## 介紹 Naïve Bayes
貝氏分類器（Naïve Bayes） 是一組基於 貝葉斯定理（Bayes' Theorem） 的分類演算法，適用於處理分類問題。它之所以被稱為「Naive」（單純的），是因為該模型假設所有特徵之間是條件獨立的，即每個特徵對目標類別的影響相互獨立，若要進行分類，我們需要使用特徵 X 來預測類別 Y。

由於其數學基礎簡潔，Naïve Bayes 在處理高維數據時仍能保持較快的運算速度。此外，它對小型數據集表現良好，在文本分類、垃圾郵件檢測和情感分析等取得了廣泛的成功，儘管其獨立性假設在某些情況下不完全成立，Naïve Bayes 仍是一種強大且易於解釋的分類方法。

### 貝氏定理
貝氏定理提供了一種計算條件機率的方式，其公式如下：

$P(C_k | X) = \frac{P(X | C_k) P(C_k)}{P(X)}$

其中：
* $P(C_k | X)$：在給定特徵 $X$ 的情況下，數據屬於類別 $C_k$ 的後驗機率。
* $P(X | C_k)$：在類別 $C_k$ 下，觀察到特徵 $X$ 的機率。
* $P(C_k)$：類別 $C_k$ 出現的先驗機率，代表該類別的基本出現頻率。
* $P(X)$：特徵 $X$ 出現的邊際機率，是所有可能類別的總體機率。

## Naïve Bayes 模型


### 假設特徵間互相獨立
Naïve Bayes 假設特徵之間是條件獨立的，即特徵彼此之間沒有相互影響，這意味著在給定類別 Y 的條件下，每個特徵 x​ᵢ 的出現概率僅依賴於類別 Y，與其他特徵無關，因此可以將條件機率拆解為：

$P(X | C_k) = \prod_{i=1}^{n} P(x_i | C_k)$

### 預測階段
Naïve Bayes 採用最大後驗機率（MAP, Maximum A Posteriori），透過計算每個類別 $C_k$ 的先驗機率 $P(C_k)$ 與條件機率的乘積，最終選擇機率最高的類別作為預測結果。
$C^* = \arg\max_{C_k} P(C_k) \prod_{i=1}^{n} P(X_i | C_k)$

## 案例-垃圾郵件分類
假設我們希望根據某人的電子郵件內容判斷它是垃圾郵件（Spam）還是正常郵件（Ham），Naïve Bayes 透過計算特定單詞在不同類別中出現的機率來進行分類，例如，如果一封郵件包含 "免費（free）" 這個詞，那麼該郵件是垃圾郵件的可能性可能較高。

$P(\text{Spam} | \text{words}) = \frac{P(\text{words} | \text{Spam}) P(\text{Spam})}{P(\text{words})}$

如果這個機率比 $P(\text{Ham} | \text{words})$ 更大，則我們將該郵件分類為垃圾郵件。

## 總結
Naïve Bayes 具有 計算高效、適用於小型數據集、不易過擬合 等優點，但由於假設特徵獨立，可能在某些應用場景下表現不佳，例如，在影像識別中，像素之間通常具有高度相關性，而 Naïve Bayes 無法有效處理這類問題。

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