# Теория вероятности, домашнее задание №2, вариант 29
## Щербинин Платон БПИ206

### №3


**Решение:**

Плотность вероятности -- производная функции распределения

Пусть $a$ -- случайная величина. Тогда $a: \lambda \rightarrow R$. Найдем распределение а.
Функция распределения:
$F(x)$ $=$ $P(a <= x)$ $=$ $P(\alpha <= \beta)$ $=$ $\frac{\beta}{\pi}$ $=$ $\frac{\pi - \lambda}{\pi}$ = $\frac{\pi - arctg(\frac{b}{x})}{\pi}$

Плотность распределения:
$f(x)$ = $F'(x)$ $=$ $-\frac{b}{\pi*(b^2 + x^2)}$

*Ответ:* $-\frac{b}{\pi*(b^2 + x^2)}$

### №3


**Решение:**

$n := 2000$, $p := 0.15$, $q := 1 - p$
$E[x] = n*p = 300$
$\sigma = \sqrt{n *p * q} = \sqrt{255}$
Пусть $\xi$ - случайная величина, показывающая, что покупатель купит туфли 41-го размера.

Заметим, что график плотности распределения покупателей схож с графиком нормального распределения (колокол).

Так как мы предполагаем, что это нормальное распределение, то вероятность того, что наша абсолютная величина нашей покупательской активности не привысит $d$ равна:
$P(|\xi - E[X]| <= d)$ $=$ $2 * \Phi_0(\frac{d}{\sigma})$ $=$ $0.98$

Посмотрев табличное значение функции Лапласса получим:

$\frac{d}{\sigma} \approx 2.3$

$d = 2.3 * \sigma = 2.3 * \sqrt{255} \approx 37$

Посчитаем верхнюю и нижнюю границу:

Верхняя - $337$
Нижняя - $263$

Верхняя(%) = $\frac{337}{2000} = 16.85$ %
Верхняя(%) = $\frac{263}{2000} = 13.15$ %

*Ответ:* $16.85$, $13.15$