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# System prepended metadata

title: 統計誤差

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# 統計誤差


$$
f(bin_1,...,bin_N,n_1,...,n_N)=\frac{1}{\sum_{i=1}^{N}n_i}\sum_{i=1}^{N}bin_in_i
$$
誤差は、$n_{error}=\sqrt{n}$ として、$bin_{error}=a$とする
誤差の伝搬式は
$$
\delta f(x_1,x_2,...,x_n)\equiv \sqrt{\left( \frac{\partial f}{\partial x_1}\right)^2(\delta x_1)^2 +\left( \frac{\partial f}{\partial x_2}\right)^2(\delta x_2)^2 + ... + \left( \frac{\partial f}{\partial x_n}\right)^2(\delta x_n)^2}
$$
である。
$$
g(n_1,...,n_N)\equiv \frac{1}{\sum_{i=1}^{N}n_i} \\
h(bin1,...,bin_N,n_1,...,n_N)\equiv \sum_{i=1}^{N}bin_in_i
$$
とおく。$n$と$bin$をまとめてベクトル表記にすると
$$
f(\vec{bin},\vec{n})=g(\vec{n})h(\vec{bin},\vec{n})
$$
nの微分を計算する
$$
\frac{\partial f(\vec{bin},\vec{n})}{\partial n_1}=\frac{\partial g(\vec{n})}{\partial n_1}h(\vec{bin},\vec{n})+g(\vec{n})\frac{\partial h(\vec{bin},\vec{n})}{\partial n_1} \\
\frac{\partial g(\vec{n})}{\partial n_1}=-\frac{1}{(\sum_{i=1}^{N}n_i)^2} \\
\frac{\partial h(\vec{bin},\vec{n})}{\partial n_1}=bin_1 \\
\frac{\partial f(\vec{bin},\vec{n})}{\partial n_1}=-\frac{\sum_{i=1}^{N}bin_in_i}{(\sum_{i=1}^{N}n_i)^2}+\frac{bin_1}{\sum_{i=1}^{N}n_i}
$$
binの微分を計算する
$$
\frac{\partial g(\vec{n})}{\partial bin_1}=0 \\
\frac{\partial h(\vec{bin},\vec{n})}{\partial bin_1}=n_1\\
\frac{\partial f(\vec{bin},\vec{n})}{\partial n_1}=\frac{n_1}{\sum_{i=1}^{N}n_i}
$$
仮に$bin_{error}=0$の場合に統計量が1の点に関して、その値分のエラーが発生するかと思ったら違った。
例えば点が１つで、$bin_1=-2$ の場合を考えてみる.
$$
\delta f(\vec{n})=\frac{\partial f(\vec{n})}{\partial n_1}\sqrt{n_1}
$$
$n_1$以外の統計量は0なので、項が全部0になり、結果的に上の項だけが残る.
$$
g(\vec{n})=\frac{1}{n_1} \\
h(\vec{n})=bin_1 n_1 \\
\frac{\partial f(\vec{n})}{\partial n_1}=-\frac{bin_1 n_1}{n_1^2}+\frac{bin_1}{n_1}=0
$$

# 平均値の誤差
観測値xをN個観測したときの平均値は次のように定義できる。
$$
f(\vec{x}, N)=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_i
$$
このとき、xの固定的な誤差と、Nの統計誤差を次のように定義する
$$
x_{error}=A, N_{error}=\sqrt{N}
$$
平均値の誤差は
$$
\delta f(\vec{x},N)\equiv \sqrt{\left( \frac{\partial f}{\partial x_1}\right)^2{\delta x_1}^2+...+\left( \frac{\partial f}{\partial x_N}\right)^2{\delta x_N}^2+\left( \frac{\partial f}{\partial N}\right)^2{\delta N}^2}
$$
$\delta x_1$は一定で、
$$
\frac{\partial f}{\partial x_i}=\frac{1}{N}\\
\frac{\partial f}{\partial N}=-\frac{1}{N^2}\sum_{i=1}^{N}x_i
$$
のため
$$
\delta f(\vec{x},N)=\sqrt{\frac{NA^2}{N^2}+\left(-\frac{1}{N^2}\sum_{i=1}^{N}x_i\right)^2 N}\\
=\sqrt{\frac{A^2}{N}+\frac{1}{N^3}\left(\sum_{i=1}^{N}x_i\right)^2}
$$