[e-mail]

# 3.6 多自由度系の量子力学と場の量子論

量子化には、正準量子化と経路積分量子化があり、場の量子論でも等価である。表による対応表が教科書にある。量子力学、場の量子論、モード展開した量子場の対応がある。モード展開した場の量子論は、連続化する前のもの。

場の理論における経路積分は、スカラー場の場合、フーリエモードに展開できるので、その各成分を場の自由度と考えられる。自由場の場合は、それぞれの自由度が調和振動子になる。つまり、各モードを調和振動子の量子力学系と考え、多自由度の量子力学として経路積分を定式化すればよい。

---
量子力学の遷移振幅は、経路積分で(1.165)とかけた。
時刻0に$| \psi_i \rangle$の初期状態から時刻Tの終状態$| \psi_f \rangle$へ遷移する振幅$\mathcal{A}_{fi}$は、
$$
\mathcal{A}_{fi} = \langle \psi_f| e^{-i \hat{H} T / \hbar} | \psi_i \rangle \\
= \int \mathcal{D} x \ \psi_f(x_f)^* \psi_i(x_i)
e^{iS(\{x(t)\})/ \hbar }　\ (1.165)
$$
で、積分内の$\{x(t)\}$は境界条件が$x(0)=x_i, x(T) = x_f$という道で道ごとに$S$の値は計算され、足し合わされている。

有限自由度を連続にしたとする。坂本による。
スカラー場の理論で、格子化し有限自由度の量子力学系に読み替える。
$$
S[\phi] = \int d^4 x \large\{ \frac{1}{2} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - \frac{m^2}{2} \phi^2 - V(\phi) \large\}
$$
空間座標$x$の格子化する。微分演算子を差分演算子におきかえる。
$$
\nabla \phi (t,x) \rightarrow \nabla_a \phi (t, n\Delta x)
:= \frac{\phi(t, n \Delta x+ e_a \Delta x) - \phi(t,n \Delta x)}{\Delta x } \ \ (a=1,2,3)
$$

$$
\mathcal{x} = (x^1, x^2, x^3) \rightarrow \mathcal{x}
= \mathcal{n} \Delta x = (n_1,n_2,n_3) \Delta x \\
\int d^3 x \rightarrow \sum_{\mathcal{n}} (\Delta x)^3 \\
\delta(x-x') \rightarrow \frac{1}{(\Delta x)^3} \delta_{n,n'} \\
\phi(t,x) \rightarrow \phi(t, n\Delta x) = \frac{q_n(t)}
{(\Delta x)^{3/2}} \\
\nabla \phi (t,x) \rightarrow \nabla_a \phi (t, n\Delta x)
= \frac{\nabla_a q_n(t)}{(\Delta x)^{3/2}} \ (a=1,2,3)
$$

$\Delta x$の依存性を古典力学、量子力学のS,Lの質量次元を考え、決めた。
文章量多いので、texをかくか謎。
参考は、sakamoto 2のP160中段。

このおきかえで、作用積分は
$$
S[\phi] \rightarrow S[q]
= \int dt \large\{ \sum_n \frac{1}{2} \dot{q_n(t)}^2 - \tilde{V}(q)\large\} \\
\tilde{V}(q) := \sum_n \bigl\{ \sum_a \frac{1}{2} \nabla_a q_n(t)^2 + \frac{m^2}{2} q_n(t)^2 + (\Delta x)^3 V(\frac{q_n(t)}{(\Delta x)^{3/2} }) \bigr\}
$$

ここで、経路積分表示に連続極限$(L = N \Delta x \rightarrow \infty, \Delta x \rightarrow 0 )$をとり、スカラー場の経路積分表示を求める。

$$
\langle \phi_F, t_F | \phi_I,t_i \rangle_H
= \int D \pi \int D \phi \ \exp \{ i \int^{t_f}_{t_i} dt
\int d^3 x [ \pi(t,x) \dot\phi(t,x) - H(\pi, \phi) ]\}
$$
配位空間の経路積分表示を求めるためには、
$\pi$ に関して平方完成して、積分変数を置き換えて積分すればよい。
$$
\langle \phi_F, t_F | \phi_I,t_i \rangle_H
= \int D\phi \ \exp{ \frac{i}{\hbar} \int dt \int d^3x
L(\phi, \partial_\mu \phi)
}
$$

よって$| \phi_f \rangle, | \phi_s \rangle$を真空として、下記を得る。

真空から真空への遷移振幅は、
$$
Z_0[0] = \int \mathcal{D} \phi\ \psi^*_0(\{\phi_f\}) \psi_0(\{\phi_i\}) e^{iS(\phi)}
$$
と表される。

演算子形式から求めたグリーン関数。
無限時間のq_f, q_Iを入れて計算し、真空の波動関数より、ワインバーグトリックによりepsilonが入り積分が収束する。
遅延グリーン関数、先進グリーン関数、ファイマン伝搬関数がある。

？
両端に真空の波動関数$\psi_0(\{\phi \})$をとるという境界条件は、ファインマン伝搬関数をつくったときの$i \epsilon$処方で代用できるので？、以降は$\psi^*_0(\{\phi_f\}) \psi_0(\{\phi_i\})$を省略する？。
?
イミフ。

$$
\langle 0|e^{-iHT} | 0 \rangle
$$

---

量子力学と同様、場の量子論でも遷移振幅以外の様々な演算子の期待値を計算したい。そのために、スカラー場のN点グリーン関数
$$
G_N(x_1,\cdots, x_N) = \langle 0| T \{ \phi(x_1)\cdots \phi(x_N) \} | 0 \rangle
$$
を計算する必要がある。

なんにつかう？二点だとKLの基本解でプロパゲーターになっている。これは片桐さんではHをつかっただけで・・・

省略して、
$$
\langle T \{ \phi(x_1)\cdots \phi(x_N) \} \rangle
$$
と書く。

---

個別にN点グリーン関数を計算するより、生成母関数を求める方が楽である。[^1]
[^1]:フーリエ変換で微分でモーメントを求めるとか。

$$
Z_0[J] := \sum^\infty_{N=0} \frac{i^N}{N!} \int d^4 x_1 \cdots d^4 x_N G_N(x_1,\cdots, x_N) J(x_1) \cdots J(x_N) \\
= \sum^\infty_{N=0} \frac{i^N}{N!} \int d^4 x_1 \cdots d^4 x_N \langle 0| T \{ \phi(x_1)\cdots \phi(x_N) \} | 0 \rangle J(x_1) \cdots J(x_N)　\\
= \langle 0| T e^{i \int d^4 x J(x) \phi(x)} | 0 \rangle
$$

生成母関数が求めれば、ソース$J(x)$で変分すればN点グリーン関数が求められる。
$$
G_N(x_1,\cdots, x_N) = \frac{ \delta^N Z}
{\delta(iJ(x_1))\cdots\delta(iJ(x_N))}
$$

量子力学の計算と同じように、T積になる。（坂本２に記述）
変分の具体的定義？

---
スカラー場の生成母関数は、下記のようになる。？

$$
Z_0[J] = \int \mathcal{D} \phi\ e^{iS(\phi) + i \int d^4 x J(x) \phi(x)}
$$

$　S(\phi) + \int d^4 x J(x) \phi(x)$を平方完成する？難所。さすれば、

$$
Z_0[J] = Z_0[0] \exp \left( - \frac{1}{2} \int d^4x d^4 y \ J(x) G(x,y) J(y) \right)
$$
$iJ$で二階変分すれば、グリーン関数が得られる。

例えば４点関数は、
$$
G_4(x,y,z,w) = G(x,y) G(z,w) + G(x,z) G(y,w) + G(x,w)G(y,z)
$$

唐突な説明。上の変分でいける？
坂本では、経路積分でウィックの定理を説明した。結局n点関数は結局2点関数の積の和でかける。
ファインマングラフの見方も同様に説明してある。

自由場では、ある点からある点へ動くだけで、相互作用はない。

---
# 3.7 相互作用とファイマン図

$$
S = S_0 - \int d^4x V(\phi(x))
$$

$$
Z[J] = \int \mathcal{D} \phi\ e^{iS_0(\phi) - i\ \int d^4x V(\phi(x)) + \int d^4 x J(x) \phi(x)}
$$

$$
Z[J] = \exp \left( - i \int d^4x V(\delta/\delta(iJ)) \right)　Z_0[J] \\
= \exp \left( - i \int d^4x V(\delta/\delta(iJ)) \right)　Z_0[J] e^{i \int d^4 x J(x) \varphi(x)|_{\varphi=0}} \\
= \exp \left( - i \int d^4x V(\delta/\delta(iJ)) \right)　Z_0[\delta/\delta(i\varphi)] e^{i \int d^4 x J(x) \varphi(x)|_{\varphi=0}} \\
= Z_0[\delta/\delta(i\varphi)] \exp \left( - i \int d^4x V(\varphi(x)) + i \int d^4 x J(x) \varphi(x) \right) \large|_{\varphi=0} \\
$$

---
# 参考文献
坂本、場の量子論１、２
ナイア

---
# test
[^sakamoto]
[^sakamoto]:坂本

---
$$
\Phi(x) = \int dx \ \delta (x-y) \Phi(y) \tag{1} \\
\langle{\phi(x_1) | \phi(x_2)}\rangle 　\\
\partial / \partial_x \\
x^n = \left\{ \begin{array}{ll}
1 & (n=0) \\
x \cdot x^{n-1} & (otherwise)
\end{array}　\right.
$$

# 3.6 多自由度系の量子力学と場の量子論

量子化には、正準量子化と経路積分量子化があり、場の量子論でも等価である。

$$
\Phi(x) = \int dx \ \delta (x-y) \Phi(y) \tag{1} \\
\langle{\phi(x_1) | \phi(x_2)}\rangle 　\\
\partial / \partial_x \\
x^n = \left\{ \begin{array}{ll}
1 & (n=0) \\
x \cdot x^{n-1} & (otherwise)
\end{array}　\right.
$$

$$
Z_0[0] = \int \mathcal{D} \phi\ \psi^*_0(\{\phi_f\}) \psi_0(\{\phi_i\}) e^{iS(\phi)}
$$

$$
G_N(x_1,\cdots, x_N) = \langle 0| T \{ \phi(x_1)\cdots \phi(x_N) \} | 0 \rangle
$$

$$
Z_0[J] = \sum^\infty_{N=0} \frac{i^N}{N!} \int d^4 x_1 \cdots d^4 x_N G_N(x_1,\cdots, x_N) J(x_1) \cdots J(x_N) \\
= \langle 0| T e^{i \int d^4 x J(x) \phi(x)} | 0 \rangle
$$

$$
G_N(x_1,\cdots, x_N) = \frac{ \delta^N Z}
{\delta(iJ(x_1))\cdots\delta(iJ(x_N))}
$$

$$
Z_0[J] = \int \mathcal{D} \phi\ e^{iS(\phi) + \int d^4 x J(x) \phi(x)}
$$

$$
Z_0[J] = \int \mathcal{D} \phi\ e^{iS(\phi) + \int d^4 x J(x) \phi(x)}
$$

---
# 参考文献
Sakamoto

---
# test
[^sakamoto]
[^sakamoto]:坂本