2
$$

這樣可以更好地考慮所有特徵的共同影響。

#### 你的方式
如果你分開計算 $L_1 = (y - (w_1 x_1 + b))^2$ 和 $L_2 = (y - (w_2 x_2 + b))^2$，這實際上是把兩個特徵單獨看作兩個回歸模型，而這樣處理有以下幾個問題：

1. **不考慮特徵的聯合作用**：將兩個特徵分開處理，無法考慮它們的聯合作用。線性回歸的目的就是利用所有特徵來預測結果，而不是單獨看每個特徵的影響。

2. **無法正確最小化總體誤差**：最小化 \(L_1\) 和 \(L_2\) 的平均值不一定會最小化整個模型的誤差。因為在單獨計算的過程中，每個損失函數都會針對不同的部分進行優化，這樣可能會導致整體損失增加。

#### 建議
如果你想考慮多個特徵的影響，建議使用標準的線性回歸損失函數，這樣可以在同一個模型中同時考慮多個特徵的貢獻，並且能更有效地最小化整體誤差。

你這樣的方式更像是把問題拆解成兩個不同的線性回歸問題，如果這是你的目標，可能需要重新考慮模型設計。

### 把兩個特徵單獨看作兩個迴歸模型？

:::info
那 實際上有把兩個特徵單獨看作兩個回歸模型的例子嗎?
:::

是的，實際上有一些模型會將特徵單獨看作兩個或多個回歸模型來處理，這種方法通常應用於以下兩種情況：

#### 1. **獨立模型 (Independent Models)**
在一些情況下，模型會分別為不同的特徵構建獨立的回歸模型。例如，在多任務學習（Multi-task Learning）中，當我們有多個輸出目標，並且每個目標與不同的特徵集相關聯時，可以針對每個目標建立單獨的模型。

#### 例子：多輸出回歸 (Multi-output Regression)
在多輸出回歸中，我們可以針對每個輸出建立一個單獨的回歸模型。如果有兩個輸出 $y_1$ 和 $y_2$，並且分別與特徵 $x_1$ 和 $x_2$ 相關聯，那麼可以構建兩個單獨的回歸模型：

$$
y_1=w_1x_1+b_1
$$
$$
y_2=w_2x_2+b_2
$$

每個模型都有自己的一組權重和偏置，然後針對不同的輸出進行預測。這種方式可以有效應用於某些輸出之間相互獨立或弱相關的情況。

#### 2. **集成學習 (Ensemble Learning)**
在集成學習中，我們經常會使用多個模型分別進行訓練，並且最終的預測是通過將多個模型的預測結果進行合併來得到的。這種方法可以視為對特徵分開進行建模的延伸。

##### 例子：隨機森林 (Random Forest)
隨機森林是一種集成學習方法，它通過生成多個決策樹並將每棵樹的結果進行平均或投票來獲得最終預測。每棵樹可以被看作是針對特徵子集進行回歸或分類的一個獨立模型。每個模型單獨進行回歸，但最終的預測是所有樹的平均值或加權結果。

##### 例子：Boosting 方法
在 Boosting 方法中，如梯度提升決策樹（GBDT），每個模型都是基於前一個模型的殘差進行學習的。這種方式雖然不像你提到的直接分開處理每個特徵，但也是將不同的模型組合起來進行預測。

#### 3. **主成分回歸 (Principal Component Regression)**
在主成分回歸中，模型會將原始特徵轉換成一組主成分（通常是各自獨立的線性組合），然後針對每個主成分進行單獨的回歸分析。這相當於將特徵轉換到一個新的空間，然後針對每個新空間的特徵進行單獨建模。

#### 總結
雖然標準的線性回歸模型通常是將所有特徵一起建模，但在某些情況下，可以將特徵單獨建模。集成學習、多輸出回歸和主成分回歸是一些這類方法的例子。在這些情況下，分開建模有助於處理特徵之間的獨立性或捕捉每個特徵對不同目標的影響。

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## 羽喬對 ChatGPT 的提問

9/14機器學習課後問題討論
問題重點整理(CHATGPT解答版)

### 梯度下降法

:::info
依據以下表圖給出淺顯易懂的說明解釋
:::

**梯度下降法**（gradient descent）是一個常用的最佳化演算法，在機器學習中被廣泛用於訓練模型。它的核心概念是：==透過不斷地調整模型的參數，使得模型的預測結果與真實結果之間的誤差最小化==。

#### 圖示解說

- **Loss Function** (損失函數):
- 圖中的曲線代表一個損失函數 $L(w)$，這個函數用來衡量模型的預測結果與真實結果之間的差異。
- 我們的目標是找到使這個損失函數值最小的參數 $w$。
- **Initial Value** (初始值):
- 首先，我們隨機選取一個參數的初始值 $w^0$。
- **Gradient** (梯度):
- 梯度代表了函數在某一點上變化最快的方向。
- 在圖中，梯度就是曲線在某一點的斜率。
- 梯度的方向指向損失函數值增加最快的方向，因此，我們要朝著梯度的反方向移動，才能找到最小值。
- **Update Parameter** (更新參數):
$$
w_1 ← w^0 - η \cdot \left.\left(\frac{\text{d}L}{\text{d}w}\right)\right|_{w=w^0}
$$
這個公式的意思是：
- 將新的參數 $w^1$ 更新為舊的參數 $w^0$ 减去學習率 $\eta$ 乘以梯度。
- 學習率 $\eta$ 控制每次更新的步長，太大了可能導致跳過最小值，太小了則收斂速度太慢。
- 我們不斷重複這個更新過程，直到找到一個使損失函數值最小的參數。
- **Local Minima and Global Minima** (局部最小值和全局最小值):
- 局部最小值: 函數在某個區域內的最小值，但不一定是整個函數的最小值。
- 全局最小值: 函數的最小值。
- 梯度下降法有可能收斂到局部最小值，而不是全局最小值。這是一個常見的問題，可以使用一些技巧來避免，例如隨機初始化、動量法等。

簡單來說，梯度下降法就像下山，我們站在山上的某個位置，希望找到山底。我們每次都選擇最陡的下坡路走，希望能盡快到達山底。但是，山可能有許多凹陷的地方，我們可能會卡在一個小的凹陷中，而無法找到最深的山谷。

#### 總結

梯度下降法是一種簡單而有效的優化算法，但它也有其局限性。在實際應用中，我們需要根據不同的問題選擇不同的優化算法。

> [!tip] 關鍵詞
> 梯度下降法、損失函數、參數、學習率、局部最小值、全局最小值

### 找到最佳模型

:::info
:::

解讀這張圖：找到最佳模型的過程

#### 圖中在說什麼？
- 模型的集合：
- 多個模型：我們通常會建立許多不同的模型來嘗試。這些模型就像是不同的公式，用來描述數據之間的關係。
- 參數：每個模型都有自己的參數 $(w, b)$，這些參數決定了模型的具體形式。
- 損失函數：衡量模型好壞
- 損失函數 $L(w,b)$ 就像是一個評分標準，用來衡量模型的預測結果和真實數據之間的差異。
- 越小越好：損失函數的值越小，表示模型的預測結果越接近真實值，模型就越好。

#### 找到最佳模型：

- 目標：我們的目標是找到一組參數 $(w^*, b^*)$，使得損失函數的值最小。
- 數學表示：圖中的公式 $\operatorname{argmin}L(w,b)$ 就是在尋找這個最小值。
- 梯度下降：梯度下降是一種常用的方法，用來找到這個最小值。它會不斷調整參數，讓損失函數的值越來越小。

#### 整個流程的比喻

想像我們要找一把鑰匙開一扇門。我們有許多鑰匙（模型），每一把鑰匙都有不同的形狀（參數）。為了找到正確的鑰匙，我們會嘗試用每一把鑰匙去開門，並觀察門是否打開（計算損失函數）。最終，我們會找到一把能最順利打開門的鑰匙（最佳模型）。

#### 關鍵詞解釋

- 模型 (Model)： 用來描述數據之間關係的數學公式。
- 參數 (Parameters)： 模型中的可調整的數值，決定了模型的具體形式。
- 損失函數 (Loss Function)： 衡量模型預測結果和真實值之間差異的函數。
- 梯度下降 (Gradient Descent)： 一種優化算法，用來找到損失函數的最小值。

#### 結論

這張圖展示了機器學習中一個非常核心的概念：模型訓練。通過最小化損失函數，我們可以從眾多模型中選出一個最能符合數據的模型。這個過程就像是在茫茫大海中尋找一顆最亮的星星。

### 損失函數概念
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好的，我來為您解釋這張圖所呈現的損失函數概念：
損失函數：衡量模型好壞的指標

#### 這張圖想告訴我們什麼？

這張圖主要在說明，在機器學習中，我們如何評估一個模型的好壞。這時，我們會引入一個叫做「損失函數」（Loss Function）的概念。

#### 損失函數是什麼？

- 簡單來說： 損失函數就是用來衡量模型的預測結果與真實結果之間的差異程度。差異越小，表示模型的表現越好。
- 數學表示： 圖中的公式 L(w,b) 就是一個常見的損失函數，它計算了模型預測值與真實值之間的平方差之和。

#### 圖中代表什麼？

- 每個點代表一個模型： 圖中的每個點都對應著一組特定的參數 w 和 b，這組參數決定了一個特定的模型。
- 顏色代表損失： 不同的顏色代表不同的損失函數值。顏色越深，表示模型的損失越大，也就是說，模型的預測效果越差。
- 最小值： 圖中的黃色叉號標示了損失函數的最小值點。這代表著，在這個點對應的參數下，模型的預測效果最好。
- 真實例子： 圖中的紅線 y = -180 - 2 * xcp 代表了一個真實的數據關係。我們希望找到一個模型，能夠儘可能地接近這條紅線。

#### 為什麼要找最小值？

- 目標： 我們的目標是找到一組參數，使得模型的預測結果與真實結果之間的差異最小。
- 方法： 通過最小化損失函數，我們就可以找到這樣一組參數。

#### 總結

這張圖告訴我們，損失函數是衡量模型好壞的一個重要指標。通過最小化損失函數，我們可以找到一個最優的模型，使模型的預測結果與真實結果之間的誤差最小。

#### 比喻

你可以把損失函數想像成一個靶心。我們希望模型的預測結果能夠打中靶心。損失函數就相當於計算箭矢離靶心的距離。距離越遠，表示我們射偏了，模型的表現就越差。

#### 更進一步

- 不同的損失函數： 除了圖中所示的平方損失函數，還有很多其他的損失函數，例如交叉熵損失函數等。不同的任務會選擇不同的損失函數。
- 優化算法： 找到損失函數的最小值，需要用到優化算法，例如梯度下降法。

### 梯度下降法 2
:::info
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梯度下降法：尋找最佳模型的指南

#### 圖像解讀

這張圖形象地描繪了機器學習中一個非常重要的概念：梯度下降法。它告訴我們，如何找到一個模型，讓這個模型對數據的預測誤差最小。

#### 核心概念

- 損失函數 (Loss Function): 這就像是一個評分標準，用來衡量模型的預測結果和真實數據之間的差異。差異越小，表示模型的表現越好。圖中的曲線就是一個損失函數，它的高度代表了模型的誤差。
- 梯度 (Gradient): 梯度就像是一個山坡的斜率，它告訴我們，在當前的位置，往哪個方向走，才能最快地下山（也就是找到最小誤差）。
- 梯度下降: 我們從一個隨機的起始點開始，計算這個點的梯度，然後朝著梯度相反的方向走一小步。重複這個過程，就像下山一樣，最終我們會到達山谷的底部，也就是找到一個使損失函數值最小的點。

#### 圖中細節

- 小人與山坡: 小人代表我們的模型，山坡代表損失函數。小人的目標是找到山坡的最低點。
- 梯度方向: 當梯度為正時，表示我們應該向左走（減小w）來降低損失；當梯度為負時，表示我們應該向右走（增加w）來降低損失。
- 迭代更新: 我們不斷地計算梯度，並根據梯度調整模型的參數，直到找到一個最優的解。

#### 為什麼要使用梯度下降？

- 找到最佳模型: 梯度下降可以幫助我們找到一組最佳的參數，使得模型的預測結果和真實數據之間的誤差最小。
- 優化算法: 梯度下降是一種非常常用的優化算法，不僅應用於機器學習，還廣泛應用於其他領域。

#### 簡單總結

梯度下降就像是一個下山過程，我們通過不斷調整方向，最終找到山谷的最低點。在機器學習中，我們通過梯度下降來調整模型的參數，找到一個最優的模型，使模型的預測結果更加準確。

#### 延伸思考
- 學習率: 每次調整參數的步長稱為學習率。學習率過大，可能導致模型震盪；學習率過小，則收斂速度過慢。
- 局部最小值: 梯度下降可能陷入局部最小值，而不是全局最小值。
- 其他優化算法: 除了梯度下降，還有其他優化算法，如牛頓法、Adam等。

#### 結論

梯度下降是機器學習中一個非常基礎且重要的概念。通過理解梯度下降，我們可以更好地理解模型訓練的過程，並為模型的優化提供理論基礎。