# Práctica Análisis Matemático II

**Prof. Lautaro Simontacchi - Prof. Juan Domingo Gonzalez**

*Las siguientes prácticas están elaboradas en Markdown, utilizando el sitio HackMD. Para leer online y acceder al código fuente, ingresar a:*

https://hackmd.io/RwFaDLeaSsqApsnKfs6lyA?both

### Ejercicio 1:

Sea $h$ la función $h(x,y)= f(u(x,y),v(x,y))$
$$f(u,v)=\frac{u^2+v^2}{u^2 - v^2} \quad u(x,y)=e^{-x-y} \quad v(x,y)=e^{xy},$$

Calcular el gradiente de $h$ en el punto (0,2) de dos formas distintas.
* Haciendo la composición manualmente y luego calculando
* Utilizando la regla de la cadena

### Ejercicio 2:
Sea $h(t)$ la función $h(t)= (f\circ c)(t)$, para cada caso, calcular la expresión de $h'(t)$ por dos caminos diferentes. Utilizando la regla de la cadena y haciendo la composición.

* Caso a) $f(x,y)=xy$, $\ \ c(t)=(e^t,cos(t))$

* Caso b) $f(x,y)=e^{xy}$, $\ \ c(t)=(3t^2,t^3)$

* Caso c) $f(x,y)=xe^{x^2+y^2}$ $\ \ c(t)=(t,-t)$

### Ejercicio 3:
Sean $f: \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$ y $g: \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$. Probar que
$$\nabla(fg)= g \nabla(f) + f \nabla(g) $$

*Ayuda: si $u$ y $v$ son una funciones de 3 variables*, $u \nabla v$ significa lo siguiente
$$u \nabla v = u ( \frac{\partial v}{\partial x} ,\frac{\partial v}{\partial y} ,\frac{\partial v}{\partial z} )= $$
$$= (u \frac{\partial v}{\partial x} , u\frac{\partial v}{\partial y} , u\frac{\partial v}{\partial z} )$$

### Ejercicio 4:
Encontrar $(\partial/\partial s)(f \circ T)(1,0)$, donde $f(u,v)=\cos u \cdot \mbox{sen}v$ y $T(s,r)=(\cos(r^2 s), \log(\sqrt{1+s^2})$

### Ejercicio 5:
Sea $f(x,y,z)=x^2e^{-yz}$ calcular la tasa de cambio de $f$ en la dirección del vector unitario $\hat{v}$, en el punto $(1,0,0)$
$\hat{v}=(1/\sqrt{3},1/\sqrt{3},1/\sqrt{3})$

*Obs. Tasa de cambio es otra manera de referirse a la derivada direccional*

### Ejercicio 6:
a)¿ En qué dirección a partir de $(0,1)$ crece más rápido la función $f(x,y)=x^2-y^2$.?

b)¿ En qué dirección a partir de $(1,-1)$ crece más rápido la función $f(x,y)=x^2+2y^2$.?

### Ejercicio 6:
a) Hallar el vector unitario normal a la curva de nivel dada por $f(x,y)=16$ en el punto $P=(2\sqrt{3}, 4)$, donde $f(x,y)= x^2+y^2$

b) Hallar el vector unitario normal a la superficie $S$ dado por $f(x,y,z)=1$, en el punto $Q=(\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}})$, donde $f(x,y,z)= x^2+y^2+z^2$

### Ejercicio 7:
Calcular las derivadas direccionales en el punto $P$ con respecto a la dirección $\mathbf{d}$

a) $f(x,y) = \ln \sqrt{x^2+y^2}$ con $P= (1,0)$ y la dirección $\mathbf{d}=(2/\sqrt{5},2/\sqrt{6})$

b) $f(x,y,z) = e^x + yz$ $\ \ P= (1,1,1)$, $\mathbf{d}=(1,-1,1)$

c) $f(x,y,z) = e^x + yz$ $\ \ P= (1,1,1)$ donde $\mathbf{d}$ es la dirección unitaria de máximo crecimiento.

# Ejercicios del Libro

Además, deben realizar los siguientes ejercicios del libro de la materia [1].

**Capítulo 2.5 - Página 154-**
Ejercicios 1, 7, 8, 20, 13 b) (obligatorios)
Ejercicios 3, 4, 17 (optativos)

**Capítulo 2.6 - Página 165-**
Ejercicios: 11 19 (optativos)
Ejercicios: 2, 15, 18 b) c) (obligatorios)

*Nota:
Los ejercicios optativos, son ejercicios complementarios, algunos se hacencon cosas que no explicamos, o lo hacemos muy superficialmente. Los mismos no serán evaluados pero favorecen la comprensión en un sentido general. Adicionalmente son ejercicios cuya resolución detallada está en la referencia
Los temas necesarios para los ejercicios obligatorios, sí se explican completamente, y los mismos pueden ser potencialmente incluidos en las evaluaciones de la materia.*

### Bibliografía

* [1] Marsden,J.E., Tromba,A.J., y Mateos,M.L. (1991).*Cálculo vectorial*. Addison Wesley Iberoamericana. Delaware,EE.UU.

* [2] Marsden,J.E., Soon,F., y Karen. comp Pao.(1993). Cálculo vectorial: problemas resueltos: de Jerrold E.Marsden y Anthony J.Tromba. Addison-Wesley Iberoamericana.