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# System prepended metadata

title: 賦距空間 Metric Space
tags: [Point-Set Topology, Mathematical Analysis]

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_(Under Construction)_

## **Intuition**

對於任意的一個集合 $X$，也就是一堆東西（不一定要是數字），舉凡$$\{a,b,c\},\{\text{all taiwanese}\},\{\text{golden retriever}, \text{husky}\}$$
之類的，我們想要知道裡面兩個元素的「差距」，也就是**距離**。
在數線上的兩個數，我們已經有一個熟悉的距離概念，像是 $1$ 與 $5$ 的距離是 $|1-5|=4$，而 $1$ 跟 $1$ 的距離是 $|1-1|=0$，這樣的確代表了一種**測量差距**的方法，但有沒有其他度量的方式呢？
 
針對不同的集合，我們可以定出不同的度量方法，來更好地體現出該集合中不同元素的差距。

### *String Metric*

考慮所有長度為 $5$ 的英文單字，例如 `apple` `lemon` `guava` 等等，我們有什麼方法丈量任兩個單字之間的差距？
我們考慮 **「字母不同的位置有幾個」**，比如，`horse` 和 `morse` 只有第一個字母相異，所以距離是 $1$，但 `horse` 和 `torch` 僅有兩個位置相同，所以距離是 $3$。
這樣的距離定法符合我們對於**距離**的直覺，兩個單字越不一樣，差得越多，距離就越長，兩個單字只有完全一樣，距離才是 $0$。

### *Chessboard*

考慮如下的棋盤，我們想要定義兩個棋子之間的距離，在這種情況下，與其關心拿尺量到的直線距離，我們也許比較想知道「一個棋子到另一個棋子要走幾步」，假設每一步棋子都只能移動一格，那麼我們可以把距離定成「$A$ 最短要走幾步才能到 $B$」，我們可以發現這兩個棋子差了 $7$ 格的距離。
這樣的距離是**對稱的**，因為如果 $A$ 到 $B$ 最短要走 $7$ 步，那麼 $B$ 到 $A$ 最短也是 $7$ 步，符合我們對於距離的直覺。

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![](https://hackmd.io/_uploads/HJwnBP2d3.jpg =40%x)
    
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這樣的定義也符合我們的另一個概念，就是「繞路不會比較短」，如果今天先從 $A$ 走到 $C$，再從 $C$ 走到 $B$，總距離是 $5+4=9$，不會比直接從 $A$ 到 $B$ 還短。


## **Definition**

什麼是「合理的」距離？我們對距離有幾個自然的要求。
用 $d(x,y)$ 表示 $x$ 到 $y$ 的距離 $(x,y\in X)$，那它要滿足下列四個定義：

1. 自己到自己的距離是零
$$d(x, x)=0$$

2. 跟別人的距離都是正的
$$d(x, y)>0~~~\text{if}~~~x\neq y$$

3. **我到你的距離**跟**你到我的距離**一樣
$$d(x,y)=d(y,x)$$

4. 兩點之間的**直線距離**最短
$$d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)~~~\forall z\in X$$

第四點又叫 _三角不等式 Triangle Inequality_，如果今天從 $x$ 走到 $z$，再從 $z$ 走到 $y$，不會比直接從 $x$ 走到 $y$ 還短。
 
一旦滿足上面的條件，這個函數 $d$ 就可以稱為 $X$ 上的一個 _度量 Metric_，$X$ 上的元素 $x,y$ 就可以利用 $d(x,y)$ 來得到它們的距離，那麼，$X$ 搭配 $d$（記作 $(X,d)$） 就是一個「賦有距離概念」的空間，也就是 _賦距空間 Metric Space_。

## **Example**

### *Euclidean Distance*

- 在數線 $\mathbb{R}$ 上，兩點 $x$ 和 $y$ 的**最直覺的**距離是 $d(x,y)=|x-y\hspace{0.5pt}|$，$(\mathbb{R},d)$ 是一個賦距空間。
 
- 在平面 $\mathbb{R}^2$上，兩點 $\mathbf{x}=(x_1,x_2)$ 和 $\mathbf{y}=(y_1,y_2)$ 的**最直覺的**距離是 $$||\hspace{.5pt}\mathbf{x}-\mathbf{y}\hspace{.5pt}||_2=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2}$$
可以檢查函數 $d(\mathbf{x},\mathbf{y})=||\hspace{.5pt}\mathbf{x}-\mathbf{y}\hspace{.5pt}||_2$ 的確是一個度量，所以 $(\mathbb{R}^2,d)$ 也是一個賦距空間。
 
### *Discrete Metric*

- 也有比較不直覺的距離，定
$$
d(x,y)=\begin{cases}
1,&x\neq y\\
0,&x=y
\end{cases}
$$
意即，我跟其他人的距離都是 $1$，和自己的距離是 $0$，為什麼這個距離稱為 _discrete（離散）_？
這個度量只把點分成**相同**或**相異**，只要相異，距離便都定為 $1$，這樣的定法沒有遠近的分別，除了和自己以外，和其他人的距離不會是 $0.5$，不會是 $1.2$，只會是 $1$，因此這個度量不是**連續**的，而是**離散**的。

## ***Thinkings***

- _Discrete metric_ 真的符合 _metric_ 的四個條件嗎？
- 如果在平面 $\mathbb{R}^2$上定的距離為$$
d(\mathbf{x},\mathbf{y})=\max\{|x_1-y_1|,|x_2-y_2|\}
$$（其中 $\mathbf{x}=(x_1,x_2),\mathbf{y}=(y_1,y_2)$）
那麼**單位圓**（跟原點「距離」為 $1$ 的所有點形成的圖形）會長怎樣？