# Ideals and Congruence

## :rabbit: Ideal
> R is a ring. I is called an ideal if I is a 1) Subtring of R and 2) $a \in I$ and $r \in R$ means $ar \in I$.

즉, 하나의 원소는 subring에 속하고 다른 하나의 원소는 subring을 포함하는 ring 이면, 두 원소를 곱한 결과는 다시 subring 에 속한다.

### Examples of Ideals
1. Zero ideal, Ring itself
2. Ring is $\mathbb{Z}$ and the ideal I is $\{kn \in \mathbb{Z} | k\in \mathbb{Z}\}$.
- 2의 배수를 ideal 으로 잡고, 전체 ring 을 integer 로 잡으면, 하나의 원소는 2의 배수의 수이고 다른 원소는 정수이면, 두개의 곱은 다시 2의 배수의 ideal 에 속하게 된다.

3. R = $\{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\}$, I = $\{f \in \mathbb{R} |f(2)=0\}$.
- 2를 대입 했을때 0이 되는 함수도 ideal 이다.
- $g(x)$ from R and $f(x)$ from I. Then, if you plug in 2 into both $g(x)$ and $f(x)$, then $g(x)f(x)$, when $x=2$, goes back into the ideal.

### Not Examples of Ideals
1. R = $\mathbb{Q}$, I = $\mathbb{Z}$
- Although $\mathbb{Z}$ is a subring of $\mathbb{Q}$, when we multiply $1/2$ from R with 1 from $\mathbb{Z}$, the product does not go into the subring $\mathbb{Z}$. Therefore, this is not an ideal.

## Conditions of ideals
Ideals are subrings. Therefore, we need to check the conditions of subrings, which are 1) closed under addition/subtraction, 2) closed under multiplication. But, the theorem below states that we don't need to check these two conditions.

#### Conditions of ideals
I is ideal $\iff$ 1) if $a, b \in I,$ then $a-b \in I$, 2) if $a \in I$ and $r \in R$, then $ar \in I$ and $ra \in I$.

## Generators of Ideal

R 에서의 한 원소 a를 뽑고,
$I= \{ac |c \in R\}$ 이라고 할때, I 는 a 의 모든 배수(multiple) 의 집합이라고 한다. 이 집합은 곧 ideal 이다.

이것을 증명하기 위해서는 위의 theorem의 ideal condition을 확인해 주면 된다. 이렇게 한 원소를 정하고 그의 배수로 만들어진 ideal 을 principal ideal 이고, c 의 배수로 만들어 졌으므로 c 를 principal generator 이라고 부른다.

### Not all ideals are principle ideals.
R = $\mathbb{Z}[x]$ and I = $2{\mathbb{Z}}[x]$. This set is ideal because 상수항이 짝수인 다항식들은 서로 빼도 상수항이 짝수이다. Also, 상수항이 짝수인 다항식들을 서로 곱하면 그대로 상수항이 짝수이다.

그렇다면 이 I 가 principle ideal 인가요?
만약 I 가 principle ideal 이라면 2를 포함해야 한다. When we multiply the integer polynomials, their degrees never decrease (It will either stay the same or increase.) ...

Therefore, not all ideals are principle ideals.
그러면, 다른 방식으로 generate 되는 Ideal 이 필요할 것으로 보인다. 이번에는 한 원소만을 고르는 것이 아닌 여러개의 원소로 ideal 을 만들어 보자.

### Ideal generated by multiple components
한 ring 에서의 여러개의 원소를 고르고 그 원소들의 linear combination 을 통해서 ideal 을 구성할 수 있다.
--> 약간 당연하게 생각 할 수 있는게 linear combination is a overarching / larger sphere than using one component to generate an ideal.
We call $c_1,c_2,\cdots, c_n$ as the generator and the $(c_1,c_2,\cdots,c_n)$ as the generated ideal.