---
# System prepended metadata

title: 費氏數列
tags: [' note', learning_course]

---

---
tags: learning_course, note
---

# 費氏數列

> 319 10 施羿廷

## 研究動機
這學期數學第一章是遞迴關係，講到遞迴關係就一定會提到費氏數列
我正好會寫一點程式，想研究各種求費氏數列第$n$項的方法

## 簡介
義大利數學家費伯納西 (Successione di Fibonacci) 1202 年提出一個問題:
> 若一對兔子出生兩個月後，可以生一對小兔子，以後每個月可再生一對小兔子。
若現在籠子裡有一對剛生下來的小兔子，一年後籠子裏應該有幾對兔子？ 

![](https://i.imgur.com/WRvUQ1J.png)
## 數學遞迴式
$fib(x)=\begin{cases}fib(x) = 0 &x=0\\fib(x)=1 & x = 1\\fib(x)=fib(x-1)+fib(x-2)& x\geq2\end{cases}$
## 例子
![](https://i.imgur.com/sIpScdM.png)
$fib(0)=0$
$fib(1)=1$
$fib(2)=fib(1)+fib(0)=1+0$
$fib(3)=fib(2)+fib(1)=(fib(1)+fib(0))+fib(1)=(1+0)+1=2$
$fib(4)=fib(3)+fib(2)$
$=((fib(1)+fib(0))+fib(1))+(fib(1)+fib(0))=((1+0)+1)+(1+0)=3$

:::info
C++內建的64位元無號整數只能存到$2^{64}-1$，而因為會用到的數字都比較大一點，所以我用 GNU Multiple Precision Arithmetic Library(GMP) 這個開源的多重精度運算庫來實作
:::


## 第一種-遞迴

直接照遞迴式定義寫

```cpp!
#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<ctime>
#include<gmpxx.h>
using namespace std;
constexpr unsigned long long cMax = 100;
mpz_class fib(unsigned long long n) {
	if (n == 0)
		return 0;
	else if (n == 1)
		return 1;
	else
		return fib(n - 1) + fib(n - 2);
}
int main() {
	clock_t time;
	for (unsigned long long i = 1; i <= cMax; i++) {
		time = clock();
		mpz_class result = fib(i);
		cout << "fib(" << setw(3) << i << ") = " << setw(10) << result
		     << ", cost " << setw(7) << fixed << setprecision(3) << (clock() - time) / 1000.0 << " sec." << endl;
	}
	return 0;
}
```
執行的結果如下:
```
fib(  1) =          1, cost   0.000 sec.
fib(  2) =          1, cost   0.000 sec.
fib(  3) =          2, cost   0.000 sec.
fib(  4) =          3, cost   0.000 sec.
fib(  5) =          5, cost   0.000 sec.
fib(  6) =          8, cost   0.000 sec.
fib(  7) =         13, cost   0.000 sec.
fib(  8) =         21, cost   0.000 sec.
fib(  9) =         34, cost   0.000 sec.
fib( 10) =         55, cost   0.000 sec.
fib( 11) =         89, cost   0.000 sec.
fib( 12) =        144, cost   0.000 sec.
fib( 13) =        233, cost   0.000 sec.
fib( 14) =        377, cost   0.000 sec.
fib( 15) =        610, cost   0.001 sec.
fib( 16) =        987, cost   0.000 sec.
fib( 17) =       1597, cost   0.001 sec.
fib( 18) =       2584, cost   0.003 sec.
fib( 19) =       4181, cost   0.002 sec.
fib( 20) =       6765, cost   0.005 sec.
fib( 21) =      10946, cost   0.005 sec.
fib( 22) =      17711, cost   0.008 sec.
fib( 23) =      28657, cost   0.013 sec.
fib( 24) =      46368, cost   0.021 sec.
fib( 25) =      75025, cost   0.033 sec.
fib( 26) =     121393, cost   0.053 sec.
fib( 27) =     196418, cost   0.087 sec.
fib( 28) =     317811, cost   0.141 sec.
fib( 29) =     514229, cost   0.223 sec.
fib( 30) =     832040, cost   0.363 sec.
fib( 31) =    1346269, cost   0.602 sec.
fib( 32) =    2178309, cost   0.959 sec.
fib( 33) =    3524578, cost   1.547 sec.
fib( 34) =    5702887, cost   2.581 sec.
fib( 35) =    9227465, cost   4.382 sec.
fib( 36) =   14930352, cost   6.775 sec.
fib( 37) =   24157817, cost  10.651 sec.
fib( 38) =   39088169, cost  17.221 sec.
fib( 39) =   63245986, cost  28.294 sec.
```
之後的秒數超過30秒就沒測了

這種方法因為要向下遞迴到$fib(0)$或$fib(1)$才會停止，也就是說會把$fib(n)$展開成$fib(n-1)+fib(n-2)$直到所有的$fib$參數都$\leq 1$才會停，跑第$n$項的元素需要重複執行$fib$這個函數對數次，所以速度很慢

如果將呼叫次數畫成表格會長這樣
![](https://i.imgur.com/YEa0TO5.png)

## 第二種-用陣列存

上面版本的改進版，把每一個結果都存起來，後面的項目在計算時就可以直接讀取前兩項的值而不用重算

```cpp!
#include<iostream>
#include<vector>
#include<iomanip>
#include<chrono>
#include<gmpxx.h>
using namespace std;
using namespace chrono;
constexpr unsigned long long n = 5000;
vector<mpz_class> arr{0, 1};
mpz_class fib(unsigned long long n) {
	if (n < arr.size())
		return arr[n];
	else
		return arr.push_back(fib(n - 1) + fib(n - 2)), arr[n];
}
int main() {
	auto start = system_clock::now();
	mpz_class result = fib(n);
	auto end   = system_clock::now();
	auto duration = duration_cast<nanoseconds>(end - start);
	cout << "fib(" << setw(3) << n << ") = " << setw(25) << result
	     << ", cost " << setw(7) << fixed << setprecision(9) << double(duration.count()) * nanoseconds::period::num / nanoseconds::period::den << " sec" << endl;
	return 0;
}

```
執行結果:

```!
fib(5000) = 3878968454388325633701916308325905312082127714646245106160597214895550139044037097010822916462210669479293452858882973813483102008954982940361430156911478938364216563944106910214505634133706558656238254656700712525929903854933813928836378347518908762970712033337052923107693008518093849801803847813996748881765554653788291644268912980384613778969021502293082475666346224923071883324803280375039130352903304505842701147635242270210934637699104006714174883298422891491273104054328753298044273676822977244987749874555691907703880637046832794811358973739993110106219308149018570815397854379195305617510761053075688783766033667355445258844886241619210553457493675897849027988234351023599844663934853256411952221859563060475364645470760330902420806382584929156452876291575759142343809142302917491088984155209854432486594079793571316841692868039545309545388698114665082066862897420639323438488465240988742395873801976993820317174208932265468879364002630797780058759129671389634214252579116872755600360311370547754724604639987588046985178408674382863125, cost 0.005078800 sec, cnt = 9999
```

算$fib(5000)$只需要不到0.01秒，比剛剛的版本好非常多
呼叫次數只有不到10000次
缺點是因為要把沿途的每一個數字都存起來，所以記憶體用量比較大

## 第三種-兩數交互相加

剛那種方法，每次計算時只會用到前兩項，那其實單純算其中一項時
只需要把兩個數不斷互相做相加就可以了

```cpp!
#include<iostream>
#include<vector>
#include<iomanip>
#include<chrono>
#include<gmpxx.h>
using namespace std;
using namespace chrono;
constexpr unsigned long long n = 5000;
unsigned long long cnt = 0;
vector<mpz_class> arr{0, 1};
mpz_class fib(unsigned long long n) {
	for (unsigned long long i = 2; i <= n; i++)
		arr[i & 1] += arr[~i & 1];
	return arr[n & 1];
}
int main() {
	cnt = 0;
	auto start = system_clock::now();
	mpz_class result = fib(n);
	auto end   = system_clock::now();
	auto duration = duration_cast<nanoseconds>(end - start);
	cout << "fib(" << setw(3) << n << ") = " << setw(25) << result
	     << ", cost " << setw(7) << fixed << setprecision(9) << double(duration.count()) * nanoseconds::period::num / nanoseconds::period::den << " sec"
	     << ", cnt = " << cnt << endl;
	return 0;
}
```

執行結果:

```!
fib(5000) = 3878968454388325633701916308325905312082127714646245106160597214895550139044037097010822916462210669479293452858882973813483102008954982940361430156911478938364216563944106910214505634133706558656238254656700712525929903854933813928836378347518908762970712033337052923107693008518093849801803847813996748881765554653788291644268912980384613778969021502293082475666346224923071883324803280375039130352903304505842701147635242270210934637699104006714174883298422891491273104054328753298044273676822977244987749874555691907703880637046832794811358973739993110106219308149018570815397854379195305617510761053075688783766033667355445258844886241619210553457493675897849027988234351023599844663934853256411952221859563060475364645470760330902420806382584929156452876291575759142343809142302917491088984155209854432486594079793571316841692868039545309545388698114665082066862897420639323438488465240988742395873801976993820317174208932265468879364002630797780058759129671389634214252579116872755600360311370547754724604639987588046985178408674382863125, cost 0.000396100 sec, cnt = 0
```

## 第四種-公式解

套公式$$F_n=\frac{\sqrt{5}}{5}\cdot[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n]$$

```cpp!
#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<chrono>
#include<cmath>
using namespace std;
using namespace chrono;
int main() {
	unsigned long long n = 100;
	auto start = system_clock::now();
	double result = (pow(1 + sqrt(5) / 2, n) - pow(1 - sqrt(5) / 2, n)) / sqrt(5);
	auto end   = system_clock::now();
	auto duration = duration_cast<nanoseconds>(end - start);
	cout << "fib(100) = "
	     << result << endl
	     << fixed << setprecision(9)
	     << double(duration.count()) * nanoseconds::period::num / nanoseconds::period::den << " sec" << endl;
	return 0;
}
```

```
result:
fib(100) = 1.7531e+032
0.000000000 sec
```

雖然很快 不過有浮點數的小數儲存位數限制
所以不實用


## 第五種-矩陣快速冪

雖然一樣是套公式，但這個沒有涉及無理數而且性質比較適合程式


$\begin{pmatrix}
   F_{n+2}\\
   F_{n+1}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
    1 & 1 \\
    1 & 0 
\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}
    F_{n+1} \\
    F_{n}
\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}
    F_{n+2} & F_{n+1} \\
    F_{n+1} & F_{n}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
    1 & 1 \\
    1 & 0 
\end{pmatrix}^{n+1}$

所以只要算矩陣的次方就好

而在計算機科學裡有一種只需要$O(logn)$時間的次方算法

就是把數字拆成二進位
像是 $21=2^0+2^2+2^4$
那只要把 $n^{2^0}\times n^{2^2}\times n^{2^4}$就會是 $n^{21}$
這樣就可以只用兩個數乘法以及$O(logn)$的時間完成冪的運算

```cpp!
#include<iostream>
#include<vector>
#include<utility>
#include<algorithm>
using namespace std;
constexpr long long mod = 1e9 + 7;
struct matrix {
	vector<vector<long long>> data;
	pair<size_t, size_t> size() const {return {data.size(), data.front().size()};}
	vector<long long>& operator[](const size_t& x) {return data[x];}
	const vector<long long>& operator[] (const size_t& x)const {return data[x];}
	void resize(const size_t& a, const size_t& b, const long long& val = 0) {
		for (auto& i : data) i.resize(b, val);
		data.resize(a, vector<long long>(b, val));
	}
	void assign(const size_t& a, const size_t& b, const long long& val) {
		data.assign(a, vector<long long>(b, val));
	}
	matrix(const vector<vector<long long>>&v = {}): data(v) {}
	matrix(const size_t& a, const size_t& b, const long long& val = 0) {
		assign(a, b, val);
	}
};
matrix operator*(const matrix& a, const matrix& b) {
	matrix tmp(vector<vector<long long>>(a.size().first, vector<long long>(b.size().second, 0)));
	for (size_t i = 0; i != tmp.size().first; i++) {
		for (size_t j = 0; j != tmp.size().second; j++) {
			for (size_t k = 0; k != a.size().second; k++)
				tmp[i][j] += a[i][k] * b[k][j] % mod;
			tmp[i][j] %= mod;
		}
	}
	return tmp;
}
matrix operator+(matrix a, const matrix& b) {
	for (size_t i = 0; i != a.size().first; i++)
		for (size_t j = 0; j != a.size().second; j++)
			a[i][j] -= b[i][j];
	return a;
}
matrix operator-(matrix a) {
	for (auto& i : a.data)
		for (auto& j : i)
			j = -j;
	return a;
}
matrix operator-(matrix a, const matrix& b) {
	return a + (-b);
}
bool operator==(const matrix& a, const matrix& b) {
	if (a.size() != b.size()) return false;
	for (size_t i = 0; i != a.size().first; i++)
		for (size_t j = 0; j != a.size().second; j++)
			if (a[i][j] != b[i][j]) return false;
	return true;
}
bool operator!=(const matrix& a, const matrix& b) {
	return !(a == b);
}
matrix operator*=(matrix& a, const matrix& b) {
	return a = a * b;
}
matrix operator+=(matrix& a, const matrix& b) {
	return a = a + b;
}
matrix operator-=(matrix& a, const matrix& b) {
	return a = a - b;
}
matrix pow(matrix a, unsigned long long b) {
	matrix re(vector<vector<long long>>(a.size().first, vector<long long>(a.size().second, 0)));
	for (size_t i = 0; i < min(a.size().first, a.size().second); i++) re[i][i] = 1;
	for (; b; b >>= 1, a = a * a)
		if (b & 1) re = re * a;
	return re;
}
int main() {
	cin.tie(nullptr);
	ios::sync_with_stdio(false);
	vector<vector<long long>> arr{{1, 1}, {1, 0}};
	unsigned long long n; matrix fib(arr);
	while (cin >> n)
		cout << pow(fib, n + 1)[1][1] << endl;
	return 0;
}
```
```!
result:
fib(100000) = 2597406934722172416615503402127591541488048538651769658472477070395253454351127368626555677283671674475463758722307443211163839947387509103096569738218830449305228763853133492135302679278956701051276578271635608073050532200243233114383986516137827238124777453778337299916214634050054669860390862750996639366409211890125271960172105060300350586894028558103675117658251368377438684936413457338834365158775425371912410500332195991330062204363035213756525421823998690848556374080179251761629391754963458558616300762819916081109836526352995440694284206571046044903805647136346033000520852277707554446794723709030979019014860432846819857961015951001850608264919234587313399150133919932363102301864172536477136266475080133982431231703431452964181790051187957316766834979901682011849907756686456845066287392485603914047605199550066288826345877189410680370091879365001733011710028310473947456256091444932821374855573864080579813028266640270354294412104919995803131876805899186513425175959911520563155337703996941035518275274919959802257507902037798103089922984996304496255814045517000250299764322193462165366210841876745428298261398234478366581588040819003307382939500082132009374715485131027220817305432264866949630987914714362925554252624043999615326979876807510646819068792118299167964409178271868561702918102212679267401362650499784968843680975254700131004574186406448299485872551744746695651879126916993244564817673322257149314967763345846623830333820239702436859478287641875788572910710133700300094229333597292779191409212804901545976262791057055248158884051779418192905216769576608748815567860128818354354292307397810154785701328438612728620176653953444993001980062953893698550072328665131718113588661353747268458543254898113717660519461693791688442534259478126310388952047956594380715301911253964847112638900713362856910155145342332944128435722099628674611942095166100230974070996553190050815866991144544264788287264284501725332048648319457892039984893823636745618220375097348566847433887249049337031633826571760729778891798913667325190623247118037280173921572390822769228077292456662750538337500692607721059361942126892030256744356537800831830637593334502350256972906515285327194367756015666039916404882563967693079290502951488693413799125174856667074717514938979038653338139534684837808612673755438382110844897653836848318258836339917310455850905663846202501463131183108742907729262215943020429159474030610183981685506695026197376150857176119947587572212987205312060791864980361596092339594104118635168854883911918517906151156275293615849000872150192226511785315089251027528045151238603792184692121533829287136924321527332714157478829590260157195485316444794546750285840236000238344790520345108033282013803880708980734832620122795263360677366987578332625485944906021917368867786241120562109836985019729017715780112040458649153935115783499546100636635745448508241888279067531359950519206222976015376529797308588164873117308237059828489404487403932053592935976454165560795472477862029969232956138971989467942218727360512336559521133108778758228879597580320459608479024506385194174312616377510459921102486879496341706862092908893068525234805692599833377510390101316617812305114571932706629167125446512151746802548190358351688971707570677865618800822034683632101813026232996027599403579997774046244952114531588370357904483293150007246173417355805567832153454341170020258560809166294198637401514569572272836921963229511187762530753402594781448204657460288485500062806934811398276016855584079542162057543557291510641537592939022884356120792643705560062367986544382464373946972471945996555795505838034825597839682776084731530251788951718630722761103630509360074262261717363058613291544024695432904616258691774630578507674937487992329181750163484068813465534370997589353607405172909412697657593295156818624747127636468836551757018353417274662607306510451195762866349922848678780591085118985653555434958761664016447588028633629704046289097067736256584300235314749461233912068632146637087844699210427541569410912246568571204717241133378489816764096924981633421176857150311671040068175303192115415611958042570658693127276213710697472226029655524611053715554532499750843275200199214301910505362996007042963297805103066650638786268157658772683745128976850796366371059380911225428835839194121154773759981301921650952140133306070987313732926518169226845063443954056729812031546392324981793780469103793422169495229100793029949237507299325063050942813902793084134473061411643355614764093104425918481363930542369378976520526456347648318272633371512112030629233889286487949209737847861884868260804647319539200840398308008803869049557419756219293922110825766397681361044490024720948340326796768837621396744075713887292863079821849314343879778088737958896840946143415927131757836511457828935581859902923534388888846587452130838137779443636119762839036894595760120316502279857901545344747352706972851454599861422902737291131463782045516225447535356773622793648545035710208644541208984235038908770223039849380214734809687433336225449150117411751570704561050895274000206380497967960402617818664481248547269630823473377245543390519841308769781276565916764229022948181763075710255793365008152286383634493138089971785087070863632205869018938377766063006066757732427272929247421295265000706646722730009956124191409138984675224955790729398495608750456694217771551107346630456603944136235888443676215273928597072287937355966723924613827468703217858459948257514745406436460997059316120596841560473234396652457231650317792833860590388360417691428732735703986803342604670071717363573091122981306903286137122597937096605775172964528263757434075792282180744352908669606854021718597891166333863858589736209114248432178645039479195424208191626088571069110433994801473013100869848866430721216762473119618190737820766582968280796079482259549036328266578006994856825300536436674822534603705134503603152154296943991866236857638062351209884448741138600171173647632126029961408561925599707566827866778732377419444462275399909291044697716476151118672327238679208133367306181944849396607123345271856520253643621964198782752978813060080313141817069314468221189275784978281094367751540710106350553798003842219045508482239386993296926659221112742698133062300073465628498093636693049446801628553712633412620378491919498600097200836727876650786886306933418995225768314390832484886340318940194161036979843833346608676709431643653538430912157815543512852077720858098902099586449602479491970687230765687109234380719509824814473157813780080639358418756655098501321882852840184981407690738507369535377711880388528935347600930338598691608289335421147722936561907276264603726027239320991187820407067412272258120766729040071924237930330972132364184093956102995971291799828290009539147382437802779051112030954582532888721146170133440385939654047806199333224547317803407340902512130217279595753863158148810392952475410943880555098382627633127606718126171022011356181800775400227516734144169216424973175621363128588281978005788832454534581522434937268133433997710512532081478345067139835038332901313945986481820272322043341930929011907832896569222878337497354301561722829115627329468814853281922100752373626827643152685735493223028018101449649009015529248638338885664893002250974343601200814365153625369199446709711126951966725780061891215440222487564601554632812091945824653557432047644212650790655208208337976071465127508320487165271577472325887275761128357592132553934446289433258105028633583669291828566894736223508250294964065798630809614341696830467595174355313224362664207197608459024263017473392225291248366316428006552870975051997504913009859468071013602336440164400179188610853230764991714372054467823597211760465153200163085336319351589645890681722372812310320271897917951272799656053694032111242846590994556380215461316106267521633805664394318881268199494005537068697621855231858921100963441012933535733918459668197539834284696822889460076352031688922002021931318369757556962061115774305826305535862015637891246031220672933992617378379625150999935403648731423208873977968908908369996292995391977217796533421249291978383751460062054967341662833487341011097770535898066498136011395571584328308713940582535274056081011503907941688079197212933148303072638678631411038443128215994936824342998188719768637604496342597524256886188688978980888315865076262604856465004322896856149255063968811404400429503894245872382233543101078691517328333604779262727765686076177705616874050257743749983775830143856135427273838589774133526949165483929721519554793578923866762502745370104660909382449626626935321303744538892479216161188889702077910448563199514826630802879549546453583866307344423753319712279158861707289652090149848305435983200771326653407290662016775706409690183771201306823245333477966660525325490873601961480378241566071271650383582257289215708209369510995890132859490724306183325755201208090007175022022949742801823445413711916298449914722254196594682221468260644961839254249670903104007581488857971672246322887016438403908463856731164308169537326790303114583680575021119639905615169154708510459700542098571797318015564741406172334145847111268547929892443001391468289103679179216978616582489007322033591376706527676521307143985302760988478056216994659655461379174985659739227379416726495377801992098355427866179123126699374730777730569324430166839333011554515542656864937492128687049121754245967831132969248492466744261999033972825674873460201150442228780466124320183016108232183908654771042398228531316559685688005226571474428823317539456543881928624432662503345388199590085105211383124491861802624432195540433985722841341254409411771722156867086291742124053110620522842986199273629406208834754853645128123279609097213953775360023076765694208219943034648783348544492713539450224591334374664937701655605763384697062918725745426505879414630176639760457474311081556747091652708748125267159913793240527304613693961169892589808311906322510777928562071999459487700611801002296132304588294558440952496611158342804908643860880796440557763691857743754025896855927252514563404385217825890599553954627451385454452916761042969267970893580056234501918571489030418495767400819359973218711957496357095967825171096264752068890806407651445893132870767454169607107931692704285168093413311046353506242209810363216771910420786162184213763938194625697286781413636389620123976910465418956806197323148414224550071617215851321302030684176087215892702098879108938081045903397276547326416916845445627600759561367103584575649094430692452532085003091068783157561519847567569191284784654692558665111557913461272425336083635131342183905177154511228464455136016013513228948543271504760839307556100908786096663870612278690274831819331606701484957163004705262228238406266818448788374548131994380387613830128859885264201992286188208499588640888521352501457615396482647451025902530743172956899636499615707551855837165935367125448515089362904567736630035562457374779100987992499146967224041481601289530944015488942613783140087804311431741858071826185149051138744831358439067228949408258286021650288927228387426432786168690381960530155894459451808735197246008221529343980828254126128257157209350985382800738560472910941184006084485235377833503306861977724501886364070344973366473100602018128792886991861824418453968994777259482169137133647470453172979809245844361129618997595696240971845564020511432589591844724920942930301651488713079802102379065536525154780298059407529440513145807551537794861635879901158192019808879694967187448224156836463534326160242632934761634458163890163805123894184523973421841496889262398489648642093409816681494771155177009562669029850101513537599801272501241971119871526593747484778935488777815192931171431167444773882941064615028751327709474504763922874890662989841540259350834035142035136168819248238998027706666916342133424312054507359388616687691188185776118135771332483965209882085982391298606386822804754362408956522921410859852037330544625953261340234864689275060526893755148403298542086991221052597005628576707702567695300978970046408920009852106980295419699802138053295798159478289934443245491565327845223840551240445208226435420656313310702940722371552770504263482073984454889589248861397657079145414427653584572951329719091947694411910966797474262675590953832039169673494261360032263077428684105040061351052194413778158095005714526846009810352109249040027958050736436961021241137739717164869525493114805040126568351268829598413983222676377804500626507241731757395219796890754825199329259649801627068665658030178877405615167159731927320479376247375505855052839660294566992522173600874081212014209071041937598571721431338017425141582491824710905084715977249417049320254165239323233258851588893337097136310892571531417761978326033750109026284066415801371359356529278088456305951770081443994114674291850360748852366654744869928083230516815711602911836374147958492100860528981469547750812338896943152861021202736747049903930417035171342126923486700566627506229058636911882228903170510305406882096970875545329369434063981297696478031825451642178347347716471058423238594580183052756213910186997604305844068665712346869679456044155742100039179758348979935882751881524675930878928159243492197545387668305684668420775409821781247053354523194797398953320175988640281058825557698004397120538312459428957377696001857497335249965013509368925958021863811725906506436882127156815751021712900765992750370228283963962915973251173418586721023497317765969454283625519371556009143680329311962842546628403142444370648432390374906410811300792848955767243481200090309888457270907750873638873299642555050473812528975962934822878917619920725138309388288292510416837622758204081918933603653875284116785703720989718832986921927816629675844580174911809119663048187434155067790863948831489241504300476704527971283482211522202837062857314244107823792513645086677566622804977211397140621664116324756784216612961477109018826094677377686406176721484293894976671380122788941309026553511096118347012565197540807095384060916863936906673786627209429434264260402902158317345003727462588992622049877121178405563348492490326003508569099382392777297498413565614830788262363322368380709822346012274241379036473451735925215754757160934270935192901723954921426490691115271523338109124042812102893738488167358953934508930697715522989199698903885883275409044300321986834003470271220020159699371690650330547577095398748580670024491045504890061727189168031394528036165633941571334637222550477547460756055024108764382121688848916940371258901948490685379722244562009483819491532724502276218589169507405794983759821006604481996519360110261576947176202571702048684914616894068404140833587562118319210838005632144562018941505945780025318747471911604840677997765414830622179069330853875129298983009580277554145435058768984944179136535891620098725222049055183554603706533183176716110738009786625247488691476077664470147193074476302411660335671765564874440577990531996271632972009109449249216456030618827772947750764777446452586328919159107444252320082918209518021083700353881330983215894608680127954224752071924134648334963915094813097541433244209299930751481077919002346128122330161799429930618800533414550633932139339646861616416955220216447995417243171165744471364197733204899365074767844149929548073025856442942381787641506492878361767978677158510784235702640213388018875601989234056868423215585628508645525258377010620532224244987990625263484010774322488172558602233302076399933854152015343847725442917895130637050320444917797752370871958277976799686113626532291118629631164685159934660693460557545956063155830033697634000276685151293843638886090828376141157732003527565158745906567025439437931104838571313294490604926582363108949535090082673154497226396648088618041573977888472892174618974189721700770009862449653759012727015227634510874906948012210684952063002519011655963580552429180205586904259685261047412834518466736938580027700252965356366721619883672428226933950325930390994583168665542234654857020875504617520521853721567282679903418135520602999895366470106557900532129541336924472492212436324523042895188461779122338069674233980694887270587503389228395095135209123109258159006960395156367736067109050566299603571876423247920752836160805597697778756476767210521222327184821484446631261487584226092608875764331731023263768864822594691211032367737558122133470556805958008310127481673962019583598023967414489867276845869819376783757167936723213081586191045995058970991064686919463448038574143829629547131372173669836184558144505748676124322451519943362182916191468026091121793001864788050061351603144350076189213441602488091741051232290357179205497927970924502479940842696158818442616163780044759478212240873204124421169199805572649118243661921835714762891425805771871743688000324113008704819373962295017143090098476927237498875938639942530595331607891618810863505982444578942799346514915952884869757488025823353571677864826828051140885429732788197765736966005727700162592404301688659946862983717270595809808730901820120931003430058796552694788049809205484305467611034654748067290674399763612592434637719995843862812391985470202414880076880818848087892391591369463293113276849329777201646641727587259122354784480813433328050087758855264686119576962172239308693795757165821852416204341972383989932734803429262340722338155102209101262949249742423271698842023297303260161790575673111235465890298298313115123607606773968998153812286999642014609852579793691246016346088762321286205634215901479188632194659637483482564291616278532948239313229440231043277288768139550213348266388687453259281587854503890991561949632478855035090289390973718988003999026132015872678637873095678109625311008054489418857983565902063680699643165033912029944327726770869305240718416592070096139286401966725750087012218149733133695809600369751764951350040285926249203398111014953227533621844500744331562434532484217986108346261345897591234839970751854223281677187215956827243245910829019886390369784542622566912542747056097567984857136623679023878478161201477982939080513150258174523773529510165296934562786122241150783587755373348372764439838082000667214740034466322776918936967612878983488942094688102308427036452854504966759697318836044496702853190637396916357980928865719935397723495486787180416401415281489443785036291071517805285857583987711145474240156416477194116391354935466755593592608849200546384685403028080936417250583653368093407225310820844723570226809826951426162451204040711501448747856199922814664565893938488028643822313849852328452360667045805113679663751039248163336173274547275775636810977344539275827560597425160705468689657794530521602315939865780974801515414987097778078705357058008472376892422189750312758527140173117621279898744958406199843913365680297721208751934988504499713914285158032324823021340630312586072624541637765234505522051086318285359658520708173392709566445011404055106579055037417780393351658360904543047721422281816832539613634982525215232257690920254216409657452618066051777901592902884240599998882753691957540116954696152270401280857579766154722192925655963991820948894642657512288766330302133746367449217449351637104725732980832812726468187759356584218383594702792013663907689741738962252575782663990809792647011407580367850599381887184560094695833270775126181282015391041773950918244137561999937819240362469558235924171478702779448443108751901807414110290370706052085162975798361754251041642244867577350756338018895379263183389855955956527857227926155524494739363665533904528656215464288343162282921123290451842212532888101415884061619939195042230059898349966569463580186816717074818823215848647734386780911564660755175385552224428524049468033692299989300783900020690121517740696428573930196910500988278523053797637940257968953295112436166778910585557213381789089945453947915927374958600268237844486872037243488834616856290097850532497036933361942439802882364323553808208003875741710969289725499878566253048867033095150518452126944989251596392079421452606508516052325614861938282489838000815085351564642761700832096483117944401971780149213345335903336672376719229722069970766055482452247416927774637522135201716231722137632445699154022395494158227418930589911746931773776518735850032318014432883916374243795854695691221774098948611515564046609565094538115520921863711518684562543275047870530006998423140180169421109105925493596116719457630962328831271268328501760321771680400249657674186927113215573270049935709942324416387089242427584407651215572676037924765341808984312676941110313165951429479377670698881249643421933287404390485538222160837088907598277390184204138197811025854537088586701450623578513960109987476052535450100439353062072439709976445146790993381448994644609780957731953604938734950026860564555693224229691815630293922487606470873431166384205442489628760213650246991893040112513103835085621908060270866604873585849001704200923929789193938125116798421788115209259130435572321635660895603514383883939018953166274355609970015699780289236362349895374653428746875
0.004985200 sec

```

## 結論

速度上: 第四種-公式解 > 第五種-矩陣快速冪 > 第二種-用陣列存 = 第三種-兩數交互相加 > 第一種-遞迴
空間上: 第四種-公式解 < 第三種-兩數交互相加 < 第五種-矩陣快速冪 > 第二種-用陣列存 < 第一種-遞迴
精準度上: 除了公式解外其他都是精準值

## 心得

研究了很多方法，尤其是矩陣的部分
我數學沒有在外面補習，為了搞懂矩陣乘法到底在幹嘛
我花了幾個小時把才把做乘法的方法搞懂，刻程式碼反而很快

果然為了提升程式能力，數學是不可或缺的