# 理解集合（Set）

> 此份筆記基礎為 Marsden 的 Elementary Classical Analysis，以及台大數學系陳俊全老師分析導論課程，並融合本人理解寫成，目的為幫助本人梳理數學觀念，並促進知識共享。若筆記內容有誤，請不吝向我提出。

<br/>

集合，顧名思義，便是將一群「元素」或「成員」集合起來，放在一起。元素可以是有限個，也可以是無窮多個。

集合論可以說是點集拓樸的根基，也是數學分析的敲門磚。

在這篇文章中，我們好奇的的是可以丈量各成員之間距離的集合。丈量距離乍聽之下似乎容易，大家高中時都學過實數線上的絕對值，或是在二維平面上利用畢氏定理計算距離。

然而，數學家想做到的不僅於此。距離難道只有一種丈量方式嗎？丈量空間又只能在歐式空間嗎？可想而知並非如此，且現實生活中就有例子：

我若想從台灣大學前往台北一〇一，丈量所謂的「直線距離」是不切實際的，除非我們用飛的。我們的距離必須沿著道路移動。若我們假設台北的路網只有南北和東西向，且都夾直角，這種距離計算方式就叫做「曼哈頓距離（Manhattan Distance）」或「計程車幾何（Taxicab Geometry）」：

###### 圖片取自網路

又或是，法律上計算親等的方式，何嘗不也是另一種了解管理人與人之間親疏關係的人際距離？

可見，我們生活早就有不只一種丈量距離的方式。不過，若進入到抽象的集合世界，定義距離的方式就更多元了。例如，與自己以外所有人的距離都是 $1$ 的離散距離（discrete metric）豈不也是一種丈量方法（儘管難以想像）？

###### 二維空間中難以實現的離散社交距離，圖片取自網路

數學家追尋的已經脫離我們的物理世界，並且追求更高度抽象化的各種定義。在此，我們就會遇到更多特別的距離丈量方法，我們便規定距離需要符合某些特定條件。

<br/>

## 一、賦距空間（Metric Space）

要了解距離，我們必須要先定義何謂距離。一個具有距離函數（距離觀念）的空間稱為**賦距空間（Metric space）**。我們認為距離函數 $d: M \times M \to \mathbb{R}$ 必須要具有以下四種性質：

1. $d(x,y) \geq 0$
2. $d(x,y) = 0$ 若且唯若 $x = y$
3. $d(x,y) = d(y,x)$
4. $d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y)$

不難發現，上方對於距離定義的規範其實與我們的直覺相符。我們希望距離永遠不為負值、希望自己與自己的距離理應為零、希望兩點距離無論從哪邊出發都不變，最後，我們相信繞路一定會使最終距離較長，也就是著名的三角不等式。

如此定義距離似乎簡單得過於反常。的確，我們發現離散距離就是一個很反直覺，卻符合距離定義的概念。不過因為我們在高度抽象的環境中操作距離，所以難以想像也是很正常的。在向量空間中，我們知道有範數（norm）的存在，給了我們比起距離函數更好的性質，而範數也確實可以輕易當作距離函數來使用，不過這裡我們還是保持最簡單的距離定義就好（在此我們先略過範數不談，即便此概念也十分重要）。

:::info
#### 1.1 命題：
給定賦範向量空間 $(V, ||\cdot||)$，定義 $d(x,y):=||x-y||$，則 $d$ 為一距離函數（metric）。
:::
可以輕易證明範數 $||\cdot||$ 具有所有距離函數 $d$ 所要求的性質。

當一個空間被賦予了距離觀念後，我們即可定義開集合以及閉集合。

<br/>

## 二、開集合（Open Set）
:::success
#### 2.1 定義：鄰域
$(M,d)$ 為一賦距空間。給定任意 $\epsilon >0$ 以及 $x \in M$，我們稱集合 $B_\epsilon(x) = \{y \in M \mid d(x,y) < \epsilon\}$ 為 $x$ 的**鄰域 （neighborhood）**，也稱為**球（ball）**。
:::

$B_\epsilon(x)$ 有時也會寫為 $D(x, \epsilon)$。

簡單來說，我們將與 $x$ 相隔距離在 $\epsilon$ 以下的點搜集起來，並將這個集合稱為 $x$ 的鄰域。此處的 $\epsilon$ 可以是一個任意小的正數。在實數線上，這個範圍即是一個區間；在二維平面上即為一個半徑為 $\epsilon$ 的圓形。

:::success
#### 2.2 定義：開集合（open set）
存在集合 $A \subset M$。若對任意 $x \in A$，存在 $\epsilon > 0$ 使得 $B_\epsilon(x) \subset A$，則我們稱 $A$ 為一**開集合**。
:::

直覺地解釋開集合可以這麼說：我們可以在此集合中任取一點，從此點出發往集合的邊界踏出一步（無論多小步），只要不會掉出集合，而且無論對任意點都是如此，此集合便是一個開集合。這種集合的邊界彷彿是一層迷霧、氣狀的結界，找不到確切的分界點，似乎再往前一小步也不會跨出結界。

因此，要判定一集合是否為開集合，只要我們能對任意的 $x$ 都找到對應的 $\epsilon$，就證明完成了。反之，只要我們能找到一個 $x$，無論 $\epsilon$ 多小，都無法達到要求，則該集合就不是開集合。

:::warning
#### 2.3 範例：
$(0,1) \subset \mathbb{R}$ 為開集合。$[0,1] \subset \mathbb{R}$ 不為開集合。
:::

的確，我們任意取一點 $x \in (0,1)$，並令 $\epsilon = \min\{d(0,x), d(1,x)\}$。此時我們可以確保 $B_\epsilon(x) = (x - \epsilon, x+ \epsilon) \subset (0,1)$。故 $(0,1)$ 確實為開集合。

另一方面，面對 $[0,1]$，我們只要取 $x = 1$，就會發現無論如何取 $\epsilon$，都會有 $x+\epsilon \not\subset [0,1]$（因為 $x+ \epsilon > 1$），故 $[0,1]$ 不是開集合。

要特別注意的是，一個集合是否為開集合，將會依據它所在的空間而定。範例如下：

:::warning
#### 2.4 範例：
$(0,1) \subset \mathbb{R}$ 為開集合。$(0,1) \subset \mathbb{R}^2$ 不為開集合。
:::

前半敘述已經在上面證明過。後半敘述可以發現，若我們視 $\mathbb{R}$ 為 $\mathbb{R}^2$ 上的 $x$ 軸，則 $(0,1)$ 其實是 $A = \{(x,y) \mid x \in (0,1), y=0\}$。此時我們的 $B_\epsilon(x)$ 從一個區間擴大成一個二維平面上的圓形，而往上往下任意 $\epsilon > 0$ 都會跳出 $(0,1)$。因此 $(0,1)$ 在 $\mathbb{R}^2$ 並非開集合。

接著，我們可以看一些較有代表性的開集合：

:::info
#### 2.5 命題：
$B_\epsilon(x)$ 為開集合。
:::

##### <證明>
令 $z \in B_\epsilon(x)$。令 $\epsilon' = \epsilon - d(x, z)$，則 $B_{\epsilon'}(z) \subset B_\epsilon(x)$。故 $B_\epsilon(x)$ 為開集合。 $\square$

<br/>

注意到這裡的 $z$ 是在 $B_\epsilon(x)$ 中任意挑選的，代表對於任何一個 $z$，此性質都成立，符合我們對開集合的定義。於是我們發現鄰域自己也是一個開集合，有時我們也會把球稱為**開球**。

至此，我們可以探索鄰域的另一個定義。有些人會將鄰域定義為包含 $x$ 的任意開集合 $U$。我們其實可以發現這與我們先前的定義可以相互替換，不過因為開球具有非常良好的距離定義，在操作上容易許多。

:::info
#### 2.6 命題：
空間 $M$ 以及空集合 $\varnothing$ 為開集合。
:::

按照我們對空間的定義，空間以外沒有其他東西了，所以即便我們能夠取到空間的「邊界值」，也不可能超出空間，故 $M$ 為開集合。另外，空集合 $\varnothing$ 沒有任何成員，故沒有成員能夠違反開集合的定義。因此，空集合也是開集合。

:::info
#### 2.7 命題：
在賦距空間 $(M,d)$ 中，
(1) 有限個開子集的交集為開集合。
(2) 任意開子集的聯集為開集合。
:::

##### <證明>
對 $(1)$，令 $A_1, A_2, ..., A_N$ 為 $M$ 中的開集合。令 $W = A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_N$。

若 $z \in W$，則我們知道對所有 $1 \leq k \leq N$，$z \in A_k$。換句話說，$z$ 同時存在所有 $A_k$ 當中。

因 $A_k$ 為開集合，對於任意 $A_k$，我們可以取 $\epsilon_k$ 使得 $B_{\epsilon_k}(z) \subset A_k$。

令 $\epsilon = \min\{\epsilon_1,..., \epsilon_N\}$，則我們知道 $B_\epsilon(z) \subset \bigcap_{k=1}^N A_k = W$。故 $W$ 為開集合。

對 $(2)$，令開集合族（collection）$\{O_i:i \in \Lambda\}, \Lambda = \{1, 2, 3,...\}$。且令 $O = \bigcup_{i \in \Lambda} O_i$。

若 $z \in O$，則我們知道對某個 $i \in \Lambda$，$z \in O_i$。換句話說，$z$ 存在某一個 $O_i$ 當中。則存在 $\epsilon >0$ 使得 $B_\epsilon(z) \subset O_i$。

但注意 $O_i \in \bigcup_{i \in \Lambda} O_i = O$。故 $B_\epsilon(z) \subset O$。$O$ 為開集合。 $\square$

<br/>

注意到我們發現任意開子集的**聯集**都是開集合，但對於交集卻有**有限個**開子集的規定。我們可以找到無限個開子集的交集卻不是開集合的例子。考慮 $W = \bigcap_{n=1}^{\infty}(-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}) = \{0\}$ 的確不是開集合。

最後，我們也將發現，不同的距離函數也確實會影響一個空間的開子集。

:::warning
#### 2.8 範例：
在空間 $M$ 上定義離散距離 $d_0$：$d_0(x,y) = 0$ 若 $x=y$，而 $d_0(x,y) = 1$ 若 $x \neq y$。則在此賦距空間上的任意集合 $A \subset M$ 為開集合。
:::

的確，給定任意 $x \in A$，令 $\epsilon = 1/2$，則 $B_\epsilon(x) \subset A$（因為任何 $x \neq y$ 的距離都是 $1$）。

<br/>

## 三、集合的內部（Interior）
:::success
#### 3.1 定義：內點（Interior Point）與集合的內部（Interior）
令 $M$ 為一賦距空間，存在集合 $A \subset M$。若對於某 $x \in A$，存在一開集合 $U$ 使得 $x \in U \subset A$，即，存在 $\epsilon > 0$ 使得 $B_\epsilon(x) \subset A$。則我們稱 $x$ 為 $A$ 的**內點**。

$A$ 所有內點的集合稱為 $A$ 的**內部**，寫作 $\textrm{int}(A)$ 或 $A^\circ$。
:::
我們可以將 $A$ 的內點視為「即便往外踏一步，無論多短，也不會掉出集合」的點。

看到這裡，細心的讀者應該可以隱約意識到，按照定義，一個開集合的任何點都是內點。的確，我們會在稍後的命題上看到這個性質。

對於內點和 $\textrm{int}(A)$ 可以有多種解釋。$x$ 是內點可以視為 $x$ 的鄰域也包含在 $A$ 中（本質上與定義幾乎相同）。Marsden 書中寫道，$\textrm{int}(A)$ 可視為所有 $A$ 的開子集的聯集（$A$ 中的所有開子集中的點都是 $A$ 的內點）。因此，$\textrm{int}(A)$ 也是 $A$ 的最大開子集，不難想像 $\textrm{int}(A) \subseteq A$。

:::info
#### 3.2 命題：
$\textrm{int}(A)$ 為開集合。
:::
我們已知任意數量開子集的聯集也是開集合，$\textrm{int}(A)$ 又為 $A$ 之中所有開子集的聯集，故 $\textrm{int}(A)$ 為開集合。若想直接操作開集合的定義，我們可以如此證明：

##### <證明>
令 $z \in \textrm{int}(A)$。則存在 $\epsilon > 0$ 使得 $B_\epsilon(z) \subset A$。

令 $w \in B_\epsilon(z)$，並令 $\epsilon' = \epsilon - d(w,z)$。如此我們可知 $B_{\epsilon'}(w) \subset B_\epsilon(z) \subset A$。故 $w \in \textrm{int}(A)$。

由於 $w$ 是任意在 $B_\epsilon(z)$ 中選定，因此所有 $B_\epsilon(z)$ 中的 $w$ 皆屬於 $\textrm{int}(A)$，也就是 $B_\epsilon(z) \subset \textrm{int}(A)$。

根據定義，$z \in \textrm{int}(A)$，且 $B_\epsilon(z) \subset \textrm{int}(A)$。$\textrm{int}(A)$ 為開集合。$\square$

<br/>

從上方的證明，其實可以看見下方命題的影子。

:::info
#### 3.3 命題：
$\textrm{int}(A) = A \Leftrightarrow A$ 為開集合。
:::

##### <證明>
$\Rightarrow$：假設 $\textrm{int}(A) = A$，根據命題 3.2，$\textrm{int}(A)$ 為開集合，故 $A$ 為開集合。

$\Leftarrow$：假設 $A$ 為開集合。則令 $x \in A$，存在 $\epsilon > 0$ 使得 $B_\epsilon(x) \subset A$。

故根據定義 $x \in \textrm{int}(A)$，因此 $A \subset \textrm{int}(A)$，但 $\textrm{int}(A) \subset A$。

據此，我們知道 $A \subset \textrm{int}(A) \subset A$，故 $\textrm{int}(A) = A$。$\square$

<br/>

:::warning
#### 3.4 範例：
判定以下命題是否為真：

(1) $\textrm{int}(A) \cup \textrm{int}(B) = \textrm{int}(A \cup B)$
(2) $\textrm{int}(A) \cap \textrm{int}(B) = \textrm{int}(A \cap B)$
(3) 若 $A \subset B$，則 $\textrm{int}(A) \subset \textrm{int}(B)$
:::

##### <解>
$(1)$ 否。

令 $A = [0, 1]$ 且 $B =[1,2]$，我們知道 $\textrm{int}(A) = (0,1)$ 且 $\textrm{int}(B) = (1,2)$。

故 $\textrm{int}(A) \cup \textrm{int}(B) = (0,1) \cup (1,2) = (0,2) \setminus \{1\}$。

然而，$\textrm{int}(A \cup B) = \textrm{int}([0,2]) = (0, 2)$。

$(2)$ 是。

若 $x \in \textrm{int}(A) \cap \textrm{int}(B)$，則存在 $\epsilon_1 > 0$ 使得 $B_{\epsilon_1}(x) \subset A$， $\epsilon_2 > 0$ 使得 $B_{\epsilon_2}(x) \subset B$。

令 $\epsilon = \min \{\epsilon_1, \epsilon_2\}$。我們有 $B_\epsilon(x) \subset A$ 且 $\subset B$。$B_\epsilon(x) \subset (A \cap B)$。

故 $x \in \textrm{int}(A \cap B)$。$\textrm{int}(A) \cap \textrm{int}(B) \subset \textrm{int}(A \cap B)$。

另外，若 $x \in \textrm{int}(A \cap B)$，則存在 $\epsilon > 0$ 使得 $B_{\epsilon}(x) \subset (A \cap B)$。

因此 $B_{\epsilon}(x) \subset A$ 且 $\subset B$。故 $x \in \textrm{int}(A)$ 且 $x \in \textrm{int}(B)$，$x \in \textrm{int}(A) \cap \textrm{int}(B)$。

我們有 $\textrm{int}(A \cap B) \subset \textrm{int}(A) \cap \textrm{int}(B)$。綜合兩式我們有 $\textrm{int}(A) \cap \textrm{int}(B) = \textrm{int}(A \cap B)$。

$(3)$ 是。

假設 $A \subset B$。

若 $x \in \textrm{int}(A)$，則存在 $\epsilon > 0$ 使得 $B_{\epsilon}(x) \subset A \subset B$。故 $x \in \textrm{int}(B)$。$\textrm{int}(A) \subset \textrm{int}(B)$。

<br/>

## 四、閉集合（Closed Set）
我們會使用開集合來定義閉集合。

:::success
#### 4.1 定義：閉集合
存在集合 $B \in M$。若 $B$ 的補集（complement）$B^c = M \setminus B$ 為開集合，則我們說 $B$ 為閉集合。
:::

可以發現，即便閉集合的確在直覺上來說是「具有明確邊界的集合」，但我們並未重新利用 $\epsilon$ 定義甚麼是閉集合，而是透過開集合來定義。我們可以透過一些範例更理解閉集合。

:::warning
#### 4.2 範例：
(1) $\{5\} \in \mathbb{R}$ 為閉集合。
(2) $[0,1] \in \mathbb{R}$ 區間為閉集合。
(3) $\mathbb{R}^2$ 空間中包含邊界的單位圓形 $O = \{(x,y) \mid x^2+y^2 \leq 1\}$ 為閉集合。
:::
我們知道 $\{5\}$ 的補集是 $(-\infty, 5) \cup (5, \infty)$，$[0, 1]$ 的哺集是 $(-\infty, 0) \cup (1, \infty)$，而 $O$ 的補集是 $O^c = \{(x,y) \mid x^2 + y^2 > 1\}$，皆為開集合（注意 $\mathbb{R}$ 上的開區間是開集合，開集合的任意聯集也是開集合），因此範例中的集合皆為閉集合。

不難發現，在判定開集合與閉集合時，「邊界點」是關鍵要素。若 $x$ 位於集合邊界，則無論往離開集合方向踏出多小的一步，都會掉出集合外，在此情況下，集合就不屬於開集合。

不過，也有同時不是開集合，也不是閉集合的情況。

:::warning
#### 4.3 範例：
(1) $[0,1) \in \mathbb{R}$ 既非開集合也非閉集合。
(2) 有理數 $\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ 既非開集合也非閉集合
:::

對 $(1)$，若我們取 $x = 0 \in [0,1)$，可以輕易發現 $[0,1)$ 不是開集合。不過 $[0,1 )^c = (-\infty, 0) \cup [1, \infty)$ 也不是開集合（令 $x = 1$），故 $[0,1)$ 也不是閉集合。

對 $(2)$，我們發現面對一有理數 $x \in \mathbb{Q}$，給定任何 $\epsilon > 0$，開區間 $(x - \epsilon, x + \epsilon)$ 中必然含有另一無理數。故有理數並非開集合。反之，面對一無理數 $y$ 也可見無理數並非開集合。由於無理數是有理數的補集，我們知道有理數非開也非閉。

操作開閉集合的定義，我們也會發現有一些特殊集合，既是開集合，也是閉集合。

:::info
#### 4.4 命題：
空間 $M$ 以及空集合 $\varnothing$ 為閉集合。
:::

即便我們才在上節看過 $M$ 和 $\varnothing$ 為開集合，在這裡馬上看到相反的論述可能有點弔詭，不過操作定義，我們發現 $M$ 的補集 $M^c = \varnothing$，而 $\varnothing$ 的補集 $M \setminus \varnothing = M$。根據命題 2.6 皆為開集合，故 $M$ 和 $\varnothing$ 也都是閉集合。

我們也可以討論閉集合交集和聯集的情況。
:::info
#### 4.5 命題：
在賦距空間 $(M,d)$ 中，
(1) 有限個閉子集的聯集為閉集合。
(2) 任意閉子集的交集為閉集合。
:::

回顧命題 2.7，會發現閉集合與開集合在聯集與的交集的情況下正好相反。對於這項命題的證明，可以輕易透過命題 2.7 和迪摩根定律（De Morgan's Law）得知：

##### <證明>
對 $(1)$，令 $W = \bigcup_{k=1}^N A_k$，其中 $A_k$ 為閉集合。

則補集 $W^c = (\bigcup_{k=1}^N A_k)^c = \bigcap_{k=1}^N A_k^c$。$A_k^c = M \setminus A_k為開。$

根據命題 2.7，有限個開子集的交集必為開集合，故 $\bigcap_{k=1}^N A_k^c$ 為開。$W = \bigcup_{k=1}^N A_k$ 為閉集合。

對 $(2)$，令閉集合族 $\{O_i:i \in \Lambda\}, \Lambda = \{1, 2, 3,...\}$。且令 $O = \bigcap_{i \in \Lambda} O_i$。

則補集 $O^c = (\bigcap_{i \in \Lambda} O_i)^c = \bigcup_{i \in \Lambda} O_i^c$。$O_i^c = M \setminus O_i為開。$

根據命題 2.7，任意開子集的聯集必為開集合，故 $\bigcup_{i \in \Lambda} O_i^c$ 為開。$O = \bigcap_{i \in \Lambda} O_i$ 為閉集合。$\square$

<br/>

## 五、匯聚點（Accumulation Point）
:::success
#### 5.1 定義：匯聚點（Accumulation Point）
令 $M$ 為一賦距空間，存在集合 $A \subset M$。若對於某 $x \in M$，任何包含 $x$ 的開集合皆包含某一點 $y \in A$，且 $y \neq x$，即，對於所有 $\epsilon > 0$，存在 $y \in B_\epsilon(x) \cap A \setminus \{x\}$，則我們稱 $x$ 為 $A$ 的**匯聚點**。

我們將 $A$ 的所有匯聚點的集合寫作 $\textrm{acc}(A)$ 或 $A^{acc}$。
:::

我們可以將匯聚點直覺地解釋為「所有 $A$ 當中的元素可以無限趨近的點」。只要一個元素緊鄰（距離任意小）其他的元素，它便是一個匯聚點。可以發現匯聚點即為某種意義上的「極限」 ，的確，匯聚點即是極限點。將此性質搭配下一個命題，我們便可以很容易地操作閉集合。

:::info
#### 5.2 命題：
$\textrm{acc}(A) \subset A \Leftrightarrow A$ 為閉集合。
:::

##### <證明>
$\Rightarrow$：假設 $\textrm{acc}(A) \subset A$。則對於 $z \in A^c，z\not\in \textrm{acc}(A)$。

也就是說，存在 $\epsilon > 0$ 使得 $B_\epsilon(z) \cap A \setminus \{z\} = \varnothing$，且因為 $z \not\in A$，故 $B_\epsilon(z) \cap A = \varnothing$。

這代表 $B_\epsilon(z) \subset A^c$，因此 $A^c$ 為開，而 $A = M \setminus A^c$ 為閉集合。

$\Leftarrow$：假設 $A$ 為閉集合，則 $A^c$ 為開集合。假設 $z \in \textrm{acc}(A)$。

利用反證法，假設 $z \not\in A$，則 $z \in A^c$。故存在 $\epsilon > 0$ 使得 $B_\epsilon(z) \subset A^c$。

這代表 $B_\epsilon(z) \cap A = \varnothing$，自然 $B_\epsilon(z) \cap A \setminus \{z\} = \varnothing$。這與 $x \in \textrm{acc}(A)$ 的命題矛盾。

故 $x \not\in A$ 不可能。$x \in A$，據此我們知道 $\textrm{acc}(A) \subset A$。$\square$

<br/>

因為我們知道匯聚點即為極限，配合命題 5.2，若 $A$ 為閉集合，則 $A$ 當中的數列極限也必然落在 $A$ 當中（$\textrm{acc}(A) \subset A$）。將此命題應用在 $\mathbb{R}$ 空間中，我們便可以得到一個經典的極限命題：

:::info
#### 5.3 命題：
若存在序列 $x_n$，且對於所有 $n$，我們有 $a \leq x_n \leq b$。若 $x_n \to x$，則 $a \leq x \leq b$。
:::
$a \leq x_n \leq b$ 即 $x_n \in [a,b]$。$[a,b]$ 為閉區間，故極限 $x \in [a,b]$。$x$ 正是集合 $[a,b]$ 的一個匯聚點（極限點）。

另外，$\textrm{acc}(A)$ 可以是空集合。事實上，任何單點集合（閉集合） $\{x\} \subset M$ 都沒有匯聚點。而 $\textrm{acc}(\{x\}) = \varnothing$ 確實是 $\{x\}$ 的子集。

:::warning
#### 5.4 範例：
若 $A \subset B$，則 $\textrm{acc}(A) \subset \textrm{acc}(B)$。
:::

的確，令 $x \in \textrm{acc}(A)$，則對於所有 $\epsilon > 0$，我們有 $B_\epsilon(x) \cap A \setminus \{x\} \neq \varnothing$。

我們知道 $A \subset B$，故自然 $B_\epsilon(x) \cap B \setminus \{x\} \neq \varnothing$，根據定義 $x \in \textrm{acc}(B)$。$\textrm{acc}(A) \subset \textrm{acc}(B)$。

<br/>

## 六、閉包（Closure）和邊界（Boundary）

在上節我們發現 $\textrm{acc}(A)$ 有可能包含 $A$，也可能被 $A$ 包含。另外 $\textrm{int}(A)$ 是 $A$ 的最大開子集。在這裡，我們要探索能夠包含 $A$ 的最小閉集合。

:::success
#### 6.1 定義：閉包
令 $M$ 為一賦距空間，存在集合 $A \subset M$。我們定義**所有包含 $A$ 的閉集合的交集**為 $A$ 的閉包，即 $\bigcap_{V \supset A;V \text{ is closed}}V$。

我們將 $A$ 的閉包寫作 $\textrm{cl}(A)$ 或 $\bar A$。
:::

:::info
#### 6.2 命題：
(1) $\textrm{cl}(A)$ 為閉集合。
(2) $\textrm{cl}(A) = A \Leftrightarrow A$ 為閉集合。
:::

根據命題 4.5，任意閉集合的交集也是閉集合，故 $\textrm{cl}(A)$ 根據定義自然是閉集合。因此若 $\textrm{cl}(A) = A$，$A$ 無庸置疑地也是閉集合。反過來說，若 $A$ 是閉集合，則包含 $A$ 的最小閉集合也固然是 $A$ 自己，所以 $\textrm{cl}(A) = A$。

我們也可以發現，其實閉包就是集合本身再加上自己的所有匯聚點。

:::info
#### 6.3 命題：
$\textrm{cl}(A) = A \cup \textrm{acc}(A)$。
:::

##### <證明>
我們可以如此直觀地解釋：根據命題 5.2，我們知道一個集合如果包含自己所有的匯聚點，該集合即為閉集合。我們發現 $A \cup \textrm{acc}(A)$ 的確實透過擴充 $A$ 使其囊括自己所有的匯聚點，故 $A \cup \textrm{acc}(A)$ 為閉集合。而根據命題 6.2 (2)，我們可以得知 $\textrm{cl}(A) = A \cup \textrm{acc}(A)$。$\square$

<br/>

透過以下範例，我們可以更理解匯聚點和閉包的差別。
:::warning
#### 6.4 範例：
(1) $\mathbb{R}$ 空間中，$A = (0,2) \cup \{3\}$。找出 $\textrm{acc}(A)$ 和 $\textrm{cl}(A)$。
(2) $\mathbb{R}$ 空間中，$A = \{\dfrac{1}{n} \mid n=1, 2,...\}$。找出 $\textrm{acc}(A)$ 和 $\textrm{cl}(A)$。
:::

##### <解>

$(1)$ $\textrm{acc}(A) = [0,2]$，$\textrm{cl}(A) = [0,2] \cup\{3\}$。注意 $3$ 的鄰近地區沒有任何一個 $A$ 的成員，故沒有點能夠趨近 $3$，因此 $\{3\} \not\in \textrm{acc}(A)$。

$(2)$ $\textrm{acc}(A) = \{0\}$，$\textrm{cl}(A) = \{\dfrac{1}{n} \mid n=1, 2,...\} \cup \{0\}$。因為我們必然可以找到 $\epsilon > 0$ 小過 $1/n$ 和 $1/(n+1)$ 之間的距離，因此任何 $1/n$ 都不會是匯聚點。

而對於任何的 $\epsilon = 1/k$，我們都可以找到 $n = k+1$ 使得 $|1/n-0| < \epsilon$，故 $0$ 確實是匯聚點。（若使用匯聚點定義，即 $1/(k+1) \in B_\epsilon(0) \cap A \setminus \{0\} \Rightarrow B_\epsilon(0) \cap A \setminus \{0\} \neq \varnothing$）

最後，我們可以來理解何謂集合意義上，一個開或閉集合的邊界。

:::success
#### 6.5 定義：邊界
令 $M$ 為一賦距空間，存在集合 $A \subset M$。我們定義 $A$ 的邊界為 $\textrm{cl}(A) \cap \textrm{cl}(A^c)$。

我們將 $A$ 的邊界寫作 $\textrm{bd}(A)$ 或 $\partial (A)$。
:::

簡單來說，一個集合的邊界就是「可以同時從集合外與集合內都趨近到的點」（也就是下方命題）。至此我們也可以看到，一個閉集合必然包含自己的邊界，而一個開集合不會包含自己的邊界。這其實頗符合我們對開集合、閉集合的直覺理解——開集合不存在一條明確的邊界線。因此，

:::info
#### 6.6 命題：

$x \in \partial(A) \Leftrightarrow$ 對於任何 $\epsilon >0$，$B_\epsilon(x) \cap A \neq \varnothing$，且 $B_\epsilon(x) \cap A^c \neq \varnothing$
:::

即，在集合邊界上的點，可以從集合內與集合外都無限趨近。

##### <證明>
$\Rightarrow$：假設 $z \in \partial (A) = \textrm{cl}(A) \cap \textrm{cl}(A^c)$。

若 $z \in A$，則對任意 $\epsilon >0$，我們知道 $B_\epsilon(z) \cap A \neq \varnothing$。

若我們假設 $B_\epsilon(z) \cap A^c = \varnothing$，則 $B_\epsilon(z)$ 將完全落在 $A$ 中，即 $B_\epsilon(z) \subset A$。 $A$ 為開，$A^c$ 為閉。

根據命題 6.2(2) 我們知道 $\textrm{cl}(A^c) = A^c$。但 $z \in A$ 暗示 $z \not\in A^c = \textrm{cl}(A^c)$。與 $z$ 的定義矛盾。

故 $B_\epsilon(z) \cap A^c = \varnothing$ 的假設有誤。$B_\epsilon(z) \cap A^c \neq \varnothing$。

另一方面，若 $z \in A^c$，我們也可以透過相同步驟獲得此結果。

$\Leftarrow$：假設對於任何 $\epsilon > 0$，$B_\epsilon(z) \cap A \neq \varnothing$，且 $B_\epsilon(z) \cap A^c \neq \varnothing$。

若 $z \in A$，自然 $z \in \textrm{cl}(A)$（因為 $A \subset \textrm{cl}(A)$）。

我們知道對任何 $\epsilon > 0$，$B_\epsilon(z) \cap A^c \neq \varnothing$。而因為 $z \not\in A^c$，自然 $B_\epsilon(z) \cap A^c \setminus \{z\}\neq \varnothing$。

此即對於 $A^c$ 匯聚點的定義，故 $z \in \textrm{acc}(A^c)$。根據命題 6.3，$z \in \textrm{cl}(A^c)$。

根據邊界的定義，$z \in \textrm{cl}(A) \cup \textrm{cl}(A^c) = \partial (A)$。

另一方面，若 $z \in A^c$，我們也可以透過相同步驟獲得此結果。 $\square$