P160
問
$$
M^2 := \sum_{i,j} |k_{i,j}|^2 < \infty \\
k(x,y) := \sum_{i,j}k_{ij}\psi_i(x) \overline{\varphi_i(y)}
$$
(7.17)を満たす。\
$\because$
$$
\int | \sum_{i,j}k_{ij}\psi_i(x) \overline{\varphi_i(y)} |^2 dxdy \\
= \int ( \sum_{i,j} k_{ij}\psi_i(x) \overline{\varphi_i(y)} )
( \sum_{l,m} k_{lm} \psi_l(x) \overline{\varphi_m(y)} )^*
dxdy \\
\text{被積分関数が？可積な優関数をもつのでルベーグの収束定理より、}　\\
= \sum_{i,j} \sum_{k,l} \int k_{ij} k_{lm} \psi_i(x) \overline{\varphi_i(y)} ( \psi_l(x) \overline{\varphi_m(y)})^* dxdy \\
= M^2
$$

示すべきは(7.19)の右のみ。それ以外は条件。 \
$$
u = \sum_j u_j \varphi_j
\\
Ku = \sum_i v_i \psi_i
\\
v_i = \sum_{j} k_{ij} u_j
$$
としたとき、下記を示せ。
$$
k_{ij} = (K \varphi_j, \psi_i)
$$

$\because$
かんたんな計算で成立する。
$$
(K \varphi_j, \phi_i) = ( \sum_l v_l \psi_l, \phi_i ) \
= (\sum_l \sum_m k_{il} u_l \delta_{jl} \psi_l,)
$$

問
$T_f$の定義域が$L^\infty$では稠密とはならないことを示せ。
普通のfではだめ？定理7.14を参照。
$$
f := 1/x \\
u := 1 \\
u_n := \chi_{ [-1/n,1/n]^c}
$$
uに近づくものがあると、矛盾。
ほとんど至るところで1に近づく$u_n$は$T_f u_n$の
ess supノルムは無限大になる。

P150の真ん中あたり。まだやってない。
ヘルダーの不等式により、
$$
|| J u ||_{L^q}
\leq |\Omega| || u ||_{L^p}
$$
$p=\infty$で、
$$
|| Ju ||_{L^q} \leq || u ||_\infty
$$