# Kolokwium Mechanika Klasyczna

## 1
Koralik o masie $m$ zsuwa się w polu grawitacyjnym o natezeniu $\overrightarrow{g} = -g \overrightarrow{e_z}$ po linii śrubowej zadanej $x=a\cos{\phi}$, $y=a\sin{\phi}$, $z=b\phi$.

**Określić wiezy we współrzednych kartezjanskich**
$$
x - a\cos{\frac{z}{b}} = 0\\
y - a\sin{\frac{z}{b}} = 0
$$

**Wyznaczyć kartezjańskie składowe siły reakcji więzów**
Rozwiązujemy w cylindrycznych.

$$
T = \frac{1}{2}m(\dot{r}^2 + r^2\dot{\phi}^2+\dot{z}^2)\\
U = -mgz\\
f_1 = r^2-a^2=0\\
f_2 = z - b\phi = 0
$$
Wiemy, że:
$$
\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{p_i}}=\frac{\partial L}{\partial p_i} + \sum_j\Lambda_j\frac{\partial f_j}{\partial p_i}
$$
Stąd,
$$
r^2 = a^2\\
z=b\phi\\
m\ddot{r}=mr\dot{\phi}^2+2\Lambda_1 r\\
mr^2\ddot{\phi}+2mr\dot{r}\dot{\phi}=-\Lambda_2b\\
m\ddot{z}=-mg+\Lambda_2\\
$$
Jako, że $r^2=a^2$ a co za tym idzie $2r\dot{r}=0$ możemy zpaisać 4 równanie jako:
$$
ma^2\ddot{\phi}=-\Lambda_2 b
$$
Podstawiając $\ddot{\phi}=\frac{\ddot{z}}{b}$ i korzystając z ostatniego równania dostajemy:
$$
\ddot{z}=\frac{-g}{1+\frac{a^2}{b^2}} \implies \Lambda_2 = -\frac{a^2mg}{a^2+b^2}
$$
Więc mamy siłe reakcji więza w $z$. Jeśli przy okazji wykorzystamy warunki początkowe to wyjdzie nam, że:
$$
z = \frac{-g}{1+\frac{a^2}{b^2}}\frac{t^2}{2} \implies \phi = \frac{-g}{1+\frac{a^2}{b^2}} \frac{t^2}{2b} := Dt^2
$$
Jeśli teraz rozpiszemy równiania Lagrange'a 1 rodzaju to dostaniemy miedzy innymi:
$$
m\ddot{x} = \Lambda_1\\
m\ddot{y} = \Lambda_2\\
$$
Znając $\phi=Dt^2$, oraz wiedząc, że $x = a\cos{\phi}$ i $y = a\sin{\phi}$ Dostajemy siły reakcji w x oraz y:
$$
m\ddot{x} = m(-2aD\sin{Dt^2}-4aD^2t^2\cos{Dt^2})\\
m\ddot{y} =m( 2aD\cos Dt^2-4aD^2t^2\sin Dt^2)
$$